【文档说明】北京市北京大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷 Word版含解析.docx，共(20)页，1.452 MB，由小赞的店铺上传

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北京市北京大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量,ab是单位向量，且()2abb−⊥，则向量a与b的

夹角是（）A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】B【解析】【分析】由()2abb−⊥得到()20abb−=求出，利用向量积的运算可求得结果.【详解】设向量,ab的夹角为,0,π，因为,ab为单位向量，1ab==，因为()2abb−⊥，所以()2

222cos10abbabb−=−=−=，所以1cos2=.因为0,π，所以π3=.故选：B2.已知直线()12:510,:3240laxylxay−−=−++=，“3a=”是“1l∥2l”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条

件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意，由直线平行的判断方法分析“3a=”和“12ll//”的关系，结合充分必要条件的定义分析可得答案.【详解】若直线1:510laxy−−=与()2:3240l

xay−++=平行，则()2150aa−++=，解得3a=或5a=−，所以“3a=”是“1l∥2l”的充分不必要条件.故选：A.3.现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是

（）A.恰好两件正品与恰好四件正品B.至少三件正品与全部正品C.至少一件正品与全部次品D.至少一件正品与至少一件次品【答案】C【解析】【分析】根据对立事件的定义判断各选项.【详解】根据题意，选项A中事件为互斥事件，不是对立事件；选项

B、D中事件可能同时发生，全部正品是至少三件正品的子事件；选项C中事件为对立事件，全部次品不能存在有正品的事件.故选：C.4.如果满足45ABC=，6AB=，ACb=的ABCV有且只有一个，那么实数

b的取值范围是（）A.(0,6B.)6+，C.)32,6D.)632+，【答案】D【解析】【分析】求出A到BC距离，然后根据题意结合图形求解即可.【详解】因为在ABCV中，45ABC=，6AB=，所以A到BC距离2sin6322dABABC===，因为ABCV有且只有一个

，所以由图可知32b=或6b，即实数b的取值范围是)632+，.故选：D5.如图，空间四边形OABC中，OAa=，OBb=，OCc=，点M在OA上，且23OMOA=，点N为BC中点，则MN等于（）A.111222abc+−B.21

1322abc−++C.221332abc+−D.221332abc−+−【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果.【详解】∵点N为BC中点，∴111111()2

22222ONOBBNOBBCOBOCOBOBOCbc=+=+=+-=+=+，∴21122113223322MNONOMONOAbcaabc=-=-=+-=-++.故选：B.6.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱14AA=.

若侧面11AABB水平放置时，液面恰好过AC，BC，11AC，11BC的四等分点处，14CECA=，当底面ABC水平放置时，液面高为（）A.152B.154C.52D.158【答案】B【解析】【分析】利用等体积法列方程，由此求得正确答案.【详解】设当底面ABC水平放置时，液

面高为h，依题意，侧面11AABB水平放置时，液面恰好过AC，BC，11AC，11BC的四等分点处，14CECA=，所以水的体积1416ABCABCABCVSSSh=−=，解得154h=.故选：B7.

“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点𝑃(𝑥,𝑦)是阴影部分（包括边界）的动点，则2yx−值不可能是（）A.3

2−B.－1C.0D.1【答案】A【解析】【分析】将问题转化为点𝑃(𝑥,𝑦)与点()2,0A连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解.【详解】记()2,0A，则2ykx=−为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆()2211xy+−=，0x相切时，斜率k

最小，设APl：()2ykx=−，则2|12|11kk−−=+，解得43k=−或0k=(舍)，当直线过点()0,2−时，直线AP的斜率取得最大值1，即2yx−的最大值为1，因此4,123yx−−，故选：A．8.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E是CD的中

点，F是1CC上的动点，则三棱锥ADEF−外接球表面积的最小值为（）A10πB.11πC.12πD.13π【答案】D【解析】【分析】作出图形，设CFx=，利用基本不等式可求得tanDFE的最大值，可求得sinDFE的最大值，利用正弦定理求得DEF外接圆直径2r的最小值，可求得该三棱锥外接球直

径的最小值，由此可求得结果.【详解】如下图所示，设圆柱的底面半径为r，高为h，圆柱的外接球半径为R，取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点O到圆柱底面圆上每个点的距离都等于R，则O为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得()()22222r

hR+=.本题中，AD⊥平面DEF，设DEF的外接圆为圆1O，可将三棱锥ADEF−内接于圆柱12OO，如下图所示：.设DEF的外接圆直径为2r，ADh=，该三棱锥的外接球直径为2R，则()()22222Rrh=+.如下图所示：设CFx=，则02x，tanC

EFx=，tan2xCDF=，()tantantantan1tantanCEFCDFDFECEFCDFCEFCDF−=−=+211122242222122xxxxxxxxxx−=====+++，当且仅当2x=时，tanDFE取得最大值24，由

22sin2tancos4sincos1sin0DFEDFEDFEDFEDFEDFE==+=，解得1sin3DFE=，22cos3DFE=，所以sinDFE的最大值为13，由正弦定理得23sinDErDFE

==，即2r的最小值为3，因此()()22222223213Rrh=++=，所以三棱锥ADEF−外接球的表面积为24π13πSR=，故三棱锥ADEF−外接球的表面积的最小值为13π.故选：D.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面

为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性

底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得

0分.9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体甲被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1,2,,6,7m的平均数为4，则m的值为5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的中位数是17D.若样本数据1210,,,xxx的

标准差为8，则数据121021,21,,21xxx−−−的标准差为16【答案】AD【解析】【分析】利用概率可判断A；根据平均数求得m的值即可判断B；根据中位数的求法即可判断C；利用方差性质即可判断D.【详解】对于A，以简单随机抽样方式从该

总体中抽取一个容量为10的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为1010.2505==，故A正确；对于B，数据1，2，m，6，7的平均数是4，4512674m=−−−−=，故B错误；对于C，将8个数据从小到大排列为12,14,15,17,19,23,27,

30，则中位数为1719=182+，故C错误；对于D，依题意，方差为()28Dx=，则()()2221216DxDx−==，所以数据121021,21,,21xxx−−−的标准差为16，D正确；故选：AD.10.下列结论正确的是（）A.过点()2,2作圆()2211xy−+=的切线

，则切线方程为3420xy+=−B.已知0ab，O为坐标原点，点(),Pab是圆222xyr+=外一点，则直线2axbyr+=与圆相交C.已知直线10kxyk−−−=和以()3,1M−，()3,2N为端点的线

段相交，则实数k的取值范围为13,22−D.若圆M：()()22244xyr−+−=（0r）上恰有两点到点()1,0N的距离为1，则r的取值范围是()4,6【答案】BD【解析】【分析】对于A，分过点()2,2的直线斜率不存在与存在两种情况求解即可判断；对于B，根据点在圆外得到不等

关系，利于圆心到直线的距离与半径的关系进行判断即可；对于C，根据条件建立不等式，解出即可；对于D，问题转化为两个圆相交，列出不等式组，解出即可.【详解】对于A，当过点()2,2的直线斜率不存在时，直线方程为2x=，圆心(1,0)到直线2x=的距离为1

dr==，所以直线2x=与圆相切，当过点()2,2的直线斜率不存在时，设切线方程为(22)ykx−=−，即220kxyk−−+=，所以2|022|11kkdk−−−==+，解得34k=，即切线方程为3420xy+=−，综上所述：则切线方程为3420xy+=−或2x=，故A错误；对于B，因为点(,)

Pab是圆222xyr+=外一点，所以222abr+，又直线m的方程是2axbyr+=，所以圆心到直线m的距离22222||||rrdrabr==+，故m与圆相交，则B正确；对于C，10kxyk−−−=即(1)10kxy−−−=，则其过定点(1,1)P−，由点(1

,1)P−和()3,1M−，()3,2N，可得13,22PMPNkk=−=，直线10kxyk−−−=和以()3,1M−，()3,2N为端点的线段相交，则满足PMkk或PNkk，即12k−或32k，所以C错误；对于D，依题可知以(

)1,0N为圆心，1为半径的圆与圆M相交，因为圆M圆心为(4,4)，半径为r，所以|1|||1rMNr−+，又22||(41)(40)5MN=−+−=，所以|1|51rr−+，解得46r，故D正确.

故选：BD.11.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为3，点E，F分别在1CC，1BB上，12CEEC→→=，12BFFB→→=.动点M在侧面11ADDA内(包含边界)运动，且满足直线//BM平面1DEF，则（）A.过1D，E，F的平面截正方体所得截面为等腰梯形B.三棱锥1DEFM−的

体积为定值C.动点M所形成轨迹的长度为10D.过B，E，M的平面截正方体所得截面面积的最小值为310【答案】BCD【解析】的【分析】由题做出过1D，E，F的平面截正方体所得截面为梯形1DEFN，进而计算即可排除A

选项；根据//BM平面1DEF，由等体积转化法得1111DEFMMDEFBDEFDBEFVVVV−−−−===即可得B选项正确；取1AA靠近1A点的三等分点H，1DD靠近D点的三等分点I，易知M的轨迹为线段HI，其长度为10，故C

选项正确；过M点做BE的平行线交1AA于P，交1DD于O，连接,BPOE，易知过B，E，M的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE，进而得当H位于点I时，截面面积最小，为四边形ABEI的面积，且面积为310SABBE==.【详解】解：对于A选项

，如图，取BF中点G，连接1AG，由点E，F分别在1CC，1BB上，12CEEC→→=，12BFFB→→=，故四边形11ADEG为平行四边形，故11//AGDE，由于在11ABG△，F为1BG中点，当N为11AB中点时，有11////NFAGDE，故

过1D，E，F的平面截正方体所得截面为梯形1DEFN，此时221335322DN=+=，223110EF=+=，故梯形1DEFN不是等腰梯形，故A选项错误；对于B选项，三棱锥1DEFM−的体积等于

三棱锥1MDEF−的体积，由于//BM平面1DEF，故三棱锥1MDEF−的体积等于三棱锥1BDEF−的体积，三棱锥1BDEF−的体积等于三棱锥1DBEF−的体积，而三棱锥1DBEF−的体积为定值，故B选项正确；对于C选项，取1AA靠近1A点的三等分点H，

1DD靠近D点的三等分点I，易知1////HBAGNF，1//BIDF，由于1,HIBIINFDFF==，故平面//BHI平面1DEF，故M的轨迹为线段HI，其长度为10，故C选项正确；对于D选项，过M点做BE的平行线交1AA于P，交1DD于O，连接,BPOE，则过B，E，M的平面截正

方体所得截面即为平行四边形BPOE，易知当H位于点I时，平行四边形BPOE边BP最小，且为AB，此时截面平行四边形BPOE的面积最小，为四边形ABEI的面积，且面积为310SABBE==，故D选项正确；故选：BCD【点睛】本

题解题的关键在于根据题意，依次做出过1D，E，F的平面截正方体所得截面为梯形1DEFN，过B，E，M的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE，进而讨论AD选项，通过//BM平面1DEF，并结合等体积转化法得1111DEFMMDEFBDEFDBEFVVVV−−−−==

=知B选项正确，通过构造面面平行得M的轨迹为线段HI，进而讨论C选项，考查回归转化思想和空间思维能力，是中档题.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.7，0.5，0.4，若甲、乙、丙各投篮

一次（三人投篮互不影响），则至多有一人命中的概率为______.【答案】0.45##920【解析】【分析】利用独立事件的乘法公式、对立事件的概率公式以及互斥事件的概率加法公式求解即可.【详解】甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响），则没有人命中的概率为(10.7)(10.5)(10.

4)0.09−−−=，恰有一人命中的概率为0.7(10.5)(10.4)(10.7)0.5(10.4)(10.7)(10.5)0.40.36−−+−−+−−=，所以至多有一人命中的概率为0.090.360.45+=.故答案为：0.4513.过()1,2P的直线l

被曲线2240xxy−+=所截得的线段长度为23，则直线l的方程为__________.【答案】1x=或34110xy+−=【解析】【分析】根据曲线的方程确定曲线为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨

论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案.【详解】由曲线2240xxy−+=知，该曲线为圆()2224xy−+=且圆心为()2,0，半径为2r=.当直线斜率不存在时，

直线方程为𝑥=1，此时圆心到直线的距离为1d=.根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：22223lrd=−=，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为：()12ykx=−+，即20kxyk−−+=圆心到直线的距离为2221kkdk−+=+，当直线截圆所得线段长度23l=时根据

垂径定理2222ldr+=可得，22222223221kkk−++=+，解得34k=−此时直线方程为34110xy+−=.故答案为：𝑥=1或34110xy+−=.14.在梯形ABCD中，AB//1,2C4,2DADCCDABD

DADC===−，梯形ABCD外接圆圆心为O，圆上有一个动点P，求AOAP的取值范围__________．【答案】0,8【解析】【分析】根据单位向量的概念与数量积的定义，求出120ADC=，结合在梯形ABCD中，/

/ABCD，和圆内接四边形对角互补，可得梯形ABCD为等腰梯形，且𝐴𝐵中点为梯形ABCD的外接圆圆心，再建立平面直角坐标系进行求解即可.【详解】由12DADCDADC=−，得1cos2ADC=−∠，则120ADC=，又在梯形ABCD中，//ABCD，则60DAB=

，结合圆内接四边形对角互补可得60,120ABCDCB==，所以梯形ABCD是等腰梯形．又2C4ABD==，取AB中点O，可得，2OAOBOCODAD=====，O即为梯形ABCD外接圆圆

心O，所以，梯形ABCD外接圆以O为圆心，2为半径的圆.以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图：设(),,PxyOP是角的终边，又因为点P在圆O上，所以2cos,2sinxy==，即()2cos,2

sinP又𝐴(−2,0)，()()2cos2,2sin,2,0APAO=+=，4cos4AOAP=+，由cos1,1−，则4cos40,8+，故08AOAP．故答案为：

0,8【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定梯形ABCD外接圆的圆心O所在位置，主要考查了圆内接四边形的性质，平面向量的数量积的定义与运算性质，以及角的终边与圆交点的坐标表示，属于较难题.四、解答题：本题共5

小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，2PAADAB==，ABAC⊥，E为PD中点，F为PB中点，M为CE中点.（1）求证：平面ACE⊥平面PAB；（2）求证：//AF平面

BDM.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）证明出PAAC⊥，又ABAC⊥，即可证明出CA⊥平面PAB，从而证明出平面ACE⊥平面PAB．（2）由面面平行的判定，先证明平面//AEF平

面BDM，再利用面面平行的性质证明//AF平面BDM即可.【小问1详解】PA⊥底面ABCD，AC平面ABCD，PAAC⊥，又ABAC⊥，PAABA=，,PAAB平面PAB，CA⊥平面PAB，AC平面ACE，平面ACE⊥平面PAB．小

问2详解】连接EF、AE，连接AC交BD于点O，连接OM，因为底面ABCD为平行四边形，在ACE△中，M，O分别为CE，AC中点，//AEOM，又AE平面BDM，OM平面BDM，//AE平面BDM，在PBD△中，E，F分别为PD，PB中点，//EFBD．又EF平面

BDM，BD平面BDM，//EF平面BDM，又、AEEF平面AEF，AEEFE=，平面//AEF平面BDM，又AF平面AEF，所以//AF平面BDM．16.某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了“我知红楼”知识竞赛，

现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，并作出如图所示的频率分布直方图.【（1）求频率分布直方图中a的值.（2）求样本数据的第62百分位数.（3）已知样本数据落在[

50,60)的平均数是52，方差是6；落在[60,70)的平均数是64，方差是3.求这两组数据的总平均数x和总方差2s.【答案】（1）0.030a=（2）79分（3）60x=，236s=【解析】【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1列式即可求解；（2）由频率分布直方图求第百分位

数的计算公式即可求解；（3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解.【小问1详解】由()0.0050.0100.0200.0250.010101a+++++=，解得0.030a=；【小问2详解】因

为()0.0050.0100.020100.35++=，()0.0050.0100.0200.030100.65+++=，所以样本数据的第62百分位数在)70,80内，可得0.620.357010790.3−+=，所以样本数据的第62百分

位数为79分；【小问3详解】样本数据落在[50,60)的个数为0.110010=，落在[60,70)的个数为0.210020=，102052646010201020=+=++x，总方差()()222102065260

364603610201020s=+−++−=++.17.在ABCV中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知12cossin2sinsinBCAB=+．（1）求C；（2）若32abc+=且3a=，求ABCV的外接圆半径．【答案】（1）2π3C=（2）733【解析】【

分析】（1）根据()sinsinABC=+结合三角恒等变换化简整理即可得结果；（2）根据题意利用余弦定理可得7c=，进而利用正弦定理求外接圆半径.【小问1详解】因为12cossin2sinsinBCAB=+，即2sin

sin2sincosABCB+=，且()sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+，即2sincos2cossinsin2sincosBCBCBCB++=，则2sincossin0BCB+=，且()0,πB，则sin0B，可得1c

os2C=−，且()0,πC，所以2π3C=.【小问2详解】因为32abc+=且3a=，则290bc=−，可得92c，由余弦定理可得2222coscababC=+−，即()()22192923292ccc=+−−−−，整理可得2

10210cc−+=，解得7c=或3c=（舍去），所以ABCV的外接圆半径7732sin3322cRC===.18.如图，四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是矩形，PAPB=，PCPD=，且平面PAB⊥平面PCD．,EF分别是,ABCD的

中点．22ABBC==．（1）求证：PEF!是直角三角形；（2）求四棱锥PABCD−体积的最大值；（3）求平面PEF与平面PBC的夹角余弦值的范围．【答案】（1）证明见解析（2）62（3）3(0,]3【解析】【分析】（1）设平面PAB平面PCDl=

，由面面垂直的性质定理以及线面平行的性质定理即可得PE⊥PF，则△PEF是直角三角形；（2）求出P到平面ABCD的最大距离即可得四棱锥P―ABCD体积最大值；（3）利用空间向量法可求平面PEF与平面PBC夹角余弦值的表达式，再利用换元法以及导数的

知识可得最值.【小问1详解】设平面PAB平面PCDl=，由于//ABDC，AB平面ADC，CD平面ADC，因此//AB平面PDC，而AC平面APB，平面PAB平面PCDl=，因此//ABl，而ABPE⊥，因此lPE⊥．而平面PAB⊥平面PCD，平面PAB平面PCDl=，PE

平面PAB，因此PE⊥平面PDC，而PF平面PDC，因此PEPF⊥故△PEF是直角三角形．【小问2详解】.由于PEPF⊥，1EF=，因此P是以EF为直径半圆上的点．而,ABEFABPE⊥⊥，PEEFE=，,PEEF平面PEF，因此AB⊥平面PEF，

而AB平面ABCD，因此平面PEF⊥平面ABCD．故P到平面ABCD的最大距离为12，四棱锥PABCD−体积最大为1126232=．【小问3详解】设EF中点为O，作过O垂直EF的直线m．设平面PEF与平面PBC夹角为．以O为原点，OE，m，过O垂直于平面ABCD的直线分别为x轴、y轴、z轴

，建立空间直角坐标系Oxyz−．则1(,0,0)2E，1(,0,0)2F−，)212,(2,0B，)2,120(2,C−，并设11(cos,0,sin)22P．平面PEF的一个法向量为(0,1,0

)m=，)2i111()(2cos,2,sn(0π2)2,BP=−−，(1,0,0)BC=−，设平面PBC的法向量为n，因此00PBnBCn==，可取(0,sin,2)n=22sinco

ssin=+，不妨设0sin(,1]t=，2()2tftt=+，222()202()tttf+=+，因此cos随sin增大而增大因此3(0,]cos3．【点睛】方法点睛：涉及最值问题时，若无法利用函数的性质以及

基本不等式解决，可以考虑使用导数进行求解.19.已知圆C与直线320xy−+=相切于点()1,3，且圆心C在x轴的正半轴上.（1）求圆C的方程；（2）过点()1,0A作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点()4,0B，直线BN和直线OM交于点G.证明：点G在一条定直线上，

并求此直线的方程.【答案】（1）()2224xy−+=（2）证明见解析，2x=−【解析】【分析】（1）设圆心(),0Ca，利用垂直关系求出圆心坐标，从而利用距离公式求出半径，即可求出圆的方程；（2）设直线MN方程，与圆方程联立，得到韦达定理式，求出直线OM和直线BN的方程，联立求得2Gx=−

，即可证明.【小问1详解】由圆心C在x轴的正半轴上设圆心()(),00Caa，又圆C与直线320xy−+=相切于点()1,3，则3031a−=−−，解得2a=，所以()2,0C，半径()()2221032r=−+−=，所以圆C方程为：()2224xy

−+=.【小问2详解】设𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)，直线MN方程为：1xmy=+，联立()22241xyxmy−+==+得()221230mymy+−−=，()()222Δ212116120mmm=−++=+，12221myym+=

+，12231yym−=+，直线OM方程为：11yyxx=，直线BN方程为：𝑦=𝑦2𝑥2−4(𝑥−4)，联立()112244yyxxyyxx==−−，可得的()2222121221221112122223344411422343321mmyyxy

myyymmxmxyxyyyyyyyym−−+++++=====−−+++−−+，所以点G在直线2x=−上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下：①设直线方程，设交点坐标为𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)；②联立直线与圆的

方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算；③列出韦达定理；④将所求问题或题中的关系转化为12xx+，21xx(或12yy+，12yy)的形式；⑤代入韦达定理求解.