【文档说明】安徽省安庆市、铜陵市、池州市2023-2024学年高二下学期7月三市联合期末检测数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，1.293 MB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年第二学期三市联合期末检测高二数学满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2．选择题必须使用

2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄

破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.根据成对样本数据建立变量y关于x的经验回归方程为2.51.2y

x=+.若y的均值为6.2，则x的均值为（）A.1.5B.2C.2.5D.3【答案】B【解析】【分析】利用经验在归方程经过点(),xy,即可求出结果.【详解】将6.2y=代入方程2.51.2yx=+，解得2x=.故选：B.2.某寝室4名室友拍毕业照，4位同学站成一排，其中甲乙两位同

学必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法种数有（）A.24种B.12种C.8种D.6种【答案】D【解析】【分析】先排甲乙，再根据全排列结合分步乘法公式计算.【详解】根据题意，分2步进行分析：①甲，乙必须相邻且甲在乙的右边，将甲乙看成一个整体，有

1种顺序，②将甲乙整体与丙丁全排列，有33A6=种情况，则有166=种排法.故选：D3安徽年均降雨量近似服从正态分布()21200,N，若()8000.15P=≤，则()12001600P=（）A.0.15

B.0.25C.0.35D.0.7【答案】C【解析】【分析】根据正态曲线的性质计算可得.【详解】因为()21200,N且()8000.15P=≤，则()()16008000.15PP==，所以()()12800120016000.352PP−==≤.故选：C4.

在等比数列na中12a=，1236aaa++=，则678aaa++=（）A.6B.192C.6−或192D.6或192−【答案】D【解析】【分析】利用等比数列的通项公式进行求解，即可求出答案.【详解】由题意，*nN，在等比数列

na中，12a=，1236aaa++=，设公比为q，∴21116aaqaq++=，即22226qq++=，解得2q=−或1q=，∴()556781236aaaaaaqq++=++=，当1q=时，6786aaa++=，当2q=

−时，678192aaa++=−.故选：D.5.已知圆心为()1,1圆与x轴交于A、B两点，2AB=，则该圆的方程是（）.的A.22220xyxy+++=B.222240xyxy+++−=C.2222

0xyxy+−−=D.222240xyxy+−−−=【答案】C【解析】【分析】设出圆的方程，令0y=，得22220xxr−+−=，得到两根之和，两根之积，根据弦长公式得到方程，求出22r=，得到圆的方程

.【详解】由题意，可设圆的方程为()()22211xyr−+−=，令0y=，得22220xxr−+−=，设()()1122,,,AxyBxy，则122xx+=，2122xxr=−，()221212124442ABxxxxxxr=−=+−=−=，解得22r=，∴圆的方程是()()

2211xy−+−2=，即22220xyxy+−−=.故选：C6.如图，已知正方形ABCD的边长为2，N点在边AD上且12DN=，将ABD△沿BD翻折到ABD的位置，使得2AC=.空间四点A，B，C，D的

外接球为球O，过N点作球O的截面，则截球O所得截面面积的最小值为（）A.3π4B.π2C.3πD.3π2【答案】A【解析】【分析】先找出BD的中点O为四面体ABCD的外接球球心，再分析当ON⊥截面时截面面积最小，求出截面面积即可.【详解】如图，

取BD的中点为O，由正方形ABCD的边长为2，则2OBODOAOC====，因此O为四面体ABCD的外接球球心，外接球半径2R=，设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则有222Rrd=+，即22rRd=−，当ON⊥截面时，d最

大，此时截面面积最小，且ONd=，在OND△中，2OD=，12DN=，π4ODN=，由余弦定理可得，22π52cos42ONDNODDNOD=+−=，此时2232rRd=−=，所以截面面积最小值为23ππ4r=.故选：A7.已知定义在R上的函数()fx的导函数为()fx，且满足()()

20fxfx−，()20241012ef=，则不等式1ln2fxx的解集为（）A.()0,2024B.()20240,eC.()2024,+D.()2024e,+【答案】B【解析】【分析】令1ln2tx=，不等式转化为()21etft，构

造函数()()2etftgt=，求导得到单调性，结合()()2024101210121efg==，得到()()1012gtg，根据单调性解不等式，求出解集.【详解】令1ln2tx=，则2etx=，所以不等式1ln2fxx等价转化为不等式()2etft，即()21etft，构造函

数()()2etftgt=，则()()()22etftftgt−=，由题意，()()()220etftftgt−=，所以()gt为R上的增函数，又()20241012ef=，所以()()2024

101210121efg==，所以()()()211012etftgtg==，解得1012t，即1ln10122x，所以20240ex.故选：B【点睛】思路点睛：利用函数()fx与导函数()fx

的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若()()0fxfx+，则构造()()exgxfx=，若()()0fxfx−，则构造()()xfxgx=e，若()()0fxxfx+，则构造()()gxxfx=，若()

()0fxxfx−，则构造()()fxgxx=.8.已知抛物线C：24yx=内有一点()3,2A−，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点()3,6B−和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（）A.()1,0−B.()1,0C.()3,0−D.()3,0

【答案】C【解析】【分析】利用两个已知点在直线上，代入直线方程得出1212yy=，然后简化直线PT的的直线方程为()1243yxyy=++，从而得解.【详解】由题意，,PQQT斜率都存在，设200,4y

Qy，211,4yPy，222,4yTy，直线l的斜率0122010144QPyykyyyy−==−+，直线l方程：2000144yyyxyy−=−+，化简得01014xyyyyy+=+同理

直线QT方程：02024xyyyyy+=+，直线PT的方程：21214xyyyyy+=+，点()3,2A−，()3,6B−分别代入直线QP，QT方程，即01010202122126yyyyyyyy+−=++−=+，消

除0y，得1212yy=，代入直线PT方程：21214xyyyyy+=+，得()1243yxyy=++，直线PT过定点()3,0−.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求

．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知两个离散型随机变量，，满足31=+，其中的分布列如下：123Pab16其中a，b为非负数.若()53E=，()59D=，则（）A.12a=B.23

b=C.()5E=D.()5D=【答案】AD【解析】【分析】AB选项，根据概率之和为1和期望值得到方程组，求出12a=，13b=；CD选项，根据期望和方差的性质得到()(),ED，得到答案.【详解】AB选项，由分布列的

性质，可得116ab+=+①，因为()53E=，所以1512363ab++=②，联立①②解得12a=，13b=，A正确，B错误；CD选项，因为31=+，所以()()316EE=+=，()()59959DD===

，C错误，D正确.故选：AD10.定义：设()fx是()fx的导函数，()fx是函数()fx的导函数.若方程()0fx=有实数解0x，则称点(𝑥0,𝑓(𝑥0))为函数𝑦=𝑓(𝑥)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“

拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数()324fxaxbx=++（0ab）的对称中心为()1,2，则下列说法中正确的是（）A.1a=，3b=−B.函数()fx有三个零点C.()123202320254047

124047202420242024202420242024fffffff+++++++=D.过()2,m可以作三条直线与𝑦=𝑓(𝑥)图象相切，则m的取值范围为()1,0−【答案】ACD【解析】【分

析】对于A，对函数连续两次求导，然后“拐点”的定义列方程组可求出,ab，对于B，对函数求后由导数的正可求出函数的单调区间，再结合零点的定义分析判断，对于C，由函数的对称中心得()()()1121fxfxf++−=，结合此结论求解即可，对于D，设切点为

(,)cd，然后利用导数的几何意求出切线方程，转化为关于c的方程3229124mccc=−+−+有3个不等的根，结合图象求解即可.【详解】对于A，由()324fxaxbx=++，可得()232fxaxbx=+，则()62fxaxb=+，因为()1,

2是对称中心，结合题设中心“拐点”的定义可知，()1620fab=+=且()142fab=++=，解得1a=，3b=−，所以A正确；对于B，由1a=，3b=−，可知()3234fxxx=−+，则()236fxxx=−，令()0fx=，可

得0x=或2x=，当(),0x−，()0fx，()fx单调递增；当()0,2x时，()0fx，()fx单调递减；当𝑥∈(2,+∞)时，()0fx，()fx单调递增；因为(1)0f−=，()

04f=，()20f=，所以函数()fx只有两个零点，所以B错误；对于C，因为()1,2是函数()fx的对称中心，所以()()()1121fxfxf++−=，令()1232023202520264047120242

02420242024202420242024Sffffffff=++++++++，可得()40472026202520231120242024202420242024Sffffff=+++

++++，所以140472404640471244047202420242024202420242024Sffffff=++++++=

，所以24047S=，即1232023202520264047(1)2024202420242024202420242024ffffffff+++++++++=

24047，所以C正确；对于D，设切点为(,)cd，由()3234fxxx=−+，得()236fxxx=−，则切线的斜率为()2'36kfccc==−，所以切线方程为2(36)()ydccxc−=−−，即322(34)(36)()

yccccxc−−+=−−，因为切线经过点()2,m，所以322(34)(36)(2)mccccc−−+=−−，化简得3229124mccc=−+−+，由题意可知关于c的方程3229124mccc=−+

−+有3个不等的根，令32()29124gxxxx=−+−+，则2()61812gxxx=−+−，由()0gx=，得1x=或2x=，当1x或2x时，()0gx，当12x时，()0gx，所以()gx在(,1)−和(

2,)+上递减，在(1,2)上递增，所以()gx的极小值为(1)291241g=−+−+=−，极大值为(2)16362440g=−+−+=，所以()gx的大致图象如图所示，由图象可知当10m−时，直线ym=与()gx的图象有3个交点，所以当10m−时，关于c的方程3229

124mccc=−+−+有3个不等的根，所以当10m−时，过()2,m可以作三条直线与𝑦=𝑓(𝑥)图象相切，所以D正确，故选：ACD【点睛】关键点点睛：此题考查导数综合应用，考查导数的几何意义，考

查利用导数解决函数零点问题，考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，根据新定义解决问题，考查理解能力和计算能力，属于较难题.的11.已知数列na满足11a=，121nnnaaa+=+（*Nn），数列n

a前n项和为nS，则下列说法正确的是（）A.1nnaa+B.2024163aC.132nan−D.nSn【答案】ABD【解析】【分析】根据数列的单调性判断A，应用累加法求通项范围判断B,C选项，应用前n项和判断D

.【详解】∵11a=，111nnnaaa+=+，又110a=，可得0na，∴110nnnnnaaaaa++−=，∴1nnaa+，数列{𝑎𝑛}单调递减，故选项A正确；当1n=时，11S=；当2n时，12111nnSaaaaaan=++++++=LL，故选项D正确；

∵111nnnaaa+=+，∴222221111122nnnnnnaaaaaa+=+=+++，∴221112nnaa+−，()2211121nnaa−−，∴2121nna−，∴121nan−，20241163404

7a，故选项B正确；又222221111123nnnnnnaaaaaa+=+=+++，∴221113nnaa+−，∴2221113aa−=，2232113aa−，…，221113

nnaa−−，∴()2211131nnaa−−，∴2132nna−，∴132nan−（2n）；当1n=时，132nan=−.综上，132nan−≥.故选项C错误.故选：ABD.【点睛】方法点睛：根据已知化简裂项，结合累加法得出通项公式的不

等关系判断选项.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.7axx−展开式中x的一次项系数为280−，则实数a的值为_____________.【答案】2【解析】【分析】求出二项式展开式通项公式，然后令x的次数为1，

求出r，从而可表示出一次项系数，列方程可求出a的值【详解】7axx−的展开式通项为()()772177CCrrrrrrraTxaxx−−+=−=−（07r，rN），∴令721r−=，解得3r=，∴7axx−的展

开式的常数项为()3376347C35280Taxaxx−=−=−=−，∴38a=，2a=.故答案为：213.双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的左、右焦点分别为1F，2F，直线3yx=与双曲线C的左、右支分别交于P，Q点.若2OQOF=，则该双曲线的离心

率为_____________.【答案】13+##31+【解析】【分析】由题意可得四边形12QFPF为矩形，在直角三角形12FQF中，利用勾股定理列方程化简可求出离心率.【详解】设双曲线的半焦距为c，可得22OPOQQFOFc====，即有四边形12

QFPF为矩形，由双曲线的定义可得12QFac=+，直角三角形12FQF中，2221212FFQFQF=+，即有()22242cacc=++，可得23acc+=，即21331cea===+−.的在故答案为：13+14.已知正实数x，y满足2ln2exxyy=，则2exy−−的最大值为___

__________.【答案】312e【解析】【分析】等价变形已知条件为ln22elnexxyxxy=，构造函数()exfxx=，然后利用单调性，由()2lnxfxfy=，得出2exxy=，从而可

以将所求式子构造新的函数()21exxgx−=，再一次借助导数求最值即可.【详解】等式两边同乘xy，得2ln2exxxxyy=，则ln22elnexxyxxy=，因为0x，e0x，lne0xy，所以ln0xy，令()exfxx=（0x），则()()e10xfxx=

+，所以()fx在(0,+∞)上单调递增，所以由ln22elnexxyxxy=，即()2lnxfxfy=，得2lnxxy=，所以2exxy=，所以222211eeeexxxxxxy−−−=−=，令()21exxgx−=（0x），则()232exxgx−=

，令()0gx，得302x；令()0gx，得32x，所以()gx在30,2上单调递增，在3,2+上单调递减，所以()3max3122egxg==，即2exy−−的最大值为312e.故答案为

：312e四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列na中，12a=，数列32na−是等比数列，且公比3q=.（1）求数列na的通项公式；（2）设1134nnnnbaa−+=，记数列nb的前n项和为nS，求nS

.【答案】（1）()11332nna−=+（2）118236n−+【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式，即可求得答案；（2）结合（1）可得1134nnnnbaa−+=的表达式，利用裂项相消法求和，即得答案.【小问1详解】由题意知12a=，13122a−=，所以等比数

列32na−的首项为12，公比为3，故131322nna−−=，所以()11332nna−=+；【小问2详解】由（1）得()()11113343333nnnnnnnbaa−−−+==++111123333nn−=−++

，故123nnSbbbb=++++111111112466123333nn−=−+−++−++1111124338236nn=−=−++.16.如图，四棱锥PABCD−中，四边

形ABCD为正方形，ABP为等边三角形，M为AD中点且PCBM⊥.（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求平面BPM与平面CPM夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）64【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得到两次线面垂直，再利用面面垂直的判定定理求解即

可.（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求解即可.【小问1详解】取AB的中点O，连接OC，12=，2390+=∠∠，故1+3=90，所以BMOC⊥，因为PCBM⊥，,OCPC面POC，OCPCC=，所以BM

⊥平面POC，又因为PO平面POC，所以POBM⊥，又因为ABP为等边三角形，所以POAB⊥，因为BMABB=，,BMAB面ABCD，所以⊥PO平面ABCD，因为PO平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD；【小问2详解】设CD中点

为E，以,,OBOEOP分别为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2PAABBP===，则𝐵(1,0,0)，()1,2,0C，()0,0,3P，()1,1,0M−，()2,1,0BM=−，(

)1,1,3PM=−−，()2,1,0CM=−−，设平面PMB的法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，00PMmBMm==，即3020xyzxy−+−=−+=，令1x=，则2y=，33z=，所以31,2,3m=，设平面PMC的法向量为𝑛⃗=

(𝑎,𝑏,𝑐)，00PMnCMn==，即3020abcab−+−=−−=，令1a=，则2b=−，3c=−，所以()1,2,3n=−−，设平面PMB与平面PMC的夹角为，故1416coscos,41141433mnmnmn

−−====++++.17.已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的左、右焦点分别为1F，2F，且122FF=，过点2F且与x轴不重合的直线1l与椭圆C交于P，Q两点，已知1PQF的周长为8．（1）求椭圆C的方程；

（2）过点2F作直线2l与直线1l垂直，且与椭圆C交于A，B两点，求ABPQ+的取值范围.【答案】（1）22143xy+=（2）48,77【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义即可求abc，，的值，从而

得解；（2）分1l的斜率不存在和存在两种情况讨论，利用弦长公式求出两个弦长，然后用二次函数知识求出范围即可得解.【小问1详解】已知22c=，故1c=，1PQF的周长为12124PFPFQFQFa+++=，故48a=，2a=，故椭圆C的方程为22143xy+=；【

小问2详解】①当1l的斜率不存在时，则2l的斜率为0，设P的坐标为()1,py，Q的坐标为()1,Qy，代入方程221143py+=，解得32py=，同理可得32Qy=−，所以3PQ=，AB为长轴24a=，∴7ABPQ+=；②当1l的斜率存在时且不为0，则2l的斜

率存在且不为0，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，设直线2l的方程为𝑦=𝑘(𝑥−1)，则直线1l的方程为()11yxk=−−，将直线2l的方程代入椭圆方程中，并整理得：(3+4𝑘2)𝑥2−8𝑘2𝑥+4𝑘2−12=0，()()()()22222Δ84344121

4410kkkk=−−+−=+，∴2122834kxxk+=+，212241234kxxk−=+，∴()()2222121212212111434kABkxxkxxxxk+=+−=++−=+，同理，()2222112112143

43kkPQkk++==++，∴()()()()()2222222212112184134343434kkkABPQkkkk++++=+=++++，令21tk=+，则1t，∴()()22228484844131121114924ttABP

Qttttt+===−++−−−+，∵1t，∴101t，∴211494912244t−−+，∴24114912114924t−−+，∴2488477114924t−

−+，即4877ABPQ+.综上①②可知，ABPQ+的取值范围为48,77.18.某射击队员进行打靶训练，每次是否命中十环相互独立，且每次命中十环的概率为0.9，现进行了n次打靶射击，其

中打中十环的数量为.（1）若5n=，求恰好打中4次十环的概率（结果保留两位有效数字）；（2）要使()10P=的值最大，求n的值；（3）设随机变量X的数学期望()EX及方差()DX都存在，则0ò，()()2PXEXDX−，

()()21PXEDXX−−，这就是著名的切比雪夫不等式.对于给定的随机变量，其方差如果存在则是唯一确定的数，所以该不等式告诉我们：()XEX−的概率必然随的变大而缩小．为了至少有90%的把握使命中十环的频率落在区间()0.85,0.95，请利用切比雪夫

不等式估计射击队员打靶次数n的最小值.【答案】（1）0.33（2）11n=（3）360【解析】【分析】（1）应用n次独立重复实验求出概率即可；（2）把概率最大列出不等式组计算即可得出范围；（3）根据二项分布的期望和方差结合由切比雪夫不等式计算即得.【小问1详解】()44

54C0.90.10.328050.33P===；【小问2详解】()10101010C0.90.1nnP−==，由题意有101010999101010111111C0.90.1C0.90.1C0.90.1C0.90.1nnnnnnnn−−−−

，则()()0.9910.9101.1nn−−，解得9110199n≤≤，由于n为整数，故11n=；【小问3详解】()~,0.9Bn，则()0.9En=，()0.09Dn=.由题意，0.850.95n，即0.850.95nn，0.050.90.05nnn

−−，也即0.90.05nn−.由切比雪夫不等式，有()()20.090.0510.05nPEnn−−≥，从而()20.0910.90.05nn−≥，解得360n≥，故估计n的最小值为360.19.已知

函数()sinxxx=−，()()ln1exfxax=−+，其中aR.（1）当1a=时，求函数()fx在0x=处的切线方程；（2）证明：当)0,x+时()306xx+≥；（3）对任意0,πx，()()22fxx+恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）1y

=（2）证明见解析（3）(,1−【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）令()()36xFxx=+，对函数求导，再令()2()cos12xGxFxx==−+，求导后无法判断导数的正负，再令()()HxGx=，对其求导后可判断()Hx单调递增，从

而可判断()Gx单调递增，()Fx单调递增，进而可证得结论；（3）令()()()22gxfxx=−−，求导后可判断0a时，()gx在0,π上单调递增，满足题意，当0a时，再分01a，(

)ππ1ea+≥和()π1π1ea+讨论即可.【小问1详解】解：1a=时，()()eln1xfxx=−+，()01f=，则切点为()0,1，()1e1xfxx=−+，()00f=，故切线方程为1y=；【小问2详解】证明：令()()33sin66xxFxxxx=+=−+，()2cos12

=−+xFxx，令()2cos12xGxx=−+，则()sinGxxx=−+，令()sinHxxx=−+，()cos10Hxx=−+恒成立，故()Hx单调递增，()()00HxH=，即()0Gx，所以()Gx单调递增，()()00GxG=，即()0Fx，

得()Fx单调递增，()()00FxF=，所以原不等式成立；【小问3详解】解：令()()()()222e2ln1cos1xgxfxxaxx=−−=−+−−，()002e2ln1cos010ga=−−−=，求导得()22esin1xagxxx=−++，当0a时，

0,πx，()0gx，则()gx在0,π上单调递增，()()00gxg=，满足题意，当0a时，设()()hxgx=，则()()222ecos01xahxxx=+++，因此函数()hx，即()gx在0,π

上单调递增，而()002e2sin022gaa=−+=−，①当01a时，()()0220gxga=−≥≥，()gx在0,π上单调递增，于是()()00gxg=，满足题意；②当()π2π2esinπ0π1ag=−++≤，即()ππ1ea+≥时，对0,πx，()

0gx，则()gx在0,π上单调递减，此时()()00gxg=，不合题意，③当()π1π1ea+时，因为()gx在0,π上单调递增，且()()()π20π222e01agga=−−+，于是00,π

x，使()00gx=，且当()00,xx时，()gx单调递减，此时()()00gxg=，不合题意，所以实数a的取值范围为(,1−.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决不等

式恒成立的问题，第（3）问解题的关键是根据题意构造函数()()()22gxfxx=−−，然后利用导数求出其最小值大于等于零即可，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题.