【文档说明】广西钦州市2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷 Word版含解析.docx，共(16)页，815.462 KB，由小赞的店铺上传

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2024年10月月考高二数学试题学校：______姓名：______班级：______考号：______一､单选题1.已知复数()122i,izzaa=−=+R，若复数12zz为纯虚数，则实数a的值为（）A.12−

B.12C.-2D.2【答案】A【解析】【分析】求出12zz，再根据纯虚数概念得解.【详解】由已知，复数()()()()122ii212izzaaa=−+=++−为纯虚数，所以210,20,aa+=−得12a=−.故选：A.2

.直线310xy−+=的倾斜角为（）A.150B.120C.60oD.45【答案】C【解析】【分析】根据斜率与倾斜角之间的关系即可得到答案.【详解】设直线的倾斜角为，由题意得tan3k==，又因为0180，则60=，

故选：C.3.由1,2,3三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取1个数，恰为偶数的概率是（）A.16B.13C.12D.23【答案】B【解析】【分析】利用古典概型概率公式求解即可.【详解】由题意得1,2,3三个数字中只有1个偶数

，且设概率为P，所以13P=，即任取1个数，恰为偶数的概率是13，故B正确.故选：B4.定义运算(,)(,)abcdacbd=−，则符合条件(,12i)(1i,1i)0z++−=的复数z的所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第

三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意，结合新定义的运算和复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意结合新定义的运算，得：()()()(,12i)(1i,1i)1i12i1i0zz+

+−=+−+−=，则()()()1i12i12ii2i1iz−=+=+−=−+，故复数z对应的点()2,1−位于第四象限.故选：D5.“16a=”是“直线210xay+−=与直线()3110axay−−+=平行

”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行的条件进行判断【详解】当16a=时，直线210xay+−=与直线()3110ax

ay−−+=，即为直线1103xy+−=与直线111026xy−−+=的斜率都是3−，纵截距不同，则两直线平行，是充分条件；若直线210xay+−=与直线()3110axay−−+=平行，当0a=时，两直线方程都为10x−=，直线重合不符合题意，当0a时，两直线平行则斜率相等，截距

不相等13111,22aaaaa−−=，解得16a=，是必要条件；故选：C6.已知定义在R上的函数f（x）满足（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，设20.32a0.3blog0.3c2===，，，则（

）A()()()fafcfbB.()()()fbfafcC.()()()fbfcfaD.()()()fafbfc【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数f（x）在

R上为增函数，又由0＜a=0.32＜1，b=log20.3＜0，c=20.3＞1，分析可得答案．【详解】根据题意，定义在R上的函数f（x）满足（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，则函数f（x）在R上为增函数，又由0＜a=0.3

2＜1，b=log20.3＜0，c=20.3＞1，则有b＜a＜c，则f（b）＜f（a）＜f（c），故选B．【点睛】本题主要考查了函数的单调性的判定及应用，其中解答中根据题意正确得到函数的单调性，合理利用函数的单调性进行比较是解

答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.若函数()πsin34fxx=−的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数()ygx=的图象，下列关于函数()gx的说法中，不正确的是（）

A.函数()gx的图象关于直线π12x=对称B.函数()gx的图象关于点π,04对称C.函数()gx的单调递增区间为ππ2π,2π412kk−++，kZD.函数π12gx−是奇函数【答案】

C【解析】【分析】根据函数()sinyAx=+的图象变换规律求得()gx的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项，从而得出结论..【详解】函数()πsin34fxx=−的图象向左平移π6个单位长度后得，()ππ

πsin3=sin(3+)644gxxx=+−π12x=时，ππ()sin31124gx=+=，为()gx的最大值，所以选项A正确；π4x=时，ππ()sin3044gx=+=，所以选项B正确；令πππ2π32π242kxk−++，则2π

2πππ34312kxkk−+Z，，所以选项C错误；πsin312gxx−=为奇函数，所以选项D正确.故选：C.8.已知直线l：()()2110mxmym++−+−=，若直线l与连接()()1,0,2,1AB−两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为

（）Aπππ3,,422π4B.3π,π4C.π3π,44D.π3π0,,π44【答案】C【解析】【分析】根据直线l的方程确定直线l所过的定点C，利用斜率公式求得直线CA和CB的斜率，根据过定点C的直线l与线段AB总有交点

分析运算即可得解.【详解】解：如上图，由题意，直线l方程()()2110mxmym++−+−=可化为：()1210mxyxy+++−−=，由10210xyxy++=−−=解得：01xy==−，

∴直线l过定点()0,1C−..又∵()()1,0,2,1AB−，∴01110CAk+==−−−，11120CBk+==−，∴由直线l与线段AB总有公共点知直线l的斜率k满足1k−或1k，当1m时，直线l的斜率231111mkmm+=−=−−−−−，∴直线l

的倾斜角满足π3π24?或ππ42，即直线l的倾斜角范围为π3π,44.故选：C.二､多选题9.设,AB为两个随机事件，以下命题正确的是（）A.若A与B对立，则()1PAB=B.若A与B互斥，11(),()32PAPB==，则5()6PAB+=C.若11

(),()32PAPB==，且1()6PAB=，则A与B相互独立D.若A与B相互独立，12(),()33PAPB==，则1()9PAB=【答案】BD【解析】【分析】根据互斥（或对立）事件概率的性质可判断

AB的正误，根据独立事件的定义和性质可判断CD的正误.详解】对于A，若A与B对立，则()0PAB=，故A错误；对于B，A与B互斥，则()()()56PABPAPB+=+=，故B正确；对于C，因为11(),()32PAPB==，故1(),()3

22PAPB==，故()()1()3PAPBPAB=，故A与B不相互独立，故C错误；对于D，因为2()3PB=，所以1()3PB=，【而A与B相互独立，故A与B相互独立，故111()339PAB==，故D正确.故选：BD.10.已知1,2ab==，则下列说法正确是（）A.若ab⊥，

则0ab=B.若//ab，则a与b的夹角为0C.若a与b的夹角为120，则b在a上的投影向量为a−D.ab+的取值范围是1,3【答案】ACD【解析】【分析】由数量积的定义得到A正确；由向量共线的定义得到B错误；由投影向量

定义得到C正确；通过计算ab+可得D正确.【详解】若ab⊥，则cos900abab==，A正确；若//ab，则a与b的夹角为0或180，B错误；若a与b的夹角为120，则11212ab=−=−，则b在

a上的投影向量为1212ababaaaab−==−，C正确；设a与b的夹角为，则()2222254cosababaabb+=+=++=+，因为0180，则1cosθ1-＃，所以154cos9+，

所以ab+的取值范围是1,3，D正确.故选：ACD11.对于直线()12:230,:3130laxyalxaya++=+−+−=.以下说法正确的有（）A.1l∥2l的充要条件是3a=B.当25a=时，12ll⊥的C.直线1l一定经过

点()3,0MD.点()1,3P到直线1l的距离的最大值为5【答案】BD【解析】【分析】求出1l∥2l的充要条件即可判断A;验证25a=时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线1l经过的定点即可判断C;判断何种情况下点()1,3P到直线1l的距离最大，

并求出最大值，可判断D.【详解】当1l∥2l时，(1)60aa−−=解得3a=或2a=−，当2a=−时，两直线为530,03xyxy−+=−+=，符合题意；当3a=时，两直线为3290,320xyxy++=+=，符合题意，故A错误；当25a=时，两直线为530,153130xyxy++=−+

=，121515llkk=−=−，所以12ll⊥，故B正确；直线1:230laxya++=即直线(3)20axy++=，故直线过定点()3,0−，C错误；因为直线1:230laxya++=过定点()3,0−，当直线1:230laxya++=与点()1,3P和()3,0−的连

线垂直时，()1,3P到直线1l的距离最大，最大值为22(13)(30)5++−=，故D正确，故选：BD.三､填空题12.设复数z满足(1i)(43i)(1i)z+=+−,其中i是虚数单位，则z=___________．【

答案】34i+【解析】【分析】根据复数的乘除法计算，结合复数的共轭复数即可得答案.【详解】由题意，得()()()1i43i43ii34i1iz−=+=+−=−+，所以34iz=+．故答案为：34i+13.我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》》：

“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠.”现从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成()log1aba，则恰好能使得log1ab的概率是____________.【答案】35##0.6【解析】【分析】列举

基本事件，直接求概率即可.【详解】随机选取2个不同的数字组成()log1aba,共有而2a=，1b=，3，4，5，6，3a=，1b=，2，4，5，6，4a=，1b=，2，3，5，6，5a=，1b=，2，3，4，6，6a=，

1b=，2，3，4，5，共有25种，其中1，2，3，4，5，6这6个数字中满足log1ab的数对有：6a=，1,2,3b=，4，5；5a=，1,2.3,4b=；4a=，1,2,3b=；3a=，1,2b=；2,1ab==共15种，所求概率为153

255P==．故答案为：35．14.已知ABCV中，角ABC，，的对边分别为,,abc，且,26Cc==，当ACAB取最大值时，ab的值为________【答案】33【解析】【分析】首先由余弦定理可得ACAB→→2222ba−=+，再利用正弦定理将表达式转化为()228sinsin2B

A−+，接着利用三角恒等变换转化成4sin226A++，分析求得取最大值时6A=，23B=，从而得到ab的值.【详解】由正弦定理得：241sinsinsin2abcABC====,所以4sin,4sinaAbB==，因为6C=，所以56AB+=，ACAB→→cos

bcA=2242cos24babAbb+−==2222ba−=+()228sinsin2BA=−+4(1cos2(1cos2))2BA=−−−+4(cos2cos2)2AB=−+5=4cos2cos223AA−−+

134cos2sin2222AA=++4sin226A=++,当262A+=，即2,3A=即6A=时，ACAB→→有最大值.此时：sinsin1362sin33sin3aAbB=

===．故答案为：33.【点睛】判断三角形的最值问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．四､解答题15.某校对202

2年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照)30,50，)50,70，)70,90，)90,110，)110,130，130,150分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：请完成以下问题：（1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；（2

）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在)50,70和)70,90的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至

少有1人成绩在)50,70内的概率.【答案】（1）93分（2）710【解析】【分析】(1）先利用频率之和为1，计算出a=0.01，进而求出平均值即可；(2）利用分层抽样取样方法，算出需在)50,70分数段内抽2人，分别记为12,AA，

需在)70,90内抽3人，分别记为123,,BBB.，写出样本空间和符合条件样本点数，即可求出相应概率．【小问1详解】由0.005200.005200.0075200.0220200.0025201a+++++=，得=0.01a.数学成绩在

：)30,50频率0.0050200.1=，)50,70频率0.0050200.1=，)70,90频率0.0075200.15=，)90,110频率0.0200200.4=，)110,130频率0.0100200

.2=，130,150频率0.00252000.5=，样本平均值为：400.1600.1800.151000.41200.21400.0593+++++=可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩

估计93分．【小问2详解】由题意可知，分数段)50,70的人数为1000.110=（人），分数段)70,90的人数为1000.1515=（人）.用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在分数段)50,70

内抽2人，分别记为12,AA，需在分数段)70,90内抽3人，分别记为123,,BBB.设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段)50,70内”为事件A，则样本空间12111213212223121323,,,,,,,,,AAABABABABABABBBBBBB

=共包含10个样本点而A的对立事件121323,,ABBBBBB=包含3个样本点，所以37(),()1()1010PAPAPA==−=．即抽取这2名学生至少有1人在)50,70内的概率为71016.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标()()()1,4,3,1,3

,2ABC−−−（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积的【答案】（1）()5,7D（2）24【解析】【分析】（1）由AC中点也是BD中点，设(),Dxy，根据中点坐标公式求解即可；（2）求出直线

BC的方程，点到直线距离公式求点A到直线BC距离，根据两点间距离公式求线段BC的长，面积公式求四边形ABCD的面积.【小问1详解】平行四边形ABCD中，AC中点为()1,3，该点也为BD中点，设(),

Dxy，根据中点坐标公式得到：312132xy−=−=，解得57xy==，得()5,7D；【小问2详解】直线BC的斜率()21162k−−==，代入点()3,1B−−坐标可得到直线BC的方程为210xy−+=，点A到直线BC距离为181

855−−+=，又根据两点间距离公式得到：35BC=，所以四边形ABCD的面积为835245=.17.在三棱锥PABC−中，2,,,ABBCABBCCPBC==⊥⊥,APAB⊥60CPA=．（1）求证：PBAC⊥；（2）求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）证

明见解析；（2）22．【解析】【分析】（1）作//,//AOBCOCAB,利用线面垂直的判定及性质定理即可求证；（2）过点O作ODPA⊥于D，OAD即为OA与平面PAB所成角，解直角三角形即可．【详解】⑴如图，

作//,//AOBCOCAB，连接PO，由,2ABBCABBC⊥==，可知OABC为边长为2的正方形，PAAB⊥，又PAAOA=，所以AB⊥平面PAO，ABPO⊥；同理PCBC⊥，PCCOC=,得⊥BC平面P

OC，BCPO⊥，BABCB=，所以⊥PO平面OABC，所以POAC⊥，又ACOB⊥，得AC⊥平面POB，得ACPB⊥．⑵由⑴知AB⊥平面POA，AB平面PAB，所以平面POA⊥平面PAB，过点O作ODPA⊥于D，OD⊥平面PAB，OAD即为OA与平面PAB所

成角．由于,POAPOC△△全等，PAPC=，060CPA=，所以PAC为等边三角形，22PAPCAC===，故2PO=，所以点D为中点，故02sinsin452OAD==，//BCOA，所以BC与平面PAB所成角和OA与平面PAB所成角相等，故直线BC与平面PA

B所成角的正弦值为22．【点睛】关键点点睛：利用线面角的定义，过点O作ODPA⊥于D，证明ODPAB⊥平面，即可得出线面角为OAD是解题的关键，属于中档题.18.过点()3,2P的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于A、B.（1）若P为AB的中点时，求l的方程；（2）若PAPB最小时

，求l的方程；（3）若AOBV的面积S最小时，求l的方程.【答案】（1）23120xy+−=；（2）50xy+−=；（3）23120xy+−=.【解析】【分析】（1）根据中点坐标求出,AB坐标，直接写

出直线的截距式方程，再转化为一般式方程；（2）设出直线的点斜式方程，表示出,AB坐标，利用两点间距离公式先求解出,PAPB，结合基本不等式求解出PAPB取最小值时斜率的取值，由此可求l的方程；（3）设出直线的截距式方程，根据点()3,2P在直线上得到截距,ab满足的关系式，再根据

基本不等式可求ab的取值范围，由此可求S取最小值时,ab的值，则直线l的方程可求.【详解】()1设(),0Aa，()0,Bb，()3,2P为AB的中点，()6,0A，()0,4B，由截距式得l的方程为：164x

y+=，即23120xy+−=；()2设所求直线的方程为()23ykx−=−，由题意知0k，令0x=，可得23yk=−，令0y=，可得23xk=−，即23,0Ak−，()0,23Bk−，()2222222424,3399PAPBkk

kk=+=+=+=+，()222241499723612PAPBkkkk=++=++，当且仅当21k=，即1k=−时取等号，PAPB取最小值为12，即直线l的方程为50x

y+−=；()3由题意设直线的截距式方程为1(,0)xyabab+=，直线过()3,2P，321ab+=，323212abab=+，24ab，当且仅当32ab=即6a=且4b=时取等号，AOB

的面积1122Sab=，AOB面积的最小值为12，此时直线l的方程为164xy+=，即直线l的方程为23120xy+−=.19.在锐角ABCV中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2sin3aBb=．（1）求A；（2）求coscosBC+的取值范围．【答案】（1）π3A=（2）3,1

2【解析】【分析】由正弦定理边化角再根据角度范围得角A得大小；根据锐角三角形得角B得范围，然后将coscosBC+转化为关于角B的正弦型三角函数，根据正弦型函数性质从而可得取值范围.【小问1详解】解：因为2sin3aBb=，由正弦定理sins

inabAB=得：2sinsin3sinABB=，又因为锐角ABCV中，0,,0,22AB，所以sin0B，则2sin3A=，即3sin2A=，故π3A=；【小问2详解】解：由（

1）得，23BCA+=−=，所以23CB=−，又因为锐角ABCV中得：022032BB−，所以62B，所以213πcoscoscoscoscoscossinsin3226BCBBBBBB+=+−=+−+=+

，因为62B，所以2363B+，所以π3sin,162B+，即coscosBC+的取值范围为3,12.