【文档说明】湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷（解析版）.docx，共(18)页，863.931 KB，由小赞的店铺上传

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湖南省株洲市二中2024年下半年高一年级第一次月考数学试卷时量：120分钟分值：150分一､单选题1.集合1238,xxx−+N用列举法表示为（）A.2,1,0,1,2−−B.1,0,1,2−C.0,1,2D.1,2【答案】C【解析】【分析】首先解不等

式组，再用列举法表示即可.【详解】由1238x−+，解得522x−，所以51238,2,0,1,22xxxxxx−+=−=NN.故选：C2.下列命题的否定为真命题的是（）A.,xyR，使得方程259xy+=有整

数解B.xR，2210xx−+C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形D.xR，方程20axbxc++=是一元二次方程【答案】D【解析】【分析】根据命题的否定的定义以及真命题的定义逐一判断各个选项即可.【详解】原命题的否定为

“,xyR，方程25xy+=9没有整数解”，令2x=，则1y=，此时方程有整数解，即原命题的否定为假命题，A错误；原命题的否定为“2,210xxx−+R”，()222110xxx−+=−，当且仅当1x=时等号成立，即原命题的否定为假命题，B错误；原命题的否定

为“存在一组邻边相等的平行四边形不是菱形”，为假命题，C错误；原命题的否定为“xR，方程20axbxc++=不是一元二次方程”，当0a=时，原方程为0bxc+=是一元一次方程，即原命题的否定为真命题，D正确．故选：D.3.已知xR，则“12x−”是“021xx−+”的（）A.

充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求不等式021xx−+的解集，根据集合的关系进行判断.【详解】由021xx−+12x−，设集合|12Axx=−，|12Bxx

=−，则B为A的真子集.所以“12x−”是“021xx−+”的必要不充分条件.故选：B4.已知()13fxx+=+，则()1fx+的解析式为（）A.()()140fxxx+=+B.()()2131fxxx+=+C.()()21241fxxxx+=−+D.()

()2130fxxx+=+【答案】D【解析】【分析】令1,1txt=+，利用换元法求出函数()224fttt=−+()1t，从而直接代入即可求出()1fx+的解析式.【详解】因为()13fxx+=+，所以令1,1txt=+，则()21xt=−，所以()()221324=−+=−+

ftttt()1t，所以()()()22112143fxxxx+=+−++=+，因为1t，所以11x+，即0x，所以()213fxx+=+()0x.故选：D.5.已知11xy−+，13xy−

，则32xy−的取值范围是（）A.2328xy−B.3328xy−C.2327xy−D.53210xy−【答案】A【解析】【分析】设()()()()32xymxynxymnxmny−=+−

−=−++，利用待定系数法求得,mn，利用不等式的性质即可求32xy−的取值范围．【详解】设()()()()32xymxynxymnxmny−=+−−=−++，所以32mnmn−=+=−，解得1252mn

==−，即可得()()153222xyxyxy−=++−，因为11xy−+，13xy−，所以2()()153222xyxyxy−=++−8，故选：A．6.已知0abc，则下列结论正确的是（）A.11abab++B.babaab++C.

cbacab−−D.bcbaca−−【答案】B【解析】【详解】直接由作差法逐一判断即可.【分析】对于A：()()()()11111ababbaababababababab−−−+−−=−+=−−=，因为0a

b，则0ab，0ab−>，所以，当1ab时，11abab++，当1ab时，11abab++，当1ab=时，11abab+=+，A错误；对于B：因为0ab，则0ba−<，0ab，0abab++，则()()()220baa

babbabababaababab−++−+−−=−+=，所以babaab++，B正确；对于C，因为0abc，则0cb−，0ac−，0ab−>，由题意()()()()()()()0cabbacacbcbacabacabacab−−−−−==−−−

−−−，即cbacab−−，故C错误；对于D，由题意()()()()()0abcbaccbabcbacaaacaac−−−−−−==−−−，即bcbaca−−，故D错误.故选：B.7.已知函数()()2314,16,1axaxfxxaxx−+=−+满足：对任意12,xxR，当12

xx时，都有()()12120fxfxxx−−成立，则实数a的取值范围是（）A.)2,+B.1,23C.1,13D.1,2【答案】C【解析】【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可.【详解】对任意12,Rxx，当

12xx时都有1212()()0fxfxxx−−成立，所以函数2(31)4,1()6,1axaxfxxaxx−+=−+在R上是增函数，所以3101231416aaaaa−−+−

+，解得113a，所以实数a的取值范围是1,13.故选：C.8.已知集合2,3,4,5,6,7,8S=，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以(1)k−再求和，例如{2,3,8}A=，则可求得

和为238(1)2(1)3(1)87−+−+−=，对S的所有非空子集，这些和的总和为（）A.920.B.924C.308D.320【答案】D【解析】【分析】分析出2,3,4,5,6,7,8在集合S的所有非空子集中分别出现了

62次，从而列出式子，求出这些和的总和.【详解】S的子集个数有72个，其中每个元素均出现62次，故元素2,3,4,5,6,7,8在集合S的所有非空子集中分别出现了62次，则对S的所有非空子集中，元素k执行

乘以()1k−再求和操作，则这些和的总和为()()()()()()()23456786212131415161718−+−+−+−+−+−+−()642345678320=−+−+−+=.故选：D二､多选题9.有

以下判断，其中是正确判断的有（）A.()xfxx=与()1,01,0xgxx=−表示同一函数B.函数()yfx=的图象与直线1x=的交点最多有1个C.()221fxxx=−+与()221gttt=−+是同一函数D.函数()yfx=的定义域为2,

3，则函数()21yfx=−的定义域为3,22【答案】BCD【解析】【详解】对于A，先求出两函数定义域，由两函数定义域不同即可判断；对于B，由函数定义分函数()yfx=在1x=处有没有定义即可判断；对于C，由函数的定义域和对应关系即可判断；对于D，先由函数()1yfx=+定义域为

1,2得213+x，从而得函数()21yfx=−有2213x−，解该不等式即可得解.【分析】对于A，函数()xfxx=的定义域为0xx，函数()1,01,0xgxx=−定义域为R，故函数()fx和()gx不是同一函数，故A

错误；对于B，若函数()yfx=在1x=处有定义，则()yfx=的图象与直线1x=的交点有1个，若函数()yfx=在1x=处没有定义，则()yfx=的图象与直线1x=的没有交点；所以函数()yfx=的图象与直线1x=的交点最多有1

个，故B正确；对于C，因为函数()221fxxx=−+与()221gttt=−+的定义域均为R，且两函数对应关系相同，所以函数()fx与()gt同一函数，故C正确；对于D，对函数()yfx=，其定义域为2,3，所以对函数()21yfx=−有2213x−，解得32

2x，所以函数()21yfx=−的定义域为3,22，故D正确.故选：BCD.10.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解

法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽

构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作AFBC⊥于点F，则下列推理正确的是（）A.由题图（1）和题图（2）面积相等得2abdab=+B.由AEAF可得2222abab++是C.由ADAE可得2

22112abab++D.由ADAF可得222abab+【答案】BCD【解析】【分析】根据题图（1），（2）面积相等，可求得d的表达式，从而判断A选项的正误，由题意可求得题图（3）中AD，AE，AF的表达式，逐一分析B，C，D选项

，即可得答案．【详解】对于A，由题图（1），（2）面积相等得()Sababd==+，所以abdab=+，故A错误．对于B，因为AFBC⊥，所以221122ababAF=+，所以22abAFab=+，设题图（3）中内接正方形的边长为t，

根据三角形相似可得attab−=，解得abtab=+，所以22abAEtab==+．因为AEAF，所以222abababab++，整理可得2222abab++，故B正确．对于C，因为D为斜边BC的中点，所以222abAD+=，因为ADAE，所以2222ababab

++，整理得222112abab++，故C正确．对于D，因为ADAF，所以22222ababab++，整理得222abab+，故D正确．故选：BCD11.定义在()0,+上的函数()fx满足下列条件：（1）()()xfyfxxfyy=−；（2）当1x时，()0

fx，则（）A.()10f=B.当01x时，()0fxC.()()22fxfx≥D.()fx在()1,+上单调递减【答案】AB【解析】【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，A，取1xy==可得；B，取1x=，再由条件

当1x时，()0fx推理可得；对于C，虽能用基本不等式，但因()fx在(0,+∞)上的符号不定，得不出结论；对于D，运用单调性定义法推导得出相反结论，排除.【详解】对于A项，由()()xfyfxxfyy=−，取1xy==，得，(1)(1)(

1)0fff=−=，故A项正确；对于B项，由()()xfyfxxfyy=−，取1x=，因𝑓(1)=0，故1()()ffyy=−，即1()()ffxx=−，当01x时，11x，则1()0fx，故()0fx−

，即()0fx，故B项正确；对于C项，由()()xfyfxxfyy=−，取2xy=，可得，22()()()fyyfyyfy=−，整理得，21()()()fyyfyy=+，因0y，12yy+，当且仅当1y=时取等号，

但因()fy的符号不能确定，故不一定有2()2()fyfy，即2()2()fxfx不一定成立，故C项错误；对于D项，任取121xx，则121xx，依题意，12()0xfx，而()()121122xfxfxxfxx=−，则()()2

1120xfxxfx−，即()()1212fxfxxx，即()()fxgxx=在(1,)+上是增函数.于是，对于()()fxxgx=，任取121xx，因12()()0gxgx，则1122()()xgxxgx，即12()()fxfx，即函数()fx在(1,+∞)上单调递增，故D

项错误.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质判断和应用，属于难题.解决此类题的关键在于观察已知抽象函数式的特征，巧用赋值代入法，对称取值法和定义推导法进行推理判断，即可得出正确结论.三､填空题12.若210,,21mmm−+，则m=____

______．【答案】2【解析】【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案.【详解】因210,,21mmm−+，所以1m=或2211mm−+=，若1m=，2210mm−+=，不满足互异性；若22110mmm−+==

或2，又0m，所以2m=，故答案为：2.13.已知,ab+R，41ab+=，则abab+的最大值是________．【答案】19【解析】【分析】先求出11ab+的最小值，再将abab+化为111ab+，即可求得答案.【详解】因

为,ab+R，41ab+=，故()11114445529babaababababab+=++=+++=，当且仅当4baab=，结合41ab+=，即11,63==ab时等号成立，所以11119ab

abab=++，即abab+的最大值是19，故答案为：19为14.如图，在等边三角形ABC中，AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方

为f(x)，给出下列三个结论：①函数f(x)的最大值为12；②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；③关于x方程()3fxkx=+最多有5个实数根.其中，所有正确结论的序号是____.【答案】①②【解

析】【分析】写出P分别在,,ABBCCA上运动时的函数解析式2()fxOP=，利用分段函数图象可解.【详解】P分别在AB上运动时的函数解析式22()3(3),(06)fxOPxx==+−，P分别在BC上运动时的函数解析式22()3(9),(612)fxOPxx==+−，P分别

在CA上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)fxOPxx==+−，的22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)xxfxOPxxxx+−==+

−+−，由图象可得，方程()3fxkx=+最多有6个实数根故正确的是①②.故答案为：①②【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题

意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.四､解答题15.已知函数1()1xfxx+=−.（1）证明：函数()fx在区间(1,)+上单调递减；（2）当(1,)x+时，求函数221()1xxgxx++=

−最小值【答案】（1）证明见解析；（2）8【解析】【分析】（1）利用函数单调性定义，推理论证即可.（2）利用配凑思想，结合基本不等式求出最小值.【小问1详解】函数122()111xfxxx−+==+−−，1212,(1,),xxxx+，则2

11212122()22()()11(1)(1)xxfxfxxxxx−−=−=−−−−，当121xx时，122110,10,0xxxx−−−，则12()()0fxfx−，即12()()fxfx，所以函数()fx在

区间(1,)+上单调递减.【小问2详解】当(1,)x+时，2[(1)2]44()142(1)48111xgxxxxxx−+==−++−+=−−−，当且仅当411xx=−−，即3x=时取等号，所

以当3x=时，()gx取得最小值8.16.已知集合()2140,1AxxmxBxx=+++==Z∣∣.（1）求证：A至少有2个子集的充要条件是5m−，或3m.（2）若“,xBxA”为

假命题，求m的取值范围；【答案】（1）证明见解析（2）()()(),66,44,−−−+【解析】【分析】（1）根据充分条件，必要条件的定义证明即可；（2）结合题意可得1,0,1B=−，AB=，进而分A=，A两种情况讨论求解即可.【小问1详

解】证明：先证明充分性：当5m−，或3m时，2Δ(1)160m=+−，方程()2140xmx+++=有解，则集合()2140Axxmx=+++=∣至少有1个元素，A至少有2个子集，充分性得证；再证明必要性：若A至少有2个子集，则2Δ(1)160m=+−

，解得5m−或3m，必要性得证.综上所述，A至少有2个子集的充要条件是5m−或3m.【小问2详解】由已知，集合1Bxx=Z∣，所以集合1,0,1B=−.因为“,BxA”为假命题，所以AB=.当A=时，2Δ(1)160m=+−，解

得53m−；当A时，要使AB=，则Δ0,1A−，且0,1AA，即()()()()222Δ0(1)11400104011140mmm−++−+++++++，解得6m−或65m−−或34m或4m.综上所述，实数m的取值

范围为()()(),66,44,−−−+.17.一个生产公司投资A生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元．该公司通过引进先进技术，在生产线A投资减少了x万元，且每万元的利润提高了0.5%x；若将少用的x万元全部投入B生产线，每万元

创造的利润为131.5()1000ax−万元，其中0a，0x．（1）若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润，求x的取值范围；（2）若生产线B的利润始终不高于技术改进后生产线A的利润，求a的最大值．

【答案】（1）0300x（2）5.5【解析】【分析】（1）分别列出技术改造前后利润根据题意列出不等关系求解即可．（2）题中不高于可转化为式子之间的恒成立问题，通过参变分离结合基本不等式求最值，从而得参数范围．小问1详解】由题设可得()()1.550010

.5%1.5500xx−+，整理得：23000xx−，而0x，故0300x.【小问2详解】由题设得生产线B的利润为131.51000axx−万元，技术改进后，生产线A的利润为()()1.550010.5%xx−+万元，则()()131.51.5

50010.5%1000axxxx−−+恒成立，【故235001252xaxx++，而0x，故50031252xax++，而5004125xx+，当且仅当250x=时等号成立，故05.5a，故a的最大值为5.5.18.已知函数()11mxfx=++，()()21gxxx

a=++.（1）当0a=，1m=−时，解关于x的不等式()()fxgx；（2）当0m=时，对任意)1,x+，关于x的不等式()()fxgx恒成立，求实数m的取值范围；（3）当0m，0a时，若点()111,Pxy，()222,Px

y均为函数()yfx=与函数()ygx=图象的公共点，且12xx，求证：()1221223axx−−+.【答案】（1）15150,,122−+−−−（2）)0,+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）即解

不等式2101−−+xxxx，分0x=、0x、0x且1x−讨论，解不等式可得答案；（2）转化为2111xaxx−=−+在)1,x+上恒成立，求得1x−的最大值可得答案；（3）由()()fxgx=得()()()32121101xaxax

amx+++−+−−=−，化简方程得()()()()22212121211214xxxxaxxaxx++++++−=，令21=+txx，结合一元二次不等式求解可得答案.【小问1详解】当0a=，1m=−时，即解不等式2111−++xx，可得2101−−+xxxx，当0x=时，00

成立，当0x时，得2101−−+xxx，即解210−−xx，解得1502−+x；当0x且1x−时，得2101−−+xxx，解得1512−−−x，综上所述，不等式的解集为15150,,122

−+−−−；【小问2详解】当0m=时，可得()1fx=，()()21gxxax=++，对任意)1,x+，关于x的不等式()()fxgx恒成立，即()211xax++在)1,x+上恒成立，即2111xaxx−

=−+在)1,x+上恒成立，即当)1,x+时，1x−的最大值为0，所以0a，所以实数m的取值范围)0,+；【小问3详解】由()()fxgx=，可得()2111mxaxx+=+++，可得()()()32121101xaxaxamx+++−+−−=−，因为点()111,

Pxy，()222,Pxy均为函数𝑦=𝑓(𝑥)与函数𝑦=𝑔(𝑥)图象的公共点，可得()()3211112110xaxaxam+++−+−−=，()()3222212110xaxaxam+++−+−−=，两式相减得()()(

)()33222121211210xxaxxaxx−++−+−−=，因为12xx，所以()()222211211210xxxxaxxa++++++−=，可得()()()()22212121211214xxxxaxxa

xx++++++−=，令21=+txx，则()221214ttata+++−，整理得()2312104tata+++−，解得()21223at−−，所以()2121223axx−−+.【点睛】关键点点睛：第三问解题的关

键点是化简方程得()()()()22212121211214xxxxaxxaxx++++++−=，令21=+txx，结合一元二次不等式求解可得答案.19.已知整数,3mn，集合()12,,,{0,1},1,2,,nni

Xxxxxin==∣，对于nX中的任意两个元素()12,,,nAaaa=，()12,,,nBbbb=，定义A与B之间的距离为1(,)niiidABab==−．若12,,,mnAAAX且()()()12231,,,mmdA

AdAAdAA−===，则称是12,,,mAAA是nX中的一个等距序列．（1）若1234(1,0,0,0),(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,1)AAAA====，判断1234,,,AAAA是否是4X中的一个等距序列？（2）设A

，B，C是3X中的等距序列，求证：(,)dAC为偶数；（3）设12,,,mAAA是6X中的等距序列，且161(1,1,,1)A=个，60(0,0,,0)mA=个，()12,5dAA=．求m的最小值．【答案】（1

）1234,,,AAAA不是4X中的一个等距序列（2）见解析（3）7【解析】【分析】（1）算出()12,dAA与()23,dAA验证不相等；（2）()(),,dABdBC=结果为0,1,2,3来讨论；（3）分析从1变成0经过变换次数的规律，根据()12,5dAA=知道每次需要变换几

个对应坐标.【小问1详解】()4121,110100001iiidAAab==−=−+−+−+−=()4231,101101002iiidAAab==−=−+−+−+−=()()1223,,dAAdAA所以1234,,,AAAA不是4X中的一

个等距序列【小问2详解】设()()()123123123,,,,,,AaaaBbbbCccc===把123123123,,aaabbbccc分别称作()()()123123123,,,,,,AaaaBbbbCccc===的第一个，第二个，

第三个坐标，若(),,0,1,2,3dABxx=则,AB中有x个对应坐标不相同，例如当(),1dAB=时，说明,AB中有1个对应坐标不相同，其中()()1,1,0,1,1,1AB==就是符合(),1dAB=的一种情况.①当()(),,0dABdBC==得ABC==，

所以(),0dAC=偶数②当()(),,1dABdBC==，则,AB中有1个对应坐标不相同，并且,BC中有1个对应坐标不相同，所以,AC中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即AC=则(),0dAC=，当有2个对应坐标

不相同时，(),2dAC=，都满足(),dAC为偶数.③当()(),,2dABdBC==则,AB中有2个对应坐标不相同，并且,BC中有2个对应坐标不相同，所以,AC中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即AC=则(),0dAC=，当有2个对应坐标不相同时，(

),2dAC=，都满足(),dAC为偶数.④当()(),,3dABdBC==则,AB中有3个对应坐标不相同，并且,BC中有3个对应坐标不相同，所以,AC中有0个对应坐标不相同，即AC=则(),0dAC=，满足(),dAC为偶数

.是综上：A，B，C是3X中的等距序列，则(,)dAC为偶数【小问3详解】根据第二问可得()12,5dAA=，则说明12,AA中有5个对应坐标不相同由iA变换到1iA+需改变5个坐标，保留1个不变，又

因为从1变成0经过奇数次变化，所以从161(1,1,,1)A=个变到60(0,0,,0)mA=个至少经过6次变换，每个坐标变换5次，故m的最小值为7.