【文档说明】湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考（三）数学试题 Word版含解析.docx，共(15)页，1.138 MB，由小赞的店铺上传

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雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题

“存在xZ，220xxm++„”的否定是A.存在xZ，220xxm++B.不存在xZ，220xxm++C.任意xZ，220xxm++„D.任意xZ，220xxm++2.若集合2341,i,i,iA=（i是虚数单位），1,1

B=−，则AB等于A.1−B.1C.1,1−D.3.已知奇函数()()22cosxxfxmx−=+，则m=A.-1B.0C.1D.124.已知m，l是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出⊥的是A.ml⊥，m，l⊥B.ml⊥，l

=，mC.ml，m⊥，l⊥D.l⊥，ml，m5.已知函数()()4cos(0)fxx=+图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则6f−=A.0B.2C.4D.26.已知M是圆22:1Cxy+=上一个动点，且直线1:30lmxnymn

−−+=与直线2:30lnxmymn+−−=（m，nR，220mn+）相交于点P，则PM的取值范围为A.31,231−+B.21,321−+C.21,221−+D.21,331−+7.P是椭圆2222:1(0)xyCabab+=上一点，1F，2F是C

的两个焦点，120PFPF=，点Q在12FPF的角平分线上，O为原点，1OQPF，且OQb=.则C的离心率为A.12B.33C.63D.328.设集合()12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5

iAxxxxxxi−=，那么集合A中满足条件“1234513xxxxx++++剟”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，

部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年

产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数()fx满足()()22fxfx+=−，()()0fxfx++−=，并且当()0,x时，()cosfxx=，则下列关于函数()fx说法正确的是A.302f=B.最小

正周期2T=C.()fx的图象关于直线x=对称D.()fx的图象关于(),0−对称11.若双曲线22:145xyC−=，1F，2F分别为左、右焦点，设点P是在双曲线上且在第一象限的动点，点I为12PFF△的内心，()0,4A，则下列说法不正确的是A.双曲线C的渐近线方程为045xy=B.

点I的运动轨迹为双曲线的一部分C.若122PFPF=，12PIxPFyPF=+，则29yx−=D.不存在点P，使得1PAPF+取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.523xx+

的展开式中4x的系数为________.13.ABC△各角的对应边分别为a，b，c，满足1bcacab+++…，则角A的取值范围为________.14.对任意的*nN，不等式11e1nannn++„（

其中e是自然对数的底）恒成立，则a的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设nS为正项等比数

列na的前n项和，21332Saa=+，416a=.（1）求数列na的通项公式；（2）数列nb满足11b=，1222loglognnnnbaba++=，求数列nb的前n项和nT.16.

（本小题满分15分）如图，在四棱锥PABCD−，BCAD，1ABBC==，3AD=，点E在AD上，且PEAD⊥，2DEPE==.（1）若F为线段PE的中点，求证：BF平面PCD；（2）若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD所成夹

角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()21ln2fxxxax=+−有两个极值点为1x，()212xxx，aR.（1）当52a=时，求()()21fxfx−的值；（2）若21exx…（e为自然对数的底数），求()()21fxfx−的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛

物线2:2(0)Expyp=的焦点为F，H为E上任意一点，且HF的最小值为1.（1）求抛物线E的方程；（2）已知P为平面上一动点，且过P能向E作两条切线，切点为M，N，记直线PM，PN，PF的斜率分别为1k，2k，3k，且满足123

112kkk+=.①求点P的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为()0,(0)Q，半径为1的圆，使得过P可以作圆Q的两条切线1l，2l，切线1l，2l分别交抛物线E于不同的两点()11,Ast，()2

2,Bst和点()33,Cst，()44,Dst，且1234ssss为定值？若存在，求圆Q的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量1a，2a，3a，…，na（Nn且3n…），令123nnSaaaa=++++，如果存在()1,2,3,,papn，使得

pnpaSa−…，那么称pa是该向量组的“长向量”.（1）设(),2nanxn=+，nN且0n，若3a是向量组1a，2a，3a的“长向量”，求实数x的取值范围；（2）若sin,cos22nnna=，nN且0n，向量组1a，2a，3a，…，7a

是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知1a，2a，3a均是向量组1a，2a，3a的“长向量”，其中()1sin,cosaxx=，()22cos,2sinaxx=.设在平面直角坐标系中有一点列1P，2P，3P，…，nP，满足1P为

坐标原点，2P为3a的位置向量的终点，且21kP+与2kP关于点1P对称，22kP+与21kP+（kN且0k）关于点2P对称，求10151016PP的最小值.参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案D

CADCBCDACDADABD1.D2.C【解析】集合i,1,1,iA=−−，1,1B=−，1,1AB=−.故选C.3.A【解析】()fx是奇函数，()()22cosxxfxmx−=+，()()()2222xxxxfxfxm−−+−=+++cos0x=，(

)()122cos0xxmx−++=，10m+=，1m=−.故选A.4.D【解析】有可能出现，平行这种情况，故A错误；会出现平面，相交但不垂直的情况，故B错误；ml，m⊥，l⊥，故C错误；l⊥，mlm⊥，又由m⊥，故

D正确.故选D.5.C【解析】设()fx的最小正周期为T，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有224254T+=，得12T=，则有212=，解得6=，所以()4cos6fxx

=+，所以664cos4cos046f−=−+==.故选C.6.B【解析】依题意，直线()()1:310lmxny−−−=恒过定点()3,1A，直线()()2:130lnxmy−+

−=恒过定点()1,3B，显然直线12ll⊥，因此，直线1l与2l交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，其方程为：22(2)(2)2xy−+−=，圆心()2,2N，半径22r=，而圆C的圆心()0,0C，半径11r=，如

图：1222NCrr=+，两圆外离，由圆的几何性质得：12min21PMNCrr=−−=−，12max321PMNCrr=++=+，所以PM的取值范围为21,321−+.故选B.7.C【解析】如图，设1PFm=，2PFn=，延长OQ交2PF于

点A，由题意知1OQPF，O为12FF的中点，故A为2PF中点，又120PFPF=，即12PFPF⊥，则2QAP=，又由点Q在12FPF的角平分线上得4QPA=，则AQP△是等腰直角三角形，故有2222,4,11,22mna

mncbnm+=+=+=化简得2,2,mnbmna−=+=即,,mabnab=+=−代入2224mnc+=得222()()4ababc++−=，即2222abc+=，又222bac=−

，所以2223ac=，所以223e=，63e=.故选C.8.D【解析】因为0ix=或1ix=，所以若1234513xxxxx++++剟，则在()1,2,3,4,5ixi=中至少有一个1ix=，且不多于3个.所以可根据ix中含0的个数进行

分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为2315C2N=，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为3225C2N=，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为435C2N=，所以共有23324555C2C2C2130N=++

=种.故选D.9.ACD【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为422616−=，故A正确；1070%7=，结合A选项可知第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数，即353836.52+=，故B不正确；这10年粮食年

产量的平均数为()13232302835384239263533.710+++++++++=，故C正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量

的方差，故D正确.故选ACD.10.AD【解析】由于()0,x时，()cosfxx=，并且满足()()22fxfx+=−，则函数()fx的图象关于直线2x=对称.由于()()0fxfx++−=

，所以()()fxfx+=−−，故()()()()()22fxfxfxfx−−+=+=−−=−，故()()()24fxfxfx=−+=+，故函数的最小正周期为4，根据()()0fxfx++−=，知函数()fx的图象关于(),0对称.由于()0,x时，()cosfx

x=，3cos022222ffff=+=−−=−=−=，故A正确，由于函数的最小正周期为4，故B错误；由函数()fx的图象关于(),0对称，易知()fx的图

象不关于直线x=对称，故C错误；根据函数图象关于点(),0对称，且函数图象关于直线2x=对称，知函数图象关于点()3,0对称，又函数的最小正周期为4，则函数图象一定关于点(),0−对称，故D正

确.故选AD.11.ABD【解析】双曲线22:145xyC−=，可知其渐近线方程为025xy=，A错误；设1PFm=，2PFn=，12PFF△的内切圆与1PF，2PF，12FF分别切于点S，K，T，可得PSPK=，11FS

FT=，22FTFK=，由双曲线的定义可得：2mna−=，即12122FSFKFTFTa−=−=，又122FTFTc+=，解得2FTca=−，则点T的横坐标为a，由点I与点T的横坐标相同，即点I的横坐标为2a=，故I在

定直线2x=上运动，B错误；由122PFPF=，且1224PFPFa−==，解得18PF=，24PF=，1226FFc==，126436167cos2868PFF+−==，则212715sin188PFF

=−=，1215tan7PFF=，同理可得：21tan15PFF=−，设直线()115:37PFyx=+，直线()2:153PFyx=−，联立方程得()4,15P，设12PFF△的内切圆的半

径为r，则()12115186846282PFFSr==++△，解得153r=，即152,3I，2152,3PI=−−，()17,15PF=−−，()21,15

PF=−−，由12PIxPFyPF=+，可得27,2151515,3xyxy−=−−−=−−解得29x=，49y=，故29yx−=，C正确；1224PFPFa−==，12244PAPFPAPFAF+=+++…，当且仅当A，P，2F

三点共线取等号，易知()1min549PAPF+=+=，故存在P使得1PAPF+取最小值，D错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90【解析】523xx+展开式的通项公式为()()521031553CC3rr

rrrrrTxxx−−+==，令1034r−=，解得2r=，所以展开式中4x的系数为225C310990==.13.0,3【解析】从所给条件入手，进行不等式化简()()1bcbabcacacab++++++厖()()222ac

abbcabc++++…，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示cosA，由222bcaac+−…可得2221cos22bcaAbc+−=…，可得0,3A.14.11ln2−【解析】对任意的*nN，不等式11e1nann

n++„（其中e是自然对数的底）恒成立，只需11enan++„恒成立，只需()1ln11nan++„恒成立，只需11ln1ann−+„恒成立，构造()()11ln1mxxx=−+，(0,1x，()()(

)()()22221ln11ln1xxxmxxxx++−=++，(0,1x.下证()(22ln1,0,11xxxx++，再构造函数()()22ln11xhxxx=+−+，(0,1x，()()()2221ln12(1)xxxxhxx++−

−=+，(0,1x，设()()()221ln12Fxxxxx=++−−，()()2ln12Fxxx=+−，(0,1x，令()()2ln12Gxxx=+−，(0,1x，()21xGxx=−+，(0,

1x，在(0,1x时，()0Gx，()Gx单调递减，()()00GxG=，即()0Fx，所以()Fx递减，()()00FxF=，即()0hx，所以()hx递减，并且()00h=，所以有()22ln11xxx++，(0,1x，所以()0mx，所以()mx在(0,

1x上递减，所以()mx的最小值为()111ln2m=−.11ln2a−„，即a的最大值为11ln2−.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为na是正项等比数列，所

以10a，公比0q，因为21332Saa=+，所以()121332aaaa+=+，即21112320aqaqa−−=，则22320qq−−=，解得12q=−（舍去）或2q=，···················

··································（3分）又因为3411816aaqa===，所以12a=，所以数列na的通项公式为2nna=.···················································

··························（6分）（2）依题意得1222222loglog2loglog22nnnnnnbanban+++===+，·······················································（7分）当2n…

时，()324123112311234511nnbbbbnbbbbnnn−−==++，所以()121nbbnn=+，因为11b=，所以()21nbnn=+，当1n=时，1nb=符合上式，所以数列nb的通项公式为()21nbnn=+.······················

·····（10分）因为()211211nbnnnn==−++，所以1111112212221223111nnTnnnn=−+−++−=−=+++.·························（13分）16.【解析】（1

）设M为PD的中点，连接FM，CM，因为F是PE中点，所以FMED，且12FMED=，因为ADBC，1ABBC==，3AD=，2DEPE==，所以四边形ABCE为平行四边形，BCED，且12BCED=，所以FMBC，且FMBC=，即四边形BCMF为平行四边形，所以BFCM，因为BF平面

,PCDCM平面PCD，所以BF平面PCD.···············（6分）（2）因为AB⊥平面PAD，所以CE⊥平面PAD，又PEAD⊥，所以EP，ED，EC相互垂直，·····························

·································································································（7分）以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,2P，()0,1,0A−，

()1,1,0B−，()1,0,0C，()0,2,0D，所以()1,0,0AB=，()0,1,2AP=，()1,0,2PC=−，()1,2,0CD=−，····························（9分）设平面PAB的一个法向量为()111,,mx

yz=，则1110,20,mABxmAPyz===+=取11z=−，则()0,2,1m=−，················································（11分）设平面PCD的一个法向量为()222,,nx

yz=，则222220,20,nPCxznCDxy=−==−+=取21z=，则()2,1,1n=，··················································（13分）设平面PAB与平面PCD所成夹角为，则21130

cos305630mnmn−====.·······（15分）17.【解析】（1）函数()21ln2fxxxax=+−的定义域为()0,+，则()211xaxfxxaxx−+=+−=，当52a=时，可得，()()2152122xxxxfxxx−−−+==，········

···································（2分）当10,2x或()2,x+时，()0fx；当1,22x时，()0fx；所以()fx在区间10,2

，()2,+上单调递增，在区间1,22上单调递减；······················（4分）所以12x=和2x=是函数()fx的两个极值点，又12xx，所以112x=，22x=；所以()()()211115152ln225ln

2ln222848fxfxff−=−=+−−+−=−，即当52a=时，()()21152ln28fxfx−=−.··············································

·····················（6分）（2）易知()()()()22221212111ln2xfxfxxxaxxx−=+−−−，又()21xaxfxx−+=，所以1x，2x是方程210xax−+=的两个实数根，则2Δ40a=−且120xxa+=，121xx

=，所以2a，············································（9分）所以()()()()()()()2222222121212112211111lnln22xxfxfxxxaxxxxxxxxxx−=+−−

−=+−−+−()()222222221212111121121111lnlnln222xxxxxxxxxxxxxxxx=−−=−−=−−，···························（11分）设21xtx=

，由21exx…，可得21extx=…，令()11ln2gtttt=−−，et…，·························（13分）则()222111(1)1022tgtttt−=−+=−，所以()gt在区间)e,+

上单调递减，得()()11e1e1e12e22egtg=−−=−+„，故()()21fxfx−的最大值为e1122e−+.·········（15分）18.【解析】（1）设抛物线E的准线l为2py=−，过点H作1HH⊥直线l于点1H，由抛物线的定义得1HFHH=，所以当点H与原点

O重合时，1min12pHH==，所以2p=，所以抛物线E的方程为24xy=.······························································

····················（4分）（2）①设(),Pmn，过点P且斜率存在的直线():lykxmn=−+，联立()24,,xyykxmn==−+消去y，整理得：24440xkxkmn−+−=，由题可知()2Δ164440kkmn=−−=，即2

0kmkn−+=，所以1k，2k是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得1212,,kkmkkn+==·································（6分）又因为()0,1F，所以31nkm−=，0m，由123112kkk

+=，有121232kkkkk+=，所以21mmnn=−，因为0m，12nn−=，1n=−，所以点P的轨迹方程为()10yx=−.②由①知(),1Pm−，设()14:1lykxm=−−，()25:1lykxm=−−，1m且0m，······（9分）

联立()244,1,xyykxm==−−消去y，整理得2444440xkxkm−++=，又()11,Ast，()22,Bst，()33,Cst，()44,Dst，由韦达定理可得12444sskm=+，同理可得34544sskm=+，所以()()()2123445154

54444161616sssskmkmkkmmkk=++=+++，·····························（11分）又因为1l和以圆心为()0,(0)Q，半径为1的圆相切，所以()4240111kmk−−−=+，即()()222

4412120mkmk−++++=.同理()()2225512120mkmk−++++=，所以4k，5k是方程()()22212120mkmk−++++=的两个不等实根，所以由韦达定理可得()452245221,12,1mkkmkkm++=

−−+=−·······························································（14分）所以()()()22222123445452216161616162221

621611mmsssskkmmkkmm=+++=+−−+=−+−−，若1234ssss为定值，则220−=，又因为0，所以2=，····································（16分）所以圆Q的方程为22(2

)1xy+−=.·········································································（17分）19.【解析】（1）由题意可得：312aaa+…，则229(6)9

(26)xx++++…，解得40x−剟.·····················································································································

···············（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为2a，6a，···························································（5分）理由如下：由

题意可得22sincos122nnna=+=，若存在“长向量”pa，只需使1npSa−„，又()()712371010101,01010100,1Saaaa=++++=+−+++−−+++−+=−，故只需使22227sincos1sincos2cos122cos1222222ppppp

ppSa−=++=+++=+„，即022cos12p+剟，即11cos22p−−剟，当2p=或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为2a，6a.···························（8分）（3）由题意，

得123aaa+…，22123aaa+…，即()22123aaa+…，即222123232aaaaa++…，同理222213132aaaaa++…，222312122aaaaa++…，·····

··············（10分）三式相加并化简，得2221231213230222aaaaaaaaa+++++…，即()21230aaa++„，1230aaa++„，所以1230aaa++=，设()3,auv=，

由1220aaa++=得sin2cos,cos2sin,uxxvxx=−−=−−················································（12分）设(),nnnPxy，则依题意得：()()()()()()212111222222222

121,2,,,,2,,,kkkkkkkkxyxyxyxyxyxy++++++=−=−···························（13分）得()()()()2222221122,2,,,kkk

kxyxyxyxy++=−+，故()()()()2222221122,2,,,kkxykxyxyxy++=−+，()()()()2121221122,2,,,kkxykxyxyxy++=−−+，所以()()()212222212221221112,4,

,4kkkkkkPPxxyykxyxykPP++++++=−−=−=，22212(sin2cos)(cos2sin)58sincos54sin21PPxxxxxxx=−−+−−=+=+…，当且仅当()4xtt=−Z时等号成立，························

············································（16分）故10151016min1014420282PP==.······················································

·······················（17分）