【文档说明】安徽省合肥市第四中学2025届高三上学期教学诊断检测（一）数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.054 MB，由小赞的店铺上传

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合肥四中2022级高三同步诊断（一）数学学科一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2Z4Axx=，0,2,3B=−，则AB=（）A.1,1−B.2,3−C.

0D.2,1,0,1,3−−【答案】C【解析】【分析】先化简集合A，再根据集合交集的定义求解即可.【详解】由24x解得22x−，所以{1,0,1}A=−，所以{0}AB=，故选：C2.“0x”是“()ln10x+”的（）A.充分

不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先根据对数函数的单调性解不等式然后进行判断.【详解】()ln10x+的解集是(){10},ln100xxxx−+∣，反

之不成立.所以“0x”是“()ln10x+”的必要不充分条件．故选：B3.已知函数()()22log3fxxaxa=−+在区间)2,+上递增，则实数a的取值范围是（）A.()4,4−B.(4,4−C.)

4,2−D.(),4−【答案】B【解析】【分析】令23uxaxa=−+，2logyu=，根据复合函数的单调性及条件即可求出结果.【详解】令23uxaxa=−+，则2logyu=，因为2logyu=在定义域上单调递增，又函数()()22log3fxxaxa=−+在区间)2,+上递增，

所以224230aaa−+，得到44a−，故选：B.4.函数()()2eesinxxfxxx−=−+−在区间[2.8,2.8]−的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入1x=可得

()10f，可排除D.【详解】()()()()()22eesineesinxxxxfxxxxxfx−−−=−+−−=−+−=，又函数定义域为2.8,2.8−，故该函数为偶函数，可排除A、C，又()11πe11111esin11esin10ee622e42ef=−+−

−+−=−−−，故可排除D.故选：B5.已知()fx是定义在R上的函数，且满足(32)fx−为偶函数，(21)fx−为奇函数，则下列说法正确的是（）①函数()fx的图象关于直线1x=对

称②函数()fx的图象关于点(1,0)−中心对称③函数()fx的周期为4④(2023)0f=.A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④【答案】C【解析】【分析】根据题中抽象函数满足的条件，分别求出周期性、对称轴、对称中心

等性质，进行运算和逐一判断，从而得出结论.【详解】因为(32)fx−为偶函数，所以(32)(32)fxfx−=−−，所以(2)(2)fxfx−=−−，()(4)fxfx=−−，所以函数()fx关于直线2x=−对称，不能确定()fx是否关于直线1x=对称，①错误；

因为(21)fx−为奇函数，所以(21)(21)fxfx−=−−−，所以(1)(1)fxfx−=−−−，所以()(2)fxfx=−−−，所以函数()fx关于点(1,0)−中心对称，故②正确，由①可知，()(4)fxfx=−−，由②可知，()(2)fx

fx=−−−，故有(4)(2)fxfx−−=−−−，令xx=−，则有(4)(2)fxfx−=−−，所以()422T=−−−，解得4T=，所以函数()fx周期为4，故③正确；(2023)(50641)(1)0fff=−=−=，故④正确．故选：C．6.已知定义在(

)0,+上的函数()fx的导函数为()fx，若()13fxx，13ef=，则关于x的不等式()23e102xfx−的解集为（）A.1,2−+B.1,2−−C.10,2D.()2,+【答案】A【解析】【分

析】根据题意，构造函数()()()1ln33gxfxx=−，由函数()gx的单调性即可得到结果.的【详解】根据题意，令()()()1ln33gxfxx=−，()0,x+，()()103gxfxx=−，则函数()gx在()0,+上单调递增，又13ef=

，所以不等式()23e102xfx−，即()2102e33xxf−，即为()()()211eln323ln3133xfx−+−−，即变形为()()221113eln3eln3e3exxff−−，即得()21eexgg，21eex−，解得12x

−.所以不等式的解集为1,2−+.故选：A.7.设函数()()ln()fxxaxb=++，若()0fx，则22ab+的最小值为（）A.18B.14C.12D.1【答案】C【解析】【分析】解法

一：由题意可知：()fx的定义域为(),b−+，分类讨论a−与,1bb−−的大小关系，结合符号分析判断，即可得1ba=+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()xb+的符号，进而可得xa+的符号，即可得1b

a=+，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：()fx的定义域为(),b−+，令0xa+=解得xa=−；令ln()0xb+=解得1xb=−；若−−ab，当(),1xbb−−时，可知()0,ln0xaxb++，此时()0fx，

不合题意；若1bab−−−，当(),1xab−−时，可知()0,ln0xaxb++，此时()0fx，不合题意；若1ab−=−，当(),1xbb−−时，可知()0,ln0xaxb++，此

时()0fx；当)1,xb−+时，可知()0,ln0xaxb++，此时()0fx；可知若1ab−=−，符合题意；若1ab−−，当()1,xba−−时，可知()0,ln0xaxb++，此时()0fx，不合题意；综上所述：1ab

−=−，即1ba=+，则()2222211112222abaaa+=++=++，当且仅当11,22ab=−=时，等号成立，所以22ab+的最小值为12；解法二：由题意可知：()fx的定义域为(),b−+，令0xa+

=解得xa=−；令ln()0xb+=解得1xb=−；则当(),1xbb−−时，()ln0xb+，故0xa+，所以10ba−+；()1,xb−+时，()ln0xb+，故0xa+，所以10ba−+；故10ba−+=，则()2222211112222abaaa+=++=

++，当且仅当11,22ab=−=时，等号成立，所以22ab+的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0xa+=、ln()0xb+=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.8.设tan0

.21a=，ln1.21b=，21121c=，则下列大小关系正确的是（）A.bcaB.bacC.cabD.cba【答案】D【解析】分析】首先通过构造函数得到当π02x时，tanxx，再通过构造函数

()()πln1,02fxxxx=−+进一步得到()ln1xx+，π0,2x，由此即可比较,ab，通过构造函数𝑔(𝑥)=ln(1+𝑥)−𝑥1+𝑥,𝑥>0即可比较,cb，由此即可得解.【详解】设()πtan,02hxxxx=−，

则ℎ′(𝑥)=cos𝑥⋅cos𝑥−(−sin𝑥)sin𝑥cos2𝑥−1=1cos2𝑥−1>0,0<𝑥<π2，所以()tanhxxx=−在π0,2上单调递增，所以ℎ(𝑥)=tan𝑥−𝑥>𝑔(0)=0，即πtan,02

xxx，令()()πln1,02fxxxx=−+，则()11011xfxxx=−=++，所以()()ln1fxxx=−+在π0,2上单调递增，从而𝑓(𝑥)=𝑥−ln(1+𝑥)>𝑓(0)=0，即()ln1xx+，π0,2x，所以t

an𝑥>𝑥>ln(1+𝑥)，π0,2x，从而当0.21x=时，tan0.21ln1.21ab==，令𝑔(𝑥)=ln(1+𝑥)−𝑥1+𝑥,𝑥>0，则𝑔′(𝑥)=11+𝑥−(1+𝑥)−𝑥(1+𝑥)2=𝑥(1+𝑥)2>0，所以()()ln11xg

xxx=+−+在(0,+∞)上单调递增，所以𝑔(0.21)=ln1.21−21121>𝑔(0)=0，即21ln1.21121bc==，综上所述：21tan0.21ln1.21121abc===

.故选：D.【点睛】关键点点睛：在比较,ab的大小关系时，可以通过先放缩再构造函数求导，而在比较,cb大小关系时，关键是通过构造适当的函数，通过导数研究函数单调性，从而来比较大小.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．【9.

下列说法正确的是（）A.函数()2fx的定义域为()0,1，则函数()1fx−的定义域为()1,1−B.2yx=与yx=表示同一个函数C.关于x的不等式()()10axax−+的解集为,1ABx

x=∣，若AB，则0a=D.若13,24abab−+−，则23ab+的取值范围为913,22−【答案】ACD【解析】【分析】根据复合函数定义域的求法判断A的真假；根据两个函数额值域判断B的真假；分情况讨论，根据集合间的关系求参数的取值范围，判断C的真假；根据不等式的性质证

明不等式，判断D的真假.【详解】对A：因为函数()2fx的定义域为(0,1)，所以022x，由012x−11x−，所以函数()1fx−的定义域为(−1,1)，故A正确；对B：因为函数2yx=的值域为)0,+，函数yx=的值域为(),−+，

所以两个函数不是同一个函数，故B错误；对C：当0a时，()()10axax−+()()110axx−+1x−或1x，所以|1Axx=−或1x；当0a=时，()()10axax−+无解，所以A=∅；当0a

时()()10axax−+()()110axx−+()()110xx−+11x−，，所以|11Axx=−.又AB，所以，只有A=∅时满足题意，此时0a=，故C正确；对D：因为13,24abab−+−，所以()5515222ab−+，()1212ab

−−−−，所以()()55115212222abab−−+−−−，即9132322ab−+，故D正确.故选：ACD10.已知0x，0y，21xy+=，则下列说法正确的是（）A.xy的最大值是1

8B.21xy+的最小值是8C.224xy+最小值是12D.22xy+的最小值是15【答案】ACD【解析】【分析】用均值不等式判断选项A、C、，对选项B进行“1的代换”，利用二次函数的性质判断选项D.【

详解】A：由0021xyxy+=，，，得122xy，所以18xy(当且仅当1142xy==，时取等号)，故A正确；B：212122()(2)59xyxyxyxyyx+=++=++，当且仅当2155xy==，时取等号，故B错误；C

：222114(2)41482xyxyxy+=+−−=，即22142xy+当且仅当1142xy==，时取等号，故C正确；D：由2112xyyx+==−，则2222221(12)5()55xyxxx+=+−=−+当25x=时22xy+

取得最小值，最小值为15，故D正确.故选：ACD.11.已知1x，2x分别是函数()1exfxx=−和()1lngxxx=−的零点，则（）A.1102xB.12lnln0xx+=C.12eln1xx=D.1213562xx+【答案】BCD【解析】【分析】

利用函数与方程思想，得到两根满足的方程关系，然后根据结构构造函数()exhxx=，求导，研究单调性，得到112x及12lnxx=，结合指对互化即可判断选项A、B、C，最后再通过对勾函数单调性求解范围即可判断选项

D.的【详解】令()0fx=，得111exx=，即11e1xx=，1>0x，令()0gx=，得221lnxx=，即22ln1xx=，即2ln2lne1xx=，21x，记函数()exhxx=，0x，则()(1)0xhxxe=+，所以函数()exhxx=(0,)+上单调递

增，因为111()e1xhxx==，11()e122h=，所以112x，故A错误；又12ln1122()e1,(ln)lne1xxhxxhxx====，所以12lnxx=，12exx=，所以112121lnlnln()

ln(e)ln10xxxxxx+====，故B正确；所以1222elnln1xxxx==，故C正确；又23122()e1()33hhx==，所以123x，结合112x，得11223x，因为121xx=，所以12111x

xxx+=+，且11223x，因为1yxx=+在区间12(,)23上单调递减，所以1123112322xx+++，即1213562xx+，故D正确；故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题方法是把函数的零点转化为方程的根，通过结构构造函数，利用函数单调性及指对

互化找到根的关系得出结论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()32e1xcfxx=−++的图象关于点(0,1)成中心对称图形，()()2232ftft−++，则实数t的取值范围是______.【答案】()(),13,−−+【解析】【分析】由

函数()fx的图象关于点(0,1)成中心对称，所以()()2fxfx+−=，求出函数()fx的解析式，构造函数()()1gxfx=−，所以()gx的图象关于点()0,0对称，所以()gx是定义域R上的奇函数，且在R上单调递减，然后利用奇偶性与单调性解不等式即可.【详解】因为函数()3

2e1xcfxx=−++的图象关于点(0,1)成中心对称，在所以()()2fxfx+−=，即33222e1e1xxccxx−−+++=++，所以2c=，所以()322e1xfxx=−++，在定义域R上单调递减，令

()32()121e1xgxfxx=−=−+−+，因为函数()fx的图象关于点(0,1)成中心对称，所以()gx的图象关于点()0,0对称，所以()gx是定义域R上的奇函数，且在R上单调递减，因为()()2232ftft−++，所以

𝑓(−𝑡2)−1>−[𝑓(2𝑡+3)−1]，即𝑔(−𝑡2)>−𝑔(2𝑡+3)，所以𝑔(−𝑡2)>𝑔(−2𝑡−3)，所以223tt−−−，解得1t−或3t，故实数t的取值范

围是()(),13,−−+.故答案为：()(),13,−−+.13.已知函数()()0e23xfxfx=−++，点P为曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线l上的一点，点Q在曲线exxy=上，则PQ的最小值为____________．【答案】2【解析】【

分析】对()fx求导后，代入0x=可求得()0f，根据导数几何意义可求得切线l，则可将问题转化为与20xy−+=平行且与曲线exxy=相切的切点到直线20xy−+=的距离的求解，设切点,ettQt，由切线斜率为1可构造方

程求得切点坐标，利用点到直线距离公式可求得结果.【详解】()()0e2xfxf=−+，()()002ff=−+，解得：()01f=，()e23xfxx=−++，则()02f=，切线l的方程为：2yx=+，即20xy−

+=；若PQ最小，则Q为与20xy−+=平行且与曲线exxy=相切的切点，所求最小距离为Q到直线20xy−+=的距离，设所求切点,ettQt，由exxy=，可得1exxy−=，所以11ett−=，

即e10tt+−=，又e1tyt=+−单调递增，而0t=时e10tyt=+−=，所以0t=，即()0,0Q，min222PQ==.故答案为：2.14.已知函数()2,0lg,0xxfxxx+=，关于x的方程()()()2

21220fxmfxmm++−+=有4个不同的实数解，则实数m的取值范围为______.【答案】)(1,01,3−【解析】【分析】令()fxt=，解方程()221220tmtmm++−+=，根据m的范围，结合图象讨论方程()1fxt=和()2fxt=的解的个数可得.【

详解】令()fxt=，则()()()()222212201220fxmfxmmtmtmm++−+=++−+=，解()221220tmtmm++−+=，得122,1tmtm=−=−，当1m−时，122,0tt，由图可知，()1fxt=有两个实

数解，()2fxt=有一个实数解，此时方程()()()221220fxmfxmm++−+=有3个不同的实数解，不满足题意；当10m−时，1202,20tt−，由图可知，()1fxt=有3个实数解，()2fxt=有一个实数解，满足题意；当0m=时，

120,1==−tt，()1fxt=有两个实数解，()2fxt=有一个实数解，不满足题意；当01m时，1220,10tt−−，由图可知，()1fxt=有1个实数解，()2fxt=有1个或2个实数解，不满足题意；当13m时，1262,02tt−−

，由图可知，()1fxt=有1个实数解，()2fxt=有3个实数解，满足题意；当3m时，126,2tt−，由图可知，()1fxt=有1个实数解，()2fxt=有2个实数解，不满足题意.综上，实数m的取值范围为)(1,01,3−.故答案为：)(1,01,3−【点睛】本题属于函

数零点的综合性问题，根据函数零点个数求参数的问题，常用数形结合法.本题先要从整体结构分析，通过换元法解方程，再将方程的根的个数问题转化为图象交点个数问题，利用数形结合分类讨论可得.四、解答题：本题共4小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数()()32

0fxaxbxcxa=++的极小值为2−，其导函数()fx的图象经过()1,0A−，()10B,两点.（1）求()fx的解析式；（2）若曲线()yfx=恰有三条过点()1,Pm的切线，求实数m的取值范围.【答案】（1）()33fxxx=−（2）()3,2−−【解析】【分析】（1）根据函数

()fx的图象经过()1,0A−，()10B,列方程，并判断极小值点，结合极小值为2−列方程，联立求解可得；（2）设切点坐标，求切线方程，根据题意可得方程322330xxm−++=有三个不同实数解，然后构造函数()32233gxxxm=−++，利用导数讨论其单

调性和极值，即可列出关于m的不等式组，求解可得.【小问1详解】()232fxaxbxc=++，因为0a，且()fx的图象经过()1,0A−，()10B,两点.所以当(),1x−−时，()0fx，(

)fx单调递增；当()1,1x−时，()0fx，()fx单调递减；当()1,x+时，()0fx，()fx单调递增.所以()fx在1x=处取得极小值，所以()12fabc=++=−，又因为()10f−=，()10f=，所以3

20abc−+=，320abc++=，解方程组3203202abcabcabc−+=++=++=−得1a=，0b=，3c=−，所以()33fxxx=−.【小问2详解】设切点为()00,xy，则

30003yxx=−，因为()233fxx¢=-，所以()20033fxx=−，所以切线方程为()()()320000333yxxxxx−−=−−，将()1,Pm代入上式，得32002330xxm−++=.

因为曲线()yfx=恰有三条过点()1,Pm的切线，所以方程322330xxm−++=有三个不同实数解.记()32233gxxxm=−++，则导函数()()26661gxxxxx=−=−，令()0gx=，得0x=或1.列表：x(),0−0()0

,11()1,+()gx+0-0+()gx↗极大↘极小↗所以()gx的极大值为()03gm=+，()gx的极小值为()12gm=+，所以()()0010gg，解得32m−−.故m

的取值范围是()3,2−−.16.随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大

产能为100台，每生产x台，需另投入成本()Gx万元，且()2280,04036002012100,40100xxxGxxxx+=+−，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产

的该产品当年能全部销售完．（1）写出年利润()Wx万元关于年产量x台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）()22120300,04036001800,401

00xxxWxxxx−+−=−++（2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.【解析】【分析】（1）每台售价200万，销售收入是200x，减去对应的成本，以及固定成本300万，即为利润；（2）观察利润的函数解析式，发现040x对应

的函数解析式为开口向下的二次函数，可利用二次函数的特点求最大利润值，40100x对应的函数解析式中含有基本不等式的部分，可考虑利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润.【小问1详解】当040x时，()22()200280300212030

0Wxxxxxx=−+−=−+−；当40100x时，36003600()20020121003001800Wxxxxxx=−+−−=−++，()22120300,04036001800,40100xxxWxxxx−+−=−++.

【小问2详解】若040x，2()2(30)1500Wxx=−−+，当30x=时，max()1500Wx=万元；若40100x，36003600()18002180012018001680Wxxxxx=−++−+=−+=，当且仅当3600xx=时，即60x=时，max()

1680Wx=万元．则该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.17.已知函数()exfxx−=.（1）求函数()fx的单调区间与极值；（2）已知函数()fx与函数()gx的图象关于直线1x=对称.证明：当1x时，不等式()()

fxgx恒成立.【答案】（1）单调递增区间为(),1−，单调递减区间为()1,+，函数()fx的极大值为1e，无极小值（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，根据导函数的符号确定函数的递增递减

区间，继而得到极大值；（2）令()()(),1hxfxgxx=−，求导利用单调性即得结论.【小问1详解】由()exfxx−=可得：()(1)exfxx−=−,故当(),1x−时，()0fx，函数()fx单调递增，当()

1,x+时，()0fx，函数()fx单调递减，所以函数()fx的单调递增区间为(),1−，函数()fx的单调递减区间为()1,+，且当1x=时，函数()fx的极大值为()11ef=，无极小值.【小问2详解】因为函数()fx与函数()gx的图象关于直线1x=对称，所

以2()(2)=(2)e,xgxfxx−=−−则2e((2)())exxfxxgxx−−+−−=.令()()(),1hxfxgxx=−，则222()(1)(1)(1)(1),1xxxxhxxexexeex−−−−=−+−=−−则当1x时，()0hx，故函数()hx单调递增，

于是，当1x时，()(1)0hxh=，故当1x时，不等式()()fxgx恒成立.18.已知函数()()1e02xfxaxa=−．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）已知函数()()lnxgxfxx=−有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）10,2e

【解析】【分析】（1）求得()()1exfxax+=，分0a、0a两种情况讨论，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()fx的减区间和增区间；（2）由()0gx=可得()2ln2e2ln0xxaxx+−+=，令

2lntxx=+R，可得2etta=，令()ettpt=，分析可知，直线2ya=与函数()pt的图象有两个交点，利用导数分析函数()pt的单调性与极值，数形结合可得出实数a的取值范围.【小问1详解】解：函数()()1e02xfx

axa=−的定义域为R，()()1exfxax+=.当0a时，由()0fx可得1x−，由()0fx可得1x−，此时函数()fx的减区间为(),1−−，增区间为()1,−+；当0a时，由()0fx可得1x−，由()0fx可得1x−，此时，函数()fx的增区间

为(),1−−，减区间为()1,−+.综上所述，当0a时，函数()fx的减区间为(),1−−，增区间为()1,−+；当0a时，函数()fx的增区间为(),1−−，减区间为()1,−+.【小问2详解】解：函数()()lnxgxfxx=−的定义域为()0,+，因为函

数()()lnxgxfxx=−在()0,+上有两个零点，即1lne2xxaxx−=有两个不同的正实数根，即()22e2ln0xaxxx−+=有两个不同的正实数解，即()2ln2e2ln0xxaxx+−+=有两个不同的正实数解，令2lntxx=+，则2e0ta

t−=，可得2etta=，令()2lnhxxx=+，其中()0,x+，则()210hxx=+，所以，函数()hx在()0,+上单调递增，作出函数()hx的图象如下图所示：由图可知，函数()hx的值域为R，所以，()2lntxx=+R，令()ettpt=，其中tR，则()1ettpt

−=，当1t时，()0pt，此时函数()pt单调递增，当1t时，()0pt，此时函数()pt单调递减，且当0t时，()0ettpt=；当0t时，()0ettpt=，因为函数()gx有两个不同的零点，则直线2ya=与函

数()ettpt=的图象有两个交点，如下图所示：由图可知，当102ae时，即当102ea时，直线2ya=与函数()ettpt=的图象有两个交点，因此，实数a的取值范围是10,2e.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）

直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转

化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0fx=分离变量得出()agx=，将问题等价转化为直线ya=与函数()ygx=的图象的交点问题.