【文档说明】山东省德州市2022-2023学年高二下学期期中数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.943 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-5a260f9105c305959d9092dd72cd9623.html

以下为本文档部分文字说明：

高二数学试题2023.4．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1-3页，第II卷3-6页，共150分，测试时间120分钟．注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．第I卷选择题（

共60分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1.已知函数()sinfxx=，则0ππ()()33limxfxfx→+−=（）A.12B.32C.32−D.12−【答案】A【解析

】【分析】根据导数的定义可得.【详解】因()sinfxx=，所以()cosfxx=，0ππ()()ππ133limcos332xfxffx→+−===，故选：A2.在等差数列na中，3515aa+

=，67a=，则2a=（）A.14B.12C.10D.8【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求解1,ad，代入即可得出结论.【详解】由3515aa+=，67a=，又na为等差数列，得531261

5aaad+=+=，6157aad=+=，解得1334a=，14d=−则21331844aad=+=−=；故选：D.3.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y（

单位：度）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：x（单位：℃）1714101−y（单位：度）21a3440由表中数据得线性回归方程：ˆ360yx=−+．则a的值为

（）．A.20B.22C.25D.28【答案】C【解析】【分析】根据样本点中心(),xy必在回归直线上，列式求解.【详解】由表格数据可知，()1714101104x+++−==，样本点中心(),xy必在回归直线上，所以3106030y=−+=，所以21344030

4ay+++==，解得：25a=.故选：C4.已知nS为等比数列na的前n项和，21S=，45S=，则8S的值为（）A.85B.64C.84D.21【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质，即可计算求解.【详解】设等比数列的

公比为q，由题意可知，22343442212115SaaaaSqSSaa+++==+=+=+，得24q=，484567856784412341117SSaaaaaaaaqSSaaaa+++++++==+=+=+++，所以841785SS==.故选

：A5.设三次函数()fx的导函数为()fx，函数()yxfx=的图象的一部分如图所示，则正确的是（）A.()fx的极大值为(3)f，极小值为(3)f−B.()fx的极大值为(3)f−，极小值为(3)f

C.()fx的极大值为(3)f−，极小值为(3)fD.()fx的极大值为(3)f，极小值为(3)f−【答案】D【解析】【分析】根据题意先判断导数的符号，进而确定原函数的单调性和极值.【详解】当03x时，则()0xfx，可

得()0fx；当3x时，则()0xfx，可得()0fx；当30x−时，则()0xfx，可得()0fx；当3x−时，则()0xfx，可得()0fx；故三次函数()fx在()3,3−上单

调递增，在()(),3,3,−−+上单调递减，可得()fx的极大值为(3)f，极小值为(3)f−.故选：D.6.已知函数()2lnfxxax=+，若对任意两个不等的正实数1x，2x，都有()()12122fxfxxx−−，则实数a的取值范围是（）A.1,4+

B.1,2+C.1,4+D.1,2+【答案】D【解析】【分析】构造函数2()()2ln2(0)gxfxxxaxxx=−=+−，则转化得到()gx在(0,)+上单调递增，将题目转化为1()220gxaxx=+−在(0,)+上恒成立，再利用分

离参数法即可得到答案.【详解】由题意,不妨设120xx,因为对任意两个不等的正实数12,xx,都有()()12122fxfxxx−−,所以()()121222fxfxxx−−,即()()112222fxxfxx−−,构造函数2()()2ln2(0)gxfxxxaxxx=−=+−,则

()()12gxgx,所以()gx在(0,)+上单调递增，所以1()220gxaxx=+−在(0,)+上恒成立,即2112axx−在(0,)+上恒成立,设211()(0)2mxxxx=−,则233111()xmxxxx−=−+=，所以当(0

,1)x时,()0,()mxmx单调递增，(1,)x+时,()0,()mxmx单调递减，所以max11()(1)122mxm==−=，所以12a.故选：D.7.中国古代许多著名的数学家对

推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，

第三层有6个，第四层有10个，则第25层小球的个数为（）A.324B.325C.326D.395【答案】B【解析】【分析】记第n层有na个球，则根据题意可得()12nnaann−−=，再根据累加法求解即可.【详解】记第n层有na个球，则11a=，23a=，36a=，410a=，结合

高阶等差数列的概念知212aa−=，323aa−=，434aa−=，L，()12nnaann−−=，则第25层的小球个数：()()()252524242321125242321325aaaaaaaa=−+−++−+

=+++++=．故选：B.8.设函数()yfx=的定义域为D，且其图象上所有点均在直线yt=的上方，则称函数()yfx=为“Dt−函数”，若函数()()exfxxt=−的定义域为R，且为“(,)t−+−函数”，则实数t的最大整数值为（）A.2−B.1−C.1D.2【答案】B【解析】【分析】由新

定义可得()extxt−恒成立，即ee1xxtx+恒成立，利用导数求函数()e1exxxgx=+的最小值，可得t的最大整数值.【详解】因为函数()()exfxxt=−的定义域为R，且为“(,)t−+−函数”，所以()extx

t−在(),−+上恒成立，所以ee1xxtx+在(),−+上恒成立，所以minee1xxtx+，设()e1exxxgx=+，则()()()()()()222e1ee1e1eee11xxxxxxxxg

xxx+−++=+++=，令()e1xhxx=++，则()1e0xhx=+，所以()e1xhxx=++在R上单调递增，又()221e0h−−=−+，()11e0h−−=，所以存在()02,1x−−使得()00hx=，所以

当0xx时，()0gx，函数()gx()0,x−上单调递减，当0xx时，()0gx，函数()gx在()0,x+上单调递增，所以当0xx=时，函数()gx取最小值，最小值为()0000e1exxxgx=+，且00e10xx++=，所以()()000001

1xgxxxx−−==+−，故函数()gx的最小值为01x+，又()02,1x−−，所以()011,0x+−，故t的最大整数值为1−.故选：B.【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，

然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、选择题（本

题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列命题正确的是（）A.回归直线ˆˆˆybxa=+恒过样本点的中心(),xy，且至少过一个样本点B.在回归直线方程ˆ0.52yx

=+中，变量ˆy与x正相关C.变量x，y样本相关系数||r越大，表示它们的线性相关性越强D.在回归分析中，残差平方和越大，模型的拟合效果越好【答案】BC【解析】在的【分析】根据变量之间相关关系的有关概念，回归直线的特征，回归分析中相关系数和线性相关性的关系，残差平方和和模型的拟合效果

的关系即可判断．【详解】对于A，回归直线ˆˆˆybxa=+恒过样本点的中心(),xy，但可以不经过任何一个样本点，A错误；对于B，在回归直线方程ˆ0.52yx=+中，0.50，所以变量ˆy与x正相关，B正确；对于C，变量x，y的样

本相关系数||r越大，越靠近1，表示它们的线性相关性越强，C正确；对于D，在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D错误．故选：BC．10.已知lnlnxyyx−−，则（）A.11xyB.11xyxy−−C.ln()0xy−D.33xy【答案】BD【解析】【分析】移项

可得，lnlnxxyy++，根据函数()lnfxxx=+的单调性可得0xy，再根据指对幂函数的单调性即可判断各选项的真假．【详解】由题可得，lnlnxxyy++，设()lnfxxx=+，0x，所以()110fxx=+，即函数()fx在()0,+上递增，所以

由()()fxfy可得：0xy．对于A，由函数1yx=在()0,+上递减，所以当0xy时，11xy，A错误；对于B，易知函数1yxx=−在()0,+上递增，所以当0xy时，11xyxy−−，即11xyxy−−，B正确；对于C，当0xy时，若1xy−，则ln(

)0xy−，C错误；对于D，因为函数3yx=在()0,+上递增，所以当0xy时，33xy，D正确．故选：BD．11.斐波那契数列又称黄金分割数列，斐波那契数列na满足：121aa==，21nnnaaa++=+，记121niniaaaa==++

+，则下列结论正确的是（）A.68a=B.223(3)nnnaaan−+=+…C.202320251iiaa==D.20232202320241iiaaa==【答案】ABD【解析】【分析】由赋值法得6a值可判断A项，由递推关系式等量代换可证明B项，

运用累加法可判断C项，运用裂项相消法求和可判断D项.【详解】对于A项，因为11a=，21a=，21nnnaaa++=+，所以3212aaa=+=，4323aaa=+=，5435aaa=+=，6548aaa=+=，故A项正确；对于B项

，因为21nnnaaa++=+，所以当3n时，22212121()()()3nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaa−+−+−−−−+=++=+++=+++=++=，故B项正确；对于C项，因为21nnna

aa++=+，所以21nnnaaa++−=，所以321aaa−=，432aaa−=，543aaa−=，…，202520242023aaa−=，由累加法得：202521232023aaaaaa−=++++，又因为21a=，所以

123202320251aaaaa++++=−，即：2023202511iiaa==−，故C项错误；对于D项，因为211112121()nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa++++++++==−=−，11a=，21a=，所以2023222221232023122321343220

232024202320221()()()iiaaaaaaaaaaaaaaaaaaa==++++=+−+−++−20232024aa=，故D项正确.故选：ABD.12.已知函数2()lnfxxxmx=−，下列说法正确的是（

）A.若()fx为单调递减函数，则12mB.当0m或12m=时，()fx有且仅有一个极值点C.当1em=时，()fx图象与x轴相切D.当0m或1em=时，()fx有且仅有一个零点【答案】ACD【解析】【分析】求出函数()fx的导数()fx，由()0fx

恒成立判断A；举例说明判断B；求出函数的零点，并求出在该点处的切线方程判断C；求出函数只有一个零点的m范围判断D作答.【详解】函数2()lnfxxxmx=−的定义域为(0,)+，求导得()1ln2fxxmx=+−，对于A，由()f

x为单调递减函数，得1ln0,()02xxfxmx+，令1ln(),0xgxxx+=，求导得2ln()xgxx−=，当(0,1)x时，()0,()gxgx递增，当(1,)x+时，()0,()gxgx递减

，则当1x=时，max()(1)1gxg==，于是21m，解得12m，A正确；对于B，由选项A知，当12m=时，()fx为单调递减函数，无极值点，B错误；对于C，当1em=时，2()ln1efxxxx=−，显然(0e)f=，2()1lenfxxx=+−，且(e)0f=，因此函数()fx的

图象在点(e,0)处的切线为0y=，为x轴，C正确；对于D，由()0fx=，得ln0xmx−=，令()ln,0hxxmxx=−，求导得1()hxmx=−，当0m时，()0hx，函数()hx在(0,)+上单调递增，而当0m=时，

(1)0h=，当0m时，(e)e(1e)0mmmhmmm=−=−，(1)0hm=−，因此函数仅只一个零点；当0m时，1(0,)xm，()0,()hxhx递增，函数值集合为1(,())hm−，1(,

)xm+，()0,()hxhx递减，函数值集合为1(,())hm−，则当1xm=时，max1()()ln1hxhmm==−−，函数()fx只有一个零点，当且仅当ln10m−−=，解得1em=，所以当0m

或1em=时，()fx有且仅有一个零点，D正确.故选：ACD第II卷非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数()2lnfxxax=−在(1,(1))f处的切线方程为1yx=+，则实数a=___________．【答案】1【解析】【分析】运用导数

几何意义列方程(1)1f=求解即可.【详解】因为()2lnfxxax=−，所以()2afxx=−，由题意知，(1)21fa=−=，所以1a=故答案为：1.14.写出一个同时具有下列性质①②的数列na

的通项公式：na=___________．①*(,,N)mnmnaaamnmn−=−；②na单调递增．【答案】(0)knk（符合此种形式即可）【解析】【分析】先猜想数列是一个等差数列，进而根据

性质①得到首项与公差的关系，然后根据性质②得到答案.【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d，首项为1a，由性质①可得：()()()1111111amndamdandad+−−=+−−−−=，即()11naanddn=+−=，再根据②可知，公差0d，显然nakn=（0k）满足题意.

.故答案为：(0)knk（符合此种形式即可）15.如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME—7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知123,,,AAA为直角顶点，设11223341OAA

AAAAA=====，1OA，2OA，…nOA，L构成数列na，令11nnnbaa+=+，nS为数列nb的前n项和，则80S=___________．【答案】8【解析】【分析】先根据勾股定理得到nan=，然后得到11nbnn=++，利用裂项求和可得.【详解

】由题意：2221111nnnnnOAOAAAOA−−−=+=+因11223341OAAAAAAA=====，故nOAn=，所以nan=，11111+===+−+++nnnbnnaann，122132111nnSbbbnnn=+++=−+−+++−=+−，所以808118S=−

=.故答案为：8.16.已知函数2eln,1,()(4)(1),2xxtxfxtfxtxt=−+，其中e2.71828=．若4t=，则()fx的最大值为_______；若方程4()efx=有且只有1个实根，则实数t的取值范围为___________．

【答案】①.2②.)24,e【解析】【分析】在区间1,4内求导，求出极大值，再根据xt＞时()()12fxtfx−+=画出函数图象，对“只有一个解作出几何解释”，据此求出t的范围.【详解】当4t=时，1,4x时：()()2eln1ln,2e?xxfxfxxx−==，当4ex＞

时，()'0fx＜，()fx单调递减，当1ex＜时，()()'0,fxfx＞单调递增，并且()0fx；所以，在1,4x时，()()maxe2fxf==；当4x＞时，()()12fxtfx−+=，即()()1fxfxt−+，)1,x+时，(

)()maxe2fxf==；当4t时，()2elntftt=，由于当xt＞时，()()12fxtfx−+=，函数的大致图象如下：欲使得()4efx=只有一个解，则必须()2eln4etftt=＞，即2ln2ett＞，设()lntgtt=，则()'21lntgtt−=，4,t()()'0,g

tgt＜单调递减，又()2222e,eegt=＜；故答案为：2；)24,e.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知函数32()35fxxax=−+−，2x=是函数()fx的一个极值点．（1）求实数a的值；（2）求函数()fx在区间[2,

4]−上的最大值和最小值．【答案】（1）1a=（2）最大值为15，最小值为21−【解析】【分析】（1）根据已知条件可得(2)0f=可求得a的值并检验即可.（2）运用导数求()fx在(2,4)−上的极值并与(2)f−、(

4)f比较大小即可.【小问1详解】由题意知，2()36fxxax=−+，由2x=是极值点，得(2)12120fa=−=，故1a=，经检验：1a=成立.故a的值为1.【小问2详解】由（1）知，32()35fxxx=−+

−，所以2()36fxxx=−+，令1()00fxx==，22x=当(2,0)x−时，()0fx，则()fx单调递减．当(0,2)x时，()0fx，则()fx单调递增．当(2,4)x时，()0fx，则()

fx单调递减．又(2)15f−=，(0)5f=−，(2)1f=−，(4)21f=−所以()fx在[2,4]−上最大值为15，最小值为21−．18.为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的

竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生450名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩（满分为100分），分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)

，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．其中成绩不低于80分为“优秀”，低于80分为“非优秀”．（1）求实数a的值，并估算全校1000名学生中成绩优秀的人数；（2）完成下列22列联表，判断是否有95%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关．优秀非优

秀合计男女10合计附：22()()()()()nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．2()Pk=0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.

6357.87910.828【答案】（1）0.020a=，250（人）（2）填表见解析；没有【解析】【分析】（1）根据频率和为1求得a，进而根据频率估计成绩优秀的人数；（2）根据题意结合分层抽样完善列联表，求2，并与临界值对比分析.【小问1详解】由题意可得：(0.0050.0150.0300.

0250.005)101a+++++=，解得0.020a=，样本中成绩优秀的频率为：0.0200.0051025(.)0+=，以样本估计总体，全校1000名学生中成绩优秀的人数为：0.251000250=（人）.【小问2详解】由题意，采用分层抽

样，男生抽取人数450100451000=人，女生抽取1004555−=人，且样本中优秀的人数为1000.2525=人，故22列联表如下：优秀非优秀合计男153045女104555合计2575100可得22100(15453010)1003.

0304555257533−==，因为3.0303.841，故没有95%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关19.已知数列na满足11a=，122nnaa+=+．（1）证明数列2na+是等比数列，并求数列na的通项公式；（2）求数列na落入区间()

10,2023的所有项的和．【答案】（1）证明见解析；1322nna−=−（2）3034【解析】【分析】（1）由已知可得()1222nnaa++=+，利用等比数列的定义证明结论，从而可求出na的通项

公式，（2）解不等式1103222023n−−，即得n的范围，再利用分组求和求解.【小问1详解】由122nnaa+=+得()1222nnaa++=+，又123a+=，所以1222nnaa++=+所以2na+是首项3，公比为2的等比数列，所以1232nna−+=

1322nna−=−【小问2详解】由题意102023na，即1103222023n−−，解得：142675n−，即310n，故na落入区间()10,2023项为45678910,,,,,,aa

aaaaa，所以其和45678910Saaaaaaa=++++++3493(222)27=+++−8102431412−=−−3034=.20.在扶贫政策的大力支持下，某县农副产品加工厂经营得十分红火，不仅解决了就业问题，而且为脱贫工作作出了重大贡献，该工

厂收集了1月份至5月份的销售量数据（如下表），并利用这些数据对后期生产规模做出决策．月份x12345销售量y（万斤）4.95.86.88.310.2xyw515iiiwyy=−52215iiww=−37.21181.1374该工厂为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：2ˆ

ˆˆybxa=+．表中：2iiwx=，5115iiww==．（1）根据所给数据与回归模型，求y关于x回归方程（ˆb的值精确到0.1，ˆa的值精确到整数位）；（2）已知该工厂的月利润z（单位：万元）与x，y的关系为5352yzx+=+，根据（1）的结果，预测该工厂哪一个月的月利润最小．参考

公式：对于一组数据11(,)xy，22(,)xy，…，(,)nnxy，其回归直线ˆˆˆybxa=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211)()()ˆ(nniiiiiinniiiixxyy

xynxybxxxnx====−−−==−−，ˆˆaybx=−．的的【答案】（1）2ˆ0.25yx=+（2）6月份的月利润最小【解析】【分析】（1）根据最小二乘法公式分别求得ˆb，ˆa即可.（2）利用基本不等式求函数最值.【小问1详解】由题意，2ˆˆˆybxa=+，令2x=得ˆ

ˆˆyba=+所以515221581.1ˆ0.23745iiiiiyyb==−==−，81.1ˆˆ7.2115374ayb=−−=−，所以y关于x的回归方程为2ˆ0.25yx=+【小问2详解】由（1）知20.25yx=+，故25356022yxzxx++==++2

60642422xzxxx+==++−++264412−=当且仅当6422xx+=+即6x=时等号成立．所以该工厂6月份的月利润最小．21.已知数列3nna是以13为首项的常数列，nS为数列na的前n项和．（1）求nS

；（2）设正整数0101333kkmbbb=+++，其中{0,1,2},,ibikN．例如：0130313=+，则00b=，11b=；0141313=+，则01b=，11b=．若01()kfmbbb=+++，求数列()nnSfS

的前n项和nT．【答案】（1）312nnS−=（2）1321(1)3884nnnnnT+−+=+−【解析】【分析】（1）根据题意可得13nna−=，结合等比数列求和公式运算求解；（2）根据题意可得3()2nnnnn

SfS−=，利用分组求和结合错位相减法运算求解.【小问1详解】由题意可得：133nna=，则13nna−=，可得11333nnnnaa+−==，可知数列na是以首项11a=，公比3q=的等比数列，所以113331132nnnS−−

−==−.【小问2详解】因为01213333nnS−=++++012113131313n−=++++则0111nbbb−====由题意()011111nnfSbbbn−=+++=+++=，所以3()2nnnnnSfS−=，可得()()223113233122213123222nnn

nTnnn−=+++−++−−=++++，（i）先求数列3nn的前n项和，记之为T，则1213233nTn=+++①231313233nTn+=+++②①−②得：231233333nnTn+−=++

++−L113332nnn++−=−−131()322nn+=−+−，所以1321344nnT+−=+；（ⅱ）再求{}n的前n项和，记之为T，则(1)2nnT+=；综上所述：1111321(1)321(1)()3322442884nnnnnnnnnTTT++−+−

+=−=+−=+−.22.已知函数2()(2)lnfxxaxax=+−−．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若函数()fx有两个零点1x和2x，求证：()fx在122

xx+处的切线斜率恒为正数．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的定义域以及导数，按照0a，0a分类讨论即可求出；（2）方法一：根据零点定义可得，121212lnl

n2(1)xxxxaxx−++=+−，再利用函数2(1)()ln(1)1tytttt−=−+可得121212lnln2xxxxxx−−+，然后放缩可得，121222(1)xxaxx++++，即有12xxa+，从而证出

；方法二：由（1）知0a，欲证12()02xxf+，即证120xxa+−，再利用极值偏移的一般方法，对称化构造，设()()()hxfxfax=−−，即可证出．【小问1详解】由题可知0x，(1)(2)()2(2)axxafxxaxx+−=+−−=，当0a时，20xa−，所

以()0fx，从而()fx在(0,)+上单调递增；当0a时，令()0fx，则2ax，所以()fx在0,2a上单调递减，在,2a+上单调递增．综上，当0a时，()fx在(0,)

+上单调递增；当0a时，()fx在0,2a上单调递减，在,2a+上单调递增．【小问2详解】由（1）知()fx有两个零点，则0a，方法一：由()()()()2111112222222ln02lnxxaxxfxf

xxxaxx+=+==+=+，不妨设120xx，因此()()()22121212122lnlnxxxxaxxxx−+−=−+−，化简得121212lnln2(1)xxxxaxx

−++=+−．令2(1)()ln(1)1tytttt−=−+，22(1)'()0(1)tyttt−=+所以()yyt=在(1,)+上单调递增．所以当1t时，()(1)0yty=即2(1)ln01ttt−−+

取211xtx=，则2212112(1)ln01xxxxxx−−+，即为()()212121212lnln00xxxxxxxx−−−+，所以212121lnln2xxxxxx−−+，即121212lnln2xxxxxx−−+，因而得12121222(1)xxaxxaxx++

+++，而1212121212()0)2(2xxxxfxxaxx+++=+−+，因而()fx在122xxx+=处切线斜率恒为正．方法二：欲证12()02xxf+，即12121212(1)()2

()022xxxxaxxfxx+++−+=+因为1>0x，20x．所以12102xx++，1202xx+．所以即证120xxa+−，即21xax−．因为()fx在0,2a上单调递减，在,2a+上单调递增．所以不妨设12xx，故有102a

x，22ax，所以12aax−．因为()fx在,2a+上单调递增．所以即证()()21fxfax−．又因为()()120fxfx==．所以即证()()11fxfax−．设()()()hxfxfax=−−22(2)ln()(2)

()ln()xaxaxaxaaxaax=+−−−−−−−+−42lnln()xaaxaax=−−+−，02ax，因为2(2)()40()aaxahxxaxxax−−=−−=−−，所以()hx在(0,)2a上单调递减．对任意0,2ax

有()02ahxh=，所以()()0fxfax−−恒成立．所以()()11fxfax−．故1202xxf+成立，所以()fx在122xx+处的切线斜率恒为正数．【点睛】本题第一问是利用导数求解含参函数的单调区间问题，第二问通

过转化，即为极值偏移问题，利用极值偏移的基本方法即可解决，所以对于导数问题要善于利用转化思想将未知问题转为熟悉的问题，从而得解．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.co

m