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专练21三角函数的图象与性质授课提示：对应学生用书43页[基础强化]一、选择题1．如图，函数y＝3tan2x＋π6的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积为()A．π4B．π2C．πD．2π答案：A解析：在y＝3tan2x＋π

6中，令x＝0，可得D(0，1)；令y＝0，解得x＝kπ2－π12(k∈Z)，故E－π12，0，F5π12，0.所以△DEF的面积为12×π2×1＝π4.故选A.2．函数y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．0B．1C．2－3D．3－2

答案：C解析：∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤76π，∴－3≤2sinπ6x－π3≤2，∴函数的最大值与最小值之和为2－3.3．已知函数f(x)＝2acos2x－π3(a≠0)的定义域为0，π2，最小值为－2，则a的值为()

A．1B．－1C．－1或2D．1或2答案：C解析：∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤23π.∴－12≤cos2x－π3≤1，又f(x)的最小值为－2，当a＞0时，f(x)min＝－a＝－2，∴a＝2.当a＜0时，f(x)min＝2a，∴a＝－1.4．[2024·新课标Ⅰ卷]当x∈

[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin(3x－π6)的交点个数为()A．3B．4C．6D．8答案：C解析：令3x－π6＝π2＋k1π，k1∈Z，则x＝2π9＋k1π3，k1∈Z，又x∈[0，2π]，所以x＝2π9，5π9，8π9，1

1π9，14π9，17π9.令3x－π6＝k2π，k2∈Z，则x＝π18＋k2π3，k2∈Z，又x∈[0，2π]，所以x＝π18，7π18，13π18，19π18，25π18，31π18，如图，作出函数y＝sinx与y＝2sin(3x－π6)在[0，2π]上的大致图象，由图可

知，两函数图象共有6个交点．故选C.5．设函数f(x)＝cosωx＋π6在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为()A．10π9B．7π6C．4π3D．3π2答案：C解析：方法一设函数f(x)的

最小正周期为T，由题图可得T<π－－4π9且T2>－4π9－(－π)，所以10π9<T<13π9，又因为|ω|＝2πT，所以1813<|ω|<95.由题图可知f－4π9＝0，且－4π9是函数f(x)的上升零点，所

以－4πω9＋π6＝2kπ－π2(k∈Z)，所以－49ω＝2k－23(k∈Z)，所以|ω|＝32|3k－1|(k∈Z).又因为1813<|ω|<95，所以k＝0，所以|ω|＝32，所以T＝2π|ω|＝2π32＝4π3.故

选C.方法二(五点法)由函数f(x)的图象知，ω×－4π9＋π6＝－π2，解得ω＝32，所以函数f(x)的最小正周期为4π3，故选C.6．[2022·新高考Ⅰ卷，6]记函数f(x)＝sinωx＋π4＋b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T<π，且y＝f(x)的

图象关于点3π2，2中心对称，则fπ2＝()A．1B．32C．52D．3答案：A解析：因为2π3＜T＜π，所以2π3＜2π|ω|＜π.又因为ω＞0，所以2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点(3π2，2)中心对称，所以b＝2，3π2ω＋π4＝kπ，

k∈Z，所以ω＝－16＋23k，k∈Z.令2＜－16＋23k＜3，解得134＜k＜194.又因为k∈Z，所以k＝4，所以ω＝52.所以f(x)＝sin(52x＋π4)＋2，所以f(π2)＝sin(5π4＋π4)＋2＝1.故选A.7．已知函数f(x)＝sinx＋acosx

(a∈R)满足f(0)＝fπ2，则函数g(x)＝(3－1)sinx＋f(x)的图象的一条对称轴方程是()A．x＝2π3B．x＝π4C．x＝－π3D．x＝－2π3答案：D解析：由f(0)＝fπ2，得sin0＋acos0＝0＋a＝1，解得a＝1，所以f(

x)＝sinx＋cosx，所以g(x)＝(3－1)sinx＋f(x)＝(3－1)sinx＋sinx＋cosx＝3sinx＋cosx＝2sinx＋π6.令x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ＋π3(k∈Z)，令

k＝－1，得函数g(x)的图象的一条对称轴是x＝－2π3.故选D.8．已知函数f(x)＝asinx＋cosx(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝π6对称，则函数g(x)＝sinx＋acosx的图象()A．关于直线x＝π3对称B．关于点23π，0对称C．关于点

π3，0对称D．关于直线x＝π6对称答案：A解析：∵f(x)的图象关于直线x＝π6对称，∴f(0)＝fπ3，∴1＝32a＋12，解得a＝33，∴g(x)＝sinx＋33cosx＝233sinx＋π6，又g

π3＝233sinπ2＝233取得最大值，故A正确，通过逐个检验，可知B、C、D均不正确．9．(多选)[2024·新课标Ⅱ卷]对于函数f(x)＝sin2x和g(x)＝sin(2x－π4)，下列说法中正确的有()A．f(x)与g(x)有相同的零点B．f(x)与g(x)有相同的最大值

C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴答案：BC解析：对于A，令f(x)＝0，则2x＝k1π(k1∈Z)，解得x＝k1π2(k1∈Z)，令g(x)＝0，则2x－π4＝k2π(k2∈Z)，解得x＝

π8＋k2π2(k2∈Z)，因此f(x)与g(x)无相同零点，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都是2π2＝π，故C正确；对于D，令2x＝π2＋k3π(k

3∈Z)，得x＝π4＋k3π2(k3∈Z)，令2x－π4＝π2＋k4π(k4∈Z)，得x＝3π8＋k4π2(k4∈Z)，故f(x)与g(x)的图象无相同的对称轴，故D错误．故选BC.二、填空题10．函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为________．答案：5解析：∵f(x)＝22＋12s

in(x＋φ)＝5sin(x＋φ)，∴f(x)max＝5.11．设函数f(x)＝cosωx－π6(ω>0)，若f(x)≤fπ4对于任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.答案：23解析：∵f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，∴fπ4＝1，∴π4

ω－π6＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋23(k∈Z)，又ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值23.12．[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)＝cosωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．答案：[2，3)解析：方法一函数f(x)＝cosωx

－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cosωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω>0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象可知，4π≤2ωπ<6π，解得2≤ω<3，即ω的取值范

围是[2，3).方法二函数f(x)＝cosωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cosωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cosx在[0，2π]上的图象可知，cosx＝1在区间[0，2π

]有2个根，所以若cosωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cosωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即2×2πω≤2π3×2πω>2π，又ω>0，所以2≤ω<3，即ω的取值范围是[2，3).[能力提升]13．(多选)[2024·九省联考]

已知函数f(x)＝sin(2x＋3π4)＋cos(2x＋3π4)，则()A．函数f(x－π4)为偶函数B．曲线y＝f(x)的对称轴为x＝kπ，k∈ZC．f(x)在区间(π3，π2)单调递增D．f(x)的最小值为－2答案：AC解析：f(x

)＝sin(2x＋3π4)＋cos(2x＋3π4)＝sin2xcos3π4＋sin3π4cos2x＋cos2xcos3π4－sin2xsin3π4＝－22sin2x＋22cos2x－22cos2x－22sin2x＝－2sin2x，即f(x)＝－2sin2

x，对于A，f(x－π4)＝－2sin(2x－π2)＝2cos2x，易知为偶函数，所以A正确；对于B，f(x)＝－2sin2x对称轴为2x＝π2＋kπ，k∈Z⇒x＝π4＋kπ2，k∈Z，故B错误；对于C，x∈(π3，π2)，2x∈(2π3，π)，y＝sin2x单调递减，则f(x)＝

－2sin2x单调递增，故C正确；对于D，f(x)＝－2sin2x，则sin2x∈[－1，1]，所以f(x)∈[－2，2]，故D错误．故选AC.14．[2023·全国甲卷(理)]函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos(2x＋π6)的图象向左平移π6个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线

y＝12x－12的交点个数为()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：把函数y＝cos2x＋π6的图象向左平移π6个单位长度后得到函数f(x)＝cos2x＋π6＋π6＝cos2x＋π2＝－sin2x的图象．作出函数f(x)的部分图象和直线y＝12x－1

2如图所示．观察图象知，共有3个交点．故选C.15．记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝32，x＝π9为f(x)的零点，则ω的最小值为________．答案：3解析：因为T＝2π|ω|，ω>0，所以ω＝2πT.由f(T)＝32，得cos(2π＋φ

)＝32，即cosφ＝32.又因为0<φ<π，所以φ＝π6.因为x＝π9为f(x)的零点，所以ωπ9＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，解得ω＝9k＋3，k∈Z.又因为ω>0，所以当k＝0时ω取得最小值，ω的最小值为3.16．[2023·

新课标Ⅱ卷]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝12与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝π6，则f(π)＝________．答案：－32解析：对比正弦函数y＝sinx的图象易知，点2π3，0为“五点

(画图)法”中的第五点，所以2π3ω＋φ＝2π①.由题知|AB|＝xB－xA＝π6，ωxA＋φ＝π6ωxB＋φ＝5π6，两式相减，得ω(xB－xA)＝4π6，即π6ω＝4π6，解得ω＝4.代入①，得φ＝－2π3，所以f(

π)＝sin4π－2π3＝－sin2π3＝－32.