【文档说明】《精准解析》福建省福州市八县（市）2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题（解析版）.docx，共(21)页，1.346 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-5bb15da3a4e3eef8a0f529d4fe03d3eb.html

以下为本文档部分文字说明：

2022～2023学年第一学期高二八县（市）期考联考高中二年数学科试卷第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知空间向量(2,1,3)a=−，(2,,3)bx=−−，且ab⊥，则x=（）A.1B.-

13C.13D.-5【答案】B【解析】【分析】由空间向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】因为()2,1,3a=−，()2,,3bx=−−，且ab⊥，所以490x−−−=，解得13x=−，故选：B.2.若直线l的方向向量是

()1,3e=，则直线l的倾斜角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解【详解】由直线l的方向向量是()1,3e=得直线l的斜率为3，设直线的倾斜角是()π0πtan33==，，故选：B.3.已知椭圆2222:1(0)

xyCabab+=的左右焦点分别为12,FF，离心率为32，过点1F的直线l交椭圆于A、B两点，若2AFB的周长为8，则C的方程为（）A.221164xy+=B.2211612xy+=C.22143xy+=D.2214xy+=【

答案】D【解析】【分析】由椭圆的定义知2AFB的周长为4a，结合已知条件求出a，再由离心率求出c，进而求出b，从而得出答案.【详解】由椭圆定义可得122AFAFa+=，122BFBFa+=，又11AFBFAB+=，所以2AFB的周长224ABAFBFa++=，所以48a=，故2a

=，又32cea==，所以3c=，所以221bac=−=所以椭圆C的方程为2214xy+=.故选：D.4.若一圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则圆心到直线50xy−+=的距离为（）A.522B.322C.5D

.3【答案】A【解析】【分析】根据题意可设圆的方程为222()()xayaa−+−=，且0a，代入点到直线的距离公式即可求解.【详解】因为圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则设圆心为(,)aa，0a，ra=，所以设圆的方程为222()()xayaa−+−=且0a，则圆心到直线的

距离为55222aad−+==.故选：A5.如图，已知正四棱锥PABCD−的所有棱长均为1，E为PC的中点，则线段PA上的动点M到直线BE的距离的最小值为（）A.33B.22C.13D.12【答案】D

【解析】【分析】方法一：建立空间直角坐标系，求向量BM在BE上的投影的大小，再求点M到直线BE的距离，由此可求其最小值.方法二：证明PE为异面直线,PABE的公垂线段，由此可求动点M到直线BE的距离的最小值.【详解】连接,ACBD，记直线,A

CBD的交点为O，由已知PO⊥平面ABCD，ACBD⊥，以点O为原点，,,OAOBOP为,,xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，由已知1,1ABBCCDDAPAPBPCPD========，所以12212,,

122222OAOCACOBOP=====−=，则222222,0,0,0,,0,0,0,,,0,0,,0,222244ABPCE−−，所以222,,

424BE=−−，22,,022BA=−，22,0,22AP=−，设AMAP=()01，则()2221,,222BMBAAMBAAP=+=+=−−

，所以BM在BE上的投影向量的模为()1132124632BMBEBE++==，又()22211111222BM=−++=−+，所以动点M到直线BE的距离()22212411121123312d=−+−+=−+，所以()221134d=−+，所以当1

=时，动点M到直线BE的距离最小，最小值为12，故选：D.方法二：因为PBC为等边三角形，E为PC的中点，所以PEBE⊥，由已知1,1,2PAPCAC===，所以222PAPCAC+=，所以PAPC⊥

，所以PE为异面直线PA，BE的公垂线段，所以PE的长为动点M到直线BE的距离最小值，所以动点M到直线BE的距离最小值为12，故选：D.6.已知椭圆()2222:10yxCabab+=与抛物线()

220xpyp=有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AFy⊥轴，则椭圆的离心率是（）A.12B.22C.21−D.31−【答案】C【解析】【分析】分析可得2pc=，求得2AFc=，设设椭圆的下焦

点为F，利用勾股定理可求得AF，利用椭圆的定义可求得该椭圆的离心率的值.【详解】易知点(),0Fc或0,2pF，所以，2pc=，即2pc=，将2py=代入抛物线方程可得xp=，则2AFpc==，设椭圆的下焦点为F，因为AFy⊥轴，则2222AFAFFFc=+=，由椭圆

的定义可得()2222212aAFAFccc=+=+=+，所以，椭圆的离心率为12121cea===−+.故选：C.7.初中时通常把反比例函数(0)kykx=的图像叫做双曲线，它的图像就是在圆锥曲线

定义下的双曲线，只是因为坐标系位置的不同，所以方程的形式才不同，当K>0时只需把反比例函数的图像绕着原点顺时针旋转45，便得到焦点在x轴的双曲线的图形.所以也可以理解反比例函数的图像是以x轴，y轴为渐近线，以直线y=x为实轴的

等轴双曲线，那么当k=4时，双曲线的焦距为（）A.8B.4C.22D.42【答案】A【解析】【分析】结合所给信息，可得旋转后，双曲线变为等轴双曲线，再由()2,2绕原点顺时针旋转所得坐标在等轴双曲线上可得等轴

双曲线方程.【详解】由所给信息，可知旋转后双曲线以两条相互垂直的直线作为渐近线，则双曲线为等轴双曲线，设为()222210xyaaa−=.又注意到()2,2在函数4yx=图像上，其与原点连线与x正半轴夹

角为o45，则将点()2,2绕原点顺时针旋转o45后，该点落在x正半轴，设为()0m,，因旋转前后到原点距离不变，则2822mm==.即将点()2,2绕原点顺时针旋转o45后，可得()22,0，则()22,0满足2

2221xyaa−=.可得双曲线方程为22188xy−=，则884c=+=，则焦距为28c=.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分

，部分选对的得2分，有选错的得0分．）8.正四面体ABCD中，棱长为a，高为h，外接球半径为R，内切球半径为r，AB与平面BCD所成角为，二面角A-BD-C的大小为，则（）A.63ha=B.2Rr=C.6sin3=D.1cos2=【答案】AC【解析】【分析】根据正四面体的性质

结合外接球、内切球的性质以及线面、面面夹角逐项分析运算.【详解】取BD的中点M，BCD△的中心H，连接,,AHBHCM，对A：∵ABCD为正四面体，则AH⊥平面BCD，故外接球的球心O（也为内切球的球心）在AH上，则22323136,,,233363AMCMaBHCHCMaDMCMah

AHACCHa=========−=，A正确；对B：6,3OAOBROHraR====−∵AH⊥平面BCD，,BHCM平面BCD，∴,AHBHAHCM⊥⊥，故222OBBHOH=+，即2226633RaaR=+−，解得64Ra=，故666

3412raaa=−=，则3Rr=，B错误；对C：由AH⊥平面BCD，可得AB与平面BCD所成角为ABH=?，故6sinsin3AHABHAB=?=，C正确；对D：∵M为BD的中点，且ABADBCBD===，则,AMBDCMBD⊥⊥，故二面角A-B

D-C的大小为AMC=，在RtAHM中，则316coscos332aMHAMCAMa====，D错误.故选：AC.9.已知等差数列na的前n项和为nS，且满足410aa=，公差0d，则（）A.70a=B.130SC.n

S有最大值D.13(112,)nnSSnnN−=【答案】ACD【解析】【分析】首先根据已知条件得到40a，100a，4100aa+=，再依次判断选项即可得到答案.【详解】因为满足410aa=，公差0d，所以40a，100a，且410aa=−，即4100aa+=.对

选项A，410720aaa+==，即70a=，故A正确.对选项B，()()111133401313202Saaaa++===，故B错误.对选项C，因为70a=，0d，所以60a，80a，所以当6n=或7n=时，nS有最大值.故C正确.对选项D，因为当6n=或7n=时，nS取得最大值，所

以13(112,)nnSSnnN−=，故D正确.故选：ACD10.已知抛物线22(0)ypxp=的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A、B两点，若(),2Mm是线段AB的中点

，则（）A.m=1B.p=4C.直线l的方程为24yx=−D.5AB=【答案】BC【解析】【分析】根据抛物线的几何性质可判断B；利用点差法求解得直线斜率，从而可判断C；由点(),2Mm在直线l上可求得m，可判

断A；利用弦长公式可判断D.【详解】由题知，4p=，故B正确；故抛物线方程为28yx=，设1122(,),(,)AxyBxy，易知12xx，则21122288yxyx==，由点差法可得1212128

yyxxyy=−+−又(),2Mm是线段AB的中点，所以124yy+=，所以直线l的斜率12122yyxx−−=因为直线l过焦点(2,0)F，所以l的方程为02(2)yx−=−，即24yx=−，C正确；将(),2Mm代入24yx=−可得3m=，A错误；将24yx=−代入

28yx=得2640xx−+=，所以126xx+=，所以126410ABxxp=++=+=，故D错误.故选：BC11.在数列na中，若221(2,,nnaapnnp−−=N为常数），则称na为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（）A.(2)n−是

平方等差数列B.若na平方等差数列，则2na是等差数列是C.若na是平方等差数列，则(,,,nkabkbkb+N为常数）也是平方等差数列D.若na是平方等差数列，则(,,,knbakbkb+N为常数）也是平方等差数列

【答案】BD【解析】【分析】根据等差数列的定义，结合平方等差数列的定义逐一判断即可.【详解】对于A，当n为奇数时，则()1n−为偶数，所以()()()11122223?2nnnnn−−−−−−=−+=−，当n为偶数时，则()1n−为奇数，所以()()()11122223?2nnnnn−−−−−−=

+=，即(2)n−不符合平方等差数列的定义，故错误；对于B，若na是平方等差数列，则221(2,,nnaapnnp−−=N为常数），即2na是首项为21a，公差为p的等差数列，故正确；对于C，若na是平方等差数列，则221(2,,nnaapnnp

−−=N为常数），则()()()()222221112nnnnnnkabkabkaakbaa−−−+−+=−+−，即()()()222112nnnnkabkabkpkbaa−−+−+=+−，当na为等差数列时，1nnaad−−=，则nkab+为平方等差数列，当na不为等差数列时

，则nkab+不为平方等差数列，故错误；对于D，因为na是平方等差数列，所以()()222222121111+++++−−=−==−=knknknknknknaaaaaap，把以上的等式相加，得()()()()()22222

2121111+++++−−+−++−=knknknknknknaaaaaakp，22(1)knknaakp+−=，则()221knbknbaakp+++−=，即数列knba+是平方等差数列，故正确；故选:BD三、填空题：本大题共4小

题，每小题5分．12.在等差数列na中，若11a=，2462aa=，则5a=______【答案】174139【解析】【分析】根据已知先求公差，然后由通项公式可得.【详解】记等差数列na的公差为d

，则有211(3)2(5)adad+=+又11a=，所以2(13)2(15)dd+=+，解得2139d=所以5213174131499a=+=故答案为：17413913.已知双曲线的渐近线方程为2yx=，且过点()22,4，则双曲线的标准方程为___

_____【答案】221416xy−=【解析】【分析】由双曲线的渐近线为2yx=，设双曲线方程为22(0)4yx−=，代入点的坐标即可求得.【详解】因为双曲线的渐近线方程为2yx=，所以设双曲线方程为22(0)4yx−=，因为双曲线过点()

22,4，代入解得4=−，所以双曲线的方程为221416xy−=.故答案为：221416xy−=14.将全体正奇数排成一个蛇形三角形数阵：按照以上排列的规律，记第i行第j个数为,ija，如4,215a=，若,2023ija=，则ij+=____

_.【答案】69【解析】【分析】观察数阵的排列规律，先确定2023在数阵中的行i的值，再确定2023在该行的项数j，由此可求ij+.【详解】观察可得数阵的第m行排m个数，从第3行起，奇数行的数从左至右排列为公差为-2的等差数列，偶

数行的数从左至右排列为公差为2的等差数列，将数阵中的所有数从小到大排列记为数列nb，则21nbn=−，令2023nb=，可得1012n=，因为2023在数阵的第i行，所以()12311012i++++−，()1231

1012ii++++−+，所以2220240,20240iiii−−+−，Ni，所以45i=，所以2023排在第45行，前45行共排了12345++++个数，即1035个数，所以第45

的最大数为10352069b=，将第45行的数从左至右排列记为nc，则12069c=，所以()206921ncn=−−，即20712ncn=−，因为2023为数列nc的第j项，故207122023j−=，所以24j=，故69ij

+=.故答案为：69.15.如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线22(0)xpyp=旋转形成的抛物面，当放入一个半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的A点，当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的A点，则p的取值范围为______.【答案】)1,2【解析】【分析

】根据题意分析可得：圆()2211xy+−=与22(0)xpyp=只有一个交点()OA，圆()()2242xyaa+−=与22(0)xpyp=只有两个交点，分别联立方程分析运算.【详解】如图，由题意可得：圆()2211xy+−=与22(0)xpyp=只有一个交点()

OA，联立方程()222112xyxpy+−==，消去x得()2210ypy+−=，解得0y=或()21yp=−，故()210p−，则1p，圆()()2242xyaa+−=与22(0)xpyp=只有两个交点，联立方程()22242xyaxpy+−=

=，消去x得()22240ypaya+−+−=，∵240a−，可得若()22240ypaya+−+−=有根，则两根同号，根据题意可知：()22240ypaya+−+−=有且仅有一个正根，故()()22Δ44400paaap=−−−=−，则

可得422papp+=，解得02p，综上所述：p的取值范围为)1,2.故答案为：)1,2.【点睛】方法点睛：在处理实际问题时，体现数形结合的思想，将图形转化为代数，这样交点转化为方程的根或函

数的零点，利用方程或函数的知识分析求解.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共6大题，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分）16.在数列na中，515a=，点()()1,Nnnaan+在直线x-y+3=0上

.（1）求数列na的通项公式；（2）nb为等比数列，且1123,baba==，记nT为数列nb的前n项和，求nT.【答案】（1）*3(N)nann=（2）3(31)2nnT=−.【解析】【分析】(1)由条件根据等差数列定义证明数列na为等差数列，结合等差数列通项公式求其通项

；(2)由条件求数列nb的首项和公比，根据等比数列求和公式求nT.【小问1详解】因为点()()1,Nnnaan+在直线30xy−+=上，所以130nnaa+−+=，即13nnaa+−=，所以数列na是以3d=为公

差的等差数列，因为515a=，所以14315a+=，故13a=，所以*13(1)3(N)naannn=+−=；【小问2详解】设数列nb的公比为q，由(1)知11233,9baba====，所以213bqb==，所以3

nnb=，所以1(1)3(13)3(31)1132nnnnbqTq−−===−−−.,17.已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为()2,1A−−、()4,1B、()2,3C.（1）求AD所在的直线方程；（2）求平行四边形ABCD的面积.【答案】（1）30xy++=（2）16【

解析】【分析】（1）分析可知//ADBC，则ADBCkk=，可求得直线AD的斜率，再利用点斜式可得出直线AD的方程；（2）求出直线BC的方程，可计算得出点A到直线BC的距离，并求出BC，再利用平行四边形的面积公式可求得结果.【小问1详解】解

：因为四边形ABCD为平行四边形，则//ADBC，则13142ADBCkk−===−−，所以，直线AD的方程为()12yx+=−+，即30xy++=.【小问2详解】解：直线BC的方程为()14yx−=−−，即50xy+−=，且()()22421322

BC=−+−=，点A到直线BC的距离为215422d−−−==，所以，平行四边形ABCD的面积为224216ABCDSBCd===.18.如图，点A（-2，1），B，C三点都在抛物线22(0)xpyp=上，抛物线的焦点为F，且F是ABC的重心.（

1）求抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求BC中点M的坐标及线段BC的长.【答案】（1）抛物线方程为24xy=，焦点坐标为()0,1F；（2）()1,1M，15BC=.【解析】【分析】（1）由点A在抛物线上可得抛物线方程，后可得焦点坐标；（2）设BC

直线方程为ykxb=+，将其与抛物线联立，结合韦达定理及重心坐标公式可得答案.【小问1详解】因()2,1A−在抛物线上，则422pp==.则抛物线方程为24xy=，焦点坐标为()0,1F；【小问2详解】设BC线段所在直线方程ykxb=+，将其与抛物

线方程联立224440xyxkxbykxb=−−==+，由题216160kb=+.设()()1122,，,BxyCxy，则由韦达定理121244xxkxxb+==−，.因F是ABC的重心，则1212121220232113xxxxyyyy−++=+=+=++=

，则BC中点M的坐标为()12121122,,xxyy++=，1422kk==.又M在直线ykxb=+上，则112kbb=+=，故121222，xxxx+==−.则()()()()22222212121212121

14BCxxyykxxkxxxx=−+−=+−=++−21128154=++=.19.如图，等腰梯形ABCD中，//,1,3,3,====⊥ABCDABCDADBCAECD，沿AE把DEA△折起成四棱锥DABCE−，使得2DB=.（1）求证：平面DBE⊥平面

DAC；（2）求点A到平面DBC的距离.【答案】（1）证明见解析；为（2）点A到平面DBC的距离为2211.【解析】【分析】（1）先证明DE⊥平面ABCE，由此证明DEAC⊥，再证明BEAC⊥，根据

线面垂直判定定理证明AC⊥平面DBE，再根据面面垂直判定定理证明平面DBE⊥平面DAC；（2）建立空间直角坐标系，求平面DBC的法向量和AB，再由距离公式求解.【小问1详解】因为//,1,3,3,====⊥ABCDABCDADBCAECD，所以311,3

122DEAE−===−=，所以1DE=，又2DB=，213BE=+=，所以222DBBEDE=+，故DEBE⊥，又DEAE⊥，,AEBE平面ABCE，AEBEE=I，所以DE⊥平面ABCE，因为AC平面ABCE，所以DEAC⊥，在等腰梯形ABCD中，3,246,3ADACDC

==+==，所以222=ADACCD+，所以ADAC⊥，又//ADBE，所以ACBE⊥，因为,DEBE平面DBE，DEBEE=，所以AC⊥平面DBE，因为AC平面DAC，所以平面DBE⊥平面DAC；【小问2详解】由(1)DE⊥平面A

BCE，AEEC⊥，以点E为原点，,,EAECED为,,xyz轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,2,1,0,0,0,1,0,2,0ABDC，所以()()()0,1,0,

2,1,0,0,2,1ABBCDC==−=−，设平面DBC的法向量为(),,nxyz=，则00nBCnDC==，所以2020xyyz−+=−=，令2x=，则2,4yz==

，所以()2,2,4n=为平面DBC的一个法向量，所以点A到平面DBC的距离为222112416ABndn===++，20.已知数列na满足：111,31nnnaaaa+==+（1）证明数列1na为等差数列，并求数列na的通项公式；（2）若2nn

nba=，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）证明见解析，132nan=−；（2）1(35)210nnTn++=−【解析】【分析】(1)根据等差数列的定义即可证明数列1na是等差数列，并通过数列1na的通项公式得到数

列na的通项公式；(2)因为()322nnbn=−，根据错位相减法即可求出数列nb的前n项和nT．.【小问1详解】因为131nnnaaa+=+，所以1311111133nnnnnnnaaaaaaa++

−=−=+−=，又11a=，所以数列1na是首项为1，公差为3的等差数列所以11(1)332nnna=+−=−，所以132nan=−；【小问2详解】由(1)可知：2(32)2nnnnbna==−，231124272...(352(322nn

nTnn−=++++−−+）），23121242352322nnnTnn+=+++−−（）+（），上面两式相减可得234123222...2322nnnTn+−=+++++−

−（（）），111=(35)134(12)23222102nnnnn−++−=+−−−+−−（），化简可得1(35)210nnTn++=−，21.把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱OO中底面长轴4ABAB==

，短轴长23，12,FF为下底面椭圆的左右焦点，2F为上底面椭圆的右焦点，4AA=，P为BB的中点，MN为过点2F的下底面的一条动弦（不与AB重合）.（1）求证：12FF//平面PMN（2）求三棱

锥1PFMN−体积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】【分析】（1）由线线平行证线面平行；（2）由解析法，建立平面直角坐标系Oxy−如图所示，1113PFMNFMNVSPB−=，转为求112FMNSMNd=最大值，其中MN为弦长公式结合韦达定理求得，d为1F到直线MN的

距离由点线距离公式求得.最后讨论最值即可.【小问1详解】由长轴4ABAB==，短轴长23得焦半径得21212231OFOFOFOFⅱ====-=，∴22FF¢、分别OB、OB的中点，在柱体中，纵切面ABBA为矩形，连

接OB，则21BFOFⅱ，又211BFOFⅱ==，∴四边形12FOBFⅱ为平行四边形，∴12OBFFⅱ，∵P为BB的中点，2FPOB¢，∴212FPFF¢，∵2FPÌ平面PMN，12FF¢Ë平面PMN，∴12FF//平面PMN；【小问2详解】1111233PF

MNFMNFMNVSPBS−==，建立平面直角坐标系Oxy−如图所示，则底面椭圆为22143xy+=，()21,0F，的的由题意知，直线MN的斜率不为0，设为1xmy=+，()()1122,,,MxyNxy，联立椭圆方程可得()2234690mymy++−=，则12122269

,3434myyyymm+=-?-++，∴()()()22222212121222144112111413434mmMNmyymyyyymmm++=+-=++-=+=++.又点()11,0F−到直线MN的距离2211

211dmm--==++.∴1221121234FMNmSMNdm+==+.∴11222228181334311PFMNFMNmVSmmm−+===++++.设[)211,tm=+??，对13ytt=+，由2130yt=−，∴13ytt=+在)1,+上

单调递增，∴188211331PFMNVtt−==++，此时10tm=?.故三棱锥1PFMN−的体积的最大值为2.【点睛】圆锥曲线三角形面积问题，一般由弦长公式结合韦达定理求得一边长，再由点线距离公式求得高，从而表示出面积，作进一步讨论.