【文档说明】山西省长治市第二中学校2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷含答案.doc，共(9)页，854.500 KB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年第二学期高一期末考试数学试题【考试时间120分钟满分150分】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数z满足izi43)1(+=+,则z的虚部为A．5B

．25C．-25D．-52．一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都不中靶”的对立事件是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．至少有一次中靶3．已知直线a，b分别在两个不同的平面,内，则“直线a和直线b相交

”是“平面与平面相交”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．从长度为2,4,6,8,9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为A．52B．21C．53D．1075．已知P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若M

N=BC=4,PA=34,则异面直线PA与MN所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°6．已知ABC的三个顶点CBA、、及平面内一点P满足ABPCPBPA=++,则ABP与ABC的面积比为A．21B．31C．52D．417．袋中有5个大小质地完全相同的球，其中

3个红球、2个黄球，从中不放回的依次摸出两个球，设事件=A“第一次摸到红球”，事件=B“第二次摸到红球”，则=)(BAPA．109B．2521C．53D．2598．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点。其中央主

体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为()15315m−，在它们之间的地面上的点M（,,BMD三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂

的高度为（）A．20mB．30mC．203mD．303m二、选择题：本大题共4小题，每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9．下列关于事件A和事

件B的结论正确的是A．若,1)()(=+BPAP则事件A与事件B互为对立事件B．若),()()(BPAPABP=则事件A与事件B相互独立C．若事件A与事件B互为互斥事件，则事件A与事件B也互为互斥事件D．若事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B也相互独立10．已知复数iziz+=

−=2,221，则A．1z在复平面内对应的点位于第四象限B．21zz−为纯虚数C．21zz=D．满足11zzzz+=−的复数z在复平面内对应的点的轨迹为直线11．已知有6个电器元件，其中有2个次品和4个正品，

每次随机抽取1个测试，不放回，直到2个次品都找到为止，设随机试验“直到2个次品都找到为止需要测试的次数”的样本空间为，设事件=iA“测试i次刚好找到所有的次品”，以下结论正确的是A．}6,5,4,3,2{=B．事

件2A和事件3A互为互斥事件C．事件=4A“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”D．事件=5A“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”12．已知正四棱柱1111DCBAABCD−的底面边长为2，,31=AA设,OBDAC=E是

1AA的中点，过1C作直线⊥FC1平面,BDE与平面11AABB交于点,F则下列结论正确的是A．//EO平面11BCAB．CAFC11⊥C．点F为线段1AA上靠近点A的三等分点D．二面角ABDF−−平面角的正切值为35

三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。13．天气预报元旦假期甲地降雨的概率是0.2，乙地降雨的概率是0.3，假定在这段时间内两地之间是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为14．已知向量

a，b不平行，向量λa＋b与(1－λ)a＋2b平行，则实数λ＝____________15．已知DCBA,,,是某球面上不共面的四点，,2,2=====ACBDADBCABBC与AD垂直，则此球的体积为16．在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样

，若只知道抽取了男生24人，其平均数和方差分别为170.5和12.96，抽取了女生26人，其平均数和方差分别为160.5和36.96，则据此可得高一年级全体学生的身高方差的估计值为四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17．(本小题满分10分）在平面直角

坐标系xOy中，已知点).6,2(),3,2(),4,1(CBA−(1)求;ACAB+(2)设实数t满足,)(OCOCtBA⊥−求t的值．18．（本小题满分12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女

学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图

估计分数的样本数据的70%分位数；（2）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中女生的人数．19．（本小题满分12分）如图在三棱柱111ABCABC−中，侧棱1AAABC⊥底面，ABBC⊥，D为AC的中点，

12,3AAABBC===.（1）求证：1AB∥1BCD平面；（2）求四棱锥11BAACD−的体积.20．(本小题满分12分)在ABC中，内角,,ABC的对边分别为ABCcba,,,的面积S满足.334222cbaS−+=（1）求C；（2）若ABC为锐角三角形，3c=，求24sin

aB−的取值范围．21．(本小题满分12分)某公司计划购买1种机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.该公司搜集并整理了100台这种机器在三年

使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：161718192021频数更换的易损零件数0610162024记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.（1）若n=18，

求y与x的函数解析式；（2）假设这100台机器在购机的同时每台都购买18个易损零件，或每台都购买19个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买18个还是19个易损零件？（3）若该公司计划购买2台该机器，以上面柱状图中100台

机器在三年使用期内更换的易损零件数的频率代替1台机器在三年使用期内更换的易损零件数发生的概率，求两台机器三年内共需更换的易损零件数为36的概率。22．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCDP−中，,1,2====CDBCABAD,//BCAD且,PCPA=.PDPB=（1）

证明：平面⊥PAD平面;ABCD（2）求直线PA与平面PBD所成角的正弦值的最大值。PABCD2020—2021学年第二学期高一期中考试数学答案1-5．CDABA6-8．BAD9．BD10.ABCD11.BD12.ABD13.0.3814.3115.61

6.50.417(1)),1,2(−=+ACAB5=+ACAB(2),)(OCOCtBA⊥−,0)(=−OCOCtBA即04012=−t，103=t18.(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.0

2＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，小于80的频率为0.8，5.7704.03.070=+所以其分数的样本数据的70%分位数估计值为77.5.(2)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10

×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为60×12＝30，所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，估计总体中女生人数为4010040400=（人）。19.（1）连

接1BC，设1BC与1BC相交于点O，连接OD，1111111111,BCCBoBCDACODABODBCDABBCDABBCD四边形是平行四边形，点为的中点。是的中点，OD是ABC的中位线，平面平面平面。(2)⊥1AA平面1,AAABC平面CC

AA11，1111221111111111ABC,,E,4913,62,3,.1311()32136132336213AACCBEACAACCABBCABBCABBBBCBEACBAACDVACADAABEBAACD⊥⊥⊥+=+======−=+==−平面平面且平面ABC平面AA

CC=AC作垂足为，则BE平面在RtABC中，AC=四棱柱的体积四棱柱的体积为。四棱锥11BAACD−的体积3136213331==V20.(1)由题得,sin21334222cbaCab−+=,cos2sin33222CabcbaC

=−+=3,3tan==CC（2）由正弦定理得AaCcAasin2,2sinsin===，BBBBBABasin2cos32sin4)3sin(4sin4sin4sin42−=−+=−=−)3sin(4B−=ABC为锐角三角形，2320,20−BB，26

B，636−−B，2)3sin(42−−B24sinaB−的取值范围是)2,2(−21.(1)Nxxxxy−=,18,5400500,180,3600(2)若每台都购买18个易损零

件，则购买易损零件费用的平均数40701.051002.0460024.0410046.03600=+++=y（元）若每台都购买19个易损零件，则购买易损零件费用的平均数40001.048002.043007.03800=++=y（元）所以

购买1台机器的同时应购买19个易损零件。（3）将两台机器编号为1号、2号，设事件=iA“1号机器需要更换的易损零件为i个”，事件=iB“2号机器需要更换的易损零件为i个”，设事件C=“两台机器三年内共需更换的易

损零件数为36”，16201719181819172016BABABABABAC++++=,)()()()()()(16201719181819172016BAPBAPBAPBAPBAPCP++++=1584.024.024.024.016.022.006.02=++=两台机

器三年内共需更换的易损零件数为36的概率为0.1584.22.（1）取AD中点O，连PO，AC，BO，CO，设AC与BO交于E，CO与BD交于F，连PE，PF.AO∥BC且AO=BC=AB，∴四边形AOCB为菱形，∴AC⊥

BO，且E为AC中点又PA=PC，∴AC⊥PE，又PE∩BO=E，∴AC⊥平面PBO.又∵PO平面PBO，∴AC⊥PO，同理，由四边形DOBC为菱形，且PB=PD，得BD⊥PO.又直线AC与BD相交，∴PO⊥平面ABCD，又∵PO平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD.……（6分）（2

）设POt=，过O作OH⊥PF交PF于H，由BD⊥平面POC，故BD⊥OH.又PF∩BD=F，∴OH⊥平面PBD，1122OFAB==，故22121414ttOHtt==++.又AD=2OD，故点A到平面PBD的距离22241tdOHt==+.设直线PA与平面PB

D所成角的大小为.则2222sin1141ddtPAttt===+++222222231145245tttt==+++.当且仅当2214tt=，即22t=时取等号，故直线PA与面PBD所成角的正弦

值的最大值为23.注：第（2）问设POt=，建立空间直角坐标系表示sin也可以。