【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题5.7 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(10)页，1.357 MB，由小赞的店铺上传

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专题5.7三角函数的图象与性质-重难点题型精讲1．正弦函数与余弦函数的图象(1)正弦函数的图象①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.②五点法观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：

(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦

函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.(2)余弦函数的图象①图象变换法作余弦函数的图象由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所

示.②五点法作余弦函数的图象类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了

函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.(3)正弦曲线、余弦曲线正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状

的“波浪起伏”的连续光滑曲线.2．正弦函数与余弦函数的性质(1)周期函数①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.②最小

正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函数与余弦函数的性质正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：3．正弦型函数及余弦型函数的性质函数和的性质4．正切函数的性质与图象(1)正切函数的图象及性质(2)三点两线法

作正切曲线的简图类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图.5．余切函数的图象及性质正切函数的图象及性质：=，即将的

图象先向右平移个单位长度，再以x轴为对称轴上下翻折，可得的图象.余切函数的图象与性质如下表：【题型1正、余弦函数图象的应用】【方法点拨】正、余弦函数图象的应用主要有：函数图象的识别问题、解三角不等式、利用图象解决与函数零点或图象交点个数有关的问题；需要结合具体条件，根据正、余弦函数的图象及性质

进行求解.【例1】（2022·上海高一期中）函数𝑦=10sin𝑥与函数𝑦=𝑥的图像的交点个数是（）A．3B．6C．7D．9【变式1-1】（2022·湖南·高三开学考试）与图中曲线对应的函数可能是（）A．𝑦=|sin𝑥|B．𝑦=sin|𝑥|C．𝑦

=−|sin𝑥|D．𝑦=−sin|𝑥|【变式1-2】（2021·江苏·高一课时练习）从函数𝑦=cos𝑥,𝑥∈[0,2𝜋)的图象来看，当𝑥∈[0,2𝜋)时，对于cos𝑥=−√32的x有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式1-3】（2021·全国·高一专题

练习）在𝑥∈(0,2𝜋)上，满足cos𝑥>sin𝑥的𝑥的取值范围（）A．(𝜋4,5𝜋4)B．(0,𝜋4)C．(0,𝜋4)∪(5𝜋4,2𝜋)D．(5𝜋4,2𝜋)【题型2定义域、值域与最值问题】【方法点拨】求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1

)借助正弦函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性.【例2】（2022·全国·高一课时练习）函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+�

�6)，𝑥∈[0,𝜋2]的最大值和最小值分别为（）A．1，-1B．12，−12C．1，12D．1，−12【变式2-1】（2022·甘肃·高二开学考试）函数𝑓(𝑥)=tan(𝑥+π4)的定义域为（）A．{𝑥|𝑥≠𝑘π+π

4,𝑘∈𝑍}B．{𝑥|𝑥≠2𝑘π+π4,𝑘∈𝑍}C．{𝑥|𝑥≠𝑘π−π4,𝑘∈𝑍}D．{𝑥|𝑥≠𝑘π,𝑘∈𝑍}【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+π3)在(−

π3,π3)上的值域为（）A．(0,1]B．(−√32,0)C．(−√32,1]D．[−1,1]【变式2-3】（2022·湖南高三阶段练习）奇函数𝑓(𝑥)=cos(𝜔𝑥+𝜑),(𝜔>0,𝜑∈(0,𝜋))在区间[−𝜋3,𝜋4]上恰有一个最大值1和一

个最小值-1，则𝜔的取值范围是（）A．[2,6)B．[2,92)C．[32,92)D．[32,6)【题型3单调性问题】【方法点拨】单调性问题主要有：函数的单调区间的求解、比较函数值的大小；结合具体条件，根据三角函数的图象与性质进行求解即可.【例3】（20

22·广东广州·高二期中）下列区间中，函数𝑓(𝑥)=2sin(3𝑥−π6)单调递减的是（）A．(π,10π9)B．(2π3,π)C．(2π9,2π3)D．(π9,π2)【变式3-1】（2022·内蒙古·高三阶段练习（文））已知函数𝑓(𝑥)=1+2sin𝜔𝑥(𝜔>0)，

若𝑓(𝑥)在(π6,π4)上为增函数，则𝜔的取值范围为（）A．(0,12]B．(0,2]C．[9,10]D．(0,2]∪[9,10]【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）函数𝑓(𝑥)=tan(π2𝑥+π4)的单调递增区间为（）

A．(2𝑘−32,2𝑘+12)，𝑘∈ZB．(4𝑘−32,4𝑘+12)，𝑘∈ZC．(𝑘−32,𝑘+12)，𝑘∈ZD．(2𝑘−52,2𝑘+32)，𝑘∈Z【变式3-3】（2022·广西南宁·高三阶段练习（文））若函数𝑓

(𝑥)=√2cos(𝜔𝑥+𝜋4)(𝜔>0)在(𝜋2,3𝜋4)上单调递减，则ω的最大值为（）A．1B．114C．113D．4【题型4奇偶性与对称性问题】【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性和对称性相关知识，结合具体题目，灵活求解.【例4】（20

22·全国·高三专题练习）下列函数中，偶函数是（）A．𝑓(𝑥)=sin(π+𝑥)B．𝑓(𝑥)=cos(π2−𝑥)C．𝑓(𝑥)=tan(π−𝑥)D．𝑓(𝑥)=sin(π2+𝑥)【变式4-1】（2022·湖

北·高一阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=√2sin(𝑥+𝜋4+𝜑)是偶函数，则tan𝜑的值为（）A．−1B．1C．1或-1D．√22【变式4-2】（2023·北京市高三期中）函数f（x）的图象是中心对称图形，如果它的一

个对称中心是（𝜋2，0），那么f（x）的解析式可以是（）A．sinxB．cosxC．sin𝑥+1D．cos𝑥+1【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）设函数𝑓(𝑥)=2cos(2𝑥+𝜑)的图

象关于点(5π6,0)中心对称，则|𝜑|的最小值为（）A．7π6B．5π6C．π3D．𝜋6【题型5三角函数的周期性】【方法点拨】证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法：(1)定义法：即对定义

域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周期函数且T是它的一个周期.(2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解.(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可.【例5】在函数𝑦=sin2𝑥,𝑦=sin𝑥,�

�=cos𝑥,𝑦=tan𝑥2中，最小正周期为π的函数是（）A．𝑦=sin2𝑥B．𝑦=sin𝑥C．𝑦=cos𝑥D．𝑦=tan𝑥2【变式5-1】（2022·河南安阳·高三期中（文））已知函数𝑓(�

�)=sin(𝜔𝑥−𝜋3)(𝜔>0)的最小正周期为𝜋，则（）A．𝑓(2)<𝑓(0)<𝑓(−2)B．𝑓(0)<𝑓(−2)<𝑓(2)C．𝑓(−2)<𝑓(0)<𝑓(2)D．𝑓(0)<𝑓(2)<𝑓(−2)【变式5-2】（20

20·福建省高三阶段练习）给出下列函数：①𝑦=cos|2𝑥|；②𝑦=|cos𝑥|；③𝑦=cos(2𝑥+π6)；④𝑦=tan(2𝑥−π4)．其中最小正周期为π的有（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③【变式5-3】（20

22·河南省高一阶段练习）下列四个函数中，在区间(𝜋2,𝜋)上单调递增，且最小正周期为𝜋的是（）A．𝑦=−sin2𝑥B．𝑦=|cos𝑥|C．𝑦=|sin𝑥|D．𝑦=sin𝑥2【题

型6三角函数的图象与性质的综合应用】【方法点拨】解决正(余)弦型函数的图象与性质的综合应用问题的思路：1.熟练掌握函数或的图象，利用基本函数法得到相应的函数性质，然后利用性质解题.2.直接作出函数图象，利用图

象形象直观地分析并解决问题.【例6】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=2sin(𝜋6+𝜔𝑥)(𝜔<0)的最小正周期𝜋．(1)求函数𝑓(𝑥)单调递增区间；(2)若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚在[0,𝜋2]上有零点，求实数𝑚的取值范围．【变式6-1】（2

022·湖南·高二阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)（𝜔>0，|𝜑|<π2）的图象关于直线𝑥=π4对称：(1)若𝑓(𝑥)的最小正周期为2π，求𝑓(𝑥)的解析式；(2)若𝑥=−π4是𝑓(𝑥)

的零点，是否存在实数𝜔，使得𝑓(𝑥)在(7π18,5π9)上单调？若存在，求出𝜔的取值集合；若不存在，请说明理由.【变式6-2】（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0,|𝜑|≤𝜋2)

的图象经过点(−𝜋4,0).(1)若𝑓(𝑥)的最小正周期为2𝜋，求𝑓(𝑥)的解析式；(2)若∀𝑥∈R，𝑓(𝑥+𝜋4)=𝑓(𝜋4−𝑥)，是否存在实数𝜔，使得𝑓(𝑥)在(7𝜋18,5𝜋9)上单调？若存在，求出𝜔的取值集合；若不存在，请说明理由.

【变式6-3】（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=𝐴cos(𝜔𝑥+𝜑)+3(𝐴>0,𝜔>0,0<𝜑<π)的最小值为1，最小正周期为π，且𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=π3对称.(1

)求𝑓(𝑥)的解析式；(2)将曲线𝑦=𝑓(𝑥)向左平移π12个单位长度，得到曲线𝑦=𝑔(𝑥)，求曲线𝑦=𝑔(𝑥)的对称中心的坐标.