【文档说明】河北省元氏县第四中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷 含答案.doc，共(10)页，963.084 KB，由小赞的店铺上传

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12020-2021学年度第一学期期末考试高二数学试题时间：120分钟满分：150分一．单选题（共8小题，每小题5分，满分40分。）1．已知直线l1：tx+2y﹣3＝0，l2：（t﹣1）x+ty+3＝0，则“t2+2t+1＝0”是“l1⊥l2”的

（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β＝l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B

．②③④C．①③D．②④3．已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（）A．p∧qB．p∧￢qC．￢p∧qD．￢p∧￢q4．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，其焦点到

渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，﹣4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）6．直线xsi

nα+y+2＝0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，π）B．[0，]∪[，π）C．[0，]D．[0，]∪（，π）7．直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△

ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]8．直线x+y＝1与圆x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）没有公共点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（0，）二．多项选择题（共4小题，每小题5分，满分20分。在每小题

给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（）A．x﹣y+1＝0B．x+y﹣3＝0C．2x﹣y＝0D．x

﹣y﹣1＝010．已知双曲线C过点（3，）且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是（）A．C的方程为y2＝1B．C的离心率为C．曲线y＝ex﹣2﹣1经过C的一个焦点D．直线x1＝0与C有两个公共点11．

已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（）A．p是q的既不充分也不必要条件2B．p是s的充分条件C．r是q的必要不充分条件D．s是q的充要条件12．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴

上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是（）A．椭圆C的方程为x2＝1B．椭圆C的方程为y2＝1C．|PQ|D．△PF2Q的周长为4三．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分。）13．坐标原点关于直线x﹣y﹣6＝0的对称

点的坐标为．14．若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为．15．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．16．若直线3x﹣4y+5＝0与圆x2+y2＝

r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB＝120°，（O为坐标原点），则r＝．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知直线l的方程为2x﹣y+1＝0（1）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程；（

2）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线l2的方程．18．（12分）已知圆C经过点A（2，0）、B（1，），且圆心C在直线y＝x上．（1）求圆C的方程；（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的

方程．19．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AC，AB1的中点，（1）求直线AB1和平面A1B1C1D1所成的角大小；（2）求证：EF∥平面BB1C1C．20．（12分）设F1，F2分别是椭

圆E：1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|．（1）若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；（2）若cos∠AF2B，求椭圆E的离心率．21．（12分）

已知p：对于∀x∈R，x2+kx+k＞0成立，q：关于k的不等式（k﹣m）（k﹣2）≤0（m＜2）成立．（1）若p为真命题，求k的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．22．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝

AC＝2，AA1＝4，点D是BC的3中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与平面A1BA所成的锐二面角（是指不超过90°的角）的余弦值．2020-2021学年度第一学期期末考试高二数学参考答案与试题解

析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．已知直线l1：tx+2y﹣3＝0，l2：（t﹣1）x+ty+3＝0，则“t2+2t+1＝0”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解

答】解：∵t2+2t+1＝0，∴t＝﹣1，由l1：tx+2y﹣3＝0，l2：（t﹣1）x+ty+3＝0，当l1⊥l2时，有t（t﹣1）+2t＝0，解得t＝0或﹣1，故t2+2t+1＝0⇒l1⊥l2，但l1⊥l2推不出t2+2t+1＝0，故t2+2t+1＝

0是l1⊥l2的充分不必要条件，故选：A．2．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β＝l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②

③④C．①③D．②④【解答】解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；因为直线l

⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选：C．3．已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．

命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（）A．p∧qB．p∧￢qC．￢p∧qD．￢p∧￢q【解答】解：命题p：∃x＝0∈R，使x2﹣x+1≥0成立．故命题p为真命题；当a＝1，b＝﹣2时，a2

＜b2成立，但a＜b不成立，故命题q为假命题，故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题；命题p∧￢q为真命题，4故选：B．4．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，其焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为

（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得＝2，一条渐近线l：bx﹣ay＝0，设双曲线的右焦点为F（c，0），则点F到直线l的距离d，所以c，离心率e，故选：B．5．已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，﹣4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C

．（x≠0）D．（x≠0）【解答】解：∵△ABC的周长为20，顶点B（0，﹣4），C（0，4），∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选：B．6．直线xsinα

+y+2＝0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，π）B．[0，]∪[，π）C．[0，]D．[0，]∪（，π）【解答】解：直线xsinα+y+2＝0的斜率为k＝﹣sinα，∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k≤1∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π）

故选：B．7．直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]【解答】解：∵直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，得x＝﹣2，∴A

（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|2，∵点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，∴设P（2，），∴点P到直线x+y+2＝0的距离：d，∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d∈[]，∴△ABP面积的取值范围是：5[，]＝[2，6]．故选：A．8．直线x+y＝1与圆x2+y2﹣2ay

＝0（a＞0）没有公共点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（0，）【解答】解：把圆x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）化为标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，所以圆心（0，a），半径r＝a，由直线与

圆没有公共点得到：圆心（0，a）到直线x+y＝1的距离dr＝a，当a﹣1＞0即a＞1时，化简为a﹣1a，即a（1）＞1，因为a＞0，无解；当a﹣1＜0即0＜a＜1时，化简为﹣a+1a，即（1）a＜1，a1，所以a的范围是（0，1）故选：A．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（）A．x﹣y+1＝0B．x+y﹣3＝0C．2x﹣y＝0D．x﹣y﹣1＝0【解答】解：当直线经过原点时，斜率为k2，所求的直线方程为y＝2

x，即2x﹣y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A（1，2）代入可得1﹣2＝k，或1+2＝k，求得k＝﹣1，或k＝3，故所求的直线方程为x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0；综上知，

所求的直线方程为2x﹣y＝0、x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0．故选：ABC．10．已知双曲线C过点（3，）且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是（）A．C的方程为y2＝1B．C的离心率为C．曲线y＝ex﹣2﹣1经过C的一个焦点D．直线x1＝0与C有两个公共点【解答】解：

设双曲线C的方程为1（mn＜0），根据条件可得1，且，解得m＝3，n＝﹣1，所以双曲线C的方程为，故A对；离心率e，故B错；双曲线C的焦点为（2，0），（﹣2，0），将x＝2代入得y＝e0﹣1＝0，所以C对；联立，整理得y2﹣2

y+2＝0，则△＝8﹣8＝0，故只有一个公共点，故D错，故选：AC．11．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（）6A．p是q的既不充分也不必要条件B．p是s的充分条件C．r是q的必要不充分条件D．s是q的充要条件【解答】解：由已知得：p⇒r⇒

s⇒q；q⇒r⇒s．∴p是q的充分条件；p是s的充分条件；r是q的充要条件；s是q的充要条件．∴正确的是B、D．故选：BD．12．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是（）A．椭圆C的方

程为x2＝1B．椭圆C的方程为y2＝1C．|PQ|D．△PF2Q的周长为4【解答】解：由已知得，2b＝2，b＝1，，又a2＝b2+c2，解得a2＝3．∴椭圆方程为．如图：∴|PQ|，△PF2Q的周长为4a＝4．故选：ACD

．三．填空题（共4小题）13．坐标原点关于直线x﹣y﹣6＝0的对称点的坐标为（6，﹣6）．【解答】解：设坐标原点关于直线x﹣y﹣6＝0的对称点的坐标为（a，b），则，解得a＝6，b＝﹣6，∴坐标原点关于直线x﹣y﹣6＝0的对称点的坐标为（6，﹣6）．故答案为：（6，﹣6）．14．

若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为x+2y﹣5＝0．【解答】解：由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为，故切线的方程为y﹣2（x﹣1），即x+2y﹣5＝0，故答案为：x+2y﹣5＝0．15．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，

则这个球的体积为7．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2＝18，则a2＝3，即a，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a＝2R，即R，则球的体积Vπ•（）3；故答案为：．16．若直线3x﹣4y

+5＝0与圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB＝120°，（O为坐标原点），则r＝2．【解答】解：若直线3x﹣4y+5＝0与圆x2+y2＝r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB＝120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5＝0的距离

d＝rcosr，即r，解得r＝2，故答案为：2．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知直线l的方程为2x﹣y+1＝0（1）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程；（2）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离

为的直线l2的方程．【解答】解：（Ⅰ）设与直线l：2x﹣y+1＝0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m＝0，把点A（3，2）代入可得，3+2×2+m＝0，解得m＝﹣7．∴过点A（3，2），且与直线l垂直的

直线l1方程为：x+2y﹣7＝0；（Ⅱ）设与直线l：2x﹣y+1＝0平行的直线l2的方程为：2x﹣y+c＝0，∵点P（3，0）到直线l2的距离为．∴，解得c＝﹣1或﹣11．∴直线l2方程为：2x﹣y﹣1＝0或2x﹣y﹣11＝0．18．（12分）已知圆C经过点A（2，0）、B（1，

），且圆心C在直线y＝x上．（1）求圆C的方程；（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程．【解答】解：（1）AB的中点坐标（，），AB的斜率为．可得AB垂直平分线为x+6y＝0，与x﹣y＝0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，所以圆C的方程为x2+y2＝4；（

2）直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，又直线l过（1，），8∴直线l的方程为yk（x﹣1），即y＝kxk，则圆心（0，0）到直线的距离d，又圆的半径r＝2，截得的弦长为2，则有，解得：k，则直线l的方程为yx．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1

，满足题意．直线l的方程：x＝1或yx．19．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AC，AB1的中点，（1）求直线AB1和平面A1B1C1D1所成的角大小；（2）求证：EF∥平面BB1C1C．【解答】解法一（向量法）解：（1）以

D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，A（2，0，2），B1（2，2，0），（0，2，﹣2），平面A1B1C1D1的

法向量（0，0，1），设直线AB1和平面A1B1C1D1所成的角为θ，则sinθ，∴θ＝45°，∴直线AB1和平面A1B1C1D1所成的角为45°．证明：（2）E（2，1，1），F（1，1，2），（﹣1，0，1），平面BB1C1C的法向量（0，1，0

），0，且EF⊄平面BB1C1C．∴EF∥平面BB1C1C．解法二（几何法）：解：（1）∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴∠AB1D1是直线AB1和平面A1B1C1D1所成的角，∵AA1⊥A1B1，且AA1＝

A1B1，∴∠AB1D1＝45°，∴直线AB1和平面A1B1C1D1所成的角为45°．证明：（2）连结B1C，∵E，F分别是AC，AB1的中点，∴EF∥B1C，∵EF⊄平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，∴EF∥平面BB1C1

C．920．（12分）设F1，F2分别是椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|．（1）若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；（2）若cos∠AF2B，求椭圆E的离心率．【解答】解：（1）∵|AB|＝4，|AF1

|＝3|F1B|，∴|AF1|＝3，|F1B|＝1，∵△ABF2的周长为16，∴4a＝16，∴|AF1|+|AF2|＝2a＝8，∴|AF2|＝5；（2）设|F1B|＝k（k＞0），则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2

a﹣3k，|BF2|＝2a﹣k∵cos∠AF2B，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2＝|AF2|2+|BF2|2﹣2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，∴（4k）2＝（2a﹣3k）2+（2a﹣k）2（2a﹣3k）（2a﹣k）

，化简可得（a+k）（a﹣3k）＝0，而a+k＞0，故a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴ca，∴e．21．（1

2分）已知p：对于∀x∈R，x2+kx+k＞0成立，q：关于k的不等式（k﹣m）（k﹣2）≤0（m＜2）成立．（1）若p为真命题，求k的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．【解答】解：（1）若p为真命题，则判别式△＝k2﹣4k＜0，得0＜k＜4，即实

数k的取值范围是（0，4）．（2）由（k﹣m）（k﹣2）≤0（m＜2）得m≤k≤2，即q：m≤k≤2若p是q的必要不充分条件，即q⇒p，反之不成立，即当m≤k≤2时，x2+kx+k＞0恒成立，即[m，2]⫋（0，4），即0＜m＜2，即实数m的取值范围是（0，

2）．22．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．10（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与平面A1BA所成的锐二面角（是指不超过9

0°的角）的余弦值．【解答】解：（1）以{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴（2，0

，﹣4），（1，﹣1，﹣4），∴cos，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z＝1，得y＝﹣2，x＝2，∴平面ADC1的法向量为（2，﹣2，1），设平面ADC1与ABA1所

成二面角为θ，∴cosθ＝|cos，|＝||，∴平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值为：．