【文档说明】河北省新时代NT教育2024-2025学年高三入学摸底测试 数学答案.docx，共(18)页，1.100 MB，由小赞的店铺上传

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第1页/共18页学科网（北京）股份有限公司2024—2025学年高三年级9月入学摸底考试数学考试说明：1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填在答题卡上.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.1.已知512iz=−−，则z=（）A.-13B.0C.13D.13【答案】D【解析】【分析】先得到512iz=−+，再利用模长公式求解,【详解】512iz=−+，故()2251213z=−+=.故选：D2.已知,,abcR，使ab成立的一个充分不必要条件

是（）A.acbc++B.acbcC.22abD.22acbc【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得.【详解】对于A，acbcab++，A不是；对于B，

当0c时，由acbc，得ab，B不是；对于C，22ab，可能有ab，如2,1ab=−=，C不是；对于D，由22acbc，得20c，则ab；若,0abc=，则22acbc=，D是.故选：D3.已知向量,ab满足()()2,,1,3ab==−−，且()3

ab+∥()ab−，则=（）第2页/共18页学科网（北京）股份有限公司A-9B.-6C.6D.9【答案】C【解析】【分析】先根据坐标运算得出向量3,,abab+−再结合向量平行的坐标公式计算.【详解】因为()()31,9,3,3,abab+=−−−=+又因为()()3//abab+−,

所以3327,6.−−=−=故选：C.4.某校高三数学老师共有20人，他们的年龄分布如下表所示：年龄)25,30)30,35)35,40)40,45)45,5050,55人数126542下列说法正确的是（）A.这20人年龄的80%分位数的估计值是46.5B.这20

人年龄的中位数的估计值是41C.这20人年龄的极差的估计值是55D.这20人年龄的众数的估计值是35【答案】B【解析】【分析】本题根据已知条件提供的数据，可分别计算80%分位数，中位数（50%分位数），但无法计算众数和极差.【详解】因为2080%16i==，故80%分位数落

在区间)45,50，设其估计值为m，则()12651450.82020202020m++++−=，解得46m=，故A错误；又因为2050%10i==，所以中位数（50%分位数）落在区间)40,45，设其估

计值为n，则()1261400.520202020n+++−=，解得41n=，故B正确；有表格中数据可知极差不超过552530−=，故C错误；.第3页/共18页学科网（北京）股份有限公司因为本题无法确定年龄的具体数值，故无法判断众数的值，故D错误.故选：B.5.已知MN､两点坐标分别(

)()2,0,2,0−.直线MKNK､相交于点K，且它们的斜率之和是3，则点K的轨迹方程为（）A.()2321202xxyx−−=B.()2321202yyxx−−=C.()221243xyx+=D.()2

21234xyx−=【答案】A【解析】【分析】本题先设K点的坐标，根据斜率之和为3列出方程，化简即可得出结果.【详解】设(),Kxy，则直线KM斜率为2KMykx=+，直线KN的斜率为2KNykx=−，依据题意可知，322KMKNyykkxx+=+=+−，化简得：232120xxy−−

=，因为直线KM、KN的斜率存在，所以2x，所以()2321202xxyx−−=，故选：A.6.已知()132sinπ,,22fxxx=−，将()fx的图象向右平移12个单位长度后得到()gx的图象，函数112xyt−=+的图象与𝑦=𝑔

(𝑥)的图象交点横坐标为12,xx，则22122xx+最小值为（）A.1B.43C.83D.133【答案】C【解析】【分析】先确定()gx的定义域及表达式，根据函数图象，可得12,xx的范围及关系，可求22122xx+的最小值.【详解】易知()12sin

π2gxx=−()2cosπx=−，𝑥∈[0,2].在同一坐标系内作出函数()gx=()2cosπx−，𝑥∈[0,2]和112xyt−=+的图象，如下图：的第4页/共18页学科网（北京）股份有限公司

由解析式易知两函数均关于𝑥=1对称，则122xx+=，且交点位置与t有关.若12xx，则101x，所以()22221211222xxxx+=+−211344xx=−+，当123x=时，22122xx+有最小值，为83；若12xx，

则112x，所以()22221211222xxxx+=+−211344xx=−+，在(1,2上有221224xx+.综上：22122xx+的最小值为83.故选：C7.已知正三棱台111ABCABC−，上下底面边长分别为1和3，侧面和底面所成

角为π3，则棱台的体积为（）A.1312B.13312C.1213D.12313【答案】B【解析】公众号：高中试卷君【分析】根据给定条件，求出正三棱台的高，再利用棱台的体积公式计算得解.【详解】令1,DD分别是11,BCBC的中点，连接11,A

DAD，设1,OO分别是正三角形ABC和正三角形111ABC的中心，则111,OADOAD，且11111313,3632ODADODAD====，由1OO⊥平面,ABCBC平面ABC，得1OOBC⊥，由11,,,ADBCADOOOADOO⊥=平面11ADDA，则

⊥BC平面11ADDA，又1DD平面11ADDA，则1BCDD⊥，1DDA是棱台的侧面与底面所成的二面角的平面角，第5页/共18页学科网（北京）股份有限公司即160DDA=，过1O作1OEAD⊥，垂足为E，则1133DEOD

OD=−=，111OODD==，所以三棱台的的体积222213333133(1133)3444412V=++=.故选：B8.已知55ln,lg22aabb+=+=，则（）A.2abB.2abC.2ba

D.2ba【答案】B【解析】【分析】根据函数()lnfxxx=+，()lggxxx=+的单调性，判断,,2ab的大小关系.【详解】设()lnfxxx=+，易知()fx在(0,+∞)上单调递增.且()5ln2f

aaa=+=，()()522ln22lne2ffa=++==，所以2a；设()lggxxx=+，易知()gx在(0,+∞)上单调递增.且()5lg2gbbb=+=，()()522lg22lg102ggb=++==，所以2b.综上：2ab

.故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()π2sin0,2fxx=+，周期为π，且满

足π5π1212fxfx−=−−，则（）第6页/共18页学科网（北京）股份有限公司A.()π2sin23fxx=+B.()fx向右平移π12个单位变为偶函数C.()fx在区间π3π,44

上单调递减D.()1fx=在0,π上有两个不相等的实数解【答案】BD【解析】【分析】根据周期以及对称可得函数表达式，即可判断A，根据函数平移即可求解B.利用整体法即可求解CD.【详解】由周期为π，可得2π2π==，故()()2sin2fxx=+，由π5π1212ff

−=−可得π5ππ121226xx−+−=，故π,06是()fx的一个对称中心，故ππ2sin063f=+=，结合π2，故π3=−，进而可得()π2sin23fxx

=−，故A错误，对于B，()fx向右平移π12个单位得到ππππ2sin22sin22cos212632fxxxx−=−−=−=−为偶函数，故B正确，对于C，当π3π,44x时，则ππ7ππ3π2,2π,2

π,Z36622xkkk−++，故C错误，对于D，令()π2sin213fxx=−=，则ππ22π36xk−=+或π5π22π36xk−=+，Zk,解得ππ4xk=+或7ππ12xk=+，Zk，当0,πx，此时有π4x=和7π12x=，故D正确

，故选:BD第7页/共18页学科网（北京）股份有限公司10.已知曲线C上的动点(,)Pxy到点(1,0)F的距离与其到直线1x=−的距离相等，则（）A.曲线C的轨迹方程为24yx=B.若(4,2),TM为曲线C上的动点，则||||MT

MF+的最小值为5C.过点(1,0)N−，恰有2条直线与曲线C有且只有一个公共点D.圆225xy+=与曲线C交于AB､两点，与1x=−交于EG､两点，则,,ABEG,四点围成的四边形的周长为12【答案】ABD【解析】【分析

】根据给定条件，利用抛物线定义求出曲线C的轨迹方程，再逐项分析判断即得.【详解】对于A，依题意，曲线C是以(1,0)F为焦点，直线1x=−为准线的抛物线，方程为24yx=，A正确；对于D，直线1x=−交圆225xy+=于点(

1,2),(1,2)EG−−−，而(1,2),(1,2)AB−，四边形AEBG是矩形，周长为2(24)12+=，D正确；对于B，显然,,TAE共线，TE垂直于直线1x=−，令点M到直线1x=−的距离为d，则||MFd=，||||||||MTMFMTdTE+=+，当且

仅当M与点A重合时取等号，因此||||MTMF+的最小值为5TE=，B正确；对于C，过点(1,0)N−与曲线C仅只一个公共点的直线方程为(1)ykx=+，由2(1)4ykxyx=+=消去x得2440kyy

k−+=，当0k=时，直线0y=与抛物线仅中一个公共点，当0k时，216160k=−=，解得1k=，显然直线1,1yxyx=+=−−与抛物线仅只一个公共点，因此过点(1,0)N−与曲线C有且只有一个公共点的

直线有3条，C错误.第8页/共18页学科网（北京）股份有限公司故选：ABD11.已知函数3211()36fxxax=−+，则（）A.0a时，0x=是()fx的极大值点B.若()fx存在三个零点，则13aC.当0a=时，过点

(0,0)可以作()fx的切线，有且只有一条D.存在a，使得1232022337()()()()20232023202320232ffff++++=【答案】ACD【解析】【分析】求出极大值点判断A；()fx有三个零点，求出a的范围判断B；利用导数的几何意义求解判断C；取12a=，求出函数

图象对称中心计算判断D.【详解】对于A，当0a时，2()2(2)fxxaxxxa=−=−，当0x或2xa时，()0fx，当02xa时，()0fx，因此0x=是()fx的极大值点，A正确；对于C，当0a=时，311()36fxx=+，2()0fxx=，

设切点为311(,)36tt+，2()ftt=，则切线方程为3211()()36yttxt−+=−，由切线过点(0,0)，得314t=，此方程有唯一解，因此过点(0,0)可以作()fx的切线，有且只有一条，C正确；对于B，当0a时，()fx在0

x=上取得极大值1(0)6f=，在2xa=处取得极小值341(2)36afa=−+，函数()fx存在三个零点，则341(2)036afa=−+，解得12a，当0a=时，()fx在R上单调递增，()fx最多一个零点；当0a时，当2xa或0x时，()0fx，当20ax时，()0

fx，因此()fx在2xa=处取得极大值341(2)036afa=−+，在0x=上取得极小值1(0)6f=，第9页/共18页学科网（北京）股份有限公司则()fx最多一个零点，于是()fx存在三个零点，12a，B错误

；对于D，取12a=，则32111()326fxxx=−+，3232(1)()(1)(16111111132636)2fxfxxxxx−+−−+−++==−，令1232022()()()()202320232

0232023Sffff=++++，则20211()()()()202320232023202202222030Sffff=++++，1220223376S==，3372S=，因此当12a=时，1232022337()()()()20232023202320232ffff++++=，D正确.故

选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.记nS为等比数列na的前n项和，若225342,4aaaa==，则6S=__________.【答案】634##15.75【解析】【分析】本题利用等比数列的性质或者基本量法计算数列的首项和公比，再利用等比数列的前n项和

公式计算即可得出结果.【详解】因为252aa=，所以25342aaaa==，又因2344aa=，所以32a=，41a=，从而12q=，又2312aaq==，所以18a=，所以666181163216112412S−==−=−.故答案为

：634.13.已知1tansin(),43tan−==，则sin()+=__________.【答案】59【解析】【分析】根据给定条件，利用差角的正弦公式、正切化成正余弦求出sincos,cossin

，再利用和角为第10页/共18页学科网（北京）股份有限公司的正弦公式计算即得.【详解】由1tansin(),43tan−==，得1sincoscossin3sincos4cossin−==，解

得41sincos,cossin99==，所以5sin()sincoscossin9+=+=.故答案为：59公众号：高中试卷君14.为促进学生个性化全面发展，树人中学开设了丰富多彩的课余选课活动.已知高一年级共100人开始选课，要求没有人选到的课是一模

一样的.通过选课模拟测试，发现每人选课3门，不合要求，每人选课4门，符合要求.则年级总共开设__________门课.【答案】9【解析】【分析】根据题意可得4C100n且3C100n，即可根据组合数的性质求解.【详解】设开设了n门课，则4C100n且3C100n，由于33

910C84100,C120100==，4498C126100,C70100==，故99n，故9n=，故答案为：9四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABCV的内角,,ABC所对的边分别是,,abc，已知2cos20cBab−+=.（

1）求C；（2）若7,2cab=−=，求ABCV的面积.【答案】（1）π3（2）4534【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合三角形内角和定理、诱导公式可求角C.（2）利用余弦定理，结合条件，可求ab值，进而求

三角形的面积.【小问1详解】因为：2cos20cBab−+=的第11页/共18页学科网（北京）股份有限公司由正弦定理：2sincos2sinsin0CBAB−+=()2sincos2sinsin0CBCBB−++=所以：2cos

sinsinCBB=，因为sin0B，1cos2C=，而C为三角形内角，故π3C=.【小问2详解】由余弦定理：2222coscababC=+−所以22π2cos493abab+−=，即2249abab+−=.又

2ab−=2224abab+−=2242abab+=+.所以449ab+=45ab=.所以1sin2ABCSabC=△134522=4534=.16.已知()0,2P和()2,1Q为椭圆2222:1(0)xyCabab+=

上的两点.（1）求椭圆C的离心率；（2）设直线:1lykx=+与椭圆C交于AB､两点，求AOBS的取值范围.【答案】（1）22（2）(0,2AOBS【解析】【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程即可联立求解方程，进而由离心率公式求解.（2）由点到直线距离以及弦长公式，

结合面积公式先表示出OAB△的面积S，即可结合换元法以及二次函数的性质得出S的范围．【小问1详解】将()0,2P和()2,1Q代入椭圆方程可得22021ab+=且22211ab+=，解得2242ab==，故所求椭圆方程为：22142xy

+=故离心率为22ca=，【小问2详解】设1(Ax,1)y，2(Bx,2)y，第12页/共18页学科网（北京）股份有限公司将:1lykx=+，代入椭圆的方程，整理得22(21)420kxkx++−=，122122412

212kxxkxxk+=−+−=+，所以点O到直线l的距离为211dk=+，()2222222121212222422241114141121212kkABkxxkxxxxkkkkk+=+−=++−=+−−−=++++，2222

222112241141||122212(12)1OABkkSABdkkkk++==+=+++，设212kt+=，则1t，2212122112OABSttt=−+=−−+，当1t=时上

式取等号．AOBS的最大值为2故(0,2AOBS17.如图，在四棱锥FABCD−中，等边FAD△与等边ABD△的边长均为2,3BF=，BCDC⊥.（1）若//BC平面AFD，求BC；（2）若3BC=，求二面角BCF

D−−的余弦值.第13页/共18页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）1；（2）10535−.【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质，结合等边ABD△的边长为2计算即得.（2）建立空间直角坐标系，求出平面BCF与平面DCF

的法向量，再利用空间向量求出面面角的余弦.【小问1详解】在四棱锥FABCD−中，由//BC平面AFD，平面ABCD平面AFDAD=，BC平面ABCD，则//BCAD，又等边ABD△的边长为2，则60DBCADB==，又BCDC⊥，所以cos601BCBD==.【小问2详解】

取AD中点E，连接,BEFE，由等边FAD△与等边ABD△的边长均为2，得,BEADFEAD⊥⊥，而,,BEFEEBEFE=平面BEF，则AD⊥平面BEF，AD平面ABD，则平面BEF⊥平面ABD，在平面BEF内过点B作BzBE⊥，于是Bz⊥平面ABD，由BCDC⊥，

2,3DBBC==，得30CBD=，90ABCABDCBD=+=，即ABBC⊥，以点B为原点，直线,,BCBABz分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(3,0,0),(3,1,0)BCD，由3BEFEBF===，得333(,

,)442F，3333(,,),(3,0,0),(0,1,0)442CFBCCD=−==，设平面BCF的法向量(,,)nxyz=，则3333044230nCFxyznBCx=−++===，令1z=−，得(0,2,1)n=−，设平面DCF的法向量(,,)mabc=，则333304420

mCFabcnBCb=−++===，令2a=，得(2,0,3)m=，则3105cos,35||||75mnmnmn−===−，观察图形知二面角BCFD−−的平面角是钝角，第14页/共18页学科

网（北京）股份有限公司所以二面角BCFD−−的余弦值为10535−.18.某校社团开展知识竞赛活动，比赛有,AB两个阶段，每队由两名成员组成.比赛规则如下：A阶段由某参赛队中一名队员答2个题，若两次都未答对，则该队被淘汰，该队得0分；若至

少答对一个，则该队进入B阶段，并获得5分奖励.在B阶段由参赛队的另一名队员答3个题，每答对一个得5分，答错得0分，该队的成绩为A，B两阶段的得分总和.已知某参赛队由甲乙两人组成，设甲每次答对的概率为p，乙每次答对的概率为q，各次答对与

否相互独立.（1）若0.4,0.5pq==，甲参加A阶段比赛，求甲乙所在队的比赛成绩不少于10分的概率；（2）①设甲参加A阶段比赛，求该队最终得分X的数学期望()EX（用,pq表示）；②0,1pq，且pq，设

乙参加A阶段比赛时，该队最终得分Y的数学期望为()EY，则()()EXEY=时，求79pq+的最小值.【答案】（1）0.56（2）①()()()25213EXppq=−+；②263【解析】【分析】（1）得分不少于10分，是指A阶段至少答对1题，得5分，B阶段也至少答对1题，有得分.（2）①

写出X的可能取值，求出对应概率，再求期望()EX.②由()()EXEY=，得到,pq的关系，再利用基本不等式求79pq+的最小值.【小问1详解】甲乙所在队的比赛成绩不少于10分的概率为：()()2310.610.50.56P=−−=.【小问2

详解】公众号：高中试卷君①由题意，X的值可能为0，5，10，15，20，第15页/共18页学科网（北京）股份有限公司且()()201PXp==−，()()()235111PXpq==−−−()()3221ppq=−−，(

)()()22131011C1PXpqq==−−−()()22231ppqq=−−，()()()22231511C1PXpqq==−−−()()22231ppqq=−−，()()23332011CPXpq==−−()23

2ppq=−.所以X的分布列为：X05101520P()21p−()()2321ppq−−()()22231ppqq−−()()22231ppqq−−()232ppq−所以()()()25213EXppq=−+.②同理可知()()()25213EYqqp

=−+，由()()EXEY=()()()()22213213ppqqqp−+=−+()()()23pqpqpqpq−=−++，又pq，所以32pqpq++=.所以()173133pq++=()7793493pq++=.所以()()7779327932491

433pqpq+++++==，所以7267914333pq+−−=（当且仅当779373pq+=+=，即23p=，49q=时取“=”）所以79pq+的最小值为：263.19.牛顿

在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.如图，r是函数()fx的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数011,,,,nnxxxx−，在横坐标为0x的点处作()fx的切线，则()fx在0xx=处的切线与

x轴交点的横坐标是1x，同理()fx在1xx=处的切线与x轴交点的横坐标是2x，一直继续下去，得到数列nx.令()3(1)fxx=+.第16页/共18页学科网（北京）股份有限公司（1）当01x=时，用牛顿法求出

方程()0fx=的近似解12,xx；（2）在（1）的条件下，当()*1nxn−N时，写出nx与1nx−的关系式（无需证明），并求数列nx的通项公式；（3）令()()fxgxx=，已知,ab是两个正实数，且()()gagb=，求证：104ab.【答案】（1）1211,39x

x==−（2）()*121N33nnxxn−=−；()*221N3nnxn=−（3）证明见解析【解析】【分析】（1）本题根据题干给出的牛顿法解高次方程，结合曲线上某点的导数即为经过该点的切线的斜率，从而求得切线方程，再求

出该切线与横轴的交点，采用逐步逼近的方法求得高次方程的近似解；（2）根据（1）的条件逐步求得123,,xxx，从而递推出nx与1nx−的关系式，进一步求出数列nx的通项公式；（3）先求出()()31xgxx+=，然后判断()()31xgxx+=单调性，最后得到102ab

，然后不妨设函数()()14Fxgxgx=−，10,2x，判断其单调性，然后得到()102FaF=，得到()14gaga，利用()()gagb=以及()gx的单调性，得到14ba，最后化简，证毕.【小问1详解】由题意得()()231fx

x=+，因为01x=，所以()3128f==，()213212f==，所以过点()1,8的切线方程为()8121yx−=−，即1240xy−−=，令0y=，得113x=；的第17页/共18页学科网（北京）股份有限公司又因为3311464133327f=+==

，2111631333f=+=，所以过点164,327的切线方程为641612733yx−=−，令0y=，得219x=−.综上得，113x=，219x=−.【小问2详解】在（1）的条件下，()*121N33n

nxxn−=−；因为()()3111nnfxx−−=+，()()21131nnfxx−−=+，则()()31fxx=+在点()()11,nnxfx−−处的切线方程为()()()32111131nnnyxxxx−−−−+=+−，令0y=，得()()()3111112111

2133331nnnnnnxxxxxxx−−−−−−−+−+=+=+=−+，即12133nnxx−=−，所以()12113nnxx−+=+，即()*112N13nnxnx−+=+，所以11nx−+是首项为012x+=，公比为23的等比数列，所以112123n

nx−−+=，即()1*1221N3nnxn−−=−，所以()*221N3nnxn=−.【小问3详解】由题可知()()31xgxx+=，0x，得()()()22121xxgxx+−=显然当10,

2x时，()0gx，此时，()gx单调递减；当1,2x+时，()0gx，此时，()gx单调递増；又因为,ab是两个正实数，且()()gagb=，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司不妨设102ab，设函数()()

14Fxgxgx=−，10,2x，故()()()223214213xxxFxx−++=，显然10,2x时()0Fx，此时()()14Fxgxgx=−单调递增，所

以()102FaF=，即()104gaga−，有()14gaga，又因为()()gagb=，所以有()14gbga，因为102ab，所以111,242ba，因为当1,2x

+时，()0gx，此时，()gx单调递増，所以1144baba，又因为,ab是两个正实数，故104ab.【点睛】关键点点睛：新概念题，前两位根据新概念计算即可；第三问属于极值点偏移，利用极值点偏移的方式，证明不等关

系即可.