【文档说明】陕西省延安市第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(19)页，4.740 MB，由小赞的店铺上传

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2021—2022学年度第二学期期末高一年级数学试题（全卷150分；时间120分钟）本试卷分为第一卷和第二卷两部分第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.cos66cos6sin66s

in6+=（）A.12B.13C.15D.16【答案】A【解析】【分析】根据两角差的余弦公式可求出结果.【详解】cos66cos6sin66sin6+=1cos(666)cos602−==.故选：A2.已知向量()1,1a=，()2,3b=−，那么2ab−=（）

A.5B.52C.8D.74【答案】B【解析】【分析】根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.【详解】因为向量()1,1a=，()2,3b=−，所以()25,5ab−=−()2225552ab−=+−=.故选：B.3.要得到函数sin2

yx=的图象，只需将函数2πsin23yx=+的图象（）A.向右平移π3个单位长度B.向左平移π3个单位长度C.向右平移2π3个单位长度D.向左平移2π3个单位长度【答案】A【解析】【分析】结合三

角函数图象的平移变换规律，可得出答案.【详解】由题意，函数2πsin23yx=+的图象向右平移π3个单位长度，得到π2πsin2sin233yxx=−+=的图象.故选：A.【点睛】本题考查三角函数图象的平

移变换，属于基础题.4.若1sin()63+=，则cos3−=（）A.13−B.223C.13D.223−【答案】C【解析】【分析】运用整体代换的思想，找出已知角与所求角之间的关系，根据诱导公式即可求解.【详解】1coscos+cos+sin(+=36

22663−=−=−=）.故选：C.5.如图，在ABC中，13ADDC=，P是线段BD上一点，若15APmABAC=+，则实数m的值为（）A.13B.23C.2D.15【答案】D【解析】【分析】

由13ADDC=可得4ACAD=，代入到15APmABAC=+中可得54APmABAD=+，利用三点共线即可求得答案.【详解】由13ADDC=可得：14ADAC=，即4ACAD=，故1554APmABACmABAD=+=+,因为B,

P,D三点共线，所以411,55mm+==，故选：D6.执行如图的程序框图，输出的S值是（）A.32−B.32C.0D.3【答案】B【解析】【分析】直接按照程序框图运行程序，找到函数的周期，即可求出输出值.【详解】当10nS==，时，3sin32

S==；执行第一次循环可得2n=，32sin323S=+=；执行第二次循环可得3n=，3sin3S=+=；执行第三次循环可得4n=，433sin32S=+=；执行第四次循环可得5n=，35sin023S=+=；执行第五次循环可得

6n=，6sin03S==；执行第六次循环可得7n=，73sin32S==；归纳可知，其周期为6，所以2014432SS==.所以输出32S=.故选：B.7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若2a=，23b=，30A=，则B等于（）A.60B.

120C.60或120D.60或135【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理求解即可【详解】由正弦定理，sinsinabAB=，故123sin32sin22bABa===，因为()0,B，故60B=或120故选

：C8.在ABC中，sinsinsinbCAacB+=−，则ABC是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理实现角化边，再整理条件可得222bca+=，从而ABC为直角三角形.【详解】在ABC中，由正弦定理得，sinsinsin

CAcaBb++=，又sinsinsinbCAacB+=−，所以bcaacb+=−，整理得222bca+=.所以ABC为直角三角形.故选：C.9.已知圆22:3Cxy+=，在圆内随机取一点P，以点P为中点作弦AB，则弦长22AB的概率为（）

A.13B.23C.29D.49【答案】B【解析】【分析】根据几何概型的概率公式可得答案.【详解】当22AB=时，此时1CP=，若22AB，则点P必须位于以点C为圆心，半径为1和半径为3的圆环内，所以弦长22AB的概率为()()222π3π123π3P−==，故选：

B．10.在ABC中，3,4,90ACBCC===．P为ABC所在平面内的动点，且1PC=，则PAPB的取值范围是（）A.[5,3]−B.[3,5]−C.[6,4]−D.[4,6]−【答案】D【解析】【分析

】依题意建立平面直角坐标系，设()cos,sinPθθ，表示出PA，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C，()3,0

A，()0,4B，因为1PC=，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos,sinPθθ，0,2，所以()3cos,sinPA=−−，()cos,4sinPB=−−，所以(

)()()()cos3cos4sinsinPAPB=−−+−−22cos3cos4sinsin=−−+13cos4sin=−−()15sin=−+，其中3sin5=，4cos5=，因为()1sin1−+，所以

()415sin6−−+，即4,6PAPB−；故选：D11.将函数()sin3cosyxxxR=+的图像向右平移(0)mm个长度单位后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是（）A.12B.6C.3D.56【答案】D【解析】【分析】把函数整理

成正弦型函数，利用平移以后关于y轴对称即可得到m的式子，根据范围即可确定m的具体值.【详解】πsin3cos=2sin()3yxxx=++，将图像向右平移m个单位长度后，变为π2sin()3yxm=−+，此时图像关于y

轴对称，所以当0x=时，πππ32mk−+=+，()kZ，则ππ6mk=−−.又0m，则m的最小值是56.故选：D.12.已知函数()()224sinsin2sin024xfxxx=+−在区间2,23−

上是增函数，且在区间0,上恰好取得一次最大值，则的取值范围是()A.(0,1B.30,4C.)1,+D.13,24【答案】D【解析】【分析】由三角函数恒等变换化简()fx，可得[]22−，是函数含原点的递增区间，结合已知可得2[],2

223−−，，可解得304＜，又函数在区间0,上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得02，进而求解.【详解】()224sinsin2sin24xfxxx=+−

1cos()24sin2cos212xxx−+=+−2sin1sincos212sinxxxx=++−=（），[]22−，是函数含原点的递增区间．又∵函数在2,23−

上递增，2[],2223−−，，∴得不等式组{−𝜋2𝜔≤−𝜋22𝜋3≤𝜋2𝜔，得134，又∵3004＞，＜，又函数在区间0,上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知2Z2xkk=+

，，即函数在2Z2kxk=+，处取得最大值，可得10,22综上，可得𝜔∈[12,34]故选：D.第II卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分）13.第24届冬季奥林匹克运动会（TheXXIVOlympicWinterGames），即2022年北京

冬季奥运会，计划于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者，参与北京冬奥会高山滑雪

比赛项目的服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派__________人.【答案】10【解析】【分析】根据分层抽样原理求出抽取的人数．【详解】解：根据分层抽样原理知，

502410504030=++，所以在大一青年志愿者中应选派10人．故答案为：10．14.已知||1a=，||2b=，()0aba-?，则向量a与b的夹角为________．【答案】4【解析】【分析】设向

量a与b的夹角为，由已知条件可得12cos0−=，从而可求出向量a与b的夹角【详解】解：设向量a与b的夹角为，因为()0aba-?，||1a=，||2b=，所以20aba-?，即2cos0abaq-?，因为||1a=，||2b=，所以12cos0−=，即2cos2=

，因为[0,]，所以4=，故答案为：415.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是_______.【答案】45【解析】【分析】

设被污损的数字的个位数为x，根据甲的平均成绩超过乙的平均成绩可解得8x，即可求得概率.【详解】设被污损的数字的个位数为x，其中x为09中的一个，要使甲的平均成绩超过乙的平均成绩，则()88899091928383879099x+++++++++，解

得8x，则x的可能取值为07的自然数，共8个，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是84105=.故答案为：45.16.已知数据1x，2x，…，9x的方差为5，则数据131x+，231x+，…，931x

+的方差为___________.【答案】45【解析】【分析】根据线性变换前后方差的关系求得正确结论.【详解】原数据的方差为5，则线性变换后的数据的方差为23545=.故答案为：45三、解答题（共70分）17.已知向量()()32,,1，=−=abx.（1）若()()22

abab+⊥−，求实数x的值；（2）若()()8,1,//=−−+cabc，求向量a与b的夹角.【答案】（1）6x=或32x=−（2）4=【解析】【分析】（1）由()()32,,1，=−=abx，得到2,2+−abab的坐标，

再根据()()22abab+⊥−求解；（2）由()8,1c=−−，得到bc+rr的坐标，再由()//abc+求得x，再利用夹角公式求解.【小问1详解】解：已知()()32,,1，=−=abx，所以()()232,0,26,5+=+−=−abxabx又

因为()()22abab+⊥−，所以()()220abab+−=rrrr，所以()()326050xx+−+=，解得6x=或32x=−.【小问2详解】因为()8,1c=−−，所以()8,2bcx+=−−又因为()//

abc+，所以()()32280x−−−=，解得5x=，所以()5,1b=−...所以()222235212cos2||||3251−===++−abab，因为0，所以4=18.已知函数()sin()0,

0,||2fxAxA=+的部分图象，如图所示.（1）求函数()fx的解析式；（2）将函数()fx的图象向右平移3个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()gx的图象，当0,3x时，求

函数()gx的值域.【答案】（1）()3sin23fxx=+（2）3,32−【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出A，由最小正周期求出，并确定

.（2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域.【小问1详解】解：根据函数()sin()0,0,||2fxAxA=+的部分图象可得3A=，1252632=−=，所以2=.再根据

五点法作图可得23+=，所以3=，()3sin23fxx=+.【小问2详解】将函数()fx的图象向右平移3个单位后，可得3sin23sin2333yxxx=−+=−的图象，再将得到的

图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()3sin43gxx=−的图象.由0,3x，可得4,33x−−又函数()gx在50,24上单调递增，在5,24

3单调递减3(0)2g=−，5324g=，03g=3()3sin4,332gxx=−−函数()gx在0,3的值域3,32−

.19.画糖是一种以糖为材料在石板上进行造型的民间艺术，常见于公园与旅游景点.某师傅制作了一种新造型糖画，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x（元）与销量y（个）的相关数据如下表：单价x(元)8.5

99.51010.5销量y(个)1211976（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性相关方程；（2）若该新造型糖画每个的成本为7.7元，要使得进入售卖时利润最大，请利用所求的线性相关关系确定单价应该定为多少元？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程ybxa

=+$$$中斜率和截距的最小二乘法估计计算公式为()()()1122211nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−$，aybx=−$$.参考数据：55211419

.5,453.75iiiiixyx====.【答案】（1）3.239.4yx=−+；（2）10.【解析】【分析】（1）由表中数据计算x，y，再根据公式求出线性回归方程ybxa=+$$$中斜率b和截距a，写出回归方程；（2）由题意写出利润函数，利用二次函数的性质求出x为何

值时函数值最大．【详解】（1）由表中数据，计算可得()18.599.51010.59.55x=++++=，()1121197695y=++++=则()()()1122211nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−$2419.559.553.24

53.7559.5−==−−aybx=−$$()93.29.539.4=−−=，所以y关于x的线性相关方程为3.239.4yx=−+.（2）设定价为x元，则利润函数为()()3.239.47.7yxx=−+−，7.7x则23.264.04303.38yxx=−+−，所以对称轴

()64.041023.2x=−−时，y取最大值故为使得进入售卖时利润最大，确定单价应该定为10元.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法，根据给定函数类型解决实际问题，属于简单题．20.某校为了解高一年级学生的数学学科发展状况，随机抽取了100名学生，

列出他们的高一第一学期期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩的分组区间为：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（1）求图中a的值；（2）利用样本估

计总体的方法，估计该校高一年级此次期中考试的平均分（同一分组的成绩用该组区间的中点值做代表）；（3）若将分数从高分到低分排列，取前20%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中考试“优秀

”档次的分数线.【答案】（1）0.005a=（2）73（3）82.5【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的所有长方形的面积之和等于1，即可求出答案；（2）由频率分布直方图的平均数的求法，即可求出答案；（3）由频率分布直方图可知，区

间[90,100]占5%，区间[80,90)占20%，估计“优秀”档次的分数线在[80,90]之间，由此即可求出答案.【小问1详解】由题意得，(20.020.030.04)101a+++=，解得：0.005a=；【小问2详解】估计该

校此次期中考试平均分为550.05650.4750.3850.2950.0573++++=；【小问3详解】由频率分布直方图可知，区间[90,100]占5%，区间[80,90)占20%，估计“优秀”档次的分数线为：0.05801082.50.2+=.21.在锐角△AB

C中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且32sin0cbC−=.（1）求角B的大小；（2）从条件①33,4ba==；条件②2,4aA==这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积.【答案】（1）3B=（2）条件①：2335+；条件②

：332+【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理边化角求出sinB，再结合角的范围，即可求得.（2）选条件①：首先利用余弦定理求出215c=+，再结合三角形面积公式即可求得.选条件②:首先利用正弦定理求出b，再结合三角函数恒等变换求出sinC，再利用三角形面积公式即可

求得.【小问1详解】解：（1）因为32sin0cbC−=，由正弦定理3sin2sinsin0CBC−=．因0,,sin02CC，所以3sin2B=．又因为0,2B，所以3B=．【小问2详解】选条件①：33,4ba==；因

为33,4ba==，由（1）得3B=，所以根据余弦定理得2222cos=+−bcacaB，可得24110cc−−=，解得215c=+．所以ABC的面积1sin23352ScaB==+，选条件②：2,4aA==；

由（1）知3B=且4A=，根据正弦定理得sinsinbaBA=，所以sin6sin==aBbA，为因为512CAB=−−=，所以562sinsinsin12464C+==+=，所以ABC面积133sin2

2+==SbaC．22.已知向量()()2sin,sincos,cos,2axxxbxm=+=−−，函数()fxab=．（1）当2m=时，求()fx的最小值；（2）是否存在实数m，使不等式()42si6ncosfxmxx−−+对任意的π0,2x恒成立，

若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）142−（2）存在，取值范围为(4,)+【解析】【分析】（1）根据已知条件及向量的数量积的坐标运算，再利用辅助角公式及二倍角的余弦公式，结合换元法及二次函数的性质即可求解；（2）根据（1

）的出函数()fx，利用换元法但注意新元的范围，结合不等式恒成立问题利用分离参数法转化为函数的最值问题，再利用对勾函数的性质即可求解.【小问1详解】由题可知，因为()()2sin,sincos,cos,

2axxxbxm=+=−−，所以π2sincos(2)(sincos)sin22(2)sin()(4)fxabxxxxxxmm−++=−+==+π2(πcos(2)2)sin)2(4mxx+=−+−+，又2ππcos(2

)2sin()124xx−+=+−，令πsin()[1,1]4xt=+−，当2m=时，所以22()()24212(2)5fttxtt==−−=−−，对称轴21t=，开口向上，由二次函数的单调性知，所以()t在[1,1]−上单调递减，所以当1t=时，(

)t取得最小值为2min()(1)()214211142tfx===−−=−.的所以()fx的最小值为142−.【小问2详解】由（1）知，2sincos(2)(sin)co(s)mfxabxxxx−+==+，所以(

)2sincos(2)(sincos)42sinc6osfxxxmxxmxx=−++−−+，对任意的π0,2x恒成立，令sincosxxp=+，π0,2x，则π2sinsinc

os4pxxx=+=+，因为π0,2x，所以ππ3π,444x+，所以2πsin124x+，即π12sin24x+，所以12p，由sincosxxp=

+，得22sincos1xpx=−，则21(2)642pmpmp−−+−−，整理得2(3)(2)(2)0ppmpp+−+−，所以23pmp+，故3mpp+在[1,2]上恒成立，由对勾函数的性质知：3pp+在[1,2]上单调递减，当1p=时，3pp+取到最大值4，所以4m，故存在m，且m的

范围为(4,)+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com