【文档说明】重庆市拔尖强基联盟2025届高三上学期10月联合考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(20)页，1.225 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-5b09c2403ce7a5caa91eb32b7d84f0d9.html

以下为本文档部分文字说明：

重庆市高2025届拔尖强基联盟高三上10月联合考试数学试卷（满分150分；考试时间：120分钟）命题学校：育才中学注意事项：1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号；2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择

题必须使用0.5mm黑色签字笔答题；3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回.第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合

题目要求的.1.已知集合4,2,0,2,4A=−−，2|230Bxxx=+−，则图中阴影部分表示的集合为（）A.4,2,4−B.4,2,4−−C.2,0−D.4,2,0−−【答案】A【解析】【分析】先求出{|31}Bxx=−，图知道阴影部分

表示A中把B中去掉后剩下元素组成的集合，写出结果即可.【详解】2|230{|31}Bxxxxx=+−=−，由图知道阴影部分表示4,2,0,2,4A=−−中把{|31}Bxx=−中去掉后剩下元素组成

的集合.即图中阴影部分表示的集合为4,2,4A=−.故选：A.2.设复数z满足()()2i2iz+=−，则z=（）A.12B.1C.52D.5【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法算出复数z，由模长公式计

算z.【详解】复数z满足()()2i2iz+=−，得()()()22i2i34i2i2i2i5z+++===−−+，则2234155z=+=.故选：B.3.设等差数列na的前n项和为nS，且

31154aaa+−=，则17S=（）A.58B.68C.116D.136【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式结合前n项和公式求解即可.【详解】因为31154aaa+−=，所以184,ad+=即94,a=所以()11

7179171717468.2aaSa+====故选：B.4.遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间

x（小时）的大致关系：0.0610.6yx=−，则记忆率为20%时经过的时间约为（）（参考数据：lg20.30，lg30.48）A.80小时B.90小时C.100小时D.120小时【答案】C【解析】【分析】根据题设得到0.0643

x=，两边取对数求解，即可得出结果.【详解】根据题意得0.06110.65x=−，整理得到0.0643x=，两边取以10为底的对数，得到4lg0.06lg3x=，即2lg2lg30.06lgx−=，又lg20.30,lg30.48，所以0.60.48lg2lg1000.06x−==，得

到100x，故选：C5.在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别满足DEEC=，2BCBG=，2AFFE=，则FG=（）A.2136ABAD−B.2136ABAD+C.1263ABAD−D.1263ABAD+【答案】A【解析

】【分析】以,ABAD为基底，根据向量的加法、减法、数乘运算求解即可.【详解】由题意，如图，1212123232FGAGAFABBCAEABADADDC=−=+−=+−+11216336ABADABABAD−−=−=，故选：A6.已知函数()11e12xfx=−+，若正实数a，

b满足()()210fafb+−=，则2bab+的最小值为（）A172B.7C.532+D.422+【答案】D【解析】【分析】判断函数的奇偶性单调性，据此可得21ab+=，再由基本不等式求最值即可.【详解

】因为()11e12xfx=−+，所以函数的定义域为R，关于原点对称，又11e11111()()e121e22e1xxxxfxfx−+−−=−=−=−=−+++，所以()fx为奇函数，且易知()fx在R上单调递减，..又()()

210fafb+−=，即()(21)(12)fafbfb=−−=−所以12ab=−，即21ab+=，22424422bbabbaababab++=+=+++，当且仅当2baab=即22142,77ab−−==时等号成立，故选：D7.已知为锐角，π4πsinsincossin653

+−=−，则sin=（）A.215510+B.215510−C.251510+D.251510−【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式与两角和的余弦公式化简已知条件等式得π4cos265+=−，根据角的范围与函数值的大小比较得ππ5π2266

+，从而得到π3sin265+=，然后利用两角差的余弦公式求得cos2，再利用二倍角的余弦公式求sin可得.【详解】由π4πsinsincossin653+−=−，得ππ4coscossi

nsin665+−+=−，则π4cos265+=−，由为锐角，则ππ7π2666+，又34025−−，ππ5π2266+，故π3sin265+=，所以ππππππcos2cos2

cos2cossin2sin666666=+−=+++4331343525210−=−+=，由二倍角余弦公式得2343cos212sin10−=−=，则2743sin20+=.又为锐角，所以sin0，故7432515sin2

010++==.故选：C.8.已知函数()3elnxfxxxxax=−−−，若对任意的0x，()1fx恒成立，则实数a的取值范围为（）A.3,3−B.22−,C.4,4−D.1,1−【答案】B【解析】【分析】问题等价于()

3eln10xxxxaxx−−−恒成立，不妨令()()3eln110xxxgxxx−−=−，求出()mingx即可得实数a的取值范围.【详解】当0x，3eln1xxxxax−−−恒成立，3eln1xaxxx

x−−−，即()3eln10xxxxaxx−−−恒成立.不妨令()()3eln110xxxgxxx−−=−，则()minagx设()e1xhxx=−−，有()00h=，()e1xhx=−，当0x时，()0hx，()hx在)0,+上

单调递增，有()()00hxh=，所以0x时，e1xx+，当且仅当0x=时等号成立.故()()()3ln3eln1eeln111xxxxxxgxxx−+−+=−=−()ln3eln1ln31ln112xxxxxxxx+−+++−−=−=，当且仅当ln3

0xx+=，即ln3xx=−时上式取得等号，由对数函数和一次函数的图象和性质可知，方程ln3xx=−显然有解，所以2a，得2,2a−.故选：B.【点睛】方法点睛：问题等价于()3eln10xxxxaxx−−−恒成立，由()()()ln33eln1eln11

0xxxxxxgxxxx+−+−−=−=，利用e1xx+，得到()2gx.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错

的得0分.9.已知向量a，b，c满足()1,1a=，()1,2b=−，()2,1cmn=−，则（）A.5ab−=B.当bc∥时，41mn+=C.当()2abc+⊥时，22mn+=D.b在a上的投影向量的坐标为12,55−【答案】BC【解析】【分析

】根据向量坐标运算及模的定义判断A，根据平行可得坐标关系判断B，根据垂直向量的数量积为0判断C，根据向量的投影向量的概念判断D.【详解】对A，()2,1ab−=−，所以222(1)5ab−=+−=，故A错误；对B，当b

c∥时，()122nm−−=，即41mn+=，故B正确；对C，()21,4ab+=，由()2abc+⊥可得24(1)0mn+−=，即22mn+=，故C正确；对D，b在a上的投影向量为()1,1111,2222abaaa==，故D错误.

故选：BC10.已知函数()()()sin20πfxx=−，()πcos23gxx=+，定义域均为R，下列说法正确的是（）A.函数()yfx=与()ygx=有相同的最小正周期B.若函数()fx在π0,3上单调递增，则

的最小值为π6C.当0=，()ygx=的图象可以由函数()yfx=的图象向右平移π12个单位得到D.当π4=时，若方程()63fx=在区间π0,2内的解为1x，()212xxx，则()126cos3xx−=【答案】ABD【解析】【分析】根据正余弦型函数周期判断A

，根据正弦型函数的单调性判断B，根据图象平移判断C，根据正弦型函数的对称性及诱导公式判断D.【详解】对A，(),()fxgx周期均为2ππ2T==，故A正确；对B，π0,3x时，2π2ππ233x−−−−，由()fx在π0,3上单调递增，所以π2π

π2232x−−−−，解得ππ62，故B正确；对C，当0=时，()sin2fxx=，函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象向右平移π12个单位得到()πππππsin2cos2cos2126623f

xxxxgx−=−=−−+=−+，故C错误；对D，当π4=时，()π6sin243fxx=−=，即12ππ6sin2sin2443xx−=−=，由π0,2x可知π

π3π2,444tx=−−，因为12sinsintt=，且12π3π,,44tt−，所以由正弦函数性质可知12πtt+=，即12ππ22π44xx−+−=，所以123π4xx+=，即123π4xx=−，所以()122223ππ

3ππ6coscos2sin2sin242443xxxxx−=−=−−=−=，故D正确.故选：ABD.11.已知函数()fx与()gx及其导函数𝑓′(𝑥)与()gx的定义域均为R.若()fx为奇函数，的()()22fxg

x+−=，()()12fxgx++=，则（）A.()()264gg−+=B.()00f=C.曲线𝑦=𝑓′(𝑥)关于点(12,1)中心对称D.2025120252kkg==【答案】ACD【解析】【分析】对A，赋值法令4x=和4,x=−计算即可；对B，易知𝑓′(𝑥

)为偶函数，不能确定()00f=；对C，运用已知条件推出()gx关于3,12中心对称，进而得到()fx关于1,12中心对称；对D，由𝑓′(𝑥)为偶函数得𝑓′(𝑥)周期为2

，结合条件得到()2(1)gxfx=−−，求出41142kkf=−=，进而求2025112ikf=−.【详解】对于A，令()()4,422xfg=+−=，令4(4)(6)2xfg=−−+=,，则(2)(6)4gg−+=

，A正确；对于B，()fx为奇函数，则𝑓′(𝑥)为偶函数，则求不出()00f=，故B错误；对于C，()()()()2220fxgxfxgx+−=−−=，又()()12fxgx++=，则(1)(2)2gxgx++

−=，则()gx关于3,12中心对称.()2(1)fxgx=−+，结合函数图象平移，()fx关于1,12中心对称，C正确；对于D，由于𝑓′(𝑥)为偶函数，结合C所得对称中心，知𝑓′(𝑥)周期为2，且()()12fxfx+−=，111

22ff−==，又,(1)2()gxfx+=−则()2(1)gxfx=−−，且2025202520251112140501,222kkkkkkgff====−−=−−()()411110142

22kkfffff=−=−+++=，202512025202331450612024202420252222ikffff=−=+−=+=+=，2002512025,2kkf=

=则D正确.故选：ACD第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()22,0log,0xfxfxxx=，则()2024f−=______________.【答案】2024−【解析】【分析】利用分段函数

解析式分别代入计算可得结果.【详解】根据分段函数性质可得()()202420242ff−−=，由202420−可得()2024202422log24202f−−==−，即()20242024f−=−故答案为：2024−13.育才中学研究性学习小组为测量如图所示的陶行知雕塑的高度，在和它底

部O位于同一水平高度的三点A，B，C处测得雕塑顶端P处仰角均为π4，且5mABBC==，6mAC=，则该雕塑的高度为______________m．【答案】258.【解析】【分析】由题可得π2AOPBOPCOP===，π4PAOPBOPCO

===，由正切函数定义得出BOCOAO==，进而得出点O为ABCV的外心，根据已知条件及余弦定理，正弦定理即可求解．【详解】由题可知，π2AOPBOPCOP===，π4PAOPBOPCO===，设mP

Ox=，在RtAOP△中，tan1POxPAOAOAO===，所以AOx=，同理可得BOCOAOx===，所以点O为ABCV的外心，且外接圆半径为x，由余弦定理得，2225567cos25525ABC+−

==，所以24sin25ABC=，由正弦定理得，6224sin25ACxABC==，则258x=，所以该雕塑的高度为25m8，故答案为：258．14.已知函数()()sin,0222,28xxfxfxx=−，则函数()()()12yffxf

x=−的零点个数是______________.【答案】112【解析】【分析】作出()yfx=的图象，换元()tfx=后，先考虑方程1()2ftt=根的个数及根所在范围，再由数形结合求原函数零点的个数.【详解】作出()yf

x=的图象，如图，的令()tfx=，考虑方程1()2ftt=的根，由图象可知有16个根，分别设为01215,,,,tttt，由图象知，0123456791011121381415,,,,,,,,,,,,,80011,24,24ttttttt

ttttttttt=，再考虑()015,ifxti=，分别作出直线iyt=，可知原函数共有零点8162124884112++++=个.故答案为：112【点睛】关键点点睛：本题的关键点一个是作

出函数()yfx=的图象，再一个就是通过换元结合图象先求出方程1()2ftt=的根t的个数及范围，最后再由数形结合确定原函数零点个数.四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知正项等差数列na满足：11a=且1a，2a，34a+成等比数列.（1）求数列

na的通项公式；（2）若数列nb满足：2nanb=，*nN，求数列nnab+的前n项和nS.【答案】（1）21nan=−（2）()22413nn+−【解析】【分析】（1）利用已知1a，2a，34a+成等比数列，用等差数列基本量1,ad

列方程并求解，再由等差数列通项公式可得结论；（2）分别利用等差与等比数列求和公式分组求和法可得结论.【小问1详解】设正项等差数列{𝑎𝑛}的公差为d，则0d，由123,4,aaa+成等比数列，得()22134a

aa=+，则()()211124adaad+=++，又11a=，即()2152dd+=+，解得2d=−（舍），或2=d.所以()11221nann=+−=−.数列{𝑎𝑛}的通项公式为21nan=−.【

小问2详解】由题意得，2112224nannnb−−===，则1124424nnnnbb+−==，且12b=，故{𝑏𝑛}是以2为首项，4为公比的等比数列，则212(121)2naannna++−++==，()122(14)241143nnnbbb−+++==−−()()()21212

2413nnnnSaaabbbn=+++++++=+−.故数列nnab+的前n项和nS为()22413nn+−.16.心流是由心理学家米哈里提出的概念，指人们在进行某项活动时，完全投入并享受其中的状态.某中学的

学习研究小组为设计创新性学习活动，随机抽取了100名学生进行调研，男生与女生的人数之比为3：2，其中女生有35名自述活动过程中体验到心流，男生有15名没有体验到心流.心流无心流总计女生35男生15合计100（1）完成2×2列联表，

依据表中数据，以及小概率值0.05=的独立性检验，能否认为学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别有关？（2）在体验到心流的学生中，有A，B两名同学表示特别喜爱这种创新性学习活动，希望参加到进一步的学习中，在接下来的进一步学习中，研究小组将每次从

体验到心流的学生中不放回的随机抽()4,5,6,7,8kk=名同学参加，记抽取两次后抽中A或B的概率为()pk，当k为何值时()pk最大？请证明你的结论.参考公式：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中na

bcd=+++.参考数据：0.100.050.0100.005x2.7063.8416.6357.879【答案】（1）答案见解析（2）当8k=时，()pk最大.【解析】【分析】（1）先计算，得到列联表，再求出卡方值，再判断即可

；（2）先求出78788080CC()1CCkkkkkkpk−−=−，再根据阶乘公式化简得到(802)(792)()18079kkpk−−=−，作差比较大小得到(1)()pkpk+，则()pk为增函数，运用函数单调性可得到答案.【小问1详解】因为调查的女生人数为：21004023

=+，所以调查的男生人数为：1004060−=.所以2×2列联表如下：心流无心流总计女生35540男生451560合计8020100零假设0H:学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别无关.根据公式和数据计算可得，()220.0510035154557533.8418020406032x

−===根据小概率值0.05a=的独立性检验,没有充分证据推断0H不成立,因此可以认为0H成立,即创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关.【小问2详解】当8k=时,()pk的值最大.78788080CC()1CCkkkkkkpk−−=−,运用阶乘公式整理得到(802)(79

2)()18079kkpk−−=−，(802)(792)(782)(772)3148(1)()807980798079kkkkkpkpk−−−−−+−=−=.由于48k，则(1)()pkpk+，则()pk为增函数.则当8k

=时，()pk最大.17.在ABCV中，,,ABC的对边分别为a，b，c，且满足_______________.请在①()()()()sinsinsinabACacAC−+=−+；②ππ1sincos634CC−

+=，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题.（1）求C；（2）若ABCV面积为103，53tan11A=，点D在线段AB上，且2BDAD=，求CD的长.【答案】（1）π3C=（2）2613【解析】【分析】（1）选择①：利用正弦定理和余弦定理可得1cos2C=，即π3C

=；选择②：由诱导公式可得2π1sin64C−=，再结合π5ππ,666C−−可得π3C=；（2）根据三角形面积以及角A的正切值可解得5,8,7abc===，再由点D的位置关系利用向量可求出结果.【小问1详解】若选择①，由()()()()sinsi

nsinabACacAC−+=−+可得()()()sinsinsinabBacAC−=−+，利用正弦定理可得()()()abbacac−=−+，整理可得222abcab+−=；所以2221cos222abcabCabab+−===，又()0,πC，可得π3C=.若选择②,

由诱导公式可得2ππππππ1sincossinsinsin6362364CCCCC−+=−−+=−=；由()0,πC可得π5ππ,666C

−−，可得π1sin62C−=−，所以ππ66C−=−，即π3C=.【小问2详解】如下图所示：由ABCV面积为103可得1sin1032abC=，即40ab=，又53tan11A=且22sincos1AA+

=，所以5311sin,cos1414AA==；又1sin1032bcA=可得56bc=；易知()43sinsinsincoscossin7BACACAC=+=+=，由1sin1032acB=可得35ac=，即可得5,8,7abc===

；由点D在线段AB上，且2BDAD=，可得1233CDCACB=+，所以2221212433999CDCACBCACBCACB=+=++22144π2618585cos99933=++=即CD的长为2613.18.已知圆22:4Oxy+=交x轴

于A，B两点，椭圆C过点13,2且以AB为长轴.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l与椭圆C交于M，N两点，与圆O交于P，Q两点，若不重合的两条直线11:lykx=与22:lykx=分别平分线段MN，PQ.①求证：12kk为定值；②

已知直线1l，2l与椭圆C分别交于D，E，F，G，且30OHHD+=，求四边形EFGH面积的最大值.【答案】（1）2214xy+=（2）①证明见解析②四边形EFGH面积的最大值为3.【解析】【分析】（1）令(2,0),(2,0)AB−.设椭圆C的标准方程为2221(02)4xybb+=，椭

圆经过1(3,)2，代入计算即可;（2）①画出图形，显然直线l与2l垂直，设直线:lxtyd=+，则2kt=−直线l与椭圆交于1122(,),(,)MxyNxy,由于直线22:lykx=平分直线l与圆O的

交线段，则有22112222244,44xyktxy+==−+=，运用点差法得到12kk.②画出图形，得到.54EFGHDEFGSS=联立方程22144,xyykx+==得21441xk=+，则直线l1与椭圆交线长为EG,同理可得直线l2与椭圆的一个交点D算出D到直线l

1的距离d，得到四边形面积22212|6|(41)(41)DEFGkSkk=++，结合1214kk=.得到22222|6|(1)(41)4DEFGkSkk=++.20k=和20k分情况讨论，结合基本不等式得到四边形面

积的最大值即可.【小问1详解】由224xy+=,令0y=得2x=，令(2,0),(2,0)AB−.则可设椭圆C的标准方程为2221(02)4xybb+=，椭圆经过1(3,)2，代入计算得到21b=

.则椭圆C的标准方程2214xy+=.【小问2详解】①显然直线l与2l垂直，设直线:lxtyd=+，则2kt=−直线l与椭圆交于1122(,),(,)MxyNxy,由于直线22:lykx=平分直线l与圆O的交线段，则有221122222

44,44xyktxy+==−+=，于是12121212()4()22xxyyxxyy++−=−−,由于2212111212,,2yyxxtkxxyy+−==+−则11,4kt=−则1214kk=.②由题知32OHOD=，则3,324EH

GEDGDEFGSSS==易知.54EFGHDEFGSS=令22144,xyykx+==得21441xk=+，则直线l1与椭圆交线长为212142141EGkk=++，同理可得直线l2与椭圆的一个交点2222244(,)

4141Dkkk++，则D到直线l1的距离21222222211344|()|||4144111kkkkkdkk−++==++，所以四边形面积22212|6|||(41)(41)DEFGkSEGdkk==++.由于1214k

k=.则2222222222|6||6|(4()1)(41)(1)(41)44DEFGkkSkkkk==++++.当20k=时，四边形不存在.当20k时，222261251714DEFGSkk=++所以四边形面积的最大值534EFGHDEFGSS==,在21k

=时取到.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.有时候可以借助基本

不等式求解.19.已知函数()()()ln3cos2fxxx=−+−的图象与()gx的图象关于直线1x=对称.（1）求函数()gx的解析式；（2）若()1gxax−在定义域内恒成立，求a的取值范围；（3）求证：()2*11ln2ningnni=++

N.【答案】（1）()()ln1cosgxxx=++（2）1（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据两函数关于1x=对称求解析式即可；（2）先探求1a=时成立，再证明当1a=时恒成立，证明过程利用导数

求出函数极大值即可；（3）根据（2）可得111gii+，转化为211111112212ningninnnn=++++++++−，再由()11lnln1ln1nnnnn+=+−+，累加相消即可得证.【小问1详解】设()gx图象上

任意一点00(,)Pxy，则其关于直线1x=的对称点为00(2,)Pxy−，由题意知，P点在函数()fx图象上，所以()()()000002ln1cosygxfxxx==−=++，所以()()ln1cosgxxx=++.【小问2详解】不妨令()()1ln(1)cos

1(1)hxgxaxxxaxx=−−=++−−−，则()0≤hx在(1,)−+上恒成立，注意到(0)0h=且()hx在(1,)−+x上是连续函数，则0x=是函数()hx的一个极大值点，所以(0)0h=，又(

)1sin1hxxax=−−+，所以()010ha=−=，解得1.a=下面证明：当1a=时，()0≤hx在()1,x−+上恒成立，令()()()ln11xxxx=+−−，则()1111xxxx−=−=++，当(1,0)x−时，()0x，()x单调递增；当(0,)x+时

，()0,()xx单调递减，所以()(0)0x=，即ln(1)xx+?在(1,)−+x上恒成立，又cos10x−，所以()0≤hx，证毕.综上1a=.【小问3详解】由（2）知，()1gxx−，则111gii−，111gii+，2111111122

12ningninnnn=++++++++−，又由（2）知：ln(1)xx+?在(1,)−+恒成立，则ln1−xx在(0,+∞)上恒成立，当且仅当1x=时取等号，则令()*0,1,N1nxnn=+，则1<1ln1nnn+−+，()11lnln1ln

.1nnnnn+=+−+()()()()()111ln1lnln2ln1ln2ln21ln2.122nnnnnnnnn++++−++−+++−−=++()2*11ln2ningnni=++N，证毕.【点睛】关键点点睛：在证明第（3）问时，关键应

用（2）后合理变形，得到211111112212ningninnnn=++++++++−，再令()*0,1,N1nxnn=+，利用（2）中式子得()11lnln1ln1nnnnn+=+−+，

能够利用累加相消是证明的关键.