【文档说明】东北育才学校科学高中部2023-2024学年度高考适应性测试（一）数学参考答案.docx，共(20)页，1.094 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-5a2c7cbb09458225bcdec00e699d7cf6.html

以下为本文档部分文字说明：

东北育才学校科学高中部2023-2024学年度高考适应性测试（一）数学参考答案1．C【分析】根据复数实部定义、复数的几何意义、模长的计算和共轭复数定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A，iecosisin1=+=−，则实部为1−，A错误；对于B，2iecos2is

in2=+对应的点为()cos2,sin2，20cos，sin20，2ie对应的点位于第二象限，B错误；对于C，i22ecosisincossin1=+=+=，C正确；对于D，iecosisin=+，则其共轭复数为cosisin1−=−，D错

误.故选：C.2．D【分析】利用三角恒等变换公式和正弦定理，把p中等式化为sin2sin2AB=，从而()()cossin0ABAB+−=，得π2C=或AB=，然后结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】根据正弦定理可得sinsin

bBaA=，所以()221tancos21tan2aAbAAC−+++()2222sincossc2inc2os1sinosπ2sin12BBAAAAA−−=++2222sincossinc2cossincos2cossinsinosi22snBBBBAAAAAAA−=

−=−+11sin2sin2cossinsincos220sinsinsinsinABAABBAAAA=−=−=所以sin2sin2AB=，即()()()()sinsinABABABAB++−=+−−

，()()()()sincoscossinABABABAB+−++−()()()()sincoscossinABABABAB=+−−+−整理得()()cossin0ABAB+−=，则()cos0AB+=或()sin0AB−=，因为0πA

，0πB，0πAB+，ππAB−−，则π2AB+=或0AB−=，即π2C=或AB=，所以由p不能推出q；当ABC为等腰三角形时，C不一定为π2，,AB也不一定相等，所以由q不能推出p，故p是q的既不充分也不必要条件．故选：D3．A【分析】通过图形可知阿基米德多面

体是由六个全等的正方形和八个全等的等边三角形构成，分别求解正方形和等边三角形面积，加和即可.【详解】由题意知：阿基米德多面体是由六个全等的正方形和八个全等的等边三角形构成，其中正方形边长和等边三角形的边长均为222020202+=；阿基米

德多面体的表面积()()221362028202202480016003cm22S=+=+.故选：A.4．B【分析】将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为y轴建立平面直角坐标系，根据在y轴的最短和最长距离与双曲线实轴长和几何体母线长对比可排除③④；假设()53ytt=

，与双曲线C相交后旋转，可求得圆环面积；分别在①②中求得()53ytt=与图形相交所得的弦长，根据旋转后的圆环面积和圆面积是否与已知的圆环面积相等来判断出结果.【详解】由2252yxx−==得：3=y，则当()53ytt=与C相交于两点时，内

圆半径25rt=−，则在该位置旋转一周所得圆环面积为()()22459tt−−=−；将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为y轴建立平面直角坐标系，对于③，双曲线实轴长为25，③中y轴的最短距离为2

26232625−−=−，不合题意，③错误；对于④，几何体母线长为6，④中y轴的最长距离为222523245+−=，不合题意，④错误；对于①，在y轴的最短距离为()226233225−−−=，母线长为6，与几何体吻合；当()53ytt=与①中图形相交时，两交点之间距离为()222335t

−+−，此时圆环面积为()()()()22243352351425ttt−++−=−++−−，不合题意，①错误对于②，在y轴的最长距离为()222523326+−−=，矩形高为25，与几何体吻合；当()53ytt=与②中图形相交时，两交点之间距离为2222329tt−=−，此

时圆面积为()29t−，与圆环面积相同，满足题意，②正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题以祖暅原理为载体，考查了旋转体截面面积的求解问题；解题关键是能够充分理解祖暅原理，根据直线与平面图形的相交弦来确定旋转后所得的图形，并求得图形面积，根据“幂势既同，则积不容异”来得到结论.5

．C【分析】由题设条件有22341341|555abbaabab+−=+−+，令110,0xyab==则有223411435abxyxyab+−=+−+、2225xy+=，应用基本不等式求xy范围且4343txyxyxyxy=+−−恒成立，

进而求t的范围，即可得结果.【详解】由2222221125ababab++==，则222225abab+=，且,0ab，所以223413413415555abababbaabab+−+−==+−+，令110,0xyab==，则22341

1435abxyxyab+−=+−+，且2225xy+=，所以22252xyxy+=，即252xy，仅当52xy==时等号成立，对于4343txyxyxyxy=+−−恒成立，仅当43xy=，即3,4xy==时等号成立，综上，若5(0,]2kxy=，则2243(

23)12ykkk=−=−−+，而52302302−−，则(0,12]y，只需maxty，所以12t，仅当23k=，即3,4xy==时等号成立，综上，22341112555abttab+−==+，仅当12t=，即11,34ab==时等号成立.所以目标式最小值为125.故选：C6．A

【分析】先求得na，然后等比数列的前n项和公式求得nS，进而求得正确答案.【详解】依题意11a=，2nx，()22fxxx=−−，()'12fxx=−，依题意()()1nnnnfxxxfx+=−，即21221nnnnnxxxxx

+−−=−−，则()22121211121nnnnnnnxxxxxxx+−−=−+=−+−+，()22122221221nnnnnnnxxxxxxx+−−=−−=−−−−（由于2nx，所以12nx+），则()()12211122nnnnxxxx++++=−−，两边取对数得12

1111lnln2ln222nnnnnnxxxxxx+++++==−−−，即12nnaa+=，所以数列na是首项为11a=，公比为2的等比数列，所以12nna−=.所以122112nnnS−==−−，所以2022202221S=−.故选

：A7．C【分析】由已知条件求得解得b，c，cosA，再求得CB，可得到134xy+=，用基本不等式求21xy+的最小值.【详解】设||ABc=，||ACb=，根据题意得cos9cos1sin62bcAbcAbcA===，解得3b=，5c=，4sin5A=，

3cos5A=，()2222232cos5325345CBABACcbbcA=−=+−=+−=34||||CACBxyCPxyCACBCACB=+=+，又A、P、B三点共线，134xy+=，21211111

116()()23412321232123xyxyxyxyxyyxyx+=++=+++=+，当且仅当13432xyxyyx+==，即()()646542635xy−=−=时，等号成立．故选：C【点睛】关键点睛：解题的关键是由已

知条件求出,,abc后，再由,,APB三点共线，得134xy+=，所以212134xyxyxy+=++化简后结合基本不等式可求出其最小值，8．C【分析】分别作出函数exy=，lnyx=，lgyx=图像，根据三个

图像分别与函数1yx=图像交点情况比较大小.【详解】由elnlg1aabbcc===，得1eaa=，1lnbb=，1lncc=，分别作函数exy=，lnyx=，lgyx=图像，如图所示，它们与函数1yx=图像交点的横坐标分别为a，b

，c，有图像可得abc，故选：C.9．AC【分析】由正态分布密度函数可知100=，10=，则可判断出AB选项，再由正态曲线的特征即可判断出CD选项.【详解】因为正态分布密度函数为()()21002001e102πxx−−

=，所以100=，10=，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；根据正态曲线的特征可知函数()x关于100x=轴对称，所以该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多，故C正确，随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在(80,90)和在(110

,120)的概率一样大.故D错误．故选：AC.10．AD【分析】根据反正弦函数和反余弦函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，因为正、余弦函数的值域均为1,1−，所以“反正弦函数”与“反余弦函数”的定义域均为1,1−，即A正确；对于B中，因为

正弦函数sinyx=ππ,22x−单调递增，所以y增大时，x也增大，即“反正弦函数”单调递增，同理可知，“反余弦函数”单调递减，即B错误；对于C中，由B可知，“反余弦函数”单调递减，不可能是偶函数，即C错误；对于D中，设1arcsinx=，2arcc

osx=，则1sinx=，2cosx=，因为1x，20x，所以，π0,2，又由22121xx+=，则22sincos1+=，即22sinsin=，所以sinsin=，则=，即12arcsinarc

cosxx=，即D正确．故选：AD11．AD【分析】根据向量共线定理的推论，得到1111111tmmtmm++=++++，1111111ttt++=++++，代入相应的变量的值，求出其他变量，从而判断AB选

项，对上式变形得到1111tttt++=+++，假设121t−=成立，推导出10=，得到矛盾，故C错误，根据向量共线定理的推论得到1111111mmm+++=+++，1111111mtmmtm+++=+

++，变形得到()()()()1111tmtm=++++.【详解】由题意得：1tACAPt+=，1mAQADm+=，BQQC=，()AQABACAQ−=−，即111AQACAB=+++即11111mtADAPABmt++=+

++，所以111111tmmADAPABtmm+=+++++，因为,,BDP三点共线，所以1111111tmmtmm++=++++，当12t=且3=时，11312111311312mmmm+

+=++++，解得：23m=，1BPBD+=，1BCBQ+=，APtPC=，所以()BPBAtBCBP−=−，即111tBPBCBAtt=+++，即11111tBDBQBAtt++=+++，所以111111tBDBQB

Att+=+++++，因为,,ADQ三点共线，所以1111111ttt++=++++，当12t=且3=时，131121113111122++=++++，解得：9=，故A正确；

若2=且1m=时，11211tt++=++，113112ttt++=++，解得：11,23t==，B错误；1111111ttt++=++++，变形为：1111tttt++=+++，①若121t−=时，则2tt−=，代入①

式得：1111t−=+假设121t−=成立，则121tt=+，解得：2t=−，此时10=，显然无解，故假设不成立，故C错误；同理可得：1111111mmm+++=+++，1111111mtmmtm+++=+++，所以()()11111111

tmmtmm−=−=++++++，()()11111111mmmmm−=−=++++++，所以()()()()1111tmtm=++++D正确.故选：AD【点睛】利用向量共线定理的推论得到关系式，然后解决向量的倍数关系，本题中要能在多个等式中进行适当变形，然后

找到等量关系12．CD【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案.【详解】对于A选项，若1,a为()222fxxx=−+的跟随区间，因为()222fxxx=−+在区间

1,a为增函数，故其值域为21,22aa−+，根据题意有222aaa−+=，解得1a=或2a=，因为1a故2a=.故A错误．对于B选项，由题，因为函数()922fxx=−在区间(),0−与()0,

+上均为增函数，若()922fxx=−存在跟随区间,ab则有922922aabb=−=−，即,ab为922xx=−的两根．即22940xx−+=的根.故1,42ab==.故B错误．对于C选项，若函数()1fxmx=−+存在跟随

区间,ab，因为()1fxmx=−+为减函数，故由跟随区间的定义可知1111bmaababamb=−+−=+−+=−+，即()()()1111abababab−+++=+−+=−（），因为ab，

所以111ab+++=．易得0111ab++．所以()111ambma=−+=−−+，令1ta=+()0,1t代入化简可得20ttm−−=，同理1tb=+也满足20ttm−−=，即20ttm−−=在区间0,1上有两不相等的实数根．故14

00mm+−，解得1,04m−，故C正确．对于D选项，若()22fxxx=−+存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为,ab，值域为3,3ab.当1ab时，易得()22fxxx=−+在区间上单调

递增，此时易得,ab为方程232xxx=−+的两根，求解得=1x−或0x=.故定义域1,0−，则值域为3,0−．D正确．故选：CD【点睛】关于新定义函数类型问题的求解，主要的解题思路是理解新定义，并将新定义的知识转化为学过的知识来进行求解，如本题中新定义的“跟随区间”，根据它

的定义，可转化为函数的定义域和值域问题来进行求解.13．190【分析】利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解n的所有可能的取值.【详解】设对正整数n按照上述变换，得到数列：1278,,,,aaaa，则：13215418763212154321128326421816201245

10381612412aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa====================则n的所有可能取值为2,

3,16,20,21,128，共6个.其和为23162021128190+++++=，故答案为：190.14．30【分析】利用二项式定理的原理与组合的意义求解即可.【详解】因为()1022001201xxaaxax+−=+++，所以3

a是含3x项的系数，若从10个()21xx+−式子中取出0个()2x−，则需要从中取出3个x，7个1，则得到的项为()0023377310107CCC1120xxx−=；若从10个()21xx+−式子中取出1个()2x−，则需要从中取出1个x，

8个1，则得到的项为()1218831098CCC190xxx−=−；若从10个()21xx+−式子中取出大于或等于2个()2x−，则无法得到含3x的项；综上：含3x的项为3331209030xxx−=，则含3x项的系数为30，即330a=.故答案为：30.15．13π【分析】翻折前

，将直线l的方程与抛物线的方程联立，求出点A、B的坐标，然后以以原坐标原点O为原点，原纵轴的负半轴所在直线为x轴，直线OP所在直线为y轴，过点O且垂直于平面OPB的直线作z轴建立空间直角坐标系，设球心为(),,Gabc，根据球心的性质可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个未知数的值，可

得出球心的坐标，可求得球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】翻折前，设点()11,Axy、()22,Bxy，则10y，直线l的方程为()31yx=−，联立()23132yxyx=−=可得1123xy=

=或221232xy==−，即点()2,3A、13,22B−，易知点()2,0D，翻折后，以原坐标原点O为原点，原纵轴的负半轴所在直线为x轴，直线OP所在直线为y轴，过点O且垂直于平面OPB的直线作z轴建立如下图所示的空间

直角坐标系，则()0,1,0P、()0,2,0D、31,,022B、33,2,22A−，设四棱锥PABD−的外接球球心为(),,Gabc，由题意可得()()()()()22222222222222222212311223

31222abcabcabcabcabcabc+−+=+−++−+=−+−++−+=++−+−，解得323232abc=

==，所以，球心为333,,222G，所以，球G的半径为23391314242PG=+−+=，因此，球G的表面积为24π13πAG=.故答案为：13π.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的

常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为

外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方

程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.16．21316；()434413931294nnnn−+++．【分析】依题可知，各等边三角形的面积成等比数列，公比为14，首项为3，

即可求出3S以及nS，再根据分组求和法以及错位相减法求出1niiiS=．【详解】依题可知，各等边三角形的面积形成等比数列，公比为14，首项为3，所以1314431113414nnnS−==−−，即

321316S=；11114341431343nnnniiiiiiiiiSii=====−−=，而()112ninni=+=，设21111124444

nnniiiTn===+++，()23111111012144444nnnTnn+=++++−+，作差得：2113111114144444334n

nnnTnn++=+++−=−+，所以4419394nnnT=−+，所以1niiiS==()43441393129

4nnnn−+++．故答案为：21316；()434413931294nnnn−+++．17．(1)116nnnaaa++=，证明见解析(2)11112212312143n

nna−−−−=+−【分析】（1）由题意可得2,1nnnnaPaa+，从而有12,1nnnnaQaa++，再根据nQ在13yx=上，即可得1na+与na之间的关系，根据1121226nnnaaa+−−

−=，可得112na+−与12na−异号，再结合1102a，即可得证；（2）根据116nnnaaa++=，可得1111231123,2636nnnnnnaaaaaa++−−+−=+=，两式相除，利用构造法结合等比数列的通项即可得解.【详解】（1）

由已知，2,1nnnnaPaa+，从而有12,1nnnnaQaa++，因为nQ在13yx=上，所以有12113nnnaaa+=+，所以116nnnaaa++=，由10a及116nnnaaa+

+=，知0na，下证：21212nnaa−，因为1121226nnnaaa+−−−=，所以112na+−与12na−异号，因为1102a，所以1102a−，所以212110,022nnaa−−−，即21212nnaa−；（2）由1

16nnnaaa++=可得11112311111123,26263636nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa++−−+++−=−=+=+=，两式相除得111122211333nnnnaaaa++−−=−++，又11

112143aa−=−+，所以1213nnaa−+是以14−为首项，以23−为公比的等比数列，则111221433nnnaa−−=−−+，解得11112212312143nnna−−−

−=+−.18．(1)π3(2)934【分析】（1）根据已知等式结合正弦定理、诱导公式、三角恒等变换，即可得角A的大小；（2）选择条件①，利用三角形的外心为M，根据正弦定理、余弦定

理可得ABC为等边三角形，再利用面积公式可得ABC的面积；选择条件②，利用三角形的内心为M，利用等面积法求得23bcbc+=，再根据余弦定理得9bc=，即可求得ABC的面积.【详解】（1）在ABC中，因为6a=，所以2cos2baBc+=，由正弦定理，得sin2sinco

s2sinBABC+=，因为πABC++=，所以()sin2sincos2sinBABAB+=+，化简，得1cos2A=，因为()0,πA，所以π3A=.（2）选条件①：设ABC的外接圆半径为R，则在ABC中，由正

弦定理得223sinBCRA==，即3R=，由题意知：3,3BMCMBC===，由余弦定理知：3391cos2233BMC+−==−，所以2ππ,36BMCMBD==.在BDM中，由正弦定理知：sinsin1BMBDMMBDMD==，所以π2BDM=，从而MDBC⊥

，所以ABC为等边三角形，ABC的面积213933224S==.选条件②：由条件知：1π26BADCADBAC===，由ABCABDACDSSS=+，得1π1π1πsinsinsin232626bccA

DbAD=+，因为332AD=，所以()3331222bcbc=+，即23bcbc+=，由（1）可得229bcbc+−=，即2()39bcbc+−=，所以222390,4()278103bcbcbcbc

−−=−−=，即()()4990bcbc+−=，又因为0bc，所以9bc=，所以ABC的面积1π1393sin923224Sbc===.19．(1)0.711.87yx=+，残差为0.18(2)选用20.1072.365yx=+更好，17.773亿

元(3)逐年递增【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线方程即可；（2）由相关指数的大小，结合其的实际意义确定较好模型，进而估计2023年该市的地区生产总值；（3）由题设可得该市人均地区生产总值31.0850.535(6)6.426xx=++−+，利用单调性定义判断其在[18,)+上

的单调性即可.【详解】（1）由数据，1234535x++++==，2.83.13.94.65.645y++++==，而512.86.211.718.42867.1iiixy==++++=，521149162555iix==++++=，所以267.1

5340.71555ˆ3b−==−，则40.7131.ˆ87a=−=，综上，回归方程为0.711.87yx=+，当5x=时，0.7151.8.ˆ7542y=+=，故2016年地区生产总值残差为5.65.420.18−=.（2）根据相关指数越大拟合越好，由于0.9850.9760.88

0，故20.1072.365yx=+模型较好，因2023年对应12x=，则2ˆ0.107122.36517.773y=+=亿元.（3）由（2）及题设知：该市人均地区生产总值220.1072.3650.535(6)6.4

2(6)31.08531.0850.535(6)6.420.21.266xxxxxxx++−++===++−+++，令618tx=+，且31.0850.535ytt=+，若2118tt，所以1221212112123

1.085()31.0850.535()()(0.535)ttyytttttttt−−=−+=−−，而21120,1819342tttt−=且，则1231.0850.5350tt−，故21yy，所以

31.0850.535ytt=+在[18,)+上递增，则在[18,)+上递增，所以该市人均地区生产总值逐年递增.20．(1)2π(2)（i）()()23314312,0,22Sxxxx=+−+；（ii）2327【分析】（1）根据弯曲度

、曲率的定义求得正确答案.（2）（i）结合多面体的表面积的求法求得()Sx；（ii）利用导数求得蜂房表面积最小时BH的值.令ASC=，利用余弦定理求得cos，结合三角恒等变换的知识求得顶点S的曲率的余弦值.【

详解】（1）蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和，根据定义其度量值等于72π减去三个菱形的内角和32π，再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和6π，即蜂房曲顶空间的弯曲度为72π32π6π2π−−=.（2）（i）如图所

示，连接AC，SH，则3AC=，设点S在平面ACE的射影为O，则1OB=，则22222142ACSHABBHx=+−=+，菱形SAHC的面积为23142Sx=+，侧面积()()2261341232xxx+−=−=−，所以蜂房的表面积为()

()23314312,0,22Sxxxx=+−+.（ii）'2222636331()33234111444xSxxxxx=−=−=−++++，令'()0Sx=得到24x=，所以()

Sx在()()'20,,0,4SxSx递增；在()()'2,2,0,4SxSx递增.所以()Sx在24x=处取得极小值，也即是最小值.此时23214SASCx==+=，在SAC中，令ASC=，由余弦定理得2221cos23SASCACSASC+−

==−，又顶点S的曲率为2π3−，cos(2π3)cos3cos(2)cos2cossin2sin−==+=−()222cos1cos2sincos=−−()()222cos1cos21coscos

=−−−3311234cos3cos4()3()3327=−=−−−=.21．(1)2213yx−=(2)(1,3)−−(3)答案见解析.【分析】（1）根据双曲线渐近线方程和右焦点列出方程，即可求出答案；（2）首先求出点M的轨迹方

程即为3,MMyxk=其中k为直线PQ的斜率；若选择①②∶设直线AB的方程为(2)ykx=−，求出点M的坐标，可得M为AB的中点，即可推出||||MAMB=；若选择①③︰当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为(2)ymx=−，求出点M的坐标，即可PQAB∥；若选择②

③∶设直线AB的方程为(2)ykx=−，设AB的中点C，求出点C的坐标，可得点M恰为AB中点，故点M在直线AB上．【详解】（1）由题意可得2,3bca==，即223,2baba=+=，解得1,3ab==，因此C的方程为2213yx−=；（2）由直线AB的斜率为1，得直线AB的方程

为2yx=−，联立=2=3yxyx−，得：=31=33xy−−−−，不妨设(31,33)A−−−−,联立=2=3yxyx−−，得：=31=3+3xy−−，不妨设(3

1,33)B−−+,故线段AB的中点的横坐标为1−，纵坐标为3−，故线段AB的中点的坐标为(1,3)−−；（3）由题意设直线PQ的方程为0(ykxmk=+，），将直线PQ的方程代入2213yx−=得222(3)02

3kxkmxm−−−=−,2212(3)0mk=+−,因为120xx，2121222230,033kmmxxxxkk++==−−−，230k−，2221212122233()43mkxxxxxxk+−−=+−=−，设点M的坐标为(,)MMxy,则1

122=3()=3()MMMMyyxxyyxx−−−−−，整理得1212233()Myyxxx−=−+，1212()yykxx−=−，1212233()()Mxxxkxx=++−，解得22233Mkmkkmxk+−−=−，又因为12122()3()Myyyxx−+=−，1212

1212+=(+)+2,2=3()+(+)+2Myykxxmyxxkxxm−，2223333Mmkmyk+−−=−，3MMyxk=；若选择①②作条件：设直线AB的方程为(2)ykx=−，并设A的坐标为33(,)xy，B的坐标为44(,)xy，则3333=(2)=3yk

xyx−，解得33223,,33kkxykk==−−同理求得44223,33kkxykk==−++，2343422412,33kkxxyykk+=+=−−，此时点M的坐标满足=(2)3=MMMMykxyxk−，解得23434222

161(),()3232MMkkxxxyyykk==+==+−−，故M为AB的中点，即MAMB=，即③成立；若选择①③作条件：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点(20)F，，此时不在直线3yxk=矛盾，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为(2),(0)ymxm=−，并设A的坐标为55(

,)xy，B的坐标为66(,)xy，则5555=(2)=3ymxyx−，解得55223,33mmxymm==−−，同理解得66223,33mmxymm==−++，此时562212()23Mmxxxm=+=−，56216()23Mmyyym=+=−，由

于点M同时在直线3yxk=上，故22263233mmmkm=−−解得km=，因此PQAB∥，即②成立．若选择②③作条件：设直线AB的方程为(2)ykx=−，并设A的坐标为78(,)xy，B的坐标为88(,)xy，则7777=(2)=3ykxyx−，解得77223,33kkxy

kk==−−，同理可得88223=,=+3+3kkxykk−，设AB的中点为(,)CCCxy,则78728221216(),()2323CCkkxxxyyykk=+==+=−−，由于MAMB=，故M在AB的垂直平分线上，即

点M在直线1()CCyyxxk−=−−上，将该直线与3yxk=联立，解得22226,33MCMCkkxxyykk====−−，即点M恰为AB中点，即点M在直线AB上,①成立；【点睛】本题考查了双曲线方程的求法以及双曲线几何性质的应用，以及直线和双曲线

的位置关系，综合性强，计算量大，解答时要明确解题思路，关键是联立方程进行计算十分繁杂，要特别注意准确性.22．(1)2,−(2)证明见解析【分析】（1）化简()sin2cos21fxxx=−+，令2tx=，得到0,πt且()sin

cos1fttt=−+，根据题意转化为sincos1ttat−+在(0,π]上恒成立，设()sincos1ttgtt−+=，求得()2cossinsincos1ttttttgtt+−+−=，设()cossinsincos1httttttt=+−+−，

利用导数求得()ht的单调性，结合()π00,04hh=且()π0h，得到()ht在π(,π)4上存在一个零点，设为0t，进而得到()gt的单调性，求得()gt的最小值()2ππg=，即可求解；（2）由

（1）得到不等式2sincos1πttt−+恒成立，即π22sin()14πtt−−恒成立，从而证得212sin21212kknn−++，进而证得()1ππ2π2sinsinsin2n+12121nnn++++

++3(1)2(21)nn++，得到()1ππ2π32(1)sinsinsin2n+121214(21)nnnnn++++++++，进而证得结论.【详解】（1）解：由题意

，函数()2sin22sinsin2cos21fxxxxx=+=−+，令2tx=，因为π0,2x，可得0,πt，且()sincos1fttt=−+，因为()2fxax在π0,2上恒成立，即sincos1ttt

a−+在0,π上恒成立，当0=t时，不等式sincos1ttta−+，显然成立，所以等价于sincos1ttat−+在(0,π]上恒成立，设()sincos1,(0,π]ttgtxt−+=，则()22(2cos2sin)(sincos1)cossinsincos1tt

tttttttttgttt+−−++−+−==，设()cossinsincos1httttttt=+−+−，可得()(cossin)htttt=−，当(0,)4πt时，()0ht，()ht单调递增；当π()π,4t时，()0ht，()ht单调递减，又因为()()π

π00,0,04hhh=，所以()ht在π(,π)4上存在一个零点，设为0t，所以当0(0,)tt时，()0ht，可得()0gt，()gt单调递增；当0(,)πtt时，()0ht，可得()0gt

，()gt单调递减，所以()gt在tt=0处取得极大值，且为最大值，由()2πg=，所以2πa，即实数a的取值范围为2,π−.（2）解：由（1）知，当0,πt时，不等式2sincos1πttt−+恒成立，即2sin

cos1πttt−−，即π22sin14πtt−−恒成立，当11kn+，且Nk+时，可得0πππ214kn++，所以ππππ2ππ212sin2sin1212144π214212kkkknnnn=+−+−=−++++

，所以()1ππ2π2sinsinsin2n+12121nnn++++++21412(1)12(1)(2)13(1)()()()21221221221

222(21)nnnnnnnnnn+++++−+−++−=−=+++++，所以()1ππ2π32(1)sinsinsin2n+121214(21)nnnnn++++++++，又因为111111111222(1)11121222

2222nnnnnnn++++===+++++，所以()1ππ2π32(1)32132sinsinsin2n+121214(21)428nnnnn+++++=+++.【点睛】思路点睛：对于利

用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiang

xue100.com