【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题5.7 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲 Word版含解析.docx，共(18)页，1.483 MB，由小赞的店铺上传

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专题5.7三角函数的图象与性质-重难点题型精讲1．正弦函数与余弦函数的图象(1)正弦函数的图象①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.②五点法观察图，在函数y=,x∈[0,2π

]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起

来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.(2)余弦函数的图象①图象变换法作余弦函数的图象由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平

移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.②五点法作余弦函数的图象类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先

描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.(3)正弦曲线、余弦曲线正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的

“波浪起伏”的连续光滑曲线.2．正弦函数与余弦函数的性质(1)周期函数①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.②最小正周期：如果在周期函数f

(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函数与余弦函数的性质正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：3．正弦型函数及余弦型函数的性质函数和的性质4．正切函数的性质与图象(

1)正切函数的图象及性质(2)三点两线法作正切曲线的简图类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.

在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图.5．余切函数的图象及性质正切函数的图象及性质：=，即将的图象先向右平移个单位长度，再以x轴为对称轴上下翻折，可得的图象.余切函数的图象与性质如下表：【题型1正、余弦函数图象的应用】【方法点拨

】正、余弦函数图象的应用主要有：函数图象的识别问题、解三角不等式、利用图象解决与函数零点或图象交点个数有关的问题；需要结合具体条件，根据正、余弦函数的图象及性质进行求解.【例1】（2022·上海高一期中）函数𝑦=10sin𝑥与函数𝑦=𝑥的图像的交点个数是（）A．3B．6C．7

D．9【解题思路】作出函数𝑦=10sin𝑥和𝑦=𝑥的图象，由图象可得交点个数，【解答过程】𝑦=10sin𝑥的最小正周期是2𝜋，𝑦=10sin𝑥∈[−10,10]，𝑦=𝑥∈[−10,10]时，𝑥∈[−10,10]，作出函数𝑦=10sin𝑥和𝑦=𝑥

的图象，只要观察𝑥∈[−10,10]的图象，由图象知它们有7个交点，故选：C．【变式1-1】（2022·湖南·高三开学考试）与图中曲线对应的函数可能是（）A．𝑦=|sin𝑥|B．𝑦=sin|𝑥|C．𝑦=−|sin𝑥|D．𝑦=−sin|𝑥|【解题思路】判断各选项中函数在区

间(0,𝜋)或(𝜋,2𝜋)上的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项.【解答过程】对于A选项，当0<𝑥<𝜋时，𝑦=|sin𝑥|>0，A选项不满足条件；对于B选项，当0<𝑥<𝜋时，0<

|𝑥|<𝜋，𝑦=sin|𝑥|>0，B选项不满足条件；对于C选项，当𝜋<𝑥<2𝜋时，𝑦=−|sin𝑥|<0，C选项不满足条件；对于D选项，令𝑓(𝑥)=−sin|𝑥|，该函数的定义域

为𝑅，𝑓(−𝑥)=−sin|−𝑥|=−sin|𝑥|=𝑓(𝑥)，故函数𝑦=−sin|𝑥|为偶函数，当0<𝑥<𝜋时，𝑓(𝑥)=−sin|𝑥|<0，D选项满足条件.故选：D.【变式1-2】（2021·江苏·高一课时练习）从函数𝑦=co

s𝑥,𝑥∈[0,2𝜋)的图象来看，当𝑥∈[0,2𝜋)时，对于cos𝑥=−√32的x有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解题思路】画出𝑦=cos𝑥,𝑥∈[0,2𝜋)和𝑦=−√32的图象，看它们有几个交点即可.【解答过程】先画出�

�(𝑥)=cos𝑥，𝑥∈[0,2𝜋)的图象，即A与D之间的部分，再画出𝑔(𝑥)=−√32的图象，如下图：由图象可知它们有2个交点B、C，所以当𝑥∈[0,2𝜋)时，cos𝑥=−√32的x的值有2个.故选：C.【变式1-3】（2021·全国·高一专题练习）在𝑥∈(

0,2𝜋)上，满足cos𝑥>sin𝑥的𝑥的取值范围（）A．(𝜋4,5𝜋4)B．(0,𝜋4)C．(0,𝜋4)∪(5𝜋4,2𝜋)D．(5𝜋4,2𝜋)【解题思路】作出𝑦=sin𝑥和𝑦=cos𝑥在𝑥∈(0,2𝜋)的函数图象，数形结合即可求出.【解答过程】作出𝑦

=sin𝑥和𝑦=cos𝑥在𝑥∈(0,2𝜋)的函数图象，根据函数图象可得满足cos𝑥>sin𝑥的𝑥的取值范围为(0,𝜋4)∪(5𝜋4,2𝜋).故选：C.【题型2定义域、值域与最值问题】【方法点拨】求与三角函数有关的函数的值域(或最

值)的常用方法有：(1)借助正弦函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性.【例2】（2022·全国·高一课时练习）函数�

�(𝑥)=sin(2𝑥+𝜋6)，𝑥∈[0,𝜋2]的最大值和最小值分别为（）A．1，-1B．12，−12C．1，12D．1，−12【解题思路】利用正弦型函数的性质求区间最值即可.【解答过程】由题设，2𝑥+𝜋6∈[𝜋6,7𝜋6]，故𝑓(𝑥)=sin(2𝑥

+𝜋6)∈[−12,1]，所以𝑓(𝑥)最大值和最小值分别为1，−12.故选：D.【变式2-1】（2022·甘肃·高二开学考试）函数𝑓(𝑥)=tan(𝑥+π4)的定义域为（）A．{𝑥|𝑥≠𝑘π+π4,𝑘∈𝑍}B．{𝑥|𝑥≠2𝑘π+π

4,𝑘∈𝑍}C．{𝑥|𝑥≠𝑘π−π4,𝑘∈𝑍}D．{𝑥|𝑥≠𝑘π,𝑘∈𝑍}【解题思路】根据正切函数的定义域可得结果.【解答过程】因为𝑥+π4≠𝑘π+π2,𝑘∈𝑍，所以𝑥≠𝑘π+π4,𝑘∈𝑍.故𝑓(𝑥)的定义域为{𝑥|𝑥≠𝑘π+π4

,𝑘∈𝑍}.故选：A.【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+π3)在(−π3,π3)上的值域为（）A．(0,1]B．(−√32,0)C．(−√32,1]D．[−1,1

]【解题思路】根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.【解答过程】当𝑥∈(−π3,π3)时，2𝑥+π3∈(−π3,π)，当2𝑥+π3=π2时，即𝑥=π12时，𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+π3)取最大值1，当2𝑥+π3=−π3，即𝑥=−π3时，𝑓(𝑥

)=sin(2𝑥+π3)取最小值大于−√32，故值域为(−√32,1]故选：C.【变式2-3】（2022·湖南高三阶段练习）奇函数𝑓(𝑥)=cos(𝜔𝑥+𝜑),(𝜔>0,𝜑∈(0,𝜋))在区间[−𝜋3,𝜋4]

上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则𝜔的取值范围是（）A．[2,6)B．[2,92)C．[32,92)D．[32,6)【解题思路】由𝑓(𝑥)为奇函数且𝜑∈(0,𝜋)得𝜑=𝜋2，由已知有𝜔𝑥∈[−𝜔𝜋3,𝜔𝜋4]，根据正弦型函数的性质及最值分布列不等式组，求参数范

围.【解答过程】由𝑓(𝑥)为奇函数，则𝜑=𝑘𝜋+𝜋2，𝑘∈Z，又𝜑∈(0,𝜋)，故𝜑=𝜋2，所以𝑓(𝑥)=−sin𝜔𝑥，在𝑥∈[−𝜋3,𝜋4]，则𝜔𝑥∈[−𝜔𝜋3,𝜔𝜋4]，𝜔>0，当0<

𝜔𝜋4<𝜋2，则−5𝜋2<−𝜔𝜋3≤−3𝜋2，故𝜔无解；当𝜋2≤𝜔𝜋4<3𝜋2，则−3𝜋2<−𝜔𝜋3≤−𝜋2，可得2≤𝜔<92；当−𝜋2<−𝜔𝜋3<0，则3𝜋2≤𝜔𝜋4<5𝜋2，无解.综上，𝜔的取值范围是[2,

92).故选：B.【题型3单调性问题】【方法点拨】单调性问题主要有：函数的单调区间的求解、比较函数值的大小；结合具体条件，根据三角函数的图象与性质进行求解即可.【例3】（2022·广东广州·高二期中）下列区间中，函数𝑓(𝑥)=2sin(3𝑥−π6)单调递减的是（）A．(

π,10π9)B．(2π3,π)C．(2π9,2π3)D．(π9,π2)【解题思路】利用代入检验的方式，分别得到3𝑥−π6的范围，结合正弦函数的单调性可得结论.【解答过程】对于A，当𝑥∈(π,10π9)时，3𝑥−π6∈(17π6,19π6)，此时𝑓

(𝑥)单调递减，A正确；对于B，当𝑥∈(2π3,π)时，3𝑥−π6∈(11π6,17π6)，此时𝑓(𝑥)先增后减，B错误；对于C，当𝑥∈(2π9,2π3)时，3𝑥−π6∈(π2,11π6)，此时𝑓(𝑥)先减后增，C错误；对于

D，当𝑥∈(π9,π2)时，3𝑥−π6∈(π6,4π3)，此时𝑓(𝑥)先增后减，D错误.故选：A.【变式3-1】（2022·内蒙古·高三阶段练习（文））已知函数𝑓(𝑥)=1+2sin𝜔𝑥(𝜔>

0)，若𝑓(𝑥)在(π6,π4)上为增函数，则𝜔的取值范围为（）A．(0,12]B．(0,2]C．[9,10]D．(0,2]∪[9,10]【解题思路】由2𝑘𝜋−𝜋2≤𝜔𝑥≤2𝑘𝜋+𝜋2(𝑘∈Z)可得2𝑘𝜋𝜔−𝜋2𝜔≤𝑥≤2𝑘𝜋𝜔+𝜋2𝜔(𝑘∈Z)

，然后结合条件可建立不等式求得12𝑘−3≤𝜔≤8𝑘+2，然后可分析出答案.【解答过程】令2𝑘𝜋−𝜋2≤𝜔𝑥≤2𝑘𝜋+𝜋2(𝑘∈Z)，整理得2𝑘𝜋𝜔−𝜋2𝜔≤𝑥≤2𝑘𝜋𝜔+𝜋2𝜔(𝑘∈Z)，故{2𝑘π𝜔−π2𝜔≤π

62𝑘π𝜔+π2𝜔≥π4，解得12𝑘−3≤𝜔≤8𝑘+2，𝑘∈Z，∵𝜔>0，∴k＝0时，0<𝜔≤2；k＝1时，9≤𝜔≤10；𝑘≥2时，∵12𝑘−3>8𝑘+2，故𝑘≥2不符合题意．综上所述，𝜔∈(0,2]∪[9,10]．故

选：D．【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）函数𝑓(𝑥)=tan(π2𝑥+π4)的单调递增区间为（）A．(2𝑘−32,2𝑘+12)，𝑘∈ZB．(4𝑘−32,4𝑘+12)，𝑘∈ZC．(𝑘−32,𝑘+12)，𝑘∈ZD．(2𝑘−52,2𝑘+32)，𝑘∈Z【

解题思路】利用正切函数的单调递增区间，可令−π2+𝑘π<π2𝑥+π4<𝑘π+π2，求得x的范围，即得答案.【解答过程】根据正切函数的单调性可得，欲求𝑓(𝑥)=tan(π2𝑥+π4)的单调增区间，令−π2+𝑘π<π2𝑥+π4<𝑘π+π2，𝑘∈Z，解得−32+2𝑘<𝑥<

2𝑘+12，𝑘∈Z，所以函数𝑓(𝑥)的单调递增区间为(2𝑘−32,2𝑘+12)，𝑘∈Z，故选：A.【变式3-3】（2022·广西南宁·高三阶段练习（文））若函数𝑓(𝑥)=√2cos(𝜔𝑥+𝜋4)(𝜔>0)在(𝜋2,3𝜋4)上单调

递减，则ω的最大值为（）A．1B．114C．113D．4【解题思路】根据题意得3𝜋4-𝜋2=𝜋4≤12𝑇=𝜋𝜔，即0<𝜔≤4，再根据𝜔𝑥+𝜋4∈(𝜋2𝜔+𝜋4,3𝜋4𝜔+𝜋4)，𝑦=cos𝑥的单调递减区间为[2𝑘𝜋,𝜋+2𝑘𝜋],𝑘∈𝑍得{𝜋2

𝜔+𝜋4≥2𝑘𝜋3𝜋4𝜔+𝜋4≤𝜋+2𝑘𝜋，解得-12+4𝑘≤𝜔≤1+83𝑘,𝑘∈𝑍，进而得当𝑘=1时，72≤𝜔≤113即可得答案.【解答过程】因为函数𝑓(𝑥)=2cos(𝜔𝑥+𝜋4)(𝜔>0)在(𝜋2,3𝜋4)上单调递减，所

以3𝜋4-𝜋2=𝜋4≤12𝑇=𝜋𝜔，所以0<𝜔≤4.所以𝑥∈(𝜋2,3𝜋4),𝜔𝑥+𝜋4∈(𝜋2𝜔+𝜋4,3𝜋4𝜔+𝜋4)因为𝑦=cos𝑥的单调递减区间为[2𝑘𝜋,𝜋+2𝑘𝜋],𝑘∈𝑍，所以{𝜋2𝜔+𝜋4≥2�

�𝜋3𝜋4𝜔+𝜋4≤𝜋+2𝑘𝜋，解得-12+4𝑘≤𝜔≤1+83𝑘,𝑘∈𝑍，由于-12+4𝑘≤1+83𝑘,𝑘∈𝑍，故𝑘≤98,𝑘∈𝑍.所以当𝑘=1时，得𝜔的最大区间：72≤𝜔≤113.故𝜔

的最大值是113.故选：C.【题型4奇偶性与对称性问题】【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性和对称性相关知识，结合具体题目，灵活求解.【例4】（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，偶函数是（）A．𝑓(𝑥)=sin(π+𝑥)B．𝑓(𝑥)=cos(π2−𝑥)C．𝑓(�

�)=tan(π−𝑥)D．𝑓(𝑥)=sin(π2+𝑥)【解题思路】根据诱导公式化简函数解析式，再根据正弦、余弦、正切函数的奇偶性可得答案.【解答过程】对于A，𝑓(𝑥)=sin(π+𝑥)=−sin𝑥为奇函数，

故A不正确；对于B，𝑓(𝑥)=cos(π2−𝑥)=sin𝑥为奇函数，故B不正确；对于C，𝑓(𝑥)=tan(π−𝑥)=−tan𝑥为奇函数，故C不正确；对于D，𝑓(𝑥)=sin(π2+𝑥)=cos𝑥为偶函数，故D正确.

故选：D.【变式4-1】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=√2sin(𝑥+𝜋4+𝜑)是偶函数，则tan𝜑的值为（）A．−1B．1C．1或-1D．√22【解题思路】由函数为偶函数得到π4+𝜑=π2+𝑘π，求出𝜑的值，代入后用诱导公式即可得到结

果.【解答过程】由函数𝑓(𝑥)=√2sin(𝑥+π4+𝜑)得，π4+𝜑=π2+𝑘π，𝜑=π4+𝑘π，其中𝑘∈Z，tan𝜑=tan(π4+𝑘π)=tanπ4=1.故选：B.【变式4-2】（2023·北京市高三期中）函数f（x）的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是（𝜋

2，0），那么f（x）的解析式可以是（）A．sinxB．cosxC．sin𝑥+1D．cos𝑥+1【解题思路】判断各选项中函数是否有对称中心(𝜋2,0)即可得．【解答过程】四个选项中函数都是连续函数，𝑥=𝜋2代入函数式，只有B选项函数值

为0，其他三个均不为0，由余弦函数性质知，B正确．故选：B．【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）设函数𝑓(𝑥)=2cos(2𝑥+𝜑)的图象关于点(5π6,0)中心对称，则|𝜑|的最小值为（）A．7π6B．5π6C．π3D．𝜋6【解题思路】利用(5π6,0)为对称

中心，列出方程，求出|𝜑|=|−7π6+𝑘π|，𝑘∈Z，求出|𝜑|的最小值.【解答过程】由题意得：2×5π6+𝜑=π2+𝑘π，𝑘∈Z，解得：𝜑=−7π6+𝑘π，𝑘∈Z，所以|𝜑|=|−7π6+𝑘π|，𝑘∈Z，当𝑘=1时，|𝜑

|取得最小值为𝜋6.故选：D.【题型5三角函数的周期性】【方法点拨】证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法：(1)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周期函数且T是它的一个周期.(2)公式法：利用三角函数的周期公式

来求解.(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可.【例5】在函数𝑦=sin2𝑥,𝑦=sin𝑥,𝑦=cos𝑥,𝑦=tan𝑥2中，最小正周期为π的函数是（）A．𝑦=sin2𝑥B．𝑦=sin𝑥C．𝑦=cos𝑥D．𝑦=tan𝑥

2【解题思路】根据正余弦、正切函数的性质求各函数的最小正周期即可.【解答过程】由正弦函数性质，𝑦=sin2𝑥的最小正周期为2π2=π，𝑦=sin𝑥的最小正周期为2π；由余弦函数性质，𝑦=cos𝑥的最小正周期为2π；由正切函

数性质，𝑦=tan𝑥2的最小正周期为π12=2π.综上，最小正周期为π的函数是𝑦=sin2𝑥.故选：A.【变式5-1】（2022·河南安阳·高三期中（文））已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥−𝜋3)(𝜔>0)

的最小正周期为𝜋，则（）A．𝑓(2)<𝑓(0)<𝑓(−2)B．𝑓(0)<𝑓(−2)<𝑓(2)C．𝑓(−2)<𝑓(0)<𝑓(2)D．𝑓(0)<𝑓(2)<𝑓(−2)【解题思路】由周期性得𝜔，再由

对称性与单调性判断，【解答过程】因为𝑓(𝑥)的最小正周期为𝜋，所以𝜔=2，令2𝑥−𝜋3∈[−𝜋2,𝜋2]得𝑥∈[−𝜋12,5𝜋12]，即𝑓(𝑥)在[−𝜋12,5𝜋12]上单调递增，同理得在[5𝜋12,11𝜋12]上单调递减，−𝜋12<0<−2+𝜋<

5𝜋12<2<11𝜋12而|−2+𝜋−5𝜋12|=24−7𝜋12，|2−5𝜋12|=24−5𝜋12，5𝜋12>24−5𝜋12>24−7𝜋12，由三角函数性质得𝑓(0)<𝑓(2)<𝑓(−2+𝜋)=

𝑓(−2)故选：D.【变式5-2】（2020·福建省高三阶段练习）给出下列函数：①𝑦=cos|2𝑥|；②𝑦=|cos𝑥|；③𝑦=cos(2𝑥+π6)；④𝑦=tan(2𝑥−π4)．其中最小正周期为π的有（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③【解题思路】结合函数周期的定义

以及三角函数的图像与性质即可.【解答过程】对于①，𝑦=cos|2𝑥|=cos2𝑥，其最小正周期为π;对于②，结合图象，知𝑦=|cos𝑥|的最小正周期为π．对于③，𝑦=cos(2𝑥+π6)的最小正周期𝑇=2π2=π．对于④，𝑦=tan(

2𝑥−π4)的最小正周期𝑇=π2．故选：A．【变式5-3】（2022·河南省高一阶段练习）下列四个函数中，在区间(𝜋2,𝜋)上单调递增，且最小正周期为𝜋的是（）A．𝑦=−sin2𝑥B．𝑦=|cos𝑥|C．𝑦=|sin𝑥|D．𝑦=sin𝑥2【解题思路】根据正

弦、余弦函数的性质计算可得；【解答过程】解：𝑦=−sin2𝑥在区间(𝜋2,𝜋)上不单调，A不符合题意.𝑦=|cos𝑥|在区间(𝜋2,𝜋)上单调递增，且最小正周期为𝜋，B符合题意.𝑦=|sin𝑥|在区间(𝜋2,𝜋)上单调递减，C不符合题意.𝑦=si

n𝑥2的最小正周期为4𝜋，D不符合题意.故选：B.【题型6三角函数的图象与性质的综合应用】【方法点拨】解决正(余)弦型函数的图象与性质的综合应用问题的思路：1.熟练掌握函数或的图象，利用基本函数法得到相应的函数性质，

然后利用性质解题.2.直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析并解决问题.【例6】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=2sin(𝜋6+𝜔𝑥)(𝜔<0)的最小正周期𝜋．(1)求函数𝑓(𝑥)单调递增区间；(2)若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚在[0,�

�2]上有零点，求实数𝑚的取值范围．【解题思路】（1）由最小正周期求得𝜔，函数式化简后由正弦函数的单调性求得结论；（2）转化为求𝑓(𝑥)在[0,𝜋2]上的值域．【解答过程】（1）因为函数𝑓(𝑥)=2sin(𝜋6+𝜔𝑥

)(𝜔<0)的最小正周期𝜋，所以𝑇=2𝜋|𝜔|=𝜋，由于𝜔<0，所以𝜔=−2．所以𝑓(𝑥)=2sin(𝜋6−2𝑥)=−2sin(2𝑥−𝜋6)，所以函数𝑓(𝑥)单调递增区间，只需求函数𝑦=2sin(2𝑥−𝜋6)的单调递减区间，令𝜋2+2𝑘𝜋⩽2

𝑥−𝜋6⩽3𝜋2+2𝑘𝜋,𝑘∈Z，解得𝜋3+𝑘𝜋≤𝑥≤5𝜋6+𝑘𝜋,𝑘∈Z，所以函数𝑓(𝑥)单调递增区间为[𝜋3+𝑘𝜋,5𝜋6+𝑘𝜋],𝑘∈Z．（2）因为函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥

)−𝑚在[0,𝜋2]上有零点，所以函数𝑦=𝑓(𝑥)的图像与直线𝑦=𝑚在[0,𝜋2]上有交点，因为𝑥∈[0,𝜋2],2𝑥−𝜋6∈[−𝜋6,5𝜋6]，故函数𝑓(𝑥)在区间[0,𝜋2]上的值域为[−2,1]所以当𝑚∈[−2,1]时，函数𝑦=𝑓(𝑥)的图像与

直线𝑦=𝑚在[0,𝜋2]上有交点，所以当𝑚∈[−2,1]时，函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚在[0,𝜋2]上有零点．【变式6-1】（2022·湖南·高二阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+

𝜑)（𝜔>0，|𝜑|<π2）的图象关于直线𝑥=π4对称：(1)若𝑓(𝑥)的最小正周期为2π，求𝑓(𝑥)的解析式；(2)若𝑥=−π4是𝑓(𝑥)的零点，是否存在实数𝜔，使得𝑓(𝑥)在(7π18,5π9)上单调？若存在

，求出𝜔的取值集合；若不存在，请说明理由.【解题思路】（1）由题意，利用正弦函数的周期性和对称性，求出𝜔和𝜑，可得函数的解析式；（2）由题意，利用正弦函数的对称性、单调性，求出𝜔的取值集合.【解答过程】（1）

∵函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)，(𝜔>0,|𝜑|<π2)的图象关于直线𝑥=π4对称，最小正周期为2π，∴2π𝜔=2π，𝜔×π4+𝜑=𝑘π+π2，𝑘∈Z，求得𝜔=1，𝜑=π4，函数𝑓(𝑥)=sin(𝑥+π4)

.（2）若𝑥=−π4是𝑓(𝑥)的零点，由于𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=π4对称，则π4−(−π4)=(2𝑛+1)×(14×2π𝜔)，𝑛∈Z①，根据𝑓(𝑥)在(7π18,5π9)上单调，有12×2π𝜔≥5π9−7π18②，由②可得𝜔≤6

，由①可得𝜔=2𝑛+1，所以𝜔=1,3,5，故𝜔的取值集合为：{1,3,5}.【变式6-2】（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0,|𝜑|≤𝜋2)的图象经过点(−𝜋4,0)

.(1)若𝑓(𝑥)的最小正周期为2𝜋，求𝑓(𝑥)的解析式；(2)若∀𝑥∈R，𝑓(𝑥+𝜋4)=𝑓(𝜋4−𝑥)，是否存在实数𝜔，使得𝑓(𝑥)在(7𝜋18,5𝜋9)上单调？若存在，求出𝜔的取值集合；若不存在，请说明理由.

【解题思路】（1）根据最小正周期为2𝜋得到𝜔，再根据𝑓(𝑥)的图象过点(−𝜋4,0)，得到𝜑，即可得到𝑓(𝑥)的解析式；（2）根据𝑓(𝑥+𝜋4)=𝑓(𝜋4−𝑥)得到𝑥=𝜋4是𝑓(𝑥)的一条对称轴，代入得到𝜋4𝜔+

𝜑=𝑘2𝜋+𝜋2，𝑘2∈Z，再根据𝑓(𝑥)的图象过点(−𝜋4,0)得到−𝜋4𝜔+𝜑=𝑘1𝜋，𝑘1∈Z，联立得到𝜔=2𝑛+1(𝑛∈𝑁)，根据𝑓(𝑥)在(7𝜋18,5𝜋9)上单调得到𝜔≤6，最后验

证𝑓(𝑥)在(7𝜋18,5𝜋9)上是否单调即可得到𝜔的取值集合.【解答过程】（1）因为𝑓(𝑥)的最小正周期为2𝜋，所以2𝜋|𝜔|=2𝜋.因为𝜔>0，所以𝜔=1.因为𝑓(𝑥)的图象经过点(−�

�4,0)，所以−𝜋4+𝜑=𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，即𝜑=𝑘𝜋+𝜋4，𝑘∈𝑍.因为|𝜑|≤𝜋2，所以𝜑=𝜋4.故𝑓(𝑥)=sin(𝑥+𝜋4).（2）因为∀𝑥∈𝑅，𝑓(𝑥+𝜋4)=𝑓(𝜋4−𝑥)，所以直线𝑥=

𝜋4为𝑓(𝑥)图象的对称轴，又𝑓(𝑥)的图象经过点(−𝜋4,0).所以−𝜋4𝜔+𝜑=𝑘1𝜋①，𝜋4𝜔+𝜑=𝑘2𝜋+𝜋2②，𝑘1,𝑘2∈𝑍.②-①得𝜋2𝜔=(𝑘2−𝑘1)𝜋+𝜋2，所以𝜔=2(𝑘2−𝑘

1)+1因为𝑘1,𝑘2∈𝑍，𝜔>0，所以𝜔=2𝑛+1(𝑛∈𝑁)，即𝜔为正奇数.因为𝑓(𝑥)在(7𝜋18,5𝜋9)上单调，所以5𝜋9−7𝜋18=𝜋6≤𝑇2，即𝑇=2𝜋𝜔≥𝜋3，解得𝜔≤6.当𝜔=5时，−5𝜋4+𝜑=𝑘𝜋，

𝑘∈𝑍.因为|𝜑|≤𝜋2，所以𝜑=𝜋4，此时𝑓(𝑥)=sin(5𝑥+𝜋4).令𝑡=5𝑥+𝜋4∈(79𝜋36,109𝜋36)，𝑔(𝑡)=sin𝑡.𝑔(𝑡)在(79𝜋36,5𝜋2)上单调递增，在(5𝜋2,109𝜋36)上单调递减，故𝑓(𝑥)

在(7𝜋18,5𝜋9)上不单调，不符合题意；当𝜔=3时，−3𝜋4+𝜑=𝑘𝜋，𝑘∈𝑍.因为|𝜑|≤𝜋2，所以𝜑=−𝜋4，此时𝑓(𝑥)=sin(3𝑥−𝜋4).令𝑡=3𝑥−𝜋4∈(11𝜋12,17𝜋12)，𝑔(𝑡)=si

n𝑡.𝑔(𝑡)在(11𝜋12,17𝜋12)上单调递减，故𝑓(𝑥)在(7𝜋18,5𝜋9)上单调，符合题意；当𝜔=1时，−𝜋4+𝜑=𝑘𝜋，𝑘∈𝑍.因为|𝜑|≤𝜋2，所以𝜑=𝜋4

，此时𝑓(𝑥)=sin(𝑥+𝜋4).令𝑡=𝑥+𝜋4∈(23𝜋36,29𝜋36)，𝑔(𝑡)=sin𝑡.𝑔(𝑡)在(23𝜋36,29𝜋36)上单调递减，故𝑓(𝑥)在(7𝜋18,5𝜋9)上单调，符合题意，综上，存在实数𝜔，使得𝑓(𝑥)在(7𝜋18

,5𝜋9)上单调，且𝜔的取值集合为{1,3}.【变式6-3】（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=𝐴cos(𝜔𝑥+𝜑)+3(𝐴>0,𝜔>0,0<𝜑<π)的最小值为1，最小正周期为π，且𝑓(𝑥)的图象关于直线

𝑥=π3对称.(1)求𝑓(𝑥)的解析式；(2)将曲线𝑦=𝑓(𝑥)向左平移π12个单位长度，得到曲线𝑦=𝑔(𝑥)，求曲线𝑦=𝑔(𝑥)的对称中心的坐标.【解题思路】（1）根据函数的最小值及最小正周期，求出𝜔=�

�=2，再根据函数图象关于𝑥=π3对称，结合0<𝜑<π，求出𝜑=π3，从而求出函数解析式；（2）先求出平移后的解析式，再用整体法求解对称中心.【解答过程】（1）依题意可得{3−𝐴=12π𝜔=π

解得𝜔=𝐴=2，则𝑓(𝑥)=2cos(2𝑥+𝜑)+3，因为𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=π3对称，所以2×π3+𝜑=𝑘π(𝑘∈𝑍)，又0<𝜑<π，所以𝜑=π3.故𝑓(𝑥)=2cos(2𝑥+π3)+3.（2

）依题意可得𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥+π12)=2cos(2𝑥+π3+π6)+3=−2sin2𝑥+3，令2𝑥=𝑘π(𝑘∈𝑍)，得𝑥=𝑘π2(𝑘∈𝑍)，故曲线𝑦=𝑔(𝑥)的对称中心的坐标为(𝑘π2,3)(𝑘∈𝑍).