【文档说明】甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题 含答案.docx，共(8)页，385.962 KB，由小赞的店铺上传

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兰州一中2020-2021-2学期高二年级期中考试试卷数学（理科）命题人：杨柳审题人：鲁耀文说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。答案写在答题卡上。交卷时只交答题卡。一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．

设i为虚数单位，复数z满足iiz2)1(=−，则=z()A．1B．2C．2D．222．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线b在平面外，直线a在平面内，直线b//平面，则直线

b//直线a”的结论显然是错误的，这是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误3．在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）

若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是()A．丙、丁B．乙、丙C．甲、乙D．甲、丁4．已知函数)(x

f的导函数)(xf,且满足xfxxfln)1(2)(+=，则=)1(f()A．e−B．1−C．1D．e5．设函数)(xf在),(+−内的导函数为)(xf，若xxxf1)(ln+=，则=)0()0(ff()A．2B．2−C

．1D．1+e6．张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是()A．12B．24C．36D．487．函数axxxf−−=3)(3在区间]3,0[上的

最大值、最小值分别为NM、，则=−NM()A．2B．4C．20D．188．设函数)(xf在R上可导，其导函数为)(xf，且函数)()1(xfxy−=的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是

()A．函数)(xf有极大值)2(f和极小值)1(fB．函数)(xf有极大值)2(−f和极小值)1(fC．函数)(xf有极大值)2(f和极小值)2(−fD．函数)(xf有极大值)2(−f和极小值)2(f9．=−+22-2)4(sin

dxxx()A．4B．2C．24+D．810．若函数2ln)(2−+=axxxf在区间)2,21(内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是()A．]2,(−−B．),81(+−C．）81,2(−−D．),2(+−11．函数1ln1)(−−=xxxf的图象大致是(

)A．B．C．D．12．已知奇函数)(xf是定义在R上的可导函数，其导函数为)(xf，当0x时，有,)()(22xxfxxf+则不等式0)2(4)2018()2018(2−+++fxfx的解集为()A．)2016,(−−B．)2201,2016(−−C．)8201,

(−−D．)0,2016(−二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．已知数列}{na为等差数列，且,1581=++aaa，),cos(124aa+=则=dxx10_____.14．在平面直角坐标系中，以点),(00yx为圆心，r为半

径的圆的方程为,)()(22020ryyxx=−+−类比圆的方程，请写出在空间直角坐标系中以点),,(00ozyxP为球心，半径为r的球的方程为_____________________．15．从5名学生中选出4名分别参加

数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为______.16．若函数)(12)(23Raaxxxf+−=在),0(+内有且只有一个零点，则)(xf在]1,1[−上的最大值与最小值的和为．三．解答题（共6小题，满分70分，17小题10分，其他各12

分）17．已知.22,1,2+=−=xbxaRx（1）求ba+的取值范围；（2）用反证法证明：ba，中至少有一个大于等于0．18．已知数列).(,143,3},{11+−−==Nnaaaaannnn（1）求432,,aaa的值

，并猜想na的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.19．设函数bxaxxxf++=23)(在点1=x处有极值.2−（1）求常数ba,的值;（2）求曲线)(xfy=与x轴所围封闭图形的面积.20．某厂生产产品x件的总成本21000)(xxC+=（万元），已知产品单价P（万元）

与产品件数x满足：,2xkP=生产100件这样的产品单价为50万元.（1）设产量为x件时，总利润为)(xL（万元），求)(xL的解析式；（2）产量x定为多少时总利润)(xL（万元）最大？并求最大值.21．已知函数.2)(xexfx−=（1）求曲线)(xfy=

在点))0(,0(f处的切线方程；（2）若函数]1,1[,)()(−−=xaxfxg恰有2个零点，求实数a的取值范围.22．已知函数).12ln(2)1()(2−+−=xaxxf（1）当2−=a时，求函数)(xf的极值点；（2）记,ln)(xaxg=若对任意1x都有)()(xg

xf成立，求实数a的取值范围.兰州一中2020-2021-2学期高二年级期中考试试卷数学（理科）参考答案一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）123456789101112BAABBBCDBDBA二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13

．214．2222000()()()xxyyzzr−+−+−=15．9616．3−.三．解答题（共6小题，满分70分，17小题10分，其他各12分）17．解：（1）2221222110abxxxxx+=−++=++=+（）；（2）证明：假设ab，中没有一个不小于

0，即00ab＜，＜，所以0ab+＜．又2221222110abxxxxx+=−++=++=+（），这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以，a，b中至少有一个大于等于0．18．解：（1）13a=，且1

341nnnaaa+−=−，3534725312a−==−，4734937413a−==−；由此猜想21nnan+=（2）用数学归纳法进行证明如下：①当1n=时，121131a+==，满足要求，猜想成立；②假设()*1nkkkN=且时，猜想成立，即21kkak+=,那么当1nk=+时

，()121342113423211111kkkkkakkakakkk++−++−+====+−++−，这就表明当1nk=+时，猜想成立，根据①②可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即21nnan+=.19．解：(1)由题意知()2'3

2fxxaxb=++,()12f=−且()'10f=,即12,320,abab++=−++=,解得0,3ab==−.(2)如图,由1问知()33fxxx=−.作出曲线33yxx=−的草图,所求面积为阴影部分

的面积.由330xx−=得曲线33yxx=−与x轴的交点坐标是()3,0−,()0,0和()3,0,而33yxx=−是R上的奇函数,函数图象关于原点中心对称.所以y轴右侧阴影面积与y轴左侧阴影面积相等.所以所求图形的面

积为()33023Sxxdx=−−4213932|4220xx=−−=.20．解：（1）由产品单价P（万元）与产品件数x满足：xkP=2，生产100件这样的产品单价为50万元，得100502k=250000=k即xP2500002=xP500=.221000500)1

000()(xxxxPxL−−=+−=)),0((+Nxx且.（2）由21000500)(xxxL−−=得xxxL221500)(−=.令0)(=xL即125)(3=x25=x当）25,0(x时，0)(xL，)(xL

单调递增；当）+,25(x时，0)(xL，)(xL单调递减；因此当25=x时，)(xL取得最大值，且最大值为87562510002500)25(=−−=L（万元）故产量x定为25件时，总利润)(xL（万元）最大，最大值为875万元.21．解：（1）因

为()e2xfxx=−，所以()e2xfx=−.所以()01.f=−又()01,f=所以曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程为1,yx−=−即10xy+−=.（5分）（2）由题意得，()e2xgxxa=−−，所以()e2xgx

=−.由()e20xgx=−=，解得ln2x=，故当1ln2x−时，()0gx，()gx在)1,ln2−上单调递减；当ln21x时，()0gx，()gx在(ln2,1上单调递增.所以()()minl

n222ln2gxga==−−.又()11e+2ga−−=−，()1e2ga=−−，若函数恰有两个零点，则()()()11e20,1e20,ln22220,gagaglna−−=+−=−−=−−解得22ln2e2a−−.所以实数a的取值范围为(22ln2,

e2−−.22．解：（1）2()(1)ln(21)fxxx=−−−，定义域为1,2+∴22(23)()2(1)2121xxfxxxx−=−−=−−，令()0fx=，得32x=，列表讨论如下：x13,22323,2+()fx−0

+()fx递减极小值递增∴()fx的极小值点为32x=；无极大值点.（2）由题得，对任意1x，恒有2(1)ln(21)ln02axxax−+−−，令2()(1)ln(21)ln2ahxxxax=−+−−，则min()0hx，其中1x，∵2(1)(21)(1)()2(1)21(21)aaxx

xaxhxxxxxx−−+−=−+−=−−()2(1)42(21)xxxaxx−−−=−，∵1x，∴10(21)xxx−−.当2a时，恒有2420xxa−−，所以()0hx（不恒为零），函数单调递增，min()(1)0hxh==，成立；当2a时，令2420xxa−−=，则1

1414ax++=，∴当1141,4ax++时，()0hx，()hx单调递减；当114,4ax+++时，()0hx，()hx单调递增；1144ah++为函数的最小值，又114(1)04ahh++=，所以不成立.综上所

述，2a.