【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题5.7 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(10)页，1.357 MB，由小赞的店铺上传

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专题5.7三角函数的图象与性质-重难点题型精讲1．正弦函数与余弦函数的图象(1)正弦函数的图象①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.②五点法观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),(π,0),(,-1)

,(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做

“五点(画图)法”.(2)余弦函数的图象①图象变换法作余弦函数的图象由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的

图象，如图所示.②五点法作余弦函数的图象类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0)

,(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.(3)正弦曲线、余弦曲线正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和

余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.2．正弦函数与余弦函数的性质(1)周期函数①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f

(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函数与余弦函数的

性质正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：3．正弦型函数及余弦型函数的性质函数和的性质4．正切函数的性质与图象(1)正切函数的图象及性质(2)三点两线法作正切曲线的简图类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点(-,-1),(0,0),(,1);“两

线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图.5．余切函数的图象及性质正切函数的图象及性质：=，即将的图象先向右平移个单位长度，再以x轴为对称轴上下翻折，可得的图象.余切函数的图象与性质如下表：【题型1正、余弦函数图象的应用】【方法

点拨】正、余弦函数图象的应用主要有：函数图象的识别问题、解三角不等式、利用图象解决与函数零点或图象交点个数有关的问题；需要结合具体条件，根据正、余弦函数的图象及性质进行求解.【例1】（2022·上海高一期中）函数𝑦=

10sin𝑥与函数𝑦=𝑥的图像的交点个数是（）A．3B．6C．7D．9【变式1-1】（2022·湖南·高三开学考试）与图中曲线对应的函数可能是（）A．𝑦=|sin𝑥|B．𝑦=sin|𝑥|C．𝑦=−|sin𝑥|D．𝑦=−sin|𝑥|【变式1-2

】（2021·江苏·高一课时练习）从函数𝑦=cos𝑥,𝑥∈[0,2𝜋)的图象来看，当𝑥∈[0,2𝜋)时，对于cos𝑥=−√32的x有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式1-3】（202

1·全国·高一专题练习）在𝑥∈(0,2𝜋)上，满足cos𝑥>sin𝑥的𝑥的取值范围（）A．(𝜋4,5𝜋4)B．(0,𝜋4)C．(0,𝜋4)∪(5𝜋4,2𝜋)D．(5𝜋4,2𝜋)【题型2定义域、值域与最值问题】【方法点拨】求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：

(1)借助正弦函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性.【例2】（2022·全国·高一课时练习）函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+𝜋6)，𝑥∈[0,𝜋2]的最大值和最小值分别为（）A．1，-1B．12，−12

C．1，12D．1，−12【变式2-1】（2022·甘肃·高二开学考试）函数𝑓(𝑥)=tan(𝑥+π4)的定义域为（）A．{𝑥|𝑥≠𝑘π+π4,𝑘∈𝑍}B．{𝑥|𝑥≠2𝑘π+π4,𝑘∈𝑍}C．{𝑥|𝑥≠𝑘π−π4,𝑘∈𝑍}D．{𝑥|

𝑥≠𝑘π,𝑘∈𝑍}【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+π3)在(−π3,π3)上的值域为（）A．(0,1]B．(−√32,0)C．(−√32,1]D．[−1,1]【变式2-3】（2022·湖南高三阶段练习）奇函数

𝑓(𝑥)=cos(𝜔𝑥+𝜑),(𝜔>0,𝜑∈(0,𝜋))在区间[−𝜋3,𝜋4]上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则𝜔的取值范围是（）A．[2,6)B．[2,92)C．[32,92)D．[32,6)【题型3单调性问题】【方法点拨】单调性问题主要有：函数的单调区

间的求解、比较函数值的大小；结合具体条件，根据三角函数的图象与性质进行求解即可.【例3】（2022·广东广州·高二期中）下列区间中，函数𝑓(𝑥)=2sin(3𝑥−π6)单调递减的是（）A．(π,1

0π9)B．(2π3,π)C．(2π9,2π3)D．(π9,π2)【变式3-1】（2022·内蒙古·高三阶段练习（文））已知函数𝑓(𝑥)=1+2sin𝜔𝑥(𝜔>0)，若𝑓(𝑥)在(π6,π4)上为增函数，则𝜔的取值范围为（）A．(0,12]B．(0,2]C．[9,10]D．(

0,2]∪[9,10]【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）函数𝑓(𝑥)=tan(π2𝑥+π4)的单调递增区间为（）A．(2𝑘−32,2𝑘+12)，𝑘∈ZB．(4𝑘−32,4𝑘+12)，𝑘∈ZC．(𝑘−32,𝑘+12)，𝑘∈ZD．(2𝑘−52,2𝑘+32)

，𝑘∈Z【变式3-3】（2022·广西南宁·高三阶段练习（文））若函数𝑓(𝑥)=√2cos(𝜔𝑥+𝜋4)(𝜔>0)在(𝜋2,3𝜋4)上单调递减，则ω的最大值为（）A．1B．114C．113D．4【

题型4奇偶性与对称性问题】【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性和对称性相关知识，结合具体题目，灵活求解.【例4】（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，偶函数是（）A．𝑓(𝑥)=sin(π+𝑥)B．𝑓(𝑥)=cos(π2−𝑥)C．𝑓(𝑥)=tan(π−𝑥)D．𝑓(

𝑥)=sin(π2+𝑥)【变式4-1】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=√2sin(𝑥+𝜋4+𝜑)是偶函数，则tan𝜑的值为（）A．−1B．1C．1或-1D．√22【变式4-2】（2023·北京市高三期中）函数f（x）的图象是中

心对称图形，如果它的一个对称中心是（𝜋2，0），那么f（x）的解析式可以是（）A．sinxB．cosxC．sin𝑥+1D．cos𝑥+1【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）设函数𝑓(𝑥)=2cos(

2𝑥+𝜑)的图象关于点(5π6,0)中心对称，则|𝜑|的最小值为（）A．7π6B．5π6C．π3D．𝜋6【题型5三角函数的周期性】【方法点拨】证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法：(1

)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周期函数且T是它的一个周期.(2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解.(3)图象法：画出函数的图象，通过图象

直观判断即可.【例5】在函数𝑦=sin2𝑥,𝑦=sin𝑥,𝑦=cos𝑥,𝑦=tan𝑥2中，最小正周期为π的函数是（）A．𝑦=sin2𝑥B．𝑦=sin𝑥C．𝑦=cos𝑥D．𝑦=tan𝑥2【变式5-1】（2022·河

南安阳·高三期中（文））已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥−𝜋3)(𝜔>0)的最小正周期为𝜋，则（）A．𝑓(2)<𝑓(0)<𝑓(−2)B．𝑓(0)<𝑓(−2)<𝑓(2)C．𝑓(−2)<𝑓(0)<𝑓(2)D．𝑓(0)<𝑓

(2)<𝑓(−2)【变式5-2】（2020·福建省高三阶段练习）给出下列函数：①𝑦=cos|2𝑥|；②𝑦=|cos𝑥|；③𝑦=cos(2𝑥+π6)；④𝑦=tan(2𝑥−π4)．其中最小正周期为π的有（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③【变式5-

3】（2022·河南省高一阶段练习）下列四个函数中，在区间(𝜋2,𝜋)上单调递增，且最小正周期为𝜋的是（）A．𝑦=−sin2𝑥B．𝑦=|cos𝑥|C．𝑦=|sin𝑥|D．𝑦=sin𝑥2【题型6三角函数的图象与性

质的综合应用】【方法点拨】解决正(余)弦型函数的图象与性质的综合应用问题的思路：1.熟练掌握函数或的图象，利用基本函数法得到相应的函数性质，然后利用性质解题.2.直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析并解决问题.【例6】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数𝑓

(𝑥)=2sin(𝜋6+𝜔𝑥)(𝜔<0)的最小正周期𝜋．(1)求函数𝑓(𝑥)单调递增区间；(2)若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚在[0,𝜋2]上有零点，求实数𝑚的取值范围．【变式6-1】（

2022·湖南·高二阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)（𝜔>0，|𝜑|<π2）的图象关于直线𝑥=π4对称：(1)若𝑓(𝑥)的最小正周期为2π，求𝑓(𝑥)的解析式；(2)若𝑥=−π4是𝑓(𝑥)的零点，是否存在实数𝜔，使得�

�(𝑥)在(7π18,5π9)上单调？若存在，求出𝜔的取值集合；若不存在，请说明理由.【变式6-2】（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0,|𝜑|≤𝜋2)的图象经过点(−𝜋4,0).(1)若𝑓(𝑥)的最小正周期为2𝜋，求𝑓(

𝑥)的解析式；(2)若∀𝑥∈R，𝑓(𝑥+𝜋4)=𝑓(𝜋4−𝑥)，是否存在实数𝜔，使得𝑓(𝑥)在(7𝜋18,5𝜋9)上单调？若存在，求出𝜔的取值集合；若不存在，请说明理由.【变式6-3】（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=𝐴cos(𝜔𝑥+�

�)+3(𝐴>0,𝜔>0,0<𝜑<π)的最小值为1，最小正周期为π，且𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=π3对称.(1)求𝑓(𝑥)的解析式；(2)将曲线𝑦=𝑓(𝑥)向左平移π12个单位长度，得到曲线𝑦=𝑔(𝑥)，求曲线𝑦=𝑔(𝑥)的对称中心的坐

标.