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专练43圆的方程授课提示：对应学生用书91页[基础强化]一、选择题1．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0D．x－

y＋3＝0答案：D解析：设所求的直线l的方程为x－y＋C＝0，∵直线l过圆心(0，3)，∴－3＋C＝0，C＝3，故所求的直线方程为x－y＋3＝0.2．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x

＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案：D解析：半径r＝（1－0）2＋（1－0）2＝2，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3．已知点A是直角△A

BC的直角顶点，且A(2a，2)，B(－4，a)，C(2a＋2，2)，则△ABC外接圆的方程是()A．x2＋(y－3)2＝5B．x2＋(y＋3)2＝5C．(x－3)2＋y2＝5D．(x＋3)2＋y2＝5答案：D解析：∵A为直角，∴AB⊥AC，∴2a＝－4，a＝

－2，∴△ABC外接圆的圆心(－3，0)，半径r＝|BC|2＝（－4＋2）2＋（－2－2）22＝5，∴所求的圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5.4．已知方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圆，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(－∞，2)D．(－∞，1)答案：C解

析：由题意得D2＋E2－4F>0，∴4＋4－4a>0，∴a<2.5．点P(5a＋1，12a)在(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是()A．|a|<1B．a<113C．|a|<15D．|a|<113答案：D解析：由题意得25a2＋144a2<1

，∴a2<1132，得|a|<113.6．直线y＝kx－2k＋1恒过定点C，则以C为圆心，以5为半径的圆的方程为()A．(x－2)2＋(y－1)2＝5B．(x－2)2＋(y－1)2＝25C．(x＋2)2＋(y－1)2＝25D．(x＋2)

2＋(y＋1)2＝5答案：B解析：∵y＝kx－2k＋1可化为y＝k(x－2)＋1，恒过定点(2，1)，则所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.7．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4，则圆M的方程为()A．(x＋3

)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案：C解析：3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距离为d＝|10－0|3

2＋（－4）2＝2，显然圆的半径r＝22＝1，与3x－4y＝0和3x－4y＋10＝0的距离相等的直线为3x－4y＋5＝0，由3x－4y＋5＝0，y＝－x－4，得x＝－3，y＝－1，∴圆心(－3，－1)，∴所求的圆的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.8

．圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是()A．2B．－2C．1D．－1答案：B解析：由题意得圆心(1，1)在直线y＝kx＋3上，∴k＝－2.9．(多选)已知点A(－1，0)，B(1，0)，若圆(x－

2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1上存在点M满足MA→·MB→＝3，则实数a的值为()A．－2B．－1C．2D．0答案：BD解析：设点M(x，y)，则MA→＝(－x－1，－y)，MB→＝(－x＋1，－y)，所

以MA→·MB→＝(－x－1)(－x＋1)＋y2＝3，所以点M的轨迹方程为圆x2＋y2＝4，圆心为(0，0)，半径为2.由此可知圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1与圆x2＋y2＝4有公共点．又圆(x－2a＋1)2＋

(y－2a－2)2＝1的圆心为(2a－1，2a＋2)，半径为1，所以1≤（2a－1）2＋（2a＋2）2≤3，解得－1≤a≤12.故选BD.二、填空题10．若a∈－2，0，1，34，则方程x2＋y

2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为________．答案：1解析：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件是a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－2<a<23，又a∈－2，0，

1，34，∴仅当a＝0时该方程表示圆．11．[2022·全国甲卷(文)，14]设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________．答案：(x－1)2＋(y＋1)

2＝5解析：因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设M(a，1－2a).由点(3，0)，(0，1)均在⊙M上，可得点(3，0)，(0，1)到圆心M的距离相等且为⊙M的半径，所以r＝（a－3）2＋（1－2a

）2＝a2＋（1－2a－1）2，解得a＝1.所以M(1，－1)，r＝5，所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.12．直线l：x4＋y3＝1与x轴、y轴分别相交于点A、B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为________．答案：(

x－1)2＋(y－1)2＝1解析：设△AOB内切圆的圆心为M(m，m)(m>0)，半径为m，直线x4＋y3＝1可化为3x＋4y－12＝0，由题意得|3m＋4m－12|32＋42＝m，得m＝1或m＝6(舍去)

.∴△AOB内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.[能力提升]13．已知一个圆的圆心在曲线y＝2x(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切，则当圆的面积最小时，该圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝5B．(x－2)2＋(y－1)2＝5C．(x－1)2

＋(y－2)2＝25D．(x－2)2＋(y－1)2＝25答案：A解析：设圆心为x，2x(x>0)，r＝2x＋2x＋15≥55＝5，当且仅当x＝1时等号成立，所以当圆的面积最小时，即圆的半径最小时，此时圆心

(1，2)，半径为5，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.14．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列说法正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆Ck均不经过点(3，0)C．经过点(2，2)

的圆Ck有且只有一个D．所有圆的面积均为4答案：ABD解析：对于A选项，圆心(k，k)一定在直线y＝x上，故A正确；对于B选项，将(3，0)代入圆Ck的方程整理得2k2－6k＋5＝0，其中Δ＝－4<0，方程无解，故所有圆Ck均不经过点(3，0)，故B正确；对于C选项，将(2，2)代入圆

Ck的方程整理得k2－4k＋2＝0，其中Δ＝16－8＝8>0，故经过点(2，2)的圆Ck有两个，故C错误；对于D选项，所有圆的半径均为2，面积均为4，故D正确．故选ABD.15．已知直线l：x－3y＋6＝0与

圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________．答案：4解析：如图：∵y＝33x＋23，∴kAC＝－3，∴∠ACD＝60°，过D作DE⊥AC于E，则|DE|＝|AB|.∵圆心到直线l的距离d＝61＋3＝3，∴|AB|22＝r2－

d2＝12－9＝3.∴|AB|2＝12，则|AB|＝23.在Rt△DEC中，|CD|＝|AB|sin60°＝2332＝4.16．已知点P(x，y)在(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，则x＋y的取值范围是________．答案：[－2－1，2－1]解析：

设x＝2＋cosα，y＝－3＋sinα∴x＋y＝sinα＋cosα－1＝2sinα＋π4－1∈[－2－1，2－1].