【文档说明】上海市大同中学2021-2022学年高三下学期期中数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.210 MB，由小赞的店铺上传

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上海市大同中学2021-2022学年高三下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合{|ln(3)}Mxyx==−，{|e}xNyy==，则R()MN=

ð__．【答案】(0,3【解析】【分析】根据对数函数的定义域与指数函数的值域，结合交集与补集的运算求解即可.【详解】集合{|ln(3)}3Mxyxxx==−=，{|e}0xNyyyy===，所以R{|3}Mxx=ð

，则R()(0,3]MN=ð．故答案为：(0,32.已知复数i1iz=−（其中i为虚数单位），则z的共轭复数z=________．【答案】i12−−【解析】【分析】利用复数的除法化简可得i12z−=，再结合共轭复数的定义，

即得解详解】由题意，ii(1i)i11i(1i)(1i)2z+−===−−+故i12z−−=故答案为：i12−−3.5(2)xy−的展开式中23xy的系数为__．【答案】80−【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，直接计算即可得到

结果.【详解】展开式的通项公式为55155C(2)C(2)rrrrrrrrTxyxy−−+=−=−，【令52r-=，则3r=，所以23xy的系数为335C(2)80−=−．故答案为:80−4.记nS是公差不为0的等差数列na的前n项和，若35aS=，145

aaa=，则na=________.【答案】3n−##3n−+【解析】【分析】利用1,ad表示出已知的等量关系，解方程组求得1,ad后，利用等差数列通项公式求解即可.【详解】设等差数列na的公差为()0dd，由35145aSaaa==得：()111115425234adada

adad+=++=+，解得：121ad==−，()213nann=−−=−.故答案为：3n−.5.直线11031−+=−xy的倾斜角为__．【答案】1πarctan3−【解析】【分析】将直线化为一般式，

得到其斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系，即可得到结果.【详解】直线方程为13(1)0−++=xy，斜率为13−，则倾斜角为1πarctan3−．故答案为:1πarctan3−6.某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至多2名学生前往，则甲

同学不去观看冰球比赛的方案种数有__种．【答案】60【解析】【分析】先根据部分均匀分组，由先分组再分配解决即可.【详解】由题知，①将5名大学生分成1,2,2的三组，有22153122CCC15P=种分组方法，②

甲同学所在的组不去观看冰球比赛，有2种情况，剩下的2组任意选择，有222P4=种情况，所以有15460=种方案．故答案为：607.已知点(5,2)A，点F为抛物线24yx=的焦点，点P在抛物线上移动，则||||PA

PF+的最小值为__．【答案】6【解析】【分析】作出图形，过点P作直线=1x−的垂线，垂足为点E，由抛物线的定义可知，当点A、P、E三点共线时，即当AP与直线=1x−垂直时，||||PAPF+取得最小值，即可求解.【详解】抛物线24yx=的焦点为(1,0)

F，准线方程为=1x−，过点P作直线=1x−的垂线，垂足为点E，由抛物线的定义得PFPE=，||||||||PAPFPAPE+=+，当点A、P、E三点共线时，即当AP与直线=1x−垂直时，||||PAPF+取得最小值，且最小值为516+=．故答案为：6.8.中国

古塔多为六角形或八角形﹒已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形ABCDEFGH，如图所示，2ABa=，则ACAE=__．【答案】2(842)a+【解析】【分析】根据投影的定义，可得212=ACAEAE，结合余弦定理即可得到2AEAC=，从而得到结果.【详解】由投影的概念

，212=ACAEAE，因为2ABa=，正八边形每个内角为135，则22222cos135(842)ACABBCABBCa=+−=+，易得ACE△为等腰直角三角形，则2AEAC=，所以2221(842)2===+ACAEAEAC

a．故答案为：2(842)a+9.已知π0,2，π2tantan43+=−，则sincos2sincos=+__．【答案】35-##-06【解析】【分析】利用和差公式计算得到tan3=，再化简

得到原式为22tantantan1−+，代入计算得到答案.【详解】π0,2，π2tantan43+=−，所以1tan2tan1tan3+=−−，所以22tan5tan30−−=，所以tan3=或1ta

n2=−（舍去），所以22sincos2sin(cossin)sin(cossin)sincossincos−==−++2222sin(cossin)tantan3sincostan15−−===−++．故答案为：35-10.已知函数2log,02

()3,2xxfxxx=−+，若123,,xxx均不相等，且123()()()fxfxfx==，则123xxx的取值范围是___________【答案】(2,3)【解析】【分析】不妨设123xxx，结合函数图像可得2122loglogxx=，从而得出121=xx，即

可得出答案.【详解】不妨设123xxx，由图可得，()21223loglog30,1xxx==−+，.所以2122loglog,xx=−即121=xx，由123()()()fxfxfx==得，3(2,3)x，所以123xxx的取值范围是(2,3

)故答案为：(2,3)11.过点()1,1P的直线与椭圆22132xy+=交于点A和B，且APPB=.点Q满足AQQB=−，若O为坐标原点，则线段OQ长度的最小值为__________.【答案】61313【解析】【分析】利用向量数乘的坐标运算可得()2

2222211221323232xyxymn+−+=−+，由此可求得Q点轨迹为直线，将问题转化为原点到直线距离的求解即可.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，(),Qmn，()111,1APxy

=−−，()221,1PBxy=−−，()11,AQmxny=−−，()22,QBxmyn=−−，由APPB=，AQQB=−得：()()121211xxmxxm−=−−=−−，()121211xxxxm+=+

−=−，两式相乘得：()2222121xxm−=−，同理可得：()222121yyn−=−，()22222211221323232xyxymn+−+=−+，由题意知：0且1，否则与AQQB=−矛盾，132mn+=，

Q点轨迹为132yx+=，即直线2360xy+−=，线段OQ长度的最小值即为原点到直线的距离，min66131349OQ==+.故答案为：61313.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够利用向量坐标运算求得动点Q的轨迹方程，根据轨迹为直线可将

问题转化为坐标原点到直线距离的求解.12.若()*(,)(52),,=+nnfxyxynxyNR，则下列结论中正确的有_____．①若(1,,1)5,=+nnnnnfabab为整数，则3321ab−=；②(1,1)(1,

1)nnff−−是正整数；③21(1,1)nf−−是21(1,1)nf−的小数部分；④设(1,1)5−=+nnnfcd，若nc、nd为整数，则212(1)5++−=nnncd.【答案】①③④【解析】【分析】求出3

3,ab可判断①的正误；取2n=可判断②的正误；利用二项式定理可判断③的正误；分n为偶数和n为奇数两种情况分析讨论，结合二项式定理可判断④的正误.【详解】①因3333(1,1)(52)175385=+=+=+fab，所以3338,17==ab，则3321ab−=，①正确

；②(1,1)(1,1)(52)(52)−−=+−−nnnnff，因为2222(1,1)(1,1)(52)(52)85−−=+−−=ff不是正整数，故②错误；③21212121(1,1)(1,1)(52)(52)−−−−−−−=+−−nnnnff2222(52)(52)

(52)(52)−−=++−−−nn2212322422222(52)(5)C(5)2C(5)2nnnnn−−−−−=++++2212322422222(52)(5)C(5)(2)C(5)(2)nnnnn−−−−−−−+−+−+222242224(5)C(5)(2)nnn

−−−+−+=1233253222325C(5)C(5)2nnnn−−−−+++，为两部分都是整数，所以21212121(1,1)(1,1)Z(52)(52)nnnnff−−−−−−=

+−−−，且21210(1,1)(52)1−−−=−nnf，所以21(1,1)nf−−是21(1,1)nf−的小数部分，③正确；④(1,1)(52)5−=−=+nnnnfcd，当n为奇数时，11333C5)(2)C)2((5()nnn

nnc−−=−+−+，02225C(5)C(5)(2)nnnnnd−=+−+，所以0112225C(5)C(5)(2)C(5)(2)(52)nnnnnnnnndc−−−=−−+−+=+，所以)(5)(5(52)5)1(2−=+=−+nn

nnnndcdc，故212(1)5++−=nnncd，当n为偶数时，0222444C(5)C(5)(2)C(5)(2)nnnnnnnc−−=+−+−+，113335555C(5)(2)C(5)(2)C(5)(2)nnnnnnnd−−−=−+

−+−+，同理5(52)−=−+nnndc，所以(5)(5(52)12))(5−=+=−−+−nnnnnndcdc，所以212(1)5++−=nnncd，故④正确；故答案为:①③④．【点睛】关键点点睛：③中将212

12121(1,1)(1,1)(52)(52)−−−−−−−=+−−nnnnff转化为二项展开式的形式展开求解，④的讨论关键在于当n为奇数时，11333C5)(2)C)2((5()nnnnnc−−=−+−+，02225C(5)

C(5)(2)nnnnnd−=+−+，n为偶数时，0222444C(5)C(5)(2)C(5)(2)nnnnnnnc−−=+−+−+，113335555C(5)(2)C(5)(2)C(5)(2)nnnnnnnd−−−=−+−+−+.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，

每题5分）13.已知a，bR，则“0ab”的一个必要条件是（）A.0ab+B.220ab+C.330ab+D.110ab+【答案】B【解析】【分析】利用3,3ab==−否定ACD选项，进而得答案.【详

解】解：对于A选项，当3,3ab==−时，0ab，此时0ab+=，故0ab+不是0ab的必要条件，故错误；对于B选项，当0ab时，220ab+成立，反之，不成立，故220ab+是0ab的必

要条件，故正确；对于C选项，当3,3ab==−时，0ab，但此时330ab+=，故330ab+不是0ab的必要条件，故错误；对于D选项，当3,3ab==−时，0ab，但此时110ab+=，故故110

ab+不是0ab必要条件，故错误.故选：B14.函数()1cosxfxx=+在(),−上的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由函数在()0,上的取

值可判断【详解】因为()()1cos()1cosxxfxfxxx−−==−=−+−+所以函数()1cosxfxx=+为奇函数，故排除选项C，D；的因为在()0,上，()0fx，所以排除选项B．故选：A．15.已知函数()4sin(2)2(0)3fxx=−−在0,内有且仅有两个

零点，则的取值范围是（）A.75,62B.75,62C.75,124D.75,124【答案】D【解析】【分析】根据给定条件确定23x−的范围，求解不等式作答.【详解】由()0fx=得1sin(2)32x−=，而当0,x

，0时，22333x−−−，又5131sinsinsin6662===，函数()fx在0,内有且仅有两个零点，于是得5132636−，解得75124，所以的取值范围是75[,)124.故选：D16.若双曲线()2222:

10,0xyCabab−=的左右焦点分别为1F，2F，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，PQl⊥，垂足为Q．当2PFPQ+的最小值为6时，1FQ的中点在双曲线C上，则C的方程为（）A.222xy−=B.224xy−=C.22116yx−=D.22124xy−=【答案

】B【解析】【分析】由双曲线定义21||||2PFPFa−=得到21122PFPQPFPQaFQa+=+++，再利用焦点到渐近线的距离为b求得26ba+=，设出渐近线方程求得1FQ的中点坐标代入双曲线方程联解求得ab、的

解.【详解】212PFPFa−=，211||||22PFPQPFPQaFQa+=+++，又()1,0Fc=−，()2,0Fc=，双曲线的渐近线方程为：byxa=，即0bxay=，焦点到渐近线的距离为22bcbcb

cab==+，即1FQ的最小值为b，即26ba+=，不妨设直线OQ为：byxa=，1FQOQ⊥，点()1,0Fc−，2(,)aabQcc−−，1FQ的中点为22(,)22acabcc+−−，将其代入双曲线C的方程，得：22222

22()144acaacc+−=，即22222221144acaacc+−=，解得：2ca=又26ba+=，222+=abc，2ab==，故双曲线C的方程为224xy−=．故选：B.三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.如图，在多面体AB

CDE中，AEB△为等边三角形，ADBC∥，BCAB⊥，22CE=，22ABBCAD===，F为EB的中点.（1）证明：AF∥平面DEC；（2）求锐二面角ACDE−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）64【解析】【分析】（1）考虑所给的条件

，找出相应的几何关系即可；（2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，用空间向量的方法即可.【小问1详解】取EC中点M，连结FM，DM，∵ADBCFM∥∥，12ADBCMF==，∴四边形AFMD为平行四边形，∴AFDM∥，又AF平面DEC，DM平面DEC，AF∥

平面DEC；【小问2详解】∵222EBCBEC+=，∴CBBE⊥，又∵CBAB⊥，ABBEB=，∴CB⊥平面ABE，BC平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ABE，取AB的中点O，以OE为x轴，AB为y轴，过点O做平行于BC的直线为

z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，∴()3,0,0E，()0,1,2C，()0,1,1D−，∴()3,1,2CE=−−，()0,2,1CD=−−，设平面CDE的一个法向量为(),,nxyz=，∴32020xyzyz−−=−−=，∴()3,1,2n=−−，平面ABCD的一个法

向量为()1,0,0m=，∴cos,364314mn−==−++，所以平面CDE和平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为64；故答案为：证明见解析，64.18.已知四边形ABCD内接于圆O，2AB=，30ADB=，BAD是钝角.（

1）求AC的最大值；（2）23BD=，求四边形ABCD周长的最大值.【答案】（1）4（2）443+【解析】【分析】（1）利用正弦定理求出圆O的直径即得AC的最大值；（2）先在ABD△中根据所给条件，利用正弦定理求出BAD的值和AD的长，然后在BCD△中通过余弦定理和

基本不等式求出BC与CD之和的最大值即可求解.【小问1详解】设圆O的半径为R.因为ABD△内接于圆O，且2AB=，30ADB=，由正弦定理得2241sin2ABRADB===.又AC是圆O的弦，所以4AC，所以AC的最大值为4.【小问2详解】在ABD△中，由正弦定理得sin

sinBDABBADADB=，即232sinsin30BAD=，所以3sin2BAD=.因为BAD是钝角，所以120BAD=，所以30ADBABD==，即2ADAB==.由120BAD=

得60BCD=，设BCx=，CDy=，在BCD△中，由余弦定理得2222cosBDBCDCBCDCBCD=+−，即()()()222222123324xyxyxyxyxyxyxy++=+

−=+−+−=，所以43xy+，当且仅当23xy==时，xy+取得最大值43，所以四边形ABCD周长的最大值为443+.19.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:

万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即:设奖励方案函数模型为y=f(x)时，则公司对函数模型的基本要求是:当x∈[25，1600]时，①f(x)是增函数;②f(x)75恒成立;③()5xfx恒成立．(1)判断函数()103

0xfx=+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;(2)已知函数()()51gxaxa=−符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．【答案】(1)函数模型()1030xfx=+，不符合公司要求,详见解析

(2)[1，2]【解析】【分析】（1）依次验证题干中的条件即可；（2）根据题干得，要满足三个条件，根据三个条件分别列出式子得到a的范围，取交集即可.【详解】(1)对于函数模型()1030xfx=+,当x∈[25,1600]时，f(x)是单调递增函数，则f(x)

≤f(1600)≤75,显然恒成立，若函数()5xfx恒成立，即10305xx+,解得x≥60．∴()5xfx不恒成立，综上所述，函数模型()1030xfx=+，满足基本要求①②，但是不满足③，故函

数模型()1030xfx=+，不符合公司要求．(2)当x∈[25，1600]时，()5(1)gxaxa=−单调递增，∴最大值(1600)1600540575gaa=−=−∴2a设()55xgxax=−恒成立，∴22(5)5xax+恒成立，即225225xax++,

∵25225xx+，当且仅当x=25时取等号，∴a2≤2+2=4∵a≥1,∴1≤a≤2,故a的取值范围为[1，2]【点睛】这个题目考查了函数模型的应用，这类题目关键是选对函数模型，读懂题意，将实际问题转化为数学问题，利用数学知识解决问题.20.已

知圆M过点(1,0)，且与直线=1x−相切．（1）求圆心M的轨迹C的方程；（2）S为轨迹C上的动点，T为直线40xy++=上的动点，求||ST的最小值；（3）过点(2,0)P作直线l交轨迹C于A、B两点，点A关于x轴的对称点为A．问AB是否经过定点，

若经过定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（1）24yx=；（2）322；（3）过定点(2,0)−.【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可；（2）根据点到直线距离公式，结合配方法进行求解即可；（3）根据直线斜率公式，结合直线

方程进行求解即可.小问1详解】由题意得点M到直线=1x−的距离等于到点(1,0)的距离，所以点M是以(1,0)F为焦点，以=1x−为准线的抛物线，焦点到准线的距离2p=，所以点M的轨迹方程为24yx=；【小问2详解】设2(4,4)Stt，S到直线40xy++=的距离2

2444(21)322++++==tttd33222=，所以||ST的最小值为322；【小问3详解】设223434(,),(,)44yyAyBy，4322433444AByykyyyy−==−+，则直线AB的方程为34

344()0xyyyyy−++=，因为AB过点(2,0)P，所以34800−+=yy，所以348yy=−．因为A与A关于x轴对称，故33,()−Axy，同理，直线AB的方程为34344()0xyyyyy−−+−=，因为348yy=−，所以AB的方程为344

()80xyyy−−++=，所以直线AB过定点(2,0)−．【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义是解题的关键.21.已知n行n列()2n的数表111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa=

中，对任意的1,2,,in，1,2,,jn，都有0,1ija.若当0sta=时，总有11nnitsjijaan==+，则称数表A为典型表，此时记11nnnijijSa===.【（1）若数表001100110B=

，1100110000110011C=，请直接写出B，C是否是典型表；（2）当6n=时，是否存在典型表A使得617S=，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由；（3）求nS的最小值.【答案】（1）B不是典型表，C

是典型表；（2）不存在；（3）n为偶数时2min)2(nnS=，n为奇数时2min1)(2nnS+=.【解析】【分析】（1）由题设典型表的定义，结合给定的数表判断即可.（2）根据题设分析知：数值分配时有6min()17S即可，结合

典型表的定义及数表的对称性确定6S最小时0,1在数表上的分布情况，即可判断是否存在.（3）结合（2）的分析，讨论n为偶数、奇数情况下nS的最小值.【小问1详解】对于数表B有120a=，而211123nnijijaa=

=+=不成立，故数表B不是典型表；对于数表C，当0sta=时总有114nnitsjijaa==+成立，故数表C是典型表.【小问2详解】由题设知：当6n=要存在典型表A使得617S=，则需6min()17S.∵要使6S最小，即典型表A中的“1”最少，又0sta=时总

有11nnitsjijaan==+，∴让尽量多的横列和116nnitsjijaa==+=，故将表分成4个33数表，对角的两个数表数值相同，但上下、左右对称的数表数值不同，此时可保证6S最小.∴如

典型表111000111000111000000111000111000111A=，有6min()18S=.∴不存在典型表A使得617S=.【小问3详解】要使nS最小，需让尽量多的横列和11

nnitsjijaan==+=或典型表中“1”尽量少，当n为偶数时，由（2）知：22min)2()2(2nnnS==；当n为奇数时，在偶数n1−的数表中间加一行一列，并在新增行列中添加n个“1”，即可满足典型数列，此时222min1(1)1)2()22(2nnnnSnn−−+=+

=+=；【点睛】关键点点睛：第二问，通过6n=，结合数表的对称性确定6S最小时的数值分布情况，即可判断存在性，第三问，由第二问6n=情况归纳n为偶数时min()nS，进而推广到n为奇数时min()nS.