【文档说明】《精准解析》广东省广州市天河区2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）.docx，共(21)页，1.433 MB，由小赞的店铺上传

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2022学年第一学期天河区期末考试高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线l：330xy++=的倾斜角θ为（）A.6B.3C.23D.56

【答案】D【解析】【分析】根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】330xy++=的倾斜角θ满足3tan3k==−，故56=.故选：D.2.数列15−，17，19−，111，……的通项公式可能是na=（）A.(1)32nn−+B.1(1)2

3nn−−+C.(1)23nn−+D.1(1)32nn−−+【答案】C【解析】【分析】由分母构成等差数列即可求出.【详解】数列的分母5,7,9,形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为()51223nn+−=+，所以()123nnan−=+.故选：C.3.若抛物线2

2(0)ypxp=上横坐标为52的点到焦点的距离为5，则p的值为（）A.52B.2C.4D.5【答案】D【解析】【分析】由方程可得抛物线的焦点坐标和准线方程，进而由抛物线的定义可得：5522p+=，解之可得p值.详解】由题意可得：抛物线22(0)ypxp=开口向右，焦点坐标为

(,0)2p，准线方程为：2px=−，因为抛物线上横坐标为52的点到焦点的距离为5，由抛物线的定义可得：55()52222pp−−=+=，解之可得：5p=，故选：D.4.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，设ABa=，ADb=，1AAc=，若点P满足1149

APAC=，则AP等于（）A.445999abc++B.544999abc++C.445999abc−++D.544999abc−−【答案】A【解析】【分析】由空间向量的线性运算法则求解．【详解】∵1111ABCDABCD−是平行六面体，∴111111ACADABAAbac=++=+−，11444

5()9999APAAAPcbacabc=+=++−=++，故选：A．5.圆C1：2240xy+−=与圆C2：2244120xyxy+−+−=的位置关系是（）A.内含B.内切C.相交D.外切【答案】C【解析】【分析】求出圆心距,与两圆半径的和、差的绝对值比较大小可得．【详解】1C标准方程

是224xy+=，圆心为1(0,0)C，半径为2r=，【2C标准方程22(2)(220xy−++=），圆心2(2,2)C−，半径25R=，1222CC=，025222252−+，因此两圆相交，故选：C．6.若动点P在直线1yx=+上，动点

Q在曲线22xy=−上，则|PQ|的最小值为（）A.14B.24C.22D.18【答案】B【解析】【分析】设与直线1yx=+平行直线l的方程为yxm=+，当直线l与曲线22xy=−相切，且点Q为切点时，P，Q两点间的距离最小

，根据导数的几何意义求出直线l的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.【详解】设与直线1yx=+平行的直线l的方程为yxm=+，∴当直线l与曲线22xy=−相切，且点Q为切点时，P，Q两点间的距离最小，设切点()00,Qxy，22xy=−

，所以212yx=−，yx=−，0011xx−==−，012y=−，点11,2Q−−，直线l的方程为12yx=+，,PQ两点间距离的最小值为平行线12yx=+和1yx=+间的距离，,PQ两点间距离的最小值为112242−=.故选：B.7.北京天坛的圜丘

坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加

9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板（）的A.1125块B.1134块C.1143块D.1152块【答案】B【解析】【分析】由等差数列前

n项和的性质求解．【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为{}na，{}na是等差数列，且公差为9d=，19a=，设每层有k环，则3nk=，3402nS=，{}na是等差数列，则232,,kkkkkSSSSS−−也成等差数列，所以()()2322kkkkkSSSSS−=+−，所以23()3402nk

kSSS=−=，21134kkSS−=，故选：B．8.已知(0,7)A，(0,7)B−，(12,2)C，以C为焦点的椭圆过A、B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为（）A.()221148xyy−=−B.()221148xyy−=C.()2214348yxy−=−D.()

2214348yxy−=【答案】A【解析】【分析】由两点间距离公式可得13,15,14ACBCAB===，根据题中条件，得到214AFBF−=，结合双曲线的定义，即可得出结果.【详解】因为()0,7A，()0,7B−，()12,2C，所以

()22127213AC=+−=，()22127215BC=+−−=，14AB=，因为,AB都在椭圆上，所以AFACBFBC+=+，214AFBFBCAC−=−=，故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支，又21

4cAB==，22aAFBF=−=，即7c=，1a=，所以248b=，因此F的轨迹方程是22148xy−=（1y−）.故选：A.【点晴】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),

xy，根据题意列出关于,xy的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,xy分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00xgxyhx==代入()00,0fxy=.二、选择题：本

题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列说法中正确的是（）A.方程22210xyx+−+=表示的曲线是圆B.椭圆2

2143xy+=的长轴长为2，短轴长为3C.双曲线221169xy−=的渐近线方程为34yx=?D.抛物线22xy=的准线方程是18x=−【答案】CD【解析】【分析】根据方程表示成曲线的标准形式，再根据定义判断正误.【详解】选项A:

()2210xy−+=表示点()1,0，故A错误；选项B:22143xy+=，2,3ab==长轴长为24a=，短轴长223b=，故选项B错误；选项C:43xy=化简34yx=?，选项C正确；选项D:抛物线22xy=表示成标准方程为212yx=，122p=，焦点坐标为1,08

准线为18x=−,选项D正确；故选：CD.10.△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（）A.边BC与直线3210xy−+=平行B.边BC上的高所在的直线的方程为3212

0xy+−=C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为130xy+−=D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)【答案】BD【解析】【分析】由直线斜率判断A，求出相应的直线方程判断BC，求出边BC中点坐标判断D．【详解】直线B

C的斜率为732603k−==−，而直线3210xy−+=的斜率为32，两直线不平行，A错；BC边上高所在直线斜率为32−，直线方程为3(4)2yx=−−，即32120xy+−=，B正确；过C且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为130xy+−=，过原点时方程为76yx=，C错；过

点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为(3,5)，D正确．故选：BD．11.（多选）设数列na满足()12335212naaanan++++−=，记数列21nan+的前n项和为nS，则（）A.12a=B.221nan=−C.21nnSn=+D.1nnS

na+=【答案】ABD【解析】【分析】依题意当1n=时，求出1a，再利用作差法得到()212nna−=，即可得到na的通项公式，再利用裂项相消法求数列21nan+的前n项和即可；【详解】解：由题意

()12335212naaanan++++−=，当1n=时，得12a=，令()12335212nnTaaanan=++++−=，则当2n时，()11231352322nnTaaanan−−=++++−=−所以()1212nnnTTna−−=−=，即221nan=−．又1n=时，122211a==

−也成立，∴221nan=−，故数列21nan+的通项公式为()()21121212121nnnn=−+−−+，∴11111111113355723212121nSnnnn=−+−+−++−+−−−−+1212121nnn=−

=++，即有1nnSna+=．故选：ABD．12.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E、F、G分别为棱BC、CC1、BB1的中点，则下列选项中正确的是（）A.点A到直线EF的距离为322B.平面AEF截正方体所得截面为五边形C.三棱锥1A-AE

F的体积为23D.存在实数λ、μ使得1=+AGAFAE【答案】ACD【解析】【分析】在AEF△中，由三边长求得EF边上的高判断A，证明1,,,ADFE共面判断B，由11AAEFEAAFVV−−=求得三棱锥的体积判断C，证明根据平面向量的基本定理判断D．【详解】连接AC，由

已知5AE=，2EF=，222224413AFACCFABBCCF=+=++=++=，2229252cos22232AFEFAEAFEAFEF+−+−===，AEF△中，2sin2AFE=，点A到直线EF的距离为232sin322AFAFE==，A正确；连接1BC，则

由,EF分别是1,BCCC中点得1//EFBC，又正方体中易得11//BCAD，因此1//EFAD，∴1D平面AEF，从而截面为四边形1AEFD，B错；由已知点F到直线1AA的距离行于22AC=，11222222EAAS==!，平

面1AAE即为平面11ACCA，1//CFAA，1AA平面1AAE，CF平面1AAE，则//CF平面1AAE，∴F，C到平面1AAE的距离相等，∴11AAEFEAAFVV−−=，由正方体性质知B到平面11ACCA的距离为2，E是BC中点，则E到平面1AAE的距离为

22d=，∴1111122223323AAEFEAAFAAEVVSd−−====!，C正确；GF与11AD平行且相等（可由11BC传递），则11AGFD是平行四边形，11//AGDF，1DF平面1AEFD，1AG平面1AEFD，∴1//AG平面1AEFD，实际上1

1AGDF=，而在平面AEF中，,AEAF不共线，,AEAF可作为平面AEF的基底，从而存在实数λ、μ使得1EDAAFF=+，即1=+AGAFAE，D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，

共20分．13.在各项均为正数的等比数列{na}中，若24354624aaaaaa++=，则35aa+=_________．【答案】2【解析】【分析】根据等比数列的性质计算．【详解】等比数列{}na各项均为正数，∴222335524354356242()aaaaaaaaaaaa

++=++=+=，352aa+=（负值舍去）故答案为：2.14.如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．早季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到_________米．【答案】8【解析】【分析】画出圆拱

图示意图，构建直角坐标系，列出雨季和旱季时水位方程即可求出圆的半径，旱季时水面跨度.【详解】画出圆拱图示意图，设圆半径为R,雨季时水位方程()22213RR−−=，解得5R=；旱季时水位方程()2222RDER−+=，解得4DE=，所以此时水面跨度为28DE=.所以答案8.1

5.如图，在棱长为2的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值为_________．为【答案】23【解析】【分析】作出异面直线所成的角，在三角形中由余弦定理求解．【详解】如图，连接DN，取DN中点G，连接MG，

又M是AD中点，则//MGAN，所以异面直线AN，CM所成角是CMG或其补角，由已知3ANCM==，1322MGAN==，1322NGDN==，又DNBC⊥，222237()122CGNGNC=+=+=，MCG△中，373244cos33232C

MG+−==，∴异面直线AN，CM所成角的余弦值为23．故答案为：23．16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点为F，过F点作圆222xyb+=的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭圆C的离心率为_________．【答案】53##

153【解析】【分析】利用图中的几何关系及椭圆的定义即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为1F,连接1AF，OT,由几何关系可知112OTAFb==，则2222TFOFOTcb=−=−，即222AFcb=−，由椭圆的定义可知12AFAFa+=，即22222bcba+−=且222c

ab=−，整理得2320bab−=，解得23ba=，2222222513cabbeaaa−===−=.故答案为：53.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{na}为等

差数列，nS是其前n项和，且315S=，1516aa+=．数列{nb}中，11b=，()*11N2nnbbn+=．（1）分别求数列{na}，{nb}的通项公式；（2）求数列nnab+的前n项和nT．【答案】（1

）23(1)31nann=+−=−，11111()()22nnnb−−==.（2）12312222nnnnT−=+−+【解析】【分析】(1)设等差数列{}na的公差为d，根据等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式列出方程组，解之即

可求出数列{}na的通项公式，由题意可知：数列{}nb为等比数列，利用等比数列的通项即可求出数列{}nb的通项公式；(2)结合（1）可得：11(31)()2nnnabn−+=−+，利用分组求和的方法即可求解.【小问1详解】设等差数列{}na的公差为d，因为315S=，1

516aa+=，则1113315416adaad+=++=，解得：123ad==，所以23(1)31nann=+−=−.又因为11b=，()*11N2nnbbn+=，所以数列{}nb是以1为首项，

以12为公比的等比数列，则11111()()22nnnb−−==，故数列{na}，{nb}的通项公式分别为：23(1)31nann=+−=−，11111()()22nnnb−−==.【小问2详解】由（1）可知：11(3

1)()2nnnabn−+=−+，所以112233nnnTabababab=++++++++123123()()nnaaaabbbb=+++++++++11[1()](231)21212nnn−+−=+−12312222nnn−=+−+

18.已知圆C的圆心在x轴上，且经过坐标原点O和点A(3，3)．（1）求圆C的标准方程；（2）求过点P(4，4)与圆C相切的直线方程．【答案】（1）22(2)4xy−+=；（2）3440xy−+=或4x=．【解析】【分析】（1）设圆心坐标为(,0)a，由圆

心到圆上两点距离相等求得a，然后得半径，从而得圆标准方程；（2）切线斜率存在时，设方程为4(4)ykx−=−，由圆心到切线距离等于半径求得k，再说明斜率不存在时直线也是切线．【小问1详解】设圆心C坐标为(,0)a，由2(3)3aa=−+，解得2a=，∴圆半径为2rOC==，圆方程为

22(2)4xy−+=；【小问2详解】易知直线4x=与圆C相切，当切线斜率存在时设方程为4(4)ykx−=−，即440kxyk−−+=，∴2204421kkk−−+=+，解得34k=，切线方程为34(4)4yx−=−，即3440xy−+=，综上切线方程为3440xy−+=或4x=．19.如

图，在直三棱柱111ABCABC-中，12AAABAC===，D、E、F分别是棱11AB、1CC、BC的中点．（1）求证：DF//平面11AACC；（2）若11AEAB⊥，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）33【解析】【分析】（1）取AC中点M,连接1,FM

AM，证明DF∥1AM，即可证明DF∥平面11AACC（2）利用空间向量法分别将平面DEF与平面ABC的法向量表示出来，再求出夹角的余弦值【小问1详解】取AC中点M,连接1,FMAM，1ADAB∥，且112A

DAB=，又FMAB∥，12FMAB=11,ADFMADFM=∥，四边形是1ADFM平行四边形，1DFAM∥,又DF平面111,AACCAM平面11AACC，所以DF∥平面11AACC.【小问2详解】因为11AEAB⊥，11//ABAB所以AE

AB⊥又因为直三棱柱111ABCABC-中，1AAAB⊥且1AAAEA=，1,AAAE平面11AACC所以AB⊥平面11AACC又AC平面11AACC所以ABAC⊥所以AB、AC、1AA两两垂直故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系由题知，12AAABAC===所以()0,0,0

A，()0,2,1E，()1,1,0F，()10,0,2A，()12,0,2B，()1,0,2D设平面DEF的法向量为(),,nxyz=，()1,2,1DE=−−，()0,1,2DF=−则00nFEnDF==，200xyzyz−

+−=−=取1y=，得()1,1,1n=，平面ABC的一个法向量()0,0,1m=，13cos,33mnmnmn===所以平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值为3320.设数列{na}的前n项和为nS，已知11a=，22a=，

且*2+1+3+3(N)nnnaSSn+=．（1）求证：23nnaa+=；（2）求2nS．【答案】（1）证明过程见详解（2）123322nnS+=−【解析】【分析】（1）当,2nn*N时，由题可得*2+1+3+3(N)nnnaSSn+=，11++3(N*)3nnnaSSn+−=，两式子相

减可得2113nnnnaaaa+++−=−，即23,(2)nnaan+=，然后验证当1n=时，命题成立即可；（2）通过求解数列na的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前2n项和的通项公式.【小问1详解】）由条件，对任

意*nN，有2133nnnaSS++=−+*()Nn，因而对任意*,2nNn，有1133nnnaSS+−=−+*()Nn，两式相减，得2113nnnnaaaa+++−=−，即23,(2)nnaan+=，又121,2aa==，所以

3121121333()33aSSaaaa=−+=−++=，故对一切*nN，23nnaa+=．【小问2详解】由（1）知，0na，所以23nnaa+=，于是数列21{}na−是首项11a=，公比为3的等比数列，数列2{}na是首项12a=，公比为3的等比数列，所以112123

,23nnnnaa−−−==，于是21221321242()()nnnnSaaaaaaaaa−=+++=+++++++1113(31)(133)2(133)3(133)2nnnn−−−−=+++++=++=．所以123(31)33222nnnS+=−=−.21.如图，

在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE折起到1ADE△(1A平面ABCD)的位置．（1）判断当△ADE折起到什么位置时，四棱锥1ABCDE−的体积最大(无需证明)，并求出这个最大体积；（

2）若13AC=，点M在线段A1C上，当直线BM与平面DEC所成角的正弦值为1010时，试判断点M的位置．【答案】（1）平面1ADE⊥平面BCDE时，四棱锥1ABCDE−的体积最大，最大体积为24；（2）M为1AC中点．【解析】

【分析】（1）利用1A点到直线DE的距离是定值，得出平面1ADE⊥平面BCDE时体积最大，再由体积公式计算；（2）取DE中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，设11AMCA=，(01)，由空间向量法求线面角，从而得参数值，确定出点M位置．【小问1详解】取DE中点O．连接

1AO，则1AODE⊥，折叠过程中1AO始终与DE垂直，因此当1AO⊥平面BCDE时，1A点到平面BCDE的距离最大为1AO，由1AO平面1ADE，得平面1ADE⊥平面BCDE，由已知122AO=，21321122BCDEABCDAEDSSS=−=−=!，11113

2233224ABCDEBCDEVSAO−===；【小问2详解】由已知2EDCE==，222DECECD+=，DECE⊥，又2CE=，22OE=，∴22110222OCOECE=+=+=，13AC=，所以22211ACAOO

C=+，1AOOC⊥，又1AODE⊥，DEOCO=，,DEOC平面BCDE，∴1AO⊥平面BCDE，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，其中//CEx轴．12(0,0,)2A，2(2,,0)2C−，122(2,,)22AC=

−−，设x轴与CD交于点N，则N为CD中点，连接BN，BN交OC于点P，由DN与BE平行且相等得DEBN是平行四边形，所以//BNDE，于是P为CE中点，22NPOE==，1222BPCE==，因此2BNBPPN=+=，所以2(,2,0)2B−，122(,2,22BA=−），设1122(2,,)

22AMAC==−−，(01)，则112222(2,2,)2222BMBAAM=+=−−+−+，平面DEC的一个法向量是(0,0,1)n=，因为直线BM与平面DEC所成角的正弦值为1010，所以222222210cos,10222

2(2)(2)()2222nBMnBMnBM−+===−+−++−+，解得12=（2=舍去），所以M是1AC中点．22.已知双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的右焦点为()3,0F，点()4,15P在双曲线C上．（1）求双曲线C的标准方程；（2）

设A、B分别为双曲线C的左、右顶点，若过点F的直线l交双曲线C的右支于M、N两点，设直线AM、BN的斜率分别为1k、2k，是否存在实数λ使得12kk=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22145xy−=（2）存

在，15=−，理由见解析【解析】【分析】（1）由条件列方程组解得参数即可；（2）设直线为3xmy=+，联立双曲线方程消x，结合韦达定理可表示出12kk，再由MNyy与MNyy+的关系消元，从而得出12kk的定值比值.

小问1详解】由题意得，()222222231541abab+=−=，解得2245ab==，故双曲线C的标准方程为22145xy−=；小问2详解】直线l交双曲线C的右支于M、N两点，故斜率不为0，设为3xmy=+，联立双曲线方程化简得()225430250

mymy−++=，()()()222304255440010mmmD=-创-=+>，则223025,5454MNMNmyyyymm+=-=--，直线l与右支交于两点，则225054MNyym=<-，则2525,55m骣琪

?琪桫，()2,0A−，()2,0B，12,022NMMNyykkxx==?+-，()()()()122122552MMNMNMNMMNNMNMMNNNyyxymymyyykxykyxymymyyyx-+++====

+++-，∵65MNMNyymyy+=-，∴()56MNMNmyyyy=-+，∴()()125151666552555666MNMMNMNNMNyyyyykkyyyyy-++-===--++-+，∴存在15=−使得12kk=【点睛】（1）直线与

圆锥曲线的定值问题，一般是借助韦达定理将内容表示出来，再根据式子的特征进一步化简求值.（2）本题直线设成3xmy=+的形式，方便处理直线斜率不为0的情形（包括斜率不存在），也方便表示12kk.【【获得更

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