【文档说明】黑龙江省漠河市高级中学2021届高三第三次摸底考试数学（理）试卷含答案.doc，共(12)页，1.240 MB，由小赞的店铺上传

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注意：本试卷共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1.已知集合R|1|2}A

xx=−，2R230}Bxxx=+−，则=ABA.)3,1−−B.)1,3C.(1,1−D.(),33,−−+2.复数21zi=−,则||z=A.1B.2C.2D.223.天文学中

为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..MRPogs

on)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足()12212.5lglgmmEE−=−．其中星等为im的星的亮度为()1,2iEi=．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星

等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当x较小时，21012.32.7xxx++)A.1.22B.1.24C.1.26D.1.28高三年级第三次摸底考试数学（理）学科试题ABCDEF1C1B1

D1A4.若,xy满足约束条件212xyxy+，则zyx=−的取值范围是A.1,0−B.1,2−C.0,1D.0,25.已知等差数列na的前n项和为nS，且918S=，71a=，则1a=A.4B.2C.12−D.1−6.已知抛物线2:8Cyx=的焦点为F，准

线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点．若4FPFQ=，则||QF=A.72B.3C.52D.27.函数2()2lnfxxx=−的单调递减区间是A.11(,)22−B.1(,)2+C.1(0,)2D.11,,22−−+8.若函数()sin()(0)

6fxx=−在区间(0,1)上有最大值，则的取值范围为A.2,3+B.20,3C.5,3+D.25,339.关于直线,mn与平面,，有以下四个命题：①若//

,//mn且//，则//mn；②若,mn⊥⊥且⊥，则mn⊥；③若,//mn⊥且//，则mn⊥；④若//,mn⊥且⊥，则//mn；其中真命题的序号是A.①②B.③④C.①④D.②③10.若01xy，则A.231xyB.11()()133x

yC.log3log40xyD.log4log30yx11.如图所示，正方体1111ABCDABCD−中，点,EF分别在1,ADAC上，且1123AEAD=，13AFAC=，则EF与11CD所成角的余弦值为A.3

9B.66C.33D.6312.已知双曲线2222:1(0,0)−=xyCabab的左右焦点分别为12,FF，O为坐标原点，点M为双曲线右支上一点，若122FFOM=，213MFF，则双曲线C的离心率的取值范围为A.(1,31]+B.[3,31

]+C.[31,33)+D.[31,)++第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题

卡中的横线上).13.若向量a与b的夹角为60，4=b，(2)(3)72abab+−=−，则a=________.14.若1cos()43x+=，则sin2x=________.15.已知数列{}na满足331log1lognnaa++=*()nN，且2469aaa++=，则3579log

()aaa++＝________.16.设点P在曲线()xyaae=上，点Q在曲线logayx=上，若min22||PQe，则a的取值范围是________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分

，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，设()(sinsin)(3)sinabABcbC+−=−.（1）求A；（2）若2a=，且sin,sin,sinBA

C成等差数列，求ABC的面积．18.（本小题满分12分）某市为进一步改善市内交通状况，准备修建一条新的地铁线路，为了调查市民对沿线地铁站配置方案的满意度，现对居民按年龄（单位：岁）进行问卷调查，从某

小区年龄在[15,65]内的居民中随机抽取100人，将获得的数据按照年龄区间[15,25),[25,35),[35,45),[45,55),[55,65]分成5组，同时对这100人的意见情况进行统计得到频率分布表．经统计，在这1

00人中，共有65人赞同目前的地铁站配置方案．分组持赞同意见的人数占本组的比例[15,25)150.6[25,35)ab[35,45)80.8[45,55)200.8[55,65]120.6（1）求a和b的值；（2）在这100人中，按分层抽样的方法从年龄在区间[25,35)，[35

,45)内的居民（包括持反对意见者）中随机抽取6人进一步征询意见，再从这6人中随机抽取3人参加市里的座谈，记抽取参加座谈的3人中年龄在[25,35)的人数为X，求X的分布列和数学期望．19.（本小题满分12

分）如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD是等腰梯形，//ABCD，1==BCCD，2=AB．PBC是等边三角形，平面PBC⊥平面ABCD，点M在棱PCABDCPM上．（1）当M为棱PC中点时，求证：APBM⊥；（2）是否存在点M使得二面角DMBC−−的余弦值为34，若存在，求CM的长；若不

存在，请说明理由．20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为63，短轴长为2，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l与椭圆C交于,AB不同两点，线段AB中点在圆221xy+

=上，求AOB面积的最大值．21.（本小题满分12分）已知函数1()lnfxxaxx=−+．（1）若2a，证明：当)1,x+时，()0fx；（2）若()fx存在两个极值点12,xx（12xx）且52a，求12()()fxfx−的最大值．请在22、23二题中任选一题做答，如

果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为23cos,2sin==xθyθ（θ为参数），直线l的参数方程为3cos,1sin=+=+xtαytα（t为参数）．（1）

求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(3,1)，求l的倾斜角．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数()4|2||21|fxxax=−+−−．（1）当2a=时，求不等式()fxx的解集；（2）若()2fx，

求a的取值范围．数学（理）答案1-12BCCDABCADDCA13.614.7915.516.[,)ee+17.解：（1）由题意，()(sinsin)(3)sinabABcbC+−=−，222()()3abababcbc+−=−=−，即2223bcabc+

−=，22233cos222bcabcAbcbc+−===，在ABC中，(0,)A，6A=（2）2a=，且sin,sin,sinBAC成等差数列，由正弦定理得24bca+==，又由（1）知6A=，22222()216243cos2222bcabcbcabcAbcbcbc+−+

−−−−====12(23)bc=−，ABC的面积sin12(23)13(23)222ABCbcAS−===−18.解：（1）由题意，815201265a++++=，10a=。8152012650.80.60.80.6ab++++=，即1010252520100b++++=，

0.5b=（2）年龄在区间[25,35)的居民共有20人，年龄在区间[35,45)的居民共有10人，按分层抽样抽取6人，则共有4人年龄在[25,35)内。则X的可能取值为1,2,312423641(1)205CCPXC====,2142361

23(2)205CCPXC====,30423641(3)205CCPXC====则X的分布列为X123P153515X的数学期望是1233110()25555EX=++==19.证明：（1）连结AC，由题意，底面AB

CD是等腰梯形且2,1ABBCCD===，则3ABC=,由余弦定理知3AC=,222ACBCAB+=,,2ACBACBC=⊥.平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC平面ABCDBC=,AC⊥平面PBC，BM平面PBC,AC⊥BM,M为棱PC中点,且PBC

是等边三角形，BMPC⊥,又PCACC=,BM⊥平面APC，APBM⊥.（2）假设存在点M使得二面角DMBC−−的余弦值为34.由题意过点P作POBC⊥交BC于点O,Q平面PBC⊥平面ABCD,PO⊥平面ABCD,取AB中点E,连结OE,则//OECA,由（

1）知OE⊥平面PBC,所以以O为原点，以,,OCOEOP所在直线为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.31(0,0,0),(0,0,),(,0,0),22OPC1(,0,0)2B−,3(1,,0)2D,设(01)CMtCPt=uuuruur，则13(,0

,)22tMt−.133(,,)222tDMt−−=−uuuur，33(,,0)22DB=−−uuur设平面DMB的一个法向量为(,,)axyz=r，则1330222taDMxytz+=−−+=ruu

uur33022aDBxy=−−=ruuur，令3x=，则3y=−，2tzt−=2(3,3,)tat−=−r易知平面MBC的一个法向量为(0,1,0)b=r，则22333|cos,|422||||39()12()ababttabtt

====−−+++rrrrrr，则22()4tt−=，22tt−=−，即23t=，22||||33CMCMCP===uuuruur20.解:（1）由题意知63cea==，得2223ca=，22113ba==，23a=ABDCPMOyxzE椭圆C的标准方程为22

31xy+=.（2）当直线l的斜率不存在时，令1x=，得63y=，12123366AOBS==，当直线l的斜率存在时，设直线l方程为(0)ykxmk=+，()11,Axy，()22,Bxy，弦中点(

)00,Dxy，由2233ykxmxy=++=，得()222363301kxkmxm++−=+，则122614kmxxk+=−+，21223331mxxk−=+，2222223612(1)(31)

12(31)0kmmkkm=−−+=+−所以02331kmxk=−+，2002233311kmmykxmmkk+=+−+=+=，将223,3311kmmkk++−代入221xy+=，得()22221391kmk+=+，此时2

22222222(31)72(31)12(31)12[31]09191kkkkmkkk++=+−=+−=++又因为()22121214ABkxxxx=++−22222311133kkmk+=++−，原点到直线l的距离21mdk=+，所以222221132312311AOB

mSkkmkk=++−++22222222223133(31)913333111191kmkkkmkkkk+++=−=+−++++222222222223(31)6||(31)(31)323291(91)(316)kkkkkkkkkk+++===+

+++22222222422(31)132323136(31)12(31)361231kkkkkkkkkk+==++++++++22221133232224313621231kkkk==+++当且仅当2222313631kkkk+=+，即22631kk=+时，即33k=

时取等号.综上，AOB面积的最大值为32.法二：222221132312311AOBmSkkmkk=++−++22222223331333131221mkkmkkmm=−+−++=++当且仅当22312km+=时，即231k=时，即33k=时取等号.综上，AOB面积的最

大值为32.21.解:（1）当)1,x+时，ln0x，故当2a时,1()2lnfxxxx−+,所以只需证1()2ln0gxxxx=−+即可.因222221221(1)()1=0xxxgxxxxx−+−=−−+=−−.所以()gx在(0,)+为

单调递减函数而(1)=0g，所以当)1,x+时，有()0gx,即当)1,x+时，()0fx成立.（2）()fx的定义域为(0,)+，22211()1axaxfxxxx−+=−−+=−.所以当52a时，21=0xax−+有两个正根12,xx，即()fx存在两个极值点.由于(

)fx的两个极值点12,xx满足方程210xax−+=所以121xx=，12xxa+=，则有11152xax+=，由12xx，解得1102x1211221211()()lnlnfxfxxaxxaxxx−=−+−+−21121122lnxxxxxaxxx−

=+−+1212122()()lnxxxxxx=−++11111112()2()lnxxxxx=−++令111()2()2()ln,0.2hxxxxxxx=−++那么2211111()2(1)2(1

)ln2(),0.2hxxxxxxxx=−−+−++212(1)lnxx=−当102x时，21()2(1)ln0hxxx=−所以()hx在10,2上是增函数，所以()hx的最大值为1()35ln

22h=−即12()()fxfx−的最大值为35ln2−22.解：（1）曲线C的直角坐标方程为221124xy+=．当cos0时，l的直角坐标方程为tan13tanyx=+−，当cos0=时，l的直角坐标方程为3x=．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方

程22(12sin)2(3cos3sin)90tt+++−=．①因为曲线C截直线l所得线段的中点(3,1)在C内，所以①有两个解，设为1t，2t，则120tt+=．又由①得1222(3cos3sin)

12sintt++=−+，故3cos3sin0+=，于是直线l的斜率3tan3k==−，于是直线l的倾斜角是56。23.解：（1）当2a=时，45,1,1()1,1,2143,.2xxfxxxx+−=

−−+可得()fxx的解集为53{|}35xx−．（2）()2fx等价于|2||21|2xax++−．即是1||||122axx++−而11||||||2222aaxx++−+，且当12x=时等号成立．

故()2fx等价于1||122a+．由|1|2a+可得3a−或1a，所以a的取值范围是(,3][1,)−−+．