【文档说明】陕西省延安市第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(19)页，4.740 MB，由小赞的店铺上传

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2021—2022学年度第二学期期末高一年级数学试题（全卷150分；时间120分钟）本试卷分为第一卷和第二卷两部分第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1

.cos66cos6sin66sin6+=（）A.12B.13C.15D.16【答案】A【解析】【分析】根据两角差的余弦公式可求出结果.【详解】cos66cos6sin66sin6+=1cos(666)cos602−==.故选：A2.已知向量()1,1a

=，()2,3b=−，那么2ab−=（）A.5B.52C.8D.74【答案】B【解析】【分析】根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.【详解】因为向量()1,1a=，()2,3b=−，所以()25

,5ab−=−()2225552ab−=+−=.故选：B.3.要得到函数sin2yx=的图象，只需将函数2πsin23yx=+的图象（）A.向右平移π3个单位长度B.向左平移π3个单位长度C.向右平移2π3个单位长度D.向左平移2π3

个单位长度【答案】A【解析】【分析】结合三角函数图象的平移变换规律，可得出答案.【详解】由题意，函数2πsin23yx=+的图象向右平移π3个单位长度，得到π2πsin2sin233yxx=−+=的图象

.故选：A.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，属于基础题.4.若1sin()63+=，则cos3−=（）A.13−B.223C.13D.223−【答案】C【解析】【分析】运用整体代换的思想，找出已知角与所求角之间的关系，根据诱导公式即可求解.【

详解】1coscos+cos+sin(+=3622663−=−=−=）.故选：C.5.如图，在ABC中，13ADDC=，P是线段BD上一点，若15APmABAC=+，则实数m的值为（）A.13B.23C.2D.15【答

案】D【解析】【分析】由13ADDC=可得4ACAD=，代入到15APmABAC=+中可得54APmABAD=+，利用三点共线即可求得答案.【详解】由13ADDC=可得：14ADAC=，即4ACAD=，故1554APmABACmABAD=+=+,

因为B,P,D三点共线，所以411,55mm+==，故选：D6.执行如图的程序框图，输出的S值是（）A.32−B.32C.0D.3【答案】B【解析】【分析】直接按照程序框图运行程序，找到函数的周期，即可求出输出值.【详解】当10nS==，

时，3sin32S==；执行第一次循环可得2n=，32sin323S=+=；执行第二次循环可得3n=，3sin3S=+=；执行第三次循环可得4n=，433sin32S=+=；执行第四次循环可得5

n=，35sin023S=+=；执行第五次循环可得6n=，6sin03S==；执行第六次循环可得7n=，73sin32S==；归纳可知，其周期为6，所以2014432SS==.所以输出32S=.故选：B.7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若2a=，23b=，3

0A=，则B等于（）A.60B.120C.60或120D.60或135【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理求解即可【详解】由正弦定理，sinsinabAB=，故123sin32sin22bABa===，因为()0,B，故60B=或120故选：C8.在ABC中，s

insinsinbCAacB+=−，则ABC是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理实现角化边，再整理条件可得222bca+=，从而ABC为直角三角形.【详解】在ABC中，由正弦定理得，sinsinsinCAcaBb++

=，又sinsinsinbCAacB+=−，所以bcaacb+=−，整理得222bca+=.所以ABC为直角三角形.故选：C.9.已知圆22:3Cxy+=，在圆内随机取一点P，以点P为中点作弦AB，则弦长22AB的概率为（）A.13B.23C.29D.49【答案】B【解析】【

分析】根据几何概型的概率公式可得答案.【详解】当22AB=时，此时1CP=，若22AB，则点P必须位于以点C为圆心，半径为1和半径为3的圆环内，所以弦长22AB的概率为()()222π3π123π3P−==，故选：B．10.在ABC中，3,4,90ACBCC===

．P为ABC所在平面内的动点，且1PC=，则PAPB的取值范围是（）A.[5,3]−B.[3,5]−C.[6,4]−D.[4,6]−【答案】D【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos,sinPθθ，表示出P

A，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C，()3,0A，()0,4B，因为1PC=，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos,sinPθθ，0,2，所以()3

cos,sinPA=−−，()cos,4sinPB=−−，所以()()()()cos3cos4sinsinPAPB=−−+−−22cos3cos4sinsin=−−+13cos4sin=−−()15sin=−+，其中3sin5=，4c

os5=，因为()1sin1−+，所以()415sin6−−+，即4,6PAPB−；故选：D11.将函数()sin3cosyxxxR=+的图像向右平移(0)mm个长度单位后，所得到的图像关于y轴

对称，则m的最小值是（）A.12B.6C.3D.56【答案】D【解析】【分析】把函数整理成正弦型函数，利用平移以后关于y轴对称即可得到m的式子，根据范围即可确定m的具体值.【详解】πsin3cos=2sin()3yxxx=++，将图像向右平移m个单位长度后，变为

π2sin()3yxm=−+，此时图像关于y轴对称，所以当0x=时，πππ32mk−+=+，()kZ，则ππ6mk=−−.又0m，则m的最小值是56.故选：D.12.已知函数()()224sinsin2si

n024xfxxx=+−在区间2,23−上是增函数，且在区间0,上恰好取得一次最大值，则的取值范围是()A.(0,1B.30,4C.)1,+D.13

,24【答案】D【解析】【分析】由三角函数恒等变换化简()fx，可得[]22−，是函数含原点的递增区间，结合已知可得2[],2223−−，，可解得304＜，又函数在区间0,上恰好取得

一次最大值，根据正弦函数的性质可得02，进而求解.【详解】()224sinsin2sin24xfxxx=+−1cos()24sin2cos212xxx−+=+−2sin1sincos212sinxxxx=++−=（），[]22−，是函

数含原点的递增区间．又∵函数在2,23−上递增，2[],2223−−，，∴得不等式组{−𝜋2𝜔≤−𝜋22𝜋3≤𝜋2𝜔，得134，又∵3004＞，＜，又函数在区间0,上恰好取得一次最大值，根据正弦函

数的性质可知2Z2xkk=+，，即函数在2Z2kxk=+，处取得最大值，可得10,22综上，可得𝜔∈[12,34]故选：D.第II卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分）13.第24届冬季奥林匹克运动会（The

XXIVOlympicWinterGames），即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者，参与北京冬奥会高山

滑雪比赛项目的服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派__________人.【答案】10【解析】【分析】根据分层抽样原理求出抽取的人数．【详解】解：根据分层抽样原理知，502410504030=

++，所以在大一青年志愿者中应选派10人．故答案为：10．14.已知||1a=，||2b=，()0aba-?，则向量a与b的夹角为________．【答案】4【解析】【分析】设向量a与b的夹角为，由已知条件可得12cos0−=，从而可求出向量a与

b的夹角【详解】解：设向量a与b的夹角为，因为()0aba-?，||1a=，||2b=，所以20aba-?，即2cos0abaq-?，因为||1a=，||2b=，所以12cos0−=，即2cos2=，

因为[0,]，所以4=，故答案为：415.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是_______.【答案】45【解析】【分析】设被污损的数字的个位数为x，根据甲的平均成绩超过乙

的平均成绩可解得8x，即可求得概率.【详解】设被污损的数字的个位数为x，其中x为09中的一个，要使甲的平均成绩超过乙的平均成绩，则()88899091928383879099x+++++++++，解得8x，则x的可能取值为07的自然数，共8个，则甲的

平均成绩超过乙的平均成绩的概率是84105=.故答案为：45.16.已知数据1x，2x，…，9x的方差为5，则数据131x+，231x+，…，931x+的方差为___________.【答案】45【解析】【分析】根据线性变换前后方差的关系求得正

确结论.【详解】原数据的方差为5，则线性变换后的数据的方差为23545=.故答案为：45三、解答题（共70分）17.已知向量()()32,,1，=−=abx.（1）若()()22abab+⊥−，求实数x的值；（2）若()

()8,1,//=−−+cabc，求向量a与b的夹角.【答案】（1）6x=或32x=−（2）4=【解析】【分析】（1）由()()32,,1，=−=abx，得到2,2+−abab的坐标，再根据()()22abab+⊥−求解；（2）由(

)8,1c=−−，得到bc+rr的坐标，再由()//abc+求得x，再利用夹角公式求解.【小问1详解】解：已知()()32,,1，=−=abx，所以()()232,0,26,5+=+−=−abxabx又因为()()22abab+⊥−，所以()()220abab+−=rrrr，所以()()3260

50xx+−+=，解得6x=或32x=−.【小问2详解】因为()8,1c=−−，所以()8,2bcx+=−−又因为()//abc+，所以()()32280x−−−=，解得5x=，所以()5,1b=−...所以()222235212co

s2||||3251−===++−abab，因为0，所以4=18.已知函数()sin()0,0,||2fxAxA=+的部分图象，如图所示.（1）求函数()fx的解析式；（2）将函数()fx的图象向右平移3个单位长度，再将得到的图象

上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()gx的图象，当0,3x时，求函数()gx的值域.【答案】（1）()3sin23fxx=+（2）3,32−【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出A，由最

小正周期求出，并确定.（2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域.【小问1详解】解：根据函数()sin()0,0,||2fxAxA=+的部分图象可得3A=，1252632=−=，所以2=.再根据五点法作图可得23+=，

所以3=，()3sin23fxx=+.【小问2详解】将函数()fx的图象向右平移3个单位后，可得3sin23sin2333yxxx=−+=−的图象，再将得到的图象上各点的

横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()3sin43gxx=−的图象.由0,3x，可得4,33x−−又函数()gx在50,24上单调递增，在5,243

单调递减3(0)2g=−，5324g=，03g=3()3sin4,332gxx=−−函数()gx在0,3的值域3,32−

.19.画糖是一种以糖为材料在石板上进行造型的民间艺术，常见于公园与旅游景点.某师傅制作了一种新造型糖画，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x（元）与销量y（个）的相关数据如下表：单价x(元)8.599.51010.5销量y(个)121197

6（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性相关方程；（2）若该新造型糖画每个的成本为7.7元，要使得进入售卖时利润最大，请利用所求的线性相关关系确定单价应该定为多少元？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程ybxa=+$$$中斜率和截距的最小二乘法估计计算公式为()()()11

22211nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−$，aybx=−$$.参考数据：55211419.5,453.75iiiiixyx====.【答案】（1）3.239.4

yx=−+；（2）10.【解析】【分析】（1）由表中数据计算x，y，再根据公式求出线性回归方程ybxa=+$$$中斜率b和截距a，写出回归方程；（2）由题意写出利润函数，利用二次函数的性质求出x为何值时函数值最大．【详解】（1）由表中

数据，计算可得()18.599.51010.59.55x=++++=，()1121197695y=++++=则()()()1122211nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−=

=−−$2419.559.553.2453.7559.5−==−−aybx=−$$()93.29.539.4=−−=，所以y关于x的线性相关方程为3.239.4yx=−+.（2）设定价为x元，则利润函数为

()()3.239.47.7yxx=−+−，7.7x则23.264.04303.38yxx=−+−，所以对称轴()64.041023.2x=−−时，y取最大值故为使得进入售卖时利润最大，确定单价应该定为10元.【点睛

】本题考查了线性回归方程的求法，根据给定函数类型解决实际问题，属于简单题．20.某校为了解高一年级学生的数学学科发展状况，随机抽取了100名学生，列出他们的高一第一学期期中考试数学成绩的频率分布直方图如

下图，其中成绩的分组区间为：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（1）求图中a的值；（2）利用样本估计总体的方法，估计该校高一年级此次期中考试的平均分（同一分组的成绩用

该组区间的中点值做代表）；（3）若将分数从高分到低分排列，取前20%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中考试“优秀”档次的分数线.【答案】（1）0.005a=（2）73（3）82.5【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的所有长方形的面积之

和等于1，即可求出答案；（2）由频率分布直方图的平均数的求法，即可求出答案；（3）由频率分布直方图可知，区间[90,100]占5%，区间[80,90)占20%，估计“优秀”档次的分数线在[80,90]之间，由此即可求出答案.【小问1详解】由题意得，(20.020.03

0.04)101a+++=，解得：0.005a=；【小问2详解】估计该校此次期中考试平均分为550.05650.4750.3850.2950.0573++++=；【小问3详解】由频率分布直方图可知，区间[90,100]占5%，区间[80,90)占20%，估计

“优秀”档次的分数线为：0.05801082.50.2+=.21.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且32sin0cbC−=.（1）求角B的大小；（2）从条件①33,4ba==；条件②2,4a

A==这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积.【答案】（1）3B=（2）条件①：2335+；条件②：332+【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理边化角求出sinB，再结合角的范围，即可求得.（2）选条件①：首先利用余弦定理求出215c=+，再结合三角形面积公

式即可求得.选条件②:首先利用正弦定理求出b，再结合三角函数恒等变换求出sinC，再利用三角形面积公式即可求得.【小问1详解】解：（1）因为32sin0cbC−=，由正弦定理3sin2sinsin0CBC−=．因0,,sin02CC

，所以3sin2B=．又因为0,2B，所以3B=．【小问2详解】选条件①：33,4ba==；因为33,4ba==，由（1）得3B=，所以根据余弦定理得2222cos=+−bcacaB，可得24110cc−−=，解得215c=+．所以ABC的面

积1sin23352ScaB==+，选条件②：2,4aA==；由（1）知3B=且4A=，根据正弦定理得sinsinbaBA=，所以sin6sin==aBbA，为因为512CAB=−−=，所以562sin

sinsin12464C+==+=，所以ABC面积133sin22+==SbaC．22.已知向量()()2sin,sincos,cos,2axxxbxm=+=−−，函数()fxab=．（1）当2m=时，求()fx的最小值；（2）是否存在实数

m，使不等式()42si6ncosfxmxx−−+对任意的π0,2x恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）142−（2）存在，取值范围为(4,)+【解析】【分析】（1）根据已知条件及向量的数量积的坐

标运算，再利用辅助角公式及二倍角的余弦公式，结合换元法及二次函数的性质即可求解；（2）根据（1）的出函数()fx，利用换元法但注意新元的范围，结合不等式恒成立问题利用分离参数法转化为函数的最值问题，再利用对勾函数的性质即可求解.【小问1详解】由题可

知，因为()()2sin,sincos,cos,2axxxbxm=+=−−，所以π2sincos(2)(sincos)sin22(2)sin()(4)fxabxxxxxxmm−++=−+==+π2(πcos(2)2)sin)2(4

mxx+=−+−+，又2ππcos(2)2sin()124xx−+=+−，令πsin()[1,1]4xt=+−，当2m=时，所以22()()24212(2)5fttxtt==−−=−−，对称轴21t=

，开口向上，由二次函数的单调性知，所以()t在[1,1]−上单调递减，所以当1t=时，()t取得最小值为2min()(1)()214211142tfx===−−=−.的所以()fx的最小值为142−.【小问2详解】由（1）知，2sincos(2)(sin)co(s)mfxa

bxxxx−+==+，所以()2sincos(2)(sincos)42sinc6osfxxxmxxmxx=−++−−+，对任意的π0,2x恒成立，令sincosxxp=+，π0,2x，则π2sins

incos4pxxx=+=+，因为π0,2x，所以ππ3π,444x+，所以2πsin124x+，即π12sin24x+，所以12p，由sincosxxp=+，得22sincos1

xpx=−，则21(2)642pmpmp−−+−−，整理得2(3)(2)(2)0ppmpp+−+−，所以23pmp+，故3mpp+在[1,2]上恒成立，由对勾函数的性质知：3pp+在[1,2]上单调递减，当1p=时，3pp+取到最大值4，所以

4m，故存在m，且m的范围为(4,)+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com