【文档说明】江西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学 Word版含解析.docx，共(21)页，1.311 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考

试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第二章第一节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列直线中，倾斜角最小的是（）A.4350xy+−=B.435

0xy−−=C.3450xy+−=D.3450xy−−=2.已知圆()()22211xyr−+−=经过点()2,2P，则圆在点P处的切线方程为（）A.40xy+−=B.0xy+=C.0xy−=D.40xy−−=3.若方程22112xymm+=+−表示椭圆，则m的取值范

围为（）A.()1,2−B.()2,1−C.331,,222−D.111,,222−4.若点()1,2P−在圆C：220xyxym++++=的外部，则m的取值可能为（

）A.5B.1C.4−D.7−5.已知()4,2A−，()3,1B，过点()0,1P−的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（）A.23,,34−−+B.32,,43

−−+C.32,43−D.23,34−6.点()2,3−关于直线2230xy+−=对称的点的坐标为（）A.37,22−B.73,22−C53,22−

D.35,22−7.已知圆1C：()22381xy++=和2C：()2231xy−+=，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（）A.221167xy+=B.

221259xy+=C.2212516xy+=D.221169xy+=8.已知P是圆C：2260xyy+−=上一动点，若直线l：34120xy−−=上存在两点A，B，使得π2APB=能成立，则线段AB的长度的最小值是（）A.185B.225C.435D.985二、选择题：本题共3小题，

每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.9.已知()2,2A，()10B,，()3,2C−，且四边形ABCD是平行四边形，则（）A.直线AD的方程为40xy+

−=B.()1,2v=是直线CD的一个方向向量C.4BC=D.四边形ABCD的面积为310.若直线2ykx=−与曲线265yxx=−+−恰有一个交点，则k的值可能为（）A.0B.25C.2D.12511.已知(

)1,0A−，()3,0B，P是圆O：2249xy+=上的一个动点，则下列结论正确的是（）.A.过点B且被圆O截得最短弦长的直线方程为3x=B.直线430xmym−+−=与圆O总有两个交点C.过点A作两条互相垂直直线，分别交圆O于点E，G和F，H，则四边形EFGH的面积的最小值为97D.si

nAPB的最大值为713三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知O为坐标原点，()10F,是椭圆M：22221xyab+=（0ab）的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若OCD为直角三角形，则M的长轴长为_____

______.13.已知()1,3A−，直线l：()()21210mxmym+−++−=，过点A作l的垂线，垂足为B，则点B到x轴的距离的最小值为______.14.在某城市中，F地位于E地的正南方向，相距2km；Q地位于E地的正东方向，相距1km.现有一条沿湖小径RS（曲线），其上

任意一点到E和F的距离之和为4km.现计划在该小径上选择一个合适的点P建造一个观景台，经测算从P到F，Q两地修建观景步道的费用都是5万元/km，则修建两条观景步道的总费用最低是___________万元.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.15.已知直线l：()()12110axay−−++=.（1）若l在两坐标轴上的截距相反，求a的值；（2）若直线m：4210xy−+=，且lm∥，求l与m间的距离.16.已知1F，2F分别是椭圆C：22221xyab+=（0ab）的左、右焦点，P为C上一点.（1）若12

2FF=，点P的坐标为()0,3−，求椭圆C的标准方程；（2）若12PFPF⊥，12FPF面积为4，求b的值.17.已知圆M与y轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线0xy−=截得的弦长为22.（1）求圆M的标准方程；（2）若过点()0,3P的直线l与圆M相切，求直

线l的方程.18.已知A，B分别是椭圆C：22221xyab+=（0ab）的上、下顶点，M是椭圆C上一动点.的的（1）若直线MA，MB斜率之积为34−，且椭圆C的短轴长为26，求椭圆C的方程；（2）若P是圆2220xyby+−=上

一动点，且3MPb≤，求椭圆C的离心率的取值范围，19.定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记MN的最大值为m，MN的最小值为n，若2mn=，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“EF−”的“钻石点”.已

知圆A：()()221113xy+++=，P为圆A的“黄金点”（1）求点P所在曲线的方程.（2）已知圆B：()()22221xy−+−=，P，Q均为圆“AB−”的“钻石点”.（ⅰ）求直线PQ方程.（ⅱ）若圆H是以线段PQ为直径的圆，直线l：13y

kx=+与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分IWJ？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.的的高二数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答

题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第二章第一节.一、选

择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列直线中，倾斜角最小的是（）A.4350xy+−=B.4350xy−−=C.3450xy+−=D.3450xy−−=【答案】D【解析】【分析】根

据直线斜率与直线倾斜角之间的关系求解.【详解】由倾斜角的范围，可知斜率为正时倾斜角小于斜率为负时的倾斜角，故排除AC，B中直线斜率为43，D中直线斜率为34，由正切函数的单调性及3443知，3450xy−−=的倾斜角最小.故选：D2.已知圆()()22211xyr−+−=经过点()2,

2P，则圆在点P处的切线方程为（）A.40xy+−=B.0xy+=C.0xy−=D.40xy−−=【答案】A【解析】【分析】首先求2r的值,然后求圆心坐标，接着求圆心C与点P连线的斜率CPk，最后求圆在点P处的切线方程.【详解】因为圆222(1)(1)xyr−+−=经过点(2,2)P，将点(2

,2)P代入圆的方程可得：222(21)(21)r−+−=.即211r+=，所以22r=，则圆的方程为22(1)(1)2xy−+−=.对于圆222()()xaybr−+−=，其圆心坐标为(,)ab，所以此圆的圆心(1,1)C.：根据斜率公式2121yyk

xx−=−，这里(1,1)C，(2,2)P，则21121CPk−==−.因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为1k和2k，则121kk=−.已知1CPk=，所以切线的斜率1k=−.又因为切线过点(2,2)P，根据点斜式方程00()yykxx−=−（这里002,2,1xyk=

==−），可得切线方程为2(2)yx−=−−.整理得40xy+−=.故选：A.3.若方程22112xymm+=+−表示椭圆，则m的取值范围为（）A.()1,2−B.()2,1−C.331,,222−

D.111,,222−【答案】D【解析】【分析】根据椭圆标准方程的形式求解即可.【详解】因为方程22112xymm+=+−表示椭圆，所以102012mmmm+−+−，解得111,,222m−

，故选：D.4.若点()1,2P−在圆C：220xyxym++++=的外部，则m的取值可能为（）A.5B.1C.4−D.7−【答案】C【解析】【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出m的范围得解.【详解】因为点()1,2P−在圆C：2

20xyxym++++=的外部，所以22(1)2120m−+−++，解得6m−，又方程表示圆，则1140m+−，即12m，所以162m−，结合选项可知，m的取值可以为4−.故选：C5.已知()4,2A−，()3,1B，过

点()0,1P−的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（）A.23,,34−−+B.32,,43−−+C.32,43−

D.23,34−【答案】B【解析】【分析】求出直线PA，PB的斜率后，结合图象得到斜率的取值范围.【详解】()213404PAk−−==−−−，()112303PBk−−==−，由图象可知：直线l的斜率的取值范围为32,,43−−+.故选：B.6.

点()2,3−关于直线2230xy+−=对称的点的坐标为（）A.37,22−B.73,22−C.53,22−D.35,22−【答案】A【解析】【分析】根据两对称点的中点在直线上，对称点连线与直线垂直列出方程组得解.【详解】设点()2,3−关于直线2

230xy+−=对称的点的坐标为(),mn，则232230223(1)12mnnm−+++−=−−=−+，解得3272mn=−=，故选：A7.已知圆1C：()22381xy++=和2C：()2231xy−+=，若动圆P与这两圆一个内切一

个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（）A.221167xy+=B.221259xy+=C.2212516xy+=D.221169xy+=【答案】C【解析】【分析】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断P点轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程.【详解】圆1C：()22381xy++=和2C：()223

1xy−+=的圆心、半径分别为1122(3,0),9,(3,0),1CrCr−==，由126918CC=−=可知圆2C内含于圆1C内，设动圆半径为R,由题意，22CPrR=+，11CPrR=−,两式相加可得12121210

6PCPCrrCC+=+==,故P点的轨迹为以12,CC为焦点的椭圆，其中210,26ac==，所以222225,16abac==−=，所以椭圆方程2212516xy+=.故选：C8.已知P是圆C：2260xyy+−=上一动点，若直线l：34120xy−−=上存在两点A，

B，使得π2APB=能成立，则线段AB的长度的最小值是（）A.185B.225C.435D.985【答案】A【解析】【分析】根据几何的思路得到当以AB为直径的圆与圆C外切，且圆心连线与l垂直时，线段AB长度最小，然后求A

B即可.【详解】由圆2260xyy+−=得圆心()0,3C,半径3r=.因为直线34120xy−−=上存在两点,AB，使得π2APB=恒成立，则以AB为直径的圆与圆C有交点，当AB长度最小时，两圆外切，且两圆圆心所在直线与l垂直，如图，因为圆心

()0,3C到直线34120xy−−=的距离2230431224534d−−==+，所以min24182355AB=−=，故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.为9.已

知()2,2A，()10B,，()3,2C−，且四边形ABCD是平行四边形，则（）A.直线AD方程为40xy+−=B.()1,2v=是直线CD的一个方向向量C.4BC=D.四边形ABCD的面积为3【答案】ABD【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，

得到ABDC=，结合向量的坐标公式可得到D的坐标，从而计算直线AD的斜率，写出直线AD的点斜式方程，从而判断A；由方向向量和斜率的关系可判断B；由两点间的距离公式可判断C；利用点到直线的距离公式得到BC边上的高，由平

行四边形的面积公式可判断D.【详解】设(),Dxy，由四边形ABCD是平行四边形，可得ABDC=，即()()12,023,2xy−−=−−−，解得：4,0xy==，所以()4,0D，20124ADk−==−−，直线AD的方程为()144yxx=−−=−+，即40xy+−=，故A正确；20

22341CDk−−===−，所以()1,2v=是直线CD的一个方向向量，故B正确；()()22312022BC=−+−−=，故C错误；B到直线AD的距离22110143322211h+−===+，所以四边形AB

CD的面积为1132223222BCh==，故D正确.故选：ABD.10.若直线2ykx=−与曲线265yxx=−+−恰有一个交点，则k的值可能为（）A.0B.25C.2D.125【答案】BD【解析】【分析】根据直线过定点及曲线为半圆，作出图象，求出切线、割线对应斜率，数形结合即可得解.的

【详解】直线2ykx=−恒过定点(0,2)P−，由265yxx=−+−可得22(3)4(0)xyy−+=，如图，由23221kk−=+解得125k=或0k=（舍去），即125PMk=,由(1,0),(5,0)QN，可得22,5PQPNkk==,由图可知，125k=或225k时，直线与半圆恰有

1个交点.故选：BD11.已知()1,0A−，()3,0B，P是圆O：2249xy+=上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.过点B且被圆O截得最短弦长的直线方程为3x=B.直线430xmym−+−=与圆O总有两个交点C.过点A作两条互相垂直的直线，分别交圆O于点E，G和F，H，则四边形EFG

H的面积的最小值为97D.sinAPB的最大值为713【答案】ABD【解析】【分析】根据圆的几何性质判断A，根据直线系过定点且在圆内判断B，根据圆的几何性质求弦长，再由均值不等式及四边形面积判断C，根据正弦定理转化为求三角形PAB外接圆半径的最小值，再由圆的性

质知内切时外接圆半径最小即可得解.【详解】如图，因为()3,0B，圆O：2249xy+=，所以B在圆O内，当弦与OB垂直时，所截得的弦长最短，此时最短弦所在的直线方程为3x=，A正确；由直线430xmym−+−=可得(4)30myx−++−=，故直线恒过点(3

,4)C，由22342549+=知点(3,4)C在圆O内，所以直线430xmym−+−=与圆O总有两个交点，B正确；记点O到直线,EGFH的距离分别为12,dd，则22212||1ddOA+==，又21||249EGd=−，22||249FHd=−，所以22

||||3882||||EGFHEGFH+=，即||||194EGFH,则四边形EFGH的面积||||972EGFHS=，即四边形EFGH的面积的最大值97，C错误；当点P在x轴上时，sin

0APB=，当点P不在x轴上时，设PAB外接圆的圆心为M，半径为R，由正弦定理得||2sinABRAPB=，则||sin2ABAPBR=，当外接圆的半径最小，即外接圆M与圆O内切时，sinAPB最大，由题意M在AB的中垂线上，可设其坐标为()

1,x，则22,||4||1RMAxMOx==+=+，因为圆M与圆O内切，所以圆心距等于半径之差，则22174xx+=−+，化简后可得22647x+=，即R的最小值为267，此时sinAPB最大，最大值为||47522137ABR==，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本

题解题的关键在于灵活运用圆的相关性质，特别是弦心距、半弦长、半径之间的关系，sinAPB问题注意转化为外接圆半径最值问题，再由两圆的位置关系即可求出最小值，本题属于难题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答

案填在答题卡中的横线上.12.已知O为坐标原点，()10F,是椭圆M：22221xyab+=（0ab）的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若OCD为直角三角形，则M的长轴长为___________.【答案】15+##51+【解析】【分析

】由通径的求法得出CF，再由OCD为直角三角形得出1CFOF==，建立方程求出a即可得解.【详解】因为当xc=时，代入椭圆方程可得2222221ycbbaa=−=，所以422bya=，不妨设C在第一象限，则2Cbya=，因为OC

D为直角三角形，由椭圆的对称性知，45COF=，所以1CFOFc===，故21Cbya==，即2ab=，可得2221aba==−，解得152a+=或1502a−=（舍去），所以椭圆M的长轴长为215a=+.故答案为：15+13.已知()1,

3A−，直线l：()()21210mxmym+−++−=，过点A作l的垂线，垂足为B，则点B到x轴的距离的最小值为______.【答案】45−##54−+【解析】【分析】由直线系方程求出定点，再由题意得出B点轨迹为圆，利用圆的几何性质可得圆上点到x轴距离的最小值.【详解】由()

()21210mxmym+−++−=可得(2)210mxyxy−++−−=，由20210xyxy−+=−−=解得35xy==，即直线l过定点(3,5)M，连接AM，则AM中点(1,4)G，因为PBl⊥，所以B在以G为圆心，半径为5AG=的圆上，如图，圆的方程为()()2214

5xy−+−=，则圆心到x轴的距离4d=，所以点B到x轴的距离的最小值为45−.故答案为：45−14.在某城市中，F地位于E地的正南方向，相距2km；Q地位于E地的正东方向，相距1km.现有一条沿湖小径RS（曲线），其上任意一点到E和F的距离之和为4km.现计划在该小径上选

择一个合适的点P建造一个观景台，经测算从P到F，Q两地修建观景步道的费用都是5万元/km，则修建两条观景步道的总费用最低是___________万元.【答案】15【解析】【分析】由题意求出P点的轨迹方程，再根据椭圆的定义化简费用关系式，数形结合可知在0P处有最小值.【详解】以EF所在直

线为y轴，EF的垂直平分线为x轴，建立如图所示的直角坐标系.设Р为沿湖小径RS上的任意一点，则||||4PEPF+=，根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为椭圆.所以24,2,22,1aacc====，则点P的轨迹方程为22143yx+=，

由题意，修建两条观景步道的总费用为()5552PFPQPQaPE+=+−，由图形可知，当,,EQP三点共线且Q在,EP之间时，即P运动到0P处时，总费用最低，最低为()5415EQ−=.故答案为：15【点睛】关键点点睛：本题关键在于建立平面直角

坐标系，利用椭圆定义得到动点的轨迹方程，再由数形结合，得出三点共线时，动点P的位置，属于较难题目.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线l：()()12110axay−−++=.（1）若l在两坐标轴上的截距相反，求a的

值；（2）若直线m：4210xy−+=，且lm∥，求l与m间的距离.【答案】（1）2−（2）3510【解析】【分析】（1）求出截距，利用截距和0得解；（2）根据平行得出直线方程，再由平行线间距离公式求解.【小问1详解】令0x=，则121ya=+，令0y=

，则11xa=−−，所以110211aa−=+−，解得2a=−.【小问2详解】因为//lm，所以()211142aa−+−=−，解得1a=−，则l的方程为210xy−++=，即4220xy−−=，为

则l与m间的距离22|1(2)|35104(2)−−=+−.16.已知1F，2F分别是椭圆C：22221xyab+=（0ab）的左、右焦点，P为C上一点.（1）若122FF=，点P的坐标为()0,3−，求椭圆C的标准方程；（2）若12PFPF⊥，12FPF的面积为4，求b的值.【答案】（1）

221109xy+=（2）2b=【解析】【分析】（1）已知12||2FF=可求出c，点P坐标可代入椭圆方程求出b，进而求出a；（2）得到椭圆标准方程根据12PFPF⊥，利用三角形面积公式121||||2SPFPF=和椭圆定义12||||2PFPFa+=以及勾股定理22221212||||||

(2)PFPFFFc+==来求解b的值.小问1详解】已知12||2FF=，因为12||2FFc=，所以1c=.点(0,3)P−在椭圆上，将其代入椭圆方程22221xyab+=，可得22220(3)1ab−+=，即291b=，解得3b=.又因为222cab=−，1c=，3b=，所以22291

10abc=+=+=.所以椭圆C的标准方程为221109xy+=.【小问2详解】因为12PFPF⊥，所以12FPF的面积121||||42SPFPF==，则12||||8PFPF=.根据椭圆定义

，12||||2PFPFa+=.由勾股定理可得22221212||||||(2)PFPFFFc+==.又222121212(||||)||||2||||PFPFPFPFPFPF+=++，即22(2)(2)16ac=+.在椭圆中有222cab=−，

将22(2)(2)16ac=+变形为224ac=+，即24b=，解得2b=.【17.已知圆M与y轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线0xy−=截得的弦长为22.（1）求圆M的标准方程；（2）若过点(

)0,3P的直线l与圆M相切，求直线l的方程.【答案】（1）()2224xy++=（2）512360xy−+=或0x=【解析】【分析】（1）根据弦长及圆的几何性质求出圆心半径得解；（2）分类讨论直线的斜率是否存在，根据点到直线距离等于半径得解.【小问1详解】因

为圆心在x轴的负半轴上，所以设圆M：()()2220xayra−+=又圆M与y轴相切，所以||ar=，即ra=−.圆心(),0Ma到直线0xy−=的距离为||2a,所以()22222aa+=，解得2a=−，则2r=.故圆的标

准方程为()2224xy++=.【小问2详解】由（1）知，圆心为()2,0,2Mr−=，因为22234+，所以点P在圆M外，过圆M外一点作圆M的切线，其切线有2条.①当l的斜率k存在时，设l的方程为3ykx=+，即30kxy−+=，则圆

心M到l的距离2|23|21kdk−+==+，解得512k=，此时l的方程为512360xy−+=.②当l的斜率k不存在时，直线l的方程为0x=，圆心()2,0M−到直线0x=的距离为2，所以直线0x=与圆M相切.综上

，l的方程为512360xy−+=或0x=.18.已知A，B分别是椭圆C：22221xyab+=（0ab）的上、下顶点，M是椭圆C上一动点.（1）若直线MA，MB的斜率之积为34−，且椭圆C的短轴长为26，求椭圆

C的方程；（2）若P是圆2220xyby+−=上一动点，且3MPb≤，求椭圆C的离心率的取值范围，【答案】（1）22186xy+=（2）20,2【解析】【分析】（1）求出直线MA，MB的斜率之积22ba−，利用短轴长，求出a即可得出椭圆的标准方程；（2）求出2MA，利用||3M

Pb可得2MAb，分类讨论求max||MA，建立不等式求解即可.【小问1详解】易知()()0,,0,AbBb−，设点()00,Mxy，则2200221xyab+=，即0222202xbyba−=−

，直线,MAMB的斜率之积2022200022200020234MAABxybybybbakkxxxxab−−+−====−=−，又椭圆C的短轴长为26，即2266,bb==，所以28a=，故椭圆C的方程为221.86xy+=【小

问2详解】圆2220xyby+−=可化为()222xybb+−=，则圆心为(0,)Ab，半径为b，由P是圆2220xyby+−=上一动点，且||3MPb，可得2MAb，如图，设()00,Mxy，则2

200221xyab+=，所以()()222222000021yMAxybaybb=+−=−+−22342200222,cbbyabbybbcc=−++++−，当32bbc−−，即22bc时，()22max||4MAb

=，即max||2MAb=，符合题意，由22bc，可得222ac，即202e；当32bbc−−即22bc时，()42222max||bMAabc=++，即422224babbc++，化简得()22

20cb−，所以22cb=，这与22bc矛盾，不符合题意综上，椭圆C的离心率的范围为20,.219.定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记MN的最大值为m，MN的最小值为n，若2mn=

，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“EF−”的“钻石点”.已知圆A：()()221113xy+++=，P为圆A的“黄金点”（1）求点P所在曲线的方程.（2）已知圆B：()()22221xy−+−=，P，Q

均为圆“AB−”的“钻石点”.（ⅰ）求直线PQ的方程..（ⅱ）若圆H是以线段PQ为直径的圆，直线l：13ykx=+与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分IWJ？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()()221

13xy+++=（2）（ⅰ）0xy+=（ⅱ）存在，()0,3W【解析】【分析】（1）根据新定义建立方程，化简即可判断轨迹为圆，得出轨迹方程；（2）（ⅰ）根据P，Q均为圆“AB−”的“钻石点”，可知PQ为两圆的公共弦，作差即可得解；（ⅱ）由题意求出圆H的方程为221xy+=，

假设存在，根据0IMJWkk+=及根与系数的关系化简为2203kkt−+=是否对任意k成立，即可得解.【小问1详解】因为点P为圆A的“黄金点”，所以33233PAPA+=−，即3PA=，所以点P的轨迹是以A为圆心，3为半径的圆，故点P所在曲线的方程为()()22113.xy+

++=【小问2详解】（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则()121PBPB+=−所以||3PB=，即点P在圆()()22229xy−+−=上，则P是圆()()22113xy+++=和()()22229xy−+−=的交点.因为P，Q均为圆“AB−”的“钻石点”，所以直

线PQ即为圆()()22113xy+++=和()()22229xy−+−=的公共弦所在直线，两圆方程相减可得0xy+=，故直线PQ的方程为0xy+=.(ii)设22(1)(1)3xy+++=的圆心为(11),S−−，半径为3，()()22229xy−+−=的圆心为(2,2)T，半径为3.

直线ST的方程为yx=，得PQ的中点坐标为(0,0)，点S到直线0xy+=的距离为222=，则()()223212PQ=−=，所以圆H的方程为221xy+=.假设y轴上存在点(0),Wt满足题意，设()()1122,,,IxyJxy，120xx.若y轴平分IWJ，则0IMJWkk+=，即1

2120ytytxx−−+=，整理得()()21120.xytxyt−+−=又11223,113ykxykx=+=+，所以代入上式可得211211)33(()0xkxtxkxt+−++−=，整理得()12121203kxxtxx+−+=①，由22131ykxx

y=++=可得()22281039kxkx++−=，所以1212222839,11kxxxxkk−+=−=++，代入①并整理得2203kkt−+=，此式对任意的k都成立，所以3t=.故y轴上存在点()0,3W，使得y轴平分IWJ.【点睛】关键点点睛：在（2）(ii)中，求出圆圆H

的方程为221xy+=后，假设存在点(0),Wt满足题意，能够转化为0IMJWkk+=，再由斜率公式化为()12121203kxxtxx+−+=，利用根与系数的关系代入后得2203kkt−+=，题目对运算能力要求很高，属于难题.