【文档说明】吉林省长春市第十一中学2020-2021学年高二下学期第一学程考试数学（理）试卷含答案.doc，共(11)页，1.012 MB，由小赞的店铺上传

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第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设32zi=−+，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬

､癸被称为“十天干”；子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子､乙丑､丙寅……癸酉；甲戌､乙亥､丙子…癸未；甲申

､乙酉､丙戌…癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（）A．庚午年B．辛未年C．庚辰年D．辛巳年3．已知函数()yfx=的导函数为()fx，且满

足()()21lnfxxfx=+，则曲线在点()()1,1Pf处的切线的斜率等于（）A．e−B．1−C．1D．e4．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而

无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11xx+=求得152x+=，类似上述过程及方法.则77++的值为（）A．1312+B．2912+C．7D．22长春市十一高中2020-2021学年度

高二下学期第一学程考试数学(理科)试题5．=+−dxxx442)tan2cos2(A．22+B．2C．2D．2+6．已知函数()yfx=的部分图象如图所示，则()fx的解析式可能为（）A．()1sin2=−fxxxB．()1sin2fxxx=+C．()1cos2f

xxx=−D．1()cos2fxxx=+7．已知函数32()2fxxxx=−+−，若过点()1,Pt可作曲线()yfx=的三条切线，则t的取值范围是（）A．1(0,)30B．1(0,)29C．1(0,)28D．1(0,)278．如果对定义在R上的偶函数()fx，满足对于任意两个不相等

的正实数12,xx，都有()()1122120xfxxfxxx−−，则称函数()yfx=为“F函数”，下列函数为“F函数”的是A．()xfxe−=B．()lnfxx=C．()2fxx=D．()fxxx

=9．已知函数()2xxxmfxe++=的图象过点11,e，若关于x的方程()()0fxaa+=R有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．(),0e−B．()0,eC．25,0e−D．25,ee−10．已知三棱锥DABC−中，DA⊥平面ABC，2ABAD

==，3BCAC=，则三棱锥DABC−体积最大时，其外接球的体积为（）A．2023B．6423C．453D．205311．已知5a且aeae55=，4b且bebe44=，3c且cece33=，则（）A.cbcB

．acbC．bcaD.cba12．已知函数()22ln2fxxexmx=−+，若()0fx的解集中恰有一个整数，则m的取值范围为（）A．22ln22,42ee−B．22ln22,42ee−C．22ln

2ln34,623ee−−D．22ln2ln34,623ee−−第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝5，则复数z＝____________14．由定积分的性质和几何意义，120[1(1)]

xxdx−−−的值是________．15．过抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若5AFBF=，O为坐标原点，则||||AFOF=__________．16．已知函数()2ln

3afxxx=+−，()322332gxxxx=−+−，对任意的1x，21,23x，都有()()12fxgx成立，则实数a的取值范围是______.三、解答题：本题共6小题,共70分.17．(10分)已知函数321()1()32xafxxaxaR+=−++.（1）若3x=是函数(

)fx的一个极值点，求a的值；（2）当20a时，12,0,2xx，()()1223fxfx−恒成立，求a的取值范围.18．(12分)已知函数()lnfxaxx=−．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）设01a，若函数2()4()2=+−xgx

fxxa在[1,)x+上有零点，求a的取值范围．19．(12分)如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为平行四边形，APABACa===，2ADa=，PA⊥底面ABCD.（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；（2）在棱

PC上是否存在一点E，使得二面角BAED−−的平面角的余弦值为63−？若存在，求出CECP=的值？若不存在，说明理由.20．(12分)已知函数()sinxfxeaxx=+.（1）求()yfx=在0x=处

的切线方程﹔（2）当2a=−时，设函数()()fxgxx=，若0x是()gx在()0,上的一个极值点，求证：.0x是函数()gx在()0,上的唯一极小值点，且()022egxe−−.21．(12分)已知椭

圆()2222:10xyMabab+=的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点22,2.（1）求椭圆M的标准方程；（2）直线l：xkyn=+与椭圆M相交于A，B

两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC面积的最大值.22．(12分)已知函数()2lnfxaxxx=++．（1）若()fx单调递增，求实数a的取值范围；（2）若函数()()132Fxfxx=+−−有两

个极值点1x，2x，且12xx，求证：()211ln202Fxx+−．答案一、选择题1.B2.D3.B4.B5.A6.A7.D8.C9.C10.D11.D12.A二、13、1＋2i或－1－2i14、142−15、616、eae三、17、解：（1）

由函数解析式知：()()21fxxaxa=−++，由题意，得()()39310faa=−++=，故3a=.经检验，3a=满足题意.（2）由已知，当2a时，只需0,2x，()()maxmin23fxf

x−.()()()()211fxxaxaxxa=−++=−−.1.当01a时，()fx在0,a单增，在,1a单减，在1,2单增.由于()()2203ff−=，所以只需()()()()210fafff

，即()()2144013aaaa+−+，所以113a.2.当1a=时，()()2'10fxx=−，()fx在0,2单增，所以()()()()maxmin2203fxfxff−=−=，满足题意

.3.当12a时，()fx在0,1单增，在1,a单减，在,2a单增.由于()()2203ff−=，所以只需()()()()120fffaf，即533aa，所以5

13a.综上，知：15,33a.18、解：（1）由题意知，()(0)−=axfxxx，当0a时，()0fx，则()fx在(0,)+上单调递减；当0a时，令()0fx，得xa，令()0fx，得0xa，则()fx在(0,)a上

单调递增，在(,)a+上单调递减．综上可知，当0a时，函数()fx在(0,)+上单调递减；当0a时，函数()fx在(0,)a上单调递增，在(,)a+单调递减．（2）因为2()4ln52=−+xgxa

xxa，所以2254(4)()()−+−−==xaxaxaxagxaxax．因为01a，且1x，所以0xa−，0ax．当41a，即104a时，()0gx，则()gx在[1,)+上

单调递增，因为函数()gx在[1,)x+上有零点，且()84444ee165e42e5e02=+−−gaa，所以min1()(1)502==−+gxga，解得11104a；当41a，即114a时，令()0gx，解得14xa，令()0gx，解得4xa，所以

()gx在(1,4)a上单调递减，在(4,)+a上单调递增，因为()gx在[1,)x+上有零点，且()4e0g，所以min()(4)4ln(4)120==−gxgaaaa，又114a，则114a．综上，a的取值范围是1,110．19、试题解

析：(1)在ACD中,AC=a,CD=a,AD=a由勾股定理得:CD⊥AC∵PA⊥底面ABCD∴PA⊥CDAC面PAC,PA面PAC,PA∩AC=A∴CD⊥面PAC又∵CD面PCD∴平面PCD⊥平面PAC.(2)由(1)知:AB⊥AC,又PA⊥底面ABC

D∴以A为原点AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示坐标系则A(0,0,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D(-a,a,0),P(0,0,a)假设点E存在,且λ=,则=λ(xE,yE-a,zE)=λ(0,-a,a)∴xE=0,yE=(1-λ)a,zE=λa=(a,0,0

)=(0,(1-λ)a,λa),=(-a,a,0)设平面BAE的法向量为=(x1,y1,z1),平面DAE的法向量为=(x2,y2,z2),则=(0,λ,λ-1)=(λ,λ,λ-1)cos<,>====由题意:|cos<,>|=即:=3(2λ2-2λ+1)=2(3λ2-2λ

+1)∴λ=∴棱PC上存在一点E,使得二面角B-AE-D的平面角的余弦值为-,且此时λ=.20、【详解】（1）由已知得()()sincosxfxeaxxx=++，而()01f=，()01f=，故()yfx=在0x=处的切线方程为1yx−=，即1yx=+（2）当2a=−时，由题意得()()2si

n,0,xegxxxx=−，则()212cosxxgxexx−−=，()()2''3222sin0xxxgxexx−+=+所以()gx在()0,上单调递增，∵()12cos10g=−，2212024e

g−=∴01,2x，使()00gx=∴()00,xx时，()0gx，即()gx在()00,x上单调递减()0,xx时，()0gx，即()gx在()0,x上单调递增∴()gx在

()0,上有唯一极小值点0x且01,2x∴()()012sin12gxgee=−−设()xehxx=，1,2x时()()'20,1xxehxx−=则()xehxx=在1,2

上单调递增∴()()0001xehxhex==()02sin2,2sin1x−−−∴()00002sin2xgxxexe=−−综上：()022egxe−−.21、【详解】（1）设椭圆的上下顶点

为()10,Bb，()20,Bb−，左焦点为()1,0Fc−，则12BBF△是正三角形，所以222bcba=+=，则椭圆方程为222214xybb+=.将22,2代入椭圆方程，可得2221142bb+=，解得2a=，1b=，故椭圆的方程为22

14xy+=.（2）由题意，设直线l的方程为xkyn=+，联立2214xyxkyn+==+，消去x得()2224240kyknyn+++−=.设()11,Axy，()22,Bxy，则有12224knyyk−+=+，212244nyyk−=+，因为以线段AB为直径的圆过

椭圆的右顶点()2,0C，所以0CACB=，由()112,CAxy=−，()222,CBxy=−，则()()1212220xxyy−−+=，将11xkyn=+，22xkyn=+代入上式，并整理得()()()()2212121220kyyknyyn++−++−=，则()()()

()22222214222044knknnnkk+−−−++−=++，化简得()()5620nn−−=，解得65n=或2n=，因为直线xkyn=+不过点()2,0C，所以2n，故65n=.所以直线l恒过点6,05D.故121||||

2ABCSDCyy=−△()221212223612441622552425544kyyyykk−−=−+−=−++()()222254368254kk+−=+，设211044ttk=+，则2836

2525ABCStt=−+在10,4t上单调递增，当14t=时，8111636252516425ABCS=−+=，所以ABC面积的最大值为1625.22、解：（1）由题知对任意的()0,x

+．()210afxxx=++恒成立，即对任意的()0,x+，22axx−−恒成立．易知函数22yxx=−−在()0,+上单调递减，因此220yxx=−−，()0,x+，所以0a．（2）()()()()2132

ln11Fxfxxaxxx=+−−=++−，由题知1x，2x是()()22220111axxaFxxxxx++=+==−++的两个根，即1x，2x是方程()22201xxax++=−的两个根，则()()2480,21210,aa=−−+

−+得102a，且121xx+=−，1202axx=，则121102xx−−．要证()211ln202Fxx+−，只需证()211ln22Fxx−，即证()211ln22Fxx−．()()()2222222112ln1ln11Fxaxxaxx

xxx++++==−−，因为222220xxa++=，所以22222axx=−−，从而()()()22221212ln111Fxxxxxx=+−−−+．令21tx=+，则1,12t，()()21121ln

2Fxtttxt=−+−−．设函数()()1121ln2,12rtttttt=−+−−，则()2122ln1rtttt=+−+，设()21212ln1,12kttttt=+−+，则(

)()232321222ttkttttt+−=−+=，易知存在01,12t，使得20010tt+−=，且当01,2tt时，()0kt，当()0,1tt时，()0kt，因此函数()212

2ln1rtttt=+−+在01,2t上单调递减，在()0,1t上单调递增，所以()0rt，因此()()121ln2rttttt=−+−−在1,12t上单调递减，从而()()1121ln2ln22rttttt=−+−−−+，即

()211ln22Fxx−，原命题得证．