【文档说明】高中数学人教B版必修4教学教案：2.4.1 向量在几何中的应用 含答案【高考】.doc，共(8)页，221.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-2.4.1向量在几何中的应用1．教学目标知识与技能：能用平面向量的知识来解决有关的平面几何中的实际问题；过程与方法：进一步巩固所学知识，提高分析和解决简单实际问题的能力，动手操作的能力以及用数学语言进行交流的能

力；情感态度与价值观：增强学生应用数学的意识，培养学生善于用辩证联系的观点看待问题。教学重点：两种基本技巧基底法和建系法的渗透。教学难点：平面几何与平面向量的相互转化和联系。学情分析：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由

向量的线性运算及数量积表示出来，这节课主要是把平面几何中的相关运算转换成向量运算。教学过程：【知识梳理】1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔________⇔____________.(2)证明垂直问

题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔__________⇔__________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝_______________＝_______________.(4)求线段的长

度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝______.（5）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如________、________等

问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．2．直线的方向向量和法向量(1)直线y＝kx＋b的方向向量为____________，法向量为__________．(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为__________，法向量为__________．答案1．(1)a＝λbx1y2－x2y1＝0(2)a

·b＝0x1x2＋y1y2＝0(3)a·b|a||b|x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(4)x2＋y2（5）距离，夹角．2．(1)(1，k)(k，－1)(2)(B，－A)(A，B)【自主探究】题型一：平面

几何的数值问题例1．设AM是ΔABC的边BC上的中线．任作一直线，使之顺次交AB、AC、AM于点P、Q、N．求证：2ANAM=APAB+AQAC．-2-QPNACBM思路导析：直接利用平面几何的知识求解这类数值问题，

由于直线PQ的任意性，很难找到入手解题的突破口．而引入平面向量，通过平面向量的运算、共线、相等等性质加以解题，可以非常巧妙地达到目的．解析：设AB=mAP，AM=tAN，AC=nAQ，则由PN，QN共

线可知，存在λ∈R使得PN=λQN，即AN－AP=λ（AN－AQ），于是（λ－1）AN=λAQ－AP，∴（λ－1）·t1·AM=λ·n1·AC－m1·AB，①又AM=21（AB+AC），②由①、②得：（n－t21−）AC－（t21−+m

1）AB=0，∴=+−=−−0121021mttn，解得m+n=2t，即命题得证．点评：通过引入平面向量，要按照平面向量已知的相关的定义或运算等结合平面几何的相应知识加以分析、推理、运算．要注意平面向

量与平面几何两者知识的联系和结合．通过平面向量的引入，达到巧妙解答平面几何中的数值问题，也是经常碰到的一类问题．题型二：利用向量证明平行和垂直问题已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是BD、AC的中点，如图所示，求证：EF∥BC，EF

∥AD.图2－4【思路点拨】选取AB→＝a，AD→＝b作基底，先证EF→∥BC→，再数形结合说明EF→与BC→无公共点证得EF∥BC，最后由平行线传递性证得EF∥AD.【规范解答】设AB→＝a，AD→＝b.-3-∵A

D∥BC，∴BC→＝λAD→.BD→＝AD→－AB→＝b－a.∵E为BD的中点，∴BE→＝12BD→＝12(b－a)．又∵F为AC的中点，∴BF→＝12(BA→＋BC→)＝12(λb－a)．∴EF→＝BF→－BE→＝12(λb－a)－12(b－a)＝12λ－12b.又∵b＝1λBC→，

∴EF→＝12λ－12·1λBC→，∴EF→∥BC→.又∵EF→、BC→不在同一条直线上，∴EF∥BC.又∵BC∥AD，∴EF∥AD.回顾归纳(1)本题利用平行向量基本定理证明两直线平行，解题时要注意灵活运用已知条件．(2)向量法证明直线平行，恰是向量平行问题的一种存在形式—它们的基线无

公共点．与前面例1比较，最大的区别在于，此处共线的两个向量没有公共端点．例2如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求BEEC的值．例2解方法一(基向量法)设BA→＝a，BC→＝b，|a

|＝1，|b|＝2.a·b＝|a||b|cos60°＝1，BD→＝a＋b.设BE→＝λBC→＝λb，则AE→＝BE→－BA→＝λb－a.由AE⊥BD，得AE→·BD→＝0.即(λb－a)·(a＋b)＝0.解得λ＝25，∴BEEC

＝2535＝23.方法二以B为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，根据条件，设B(0,0)，C(2,0)，A12，32，D52，32.又设E(m,0)，则BD→＝52，32，-4-AE→＝

m－12，－32.由AE⊥BD，得AE→·BD→＝0.即52m－12－32×32＝0，得m＝45，∴BEEC＝4565＝23.回顾归纳利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，

求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．变式训练2已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF.变式训练2证明以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标

系Oxy(如图所示)，设正方形边长为1，|OP→|＝λ，则A(0,1)，P2λ2，2λ2，E1，22λ，F22λ，0，于是PA→＝－22λ，1－22λ，EF→＝22λ－1，－22λ

.∵|PA→|＝－22λ2＋1－22λ2＝λ2－2λ＋1，同理|EF→|＝λ2－2λ＋1，∴|PA→|＝|EF→|，∴PA＝EF.PA→·EF→＝－22λ2λ2－1＋1－22λ－22λ＝0，∴PA→⊥EF→.∴PA⊥EF.题型三：利用向量求长度

和夹角问题例1.在平行四边形中有下列的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2-5-倍．请用向量法给出证明．例2.三角形ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连结DF.求证：∠

ADB＝∠FDC.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(2,0)，C(0,2)，则D(0,1)，于是AD→＝(－2,1)，AC→＝(－2,2)，设F(x，y)，由BF→⊥AD→，得BF→·AD→＝0，即(x，y)·(－2,1)＝0，∴－2x＋y＝0①又F点在AC上，则FC→∥AC→，而FC→＝(

－x,2－y)，因此2×(－x)－(－2)×(2－y)＝0，即x＋y＝2.②由①、②式解得x＝23，y＝43，∴F23，43，DF→＝23，13，DC→＝(0,1)DF→·DC→＝13，又DF→·DC→＝|DF→||DC

→|cosθ＝53cosθ，∴cosθ＝55，即cos∠FDC＝55，又cos∠ADB＝|BD→||AD→|＝15＝55，∴cos∠ADB＝cos∠FDC，故∠ADB＝∠FDC.题型四：向量在解析几何中的应用问题例1：()()的直线方程，且平行于向量，求过

点2,321=−aA【思路探究】在直线上任取一点P(x，y)，则AP→＝(x＋2，y－1)，由AP→∥a可以得【自主解答】设所求直线上任意一点P(x，y)，∵A(－2,1)，∴AP→＝(x＋2，y－1)．-6-(1)由题意知AP→∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，

即x－3y＋5＝0.∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.(2)由题意，知AP→⊥b，∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，即x－2y＋4＝0，∴所求直线方程为x－2y＋4＝0.思考：直线的倾斜角、斜率、方向向量三者之间的关系？1()()(

)laaalyxPlyxAkl平行于向量，，斜率为的倾斜角为设直线2111,,,,,=则_____________________________2.一定与该直线平行则向量如果直线的斜率________,12aak=变式一:()()的直线方程，且垂直于向量求过点2,32,

1-=aA【总结归纳】________;__________,0___________;__________,法向量为则直线的方向向量为已知直线法向量为则直线的方向向量为已知直线=+++=CByAxbkxy变式二：(

)平行的直线方程且与直线求过点，直线，已知lAyxlA,0934:21=+−−已知直线的方向向量，利用向量平行的条件求过一点与方向向量平行的直线方程已知直线的法向量，利用向量垂直的条件求过一点与法向量垂直的直线方程()()为直径的圆的方程求以变式三：已知AB

yxByxA,,,,2211设直线()不同时为零111111,0:BACyBxAl=++和直线()不同时为零222222,0:BACyBxAl=++则()⊥2121//llll或重合例2：(1)()_______1,1,062:的值为平行，则实数与向量已知直线mlmymxl−=++（

2）()()()()02321:0312:21=+++−=−−++yaxalyaxal和直线已知直线垂直，则__________的值为实数a()()()的长边上的高，求的是，，，，的顶点坐标中，已知在直角坐标系例ADBCABCADCBAABCxOy−−−,0.654112.3-7-例4.在△

ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程．解AB→＝(3,4)，AC→＝(－8,6)，∠A的平分线的一个方向向量为：AB→|AB→|＋AC→|AC→|＝35，4

5＋－45，35＝－15，75.∵∠A的平分线过点A.∴所求直线方程为－75(x－4)－15(y－1)＝0.整理得：7x＋y－29＝0.回顾归纳直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B)．这两个概念在求直线方程、判断两

条直线位置关系．求两条直线的夹角时非常有用．变式训练在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且|OC→|＝2，则OC→＝________.解析已知A(0,

1)，B(－3,4)，设E(0,5)，D(－3,9)，∴四边形OBDE为菱形．∴∠AOB的角平分线是菱形OBDE的对角线OD.设C(x1，y1)，|OD→|＝310，∴OC→＝2310OD→.∴(x1，y1)＝2310(－3,9)＝－105，3105

，即OC→＝－105，3105.【总结归纳】1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路

是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2→就是直线l的一

个方向向量，λP1P2→(λ∈R且λ≠0)也是直线l的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的向量都叫直线l的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．

熟知以下结论，在解题时可以直接应用．①y＝kx＋b的方向向量v＝(1，k)，法向量为n＝(k，－1)．②Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B).-8-