【文档说明】上海市同济大学第一附属中学2023届高三下学期3月月考（质控1）数学试题 含解析.docx，共(18)页，951.399 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-5a241b53b0f527f22af67b9a7842ae3b.html

以下为本文档部分文字说明：

同济大学第一附属中学2022学年第二学期质控1高三年级数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟，可以使用计算器）一､填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7~12题每题5分）1.函数2()1fxx=−的定义域是_

________.【答案】()),02,−+U【解析】【分析】根据函数有意义得210x−，解不等式即可求解.【详解】解：由题意得：210x−，即20xx−，即()020xxx−，解得：0x或2x，()fx\定义域是()

),02,−+U.故答案为：()),02,−+U.2.已知复数13ii+=z（i是虚数单位），则复数z的虚部为__________．【答案】1−【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z，再根据复数虚部的定义即可得解.

【详解】()213ii13i3iiiz++===−，所以复数z的虚部为1−.故答案为：1−.3.已知实数112,1,,,1,2,322k−−−，若幂函数()kfxx=为偶函数，且在()0,+上严格递减，则实数k=__________．【答案】

2−【解析】【分析】由偶函数，幂函数单调性可得答案.【详解】因()kfxx=在()0,+上单调递减，则0k；又()kfxx=为偶函数，则2k=−.故答案为：2−.4.已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30，则该圆锥的侧面积为________.【答案

】8.【解析】【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r，进而利用侧面积的计算公式计算即可.【详解】解：由题意，底面的半径2r=，∴该圆椎的侧面积248S==，故答案为：8.【点睛】本题考查圆锥的相关计算

问题，熟练掌握圆锥的轴截面的性质和侧面积的计算公式是解题的关键，属于基础题.5.在等比数列na中，nS为其前n项和，已知5423aS=+，6523aS=+，则此数列的公比q为__________．【答案】3【解析】【详解】试题分析：将两式5423aS=

+，6523aS=+相减可得()65542aaSS−=−，即6552aaa−=，整理可得653aa=，所以公比653aqa==.考点：等比数列.6.已知()()1,2,3,2ab==−，则a在b上的数量投影为_________

_．【答案】1313【解析】【分析】根据题意，由向量的数量投影的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为()()1,2,3,2ab==−，设a与b的夹角为，则a在b上的数量投影为()223413cos1332ababaaabb−+====−

+故答案为:13137.已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为__________.【答案】54【解析】【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线

的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离.【详解】由题意得，1,04F，准线方程为：14x=−，设()11,Axy，()22,Bxy，1211||||344AFB

Fxx+=+++=，因此1215322xx+=−=，线段AB的中点到y轴的距离为12524xx+=.故答案为：54.【点睛】本题考查抛物线的简单性质，将,AB到焦点的距离转化为其到准线的距离是关键，考查分析运算能力，属于基础题.8.在32nxx−的二项式中，所有项的二项式系数之和为

256，则常数项等于______．【答案】112【解析】【详解】由题意可得：2256,8nn==，结合二项式展开式通项公式可得：()()8483318822rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−，令8403r−=可得：2r=，则常数项为：()2282428112C−

==.9.给出如下命题：①已知随机变量服从二项分布(),Bnp，若()30EX=，()20DX=，则23p=②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变③设随机变量服从正态分布()0,1N，若()1Pp=，则()1102Pp−=−④若某次考试的标准分X服从

正态分布()90,900N，则甲､乙､丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为38其中正确的命题序号为___________．【答案】②③④【解析】【分析】对于①，根据二项分布的数学期望和方差的公式,直接计算；对于②，根

据数据方差的计算公式可以判断；对于③，由正态分布的图象的对称性可以判断；对于④，利用独立重复试验的概率计算公式计算即可.【详解】根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得()30EXnp==，()()120DXnpp=−=，解得13p=

，所以①错误；根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以②正确；由正态分布的图象的对称性可得()()12112110222PpPp−−−===−，所以③正确；甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的

概率223113C1228−=，故④正确.故答案为：②③④10.设0a，函数()()()()21sin,0,1fxxxaxx=+−，若函数21yx=−与函数()yfx=的图象有且仅有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是__________．【答案】11π19

π,66【解析】【分析】将函数图象的交点个数转化为方程根的个数，从而可得()1sin2ax=−在()0,1上有两不同根，结合正弦函数的图象性质列出不等式即可.【详解】函数21yx=−与()yfx=的图象有且仅有两个不同的公共点，即方程212(1)sin()xxxax−=+−

有两不同根，也就是()()12sin10xax−+=有两不同根，因为(0,1)x，所以()1sin2ax=−在()0,1上有两不同根．因为0a，所以7π2π6axk=+或11π2π6axk=+，Zk，所以7π2π6kxaa=+或11π2π6kxaa=+，Zk

，又(0,1)x且0a，所以0axa，仅有两解时，应有11π167π2π16aaa+，则11π19π66a，所以a的取值范围是11π19π,66．故答案为:11π19π,66.1

1.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=AB+AD，则+的最大值为__________．【答案】3【解析】【详解】分析：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆

的标准方程，再设点P的坐标为（255cosθ+1，255sinθ+2），根据AP=λAB+μAD，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．详解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，

0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD=2221+=5∴12BC•CD=12BD•r，∴r=25，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=45，设

点P的坐标为（255cosθ+1，255sinθ+2），∵AP=λAB+μAD，∴（255cosθ+1，255sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴255cosθ+1=λ，255sin

θ+2=2μ，∴λ+μ=255cosθ+55sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故答案为：3．点睛：本题考查了向量的坐标运算以及圆的

方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．12.已知函数()()elnxfxmxm=+R，若对任意正数12,xx，当12xx时，都有的()()1212fxfxxx−−成立，则

实数m的取值范围是______．【答案】)0,+【解析】【分析】令()()gxfxx=−，进而原题等价于()gx在()0,+单调递增，从而转化为()e10xmgxx=+−，在()0,+上恒成立，参变分离即

可求出结果.【详解】由()()1212fxfxxx−−得，()()1122fxxfxx−−令()()gxfxx=−，∴()()12gxgx∴()gx在()0,+单调递增，又∵()()elnxgxfxxmxx=−=+−∴()e10xmgxx=+−，在()0,

+上恒成立，即()1exmx−令()()1exhxx=−，则()()e110xhxx=−++∴()hx在()0,+单调递减，又因为()()001e00h=−=，∴0m．故答案为：)0,+.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式

恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二､选择题（本大题满分20分，每题5分）13.若12i−是关于x实系数方程20xbxc++=的一个虚数根，则（）A.2b=，3c=B.2b

=，1c=−C.2b=−，1c=−D.2b=−，3c=【答案】D【解析】【分析】利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．【详解】解：∵12−i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，∴12+i是关于x的实系

数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，的∴()()12121212iibiic−++=−−+=，解得b＝﹣2，c＝3．故选：D．【点睛】本题考查了实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系，属于基础题．14.,,abc表示直线，,表示平面，下

列命题正确的是（）A若//,//aba，则//bB.若,abb⊥⊥，则a⊥C.若,acbc⊥⊥，则//abD.若,aa⊥，则⊥【答案】D【解析】【分析】根据线面之间的位置关系及面面垂直的判定定理逐一判断即可.【详解】对于A，若//,//aba，则//b或b，故

A错误；对于B，若,abb⊥⊥，则//a或a，故B错误；对于C，若,acbc⊥⊥，则,ab相交或平行或异面，故C错误；对于D，若,aa⊥，则⊥，故D正确.故选：D.15.已知函数()fx是定义域为R的

偶函数，当0x时，()2412,022log,2xxxfxxx−++=，如果关于x的方程2[()]()10mfxnfx++=恰有7个不同的实数根，那么mn−的值等于（）A.2B.2−C.4D.4−【答案】C【解析】【分析】利用函数的性

质结合解析式作出函数的大致图象，数形结合，采用换元法将方程2[()]()10mfxnfx++=恰有7个不同的实数根，转化为二次方程的根的问题，利用韦达定理求解，可得答案.【详解】函数()fx是定义域为R的偶函数，当0x时()2412,022log,2xxxfxxx−++=

,.作出()fx的大致图象,如图示：令()tfx=，由图象可知12t=时，()tfx=有3个根，32t=时，()tfx=有4个根，当32t时，()tfx=有2个根，当1322t时，()tfx=有6个根，故关于x的方程2[()]()10mfxnfx++

=恰有7个不同的实数根，则1213,22tt==需为210mtnt++=的两实数根，故12121,nttttmm+=−=，即132,4nmm−==，则48,33mn==−，故4mn−=，故选：C【点睛】本题考查了根据方程的根的个数求解参数问题，涉及到考查函数的奇偶性以及分段函

数性质的应用，综合性强，解答的关键是利用数形结合，采用换元法将方程2[()]()10mfxnfx++=恰有7个不同的实数根，转化为二次方程的根的问题.16.设()fxx=，点()00O，，()01A，，()()nAnfn，，*nN，设nnAOA=对一切*nN都

有不等式22223122222sinsinsinsin123nn++++222tt−−成立，则正整数t最小值为A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】先求得222sin111n1nnnnn==−++，再求得左边的范围，只需2221tt−−，利用单调性解

得t的范围.【详解】由题意知sin2nnnn=+，∴222sin111n1nnnnn==−++，的∴22223122222sinsinsinsin111111111112322334n1n1nnn+

+++=−+−+−++−=−++，随n的增大而增大，∴11112n1−+,∴2221tt−−，即2210tt−−，又f(t)=221tt−−在t1上单增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整数t的最小值为3.【点睛】本题考查了数列的通

项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.三､解答题（本大题满分76分）17.已知四棱锥PABCD−的底面ABCD为菱形，且060,ABC=2PBPDAB===，PAPC=，AC与BD相

交于点O．（1）求证：PO⊥底面ABCD；（2）求直线PB与平面PCD所成角的大小的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）欲证明一条直线垂直于一个平面，只需证明该直线垂直于平面内两条相交的直线即可；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的数量积计算.【小问1详解】

PBPD=，PBD△是等腰三角形，O是BD的中点，POBD⊥，同理POAC⊥，又,BDACOBD=平面ABCD，AC平面ABCD，PO⊥平面ABCD；【小问2详解】四边形ABCD是菱形，BDAC⊥，以O为原点，直线BD为x轴

，AC为y轴，PO为z轴，建立空间直角坐标系如下图：则有：()()()()0,1,0,3,0,0,0,1,0,3,0,0ABCD−−，()()22222231,1,0,0,1POPBBOPOP=−=−==，()3,0,1PB=

−，()()0,1,1,3,1,0PCCD=−=−−，设平面PCD的一个法向量为(),,mxyz=，则有·0·0mPCmCD==，即030yzxy−=−−=，令3y=，则1,3xz=−=，()1,3,3m=−，设直线PB与平面PCD的夹角为，则3321sin77

4mPBmPB−−===；综上，直线PB与平面PCD的夹角的正弦值为217.18.已知向量113(,sincos)222axx=+和向量(1,())bfx=，且a∥b.（1）求函数()fx的最小正

周期和最大值；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有(2)16fA−=，3BC=，求△ABC面积的最大值.【答案】（1）最小正周期为2，最大值为2；（2）334.【解析】【分析】(1)利用向量平行的坐标表示可得()fx的表达式,然后可求出最小正

周期和最大值;(2)利用(1)中的()fx以及(2)16fA−=可解得3A=,再根据余弦定理可得223bcbc+=+以及重要不等式可得3bc,再利用面积公式可得.【详解】(1)因为向量113(,sincos)222axx=+r和向量(1,())bfx=，且a∥b.所以113()(sin

cos)0222fxxx−+=,所以()2sin()3fxx=+,所以最小正周期221T==,最大值为2.(2)由(1)知()2sin()3fxx=+,所以(2)2sin(2)1663fAA−=−

+=,所以1sin(2)62A+=,因为0A,所以132666A+,所以5266A+=,所以3A=,在三角形ABC中,设三个内角分别为A，B，C所对的边为,,abc,由余弦定理得2222cosab

cbcA=+−,所以2232cos3bcbc=+−,所以2232bcbcbc+=+(当bc=时等号成立),所以3bc,所以△ABC面积113sin3222SbcA=334=.所以△ABC面积的最大值为334

.【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,三角函数的最小正周期,最大值,余弦定理,重要不等式,面积公式,属于中档题.19.某地区森林原有木材存量为a，且每年增长率为20%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设na为n

年后该地区森林木材的存量．（1）求na的表达式；（2）如果115ba=，为保护生态环境，大约经过多少年后，木材存储量能翻一番？（lg20.3,lg30.5）【答案】（1）()51.25nnaabb=−+（2）4【解析】【分析】（1）根据题意可得()1120%nnaab+=+−，再利用构造法求

通项即可；（2）由题设可得211.2233nnaaaa=+=，化为对数式，再利用换底公式结合题中数据即可得解.【小问1详解】由题意可得()1120%1.2aabab=+−=−，()1120%1.2nnnaabab+=+−=−，所以()151.25nn

abab+−=−，所以数列5nab−是以151.26abab−=−为首项，1.2为公比的等比数列，所以()151.261.2nnabab−−=−，所以()51.25nnaabb=−+；【小问2详解】若115ba=，211.233nnaaa=+，由题设可得211.2

233nnaaaa=+=，则1.22.5n=，所以1.2lg2.5lg5lg212lg210.6log2.54lg1.2lg3lg2lg5lg32lg210.50.61n−−−=====+−+−+−，所

以大约经过4多少年后，木材存储量能翻一番.20.已知椭圆Ω：9x2+y2＝m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与Ω有两个交点A，B，线段AB的中点为M.（1）若m＝3，点K在椭圆Ω上，F1，F2分别为椭圆的两个焦点，求12KFK

F的范围；（2）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（3）若l过点,3mm，射线OM与Ω交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.【答案】（1）7,1−（2）证明见解析（3）能为平行四边形，斜率为4+7或4﹣7【解析】【

分析】（1）设(cos,3sin)P，用表示出12KFKF，得出结论；（2）设直线l方程为ykxb=+，联立方程组，根据韦达定理求出M点坐标得出结论；（3）设直线l斜率为k，求出P点坐标，令M为OP的中点得出k的值

．【小问1详解】当3m=时，椭圆方程为2219yx+=，1(0F，22)，2(0,22)F−，设(cos,3sin)K，则1(cosKF=−，223sin)−，2(cos,223sin)KF=−−−，

22212cos9sin88sin7KFKF=+−=−，20sin1剟，278sin71−−，即12KFKF范围是[7−，1]．【小问2详解】设直线l的方程为：ykxb=+，(0,0)kb，联立方程组2229ykxbxym=++=，消元得：2222(9)20

kxkbxbm+++−=，设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，0(Mx，0)y，则01221()29kbxxxk=+=−+，00299bykxbk=+=+．009OMykxk==−．直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值9−．【小问

3详解】直线l经过点(3m，)m，直线l不过原点且与有两个交点的充要条件是0k，且3k．的设(pPx，)py，直线l的方程为：()3mykxm=−+，即3mkykxm=−+．由（2）可知直线OM的方程为：9yxk=−，

联立方程组22299xymyxk+==−，解得2222981pmkxk=+，由（2）知2()3(9mkmkMk−−+，29()3)9kmmk−+，若四边形OAPB为平行四边形，则M为OP的中点，02pxx=，即22222()34()9981mkmkmkkk−=

++，解得47k=．当47k=+或47k=−时，四边形OAPB为平行四边形．21.已知函数()()21ln2fxaxaxx=−−+．（1）当0a=时，求函数()fx过点()()22f,的切线方程；（2）

若()12ln21a−−，求证：函数()fx只有一个零点0x，且012axa++；（3）当45a=−时，记函数()fx的零点为0x，若对任意120,0,xxx且211xx−=，都有()()21fxfxm−，求实数m的最大值．【答案

】（1）20xy+−=（2）见解析（3）491ln542−【解析】【分析】（1）将0a=代入，解出切点坐标即可;（2）当()12ln21a−−时，根据函数的单调性可以求极小值和极大值，再结合零点的存在性定理即可得证;（3）将恒成立

问题转化为最值问题，然后根据120,0,xxx，211xx−=以及0x的范围，结合单调性，求出()()21−fxfx最小值即可.【小问1详解】()()21ln2fxaxaxx=−−+()()()11xxaxaaxaxafxxxaxaxa−−+−++−

=−+==−−−当0a=时，()()11xxfxxx−==−()20f=设切点为()(),tft切线方程为：0()(2)yftx−=−代入切点()(),tft，得：()()(2)ftftt=−()211

(2)2tttt−+=−−，解得：2t=；()11ftt=−=−；所以切线方程为：20xy+−=【小问2详解】()()1xaxfxxa+−==−；()12ln210a−−01a+所以函数()fx在(),0a

，()1,a++，()0fx，函数()fx单调递减；在()0,1a+，()0fx，函数()fx单调递增；2211(0)ln()0,(1)(1)(1)(1)0,22faafaaaa=−+=−

+++=−且()1,a++函数()fx单调递减，所以()fx最多只有一个零点；211(2)ln22(ln21)0,22faaaaaa+=−−=−−−所以函数()fx只有一个零点0x，且012axa++【小问3详解】()412ln215a−=−−012axa++且对任

意120,0,xxx且211xx−=1202,111axaxx+++=12121,0xxa−+=−即：)120,1,1,2)xaxa++在()0,1a+，函数()fx单调递增()1,a++，函数()fx单调递减；12()(0),()

(1),fxffxf12()()(0)(1),fxfxff−−当45a=−时，1491(0)(1)ln()ln0,12542affaa−=−=−−12()()0,fxfx−2112491|()()|()()(0)(1)ln542fxfxfxfxff−=−−=−所以()()21f

xfxm−恒成立，实数m的最大值为491ln542−.【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查满足条件的实数的最大值的求法，考查推理论证能力，考查等价转化思想，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用，属于难题。