【文档说明】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高二上学期竞赛数学试题A组 Word版含解析.docx，共(17)页，2.338 MB，由小赞的店铺上传

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2020年上虞区高二竞赛数学试卷（A卷2020.12）一、填空题（每小题5分，共60分）1.实数x满足248loglog(2)log(4)xxx=，则x=_________.【答案】2或4【解析】【分析】根据对数计算

公式，将题中的对数都换算为以2为底的对数，再用换元法解方程即可得出答案.【详解】由()()248loglog2log4xxx=得()()244882221121loglog2loglog4loglogloglog2233xxxxxx=++=++令2

logtx=,则11212233ttt=++,解得1t=或2t=所以2x=或4x=故答案为：2或4.2.已知点(cos70,sin70)A，(cos20,sin20)B，则直线AB的倾斜角=________．【答案】3π4##135【解析】【分析】先

根据斜率公式表示出斜率，再利用诱导公式化简，然后由斜率与倾斜角的关系可求得结果.【详解】因为(cos70,sin70)A，(cos20,sin20)B，所以直线AB的斜率为sin70sin20cos70cos20k−=−sin70cos(9020

)cos70sin(9020)−−=−−sin70cos701cos70sin70−==−−°°°°，所以tan1=−，因为[0,π)，所以3π4=，故答案为：3π4.3.已知向量,ab满足32abab−=+=，则b的取值范围是__________．【答案】[0,1]【解

析】【分析】设,3mabnab=−=+，则2mn==，设向量,mn=，得到1144bnm=−，结合向量的数量积的运算，求得211cos22b=−，即可求解.【详解】由向量,ab满足32abab−=+=，设,3mabnab=−=+，则2mn==，设向量,

mn=，其中[0,π]，联立方程组3mabnab=−=+，解得1144bnm=−，可得2221111111122coscos1616844822bnmmn=+−=+−=−，因为[0,π]，可得

cos1,1−，所以211cos[0,1]22b=−，可得[0,1]b所以b的取值范围为[0,1].故答案为：[0,1].4.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且cos3sin0aCaCbc+−−=，则A=___________.【答案】3

【解析】【分析】根据正弦定理化简已知式子，由正弦值得到A的值.【详解】由已知cos3sin0aCaCbc+−−=，由正弦定理得sincos3sinsinsinsin0ACACBC+−−=又sinsin[()]sin()BACAC=−+=+，

∴sincos3sinsin(sincoscossin)sin0ACACACACC+−+−=，整理得sin(3sincos1)0CAA−−=，又()0,C，则sin0C，∴3sincos10AA--=，即312sincos122

AA−=，于是2sin16A−=，∴1sin62A−=..又(0,)A，∴5,666A−−，∴66A−=，3A=.故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，以及辅助角公式的应

用，解决这类问题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用，属于基础题.5.已知各项均为整数的等差数列na，若11920a=，1950ma=，2020na=，则mn−的最小值是________．【答案】7【解析】【分析】设公差为d，由题意可得1nm，,,dmn都是正整数，将,mn用d表

示，求出d的最大值即可得解.【详解】设公差为d，因为11920a=，1950ma=，2020na=，所有()111950maamd=+−=，()112020naand=+−=，所以()()130,1100mdnd−=−=，所以3010

0011dmn==−−，301001,1mndd=+=+，所以1nm，又因为na的各项均为整数，所以3010011dmn==−−为整数，则70mnd−=，因为,,dmn都是正整数，所以maxd为30和100的最大公约数10，所以m

in7mn−=.故答案为：7.6.已知函数()fx是定义在R上的单调函数，且对任意的实数x，有()34xffx−=，则不等式()40fxx−的解集是________.【答案】()(),04,−+【解

析】【分析】由题意可知，存在唯一实数t，使得()4ft=，则()3xfxt−=，可得出()34tftt=+=，利用函数单调性求出t的值，令()()4hxfxx=−，分析函数()hx的单调性，结合单调性可

得出不等式()40fxx−的解集.【详解】因为函数()fx是定义在R上的单调函数，则存在唯一实数t，使得()4ft=，又因为()34xffx−=，则()3xfxt−=，则()3xfxt=+，所以，()34tftt=+=，因为

函数3ty=、yt=均为R上的增函数，所以，函数()3tgtt=+在R上为增函数，且()1314g=+=，故1t=，所以，()31xfx=+，因为函数4yx=−在()0,+上为增函数，设()()4hxfxx=−，

其中0x，则函数()hx在()0,+上为增函数，且()()1140hf=−=，当0x时，由()40fxx−可得()()1hxh，则1x，当0x时，()310xfx=+，40x，则()()40hxfxx=−恒成立，所以，不等式()40fxx−的解集为

()(),01,−+.故答案为：()(),01,−+.7.已知圆()221:34Cxy++=，()222:54Cxy+−=，过平面内点P有无数多对互相垂直的直线1l、2l，它们分别与圆1C、圆2C相交，且被圆1C、圆2C截得的弦长相等.则点P的坐标为_

_____.【答案】()1,1P和()4,4P−【解析】【详解】设(),Pab，直线1l、2l的方程分别为()ybkxa−=−，()1ybxak−=−−，即0kxykab−−+=，0xkyabk+−−=.易得圆心()13,0C到1l的距离与

圆心()20,5C到2l的距离相等.则223511kakbkabkkk−−+−−=++，的即()()35akbbka+−=−−.此等式对无数多个k成立，故35,abba+=−=，或355abb+=−=−，即得11

ab==；4,4ab=−=.故()1,1P和()4,4P−.8.已知函数()()2212fxxaxa=+−+，若关于x的不等式()()0ffx恒成立，则实数a的取值范围是__________．【答案】3,16+【解析】【详解】分析：应用换元法

，令()()22u12fxxaxa==+−+，1([,)4ua−+，不等式()()0ffx恒成立，转化为min()0fu在1[,)4a−+恒成立，确定min()fu关系式，即可求得答案.详解：22211()(12)[()]24fxxaxa

xaa=+−+=−−+−函数对称轴012xa=−，最小值min1()4fxa=−令()()22u12fxxaxa==+−+，1[,)4ua−+则()()0ffx恒成立，即在1[,)4ua−+

上min()0fu.1142aa−−，()fu在1[,)4ua−+单调递增，min13()()416fufaa=−=−3016a−，解得316a，即实数a的取值范围是3[,)16+故答案为3[,)16+.点睛：本题考查

了函数的单调性、最值问题、不等式恒成立问题以及二次函数的图象和性质等知识，考查了复合函数问题求解的换元法．9.设正数,,abc满足321abc++=，则1ababbc++++的最小值是________.【答案】122+【解析】【分析】

将1代换为()2()1abbc+++=，整理得2()1bcababbc++++++，应用基本不等式即可求解.【详解】由321abc++=，得()2()1abbc+++=，1()2()ababbcababbcabbc+++++

+=+++++2()2()112122bcabbcababbcabbc++++=+++=+++++，当且仅当2()bcababbc++=++，即22221bcab−+=+=−，时等号成立，则1ababbc+

+++的最小值是122+.故答案为：122+10.已知椭圆2212xy+=上两个不同的点,AB关于直线12ymx=+对称，则实数m的取值范围是______.【答案】63m或63m−【解析】【分析】设线段AB的中点(),Mab，利用点差法得到2ABakb=−

，结合1ABkm=−得到2mab=，联立122bmamab=+=得11,2Mm−−，根据点M在椭圆的内部列不等式求解即可.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，(),Mab是线段AB的中点，因为点,AB是椭圆2212xy+=上关于直线12y

mx=+对称的两个点，则221122222222xyxy+=+=，两式相减得()()()()1212121220xxxxyyyy−++−+=.因为12xx，12122,2xxayyb+=+=，所以12122AByyakbxx−=−=−−.因为1ABkm=−，所以1

2amb−=−，故2mab=，联立122bmamab=+=，解得112amb=−=−，所以11,2Mm−−.因为点M应在椭圆2212xy+=的内部，所以211124m+，即

223m，解得63m或63m−.所以实数m的取值范围是63m或63m−.故答案为：63m或63m−.11.如图，球O的内接八面体PABCDQ中，顶点,PQ分别在平面ABCD两侧，四棱锥PABCD−，QABCD−均为正四棱锥，设二面角

PABQ−−的大小为，则tan的取值范围是________.【答案】(,22]−−【解析】【分析】设球心O到平面ABCD的距离为d，球的半径为1，分别求出二面角PABC--、QABC−−的正切值，利用两角

和的正切值公式求得tan关于d的函数表达式，进而根据d的取值范围求得tan的取值范围.【详解】设PQ与平面ABCD的交点为E,且E为正方形ABCD的中心，取AB中点为M,连接,,,PMQMEM则,,EMABPMABOMAB⊥⊥⊥，如图所示.设二面角PABC--的大

小为，二面角QABC−−的大小为，则PME=，QME=，设球心O到平面ABCD的距离为d，球的半径为1，则2221,1,122EMEBdPEdQEd==−=−=+，()221tan1dd−=−，())()221tan0,11ddd+

=−()()()()()(2222221212211tantan,2221211111ddddddddd−++−−=+==−−−−+−−−−.故答案为：(,22−−12.已知函数2(

)sincossincos5fxxxxx=++（02x），则函数()fx的最大值为_________.【答案】3825【解析】【分析】由题意得22()(sin)(cos1)55fxxx=++−，根据基本不等式即可求解.【详解】因为222()sincossincos(

sin)(cos1)555fxxxxxxx=++=++−因为π0,2x，2sin05x+，cos10x+所以()()()()2222sincos121211255sincos1sincos11sin055245mmxxmmxxmxxmxmm

mm++++++=++=+++，即()()()2212521sin0455mfxmxmm++++−根据基本不等式取等条件得2sincos15

mxmx+=+，当()sin1x+=时()fx取最大值，即π2x+=,即22cossin11sincos1mxmxm==+==+，解得43m=，所以()235232381631552

5fx+−=，即()fx的最大值为3825．故答案为：3825.【点睛】本题将2sin5mmx+与cos1x+看做两个变量，利用基本不等式求解，根据等号成立的条件与辅助角公式建立等式求得m，即可求得函数()fx的最大值.二、解答题（每题15分，

共60分）13.在多面体ABCDE中，1ADBE==，2ABBC==，//ADBC，3DAB=，2ABE=，平面ABCD⊥平面ABE．（1）证明：BCDE⊥；（2）求直线BC与平面DCE所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）5719．【解析】【分析】

（1）连接DB，通过ADDB⊥和EBAD⊥证明AD⊥平面DBE，即得ADDE⊥，再由//ADBC得BCDE⊥；（2）过C点作CGAB⊥交AB的延长线于G，连接EG，根据等体积法求出点B到平面DCE的距离，

即可求出直线BC与平面DCE所成角的正弦值．【详解】解：（1）连接DB，在ABD△中，2222cos3BDADABADABDAB=+−=，则3BD=，所以，222ADBDAB+=，即2ADB=，ADDB⊥，又因为平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD平面ABEAB=，

且EBAB⊥，所以EB⊥平面ABCD，因为AD平面ABCD，所以EBAD⊥，由ADDB⊥，EBAD⊥，DBEBB=，且DB，BE平面DBE，所以有AD⊥平面DBE，因为DE平面DBE，所以ADDE⊥，又因为//ADBC，所以BCDE⊥．（2）过C

点作CGAB⊥交AB的延长线于G，连接EG，∵//ADBC，π3DAB=，∴π3CBG=，由90CGB=，可得：3sin60232CGBC===，1cos60212BGBC===，∵1BE=

，90EBG=，∴2EG=，∵平面ABCD⊥平面ABE，面ABCD面ABEAB=，CGAB⊥，∴CG⊥面ABE，又∵EG平面ABE，∴CGEG⊥，∴90CGE=，∴2225CECGGE=+=，∴5CE=，由（1）可知，ADDE⊥，∴2224DEAEAD=−

=，即2DE=，由（1）可知，AD⊥平面DBE，所以ADBD⊥，∴3BD=，∵//ADBC，∴BCBD⊥，∴2227CDBDBC=+=，即7CD=，可知2222227524cos227535DCCEDEDCEDCCE+−+−===，1

619sin13535DCE=−=，111919sin7522235DCESDCCEDCE===△，1123313323EBCDBCDVSBE−===△，由等体积：EBCDBCDEVV−−=，所以，3133CDESh=△，则3119332h=，解

得2319h=，设直线BC与平面DCE所成角为，则235719sin219hBC===．【点睛】关键点睛：第一问考查线线垂直的证明，解题的关键是利用线面垂直的性质证明；第二问考查线面角的求法，解题的关键是通过等体积法求出点B到平

面DCE的距离，再由sinhBC=求出.14.已知函数()fxxaxa=−+，其中a为常数．（1）判断()fx的奇偶性，并说明理由；（2）若在[0,2]上存在n(3)n个不同的点12,,,nxxx（12nxxx），满足12()()fxfx−23()()f

xfx+−1()()8nnfxfx−++−=，求实数a的取值范围．【答案】（1）当0a=时为奇函数，0a时为非奇非偶函数，理由见解析（2）2a−或6a【解析】【分析】（1）对参数a是否为零进行分类讨论，利用奇偶

性定义判断即可得出结论；（2）构造函数()gxxxa=−，利用区间[0,2]对a的范围进行分类讨论，去绝对值后利用函数单调性即可求得实数a的取值范围.【小问1详解】因为()fx的定义域为R，当0a=时，易知()fxxx=且()()fxxxxxfx−=−−=

−=−，则()fx为奇函数，当0a时，则(0)0fa=，()fx不是奇函数，且()faa=，()2faaaa−=−+，所以()()fafa−，所以()fx也不偶函数．故()fx是非奇非偶函数．【小问2

详解】记()gxxxa=−，则11()()()()iiiifxfxgxgx−−−=−，因此12()()fxfx−23()()fxfx+−1()()8nnfxfx−++−=，等价于12()()gxgx−23()()gxgx+−1

()()8nngxgx−++−=，①当0a时，()()gxxxa=−[0,2]递增，于是12()()gxgx−23()()gxgx+−11()()()()(2)(0)nnngxgxgxgxgg−++−=−−，所以2(2

)8a−，得2a−；②当4a时，()()gxxax=−（02x），则()gx递增，因此18()()(2)(0)2(2)ngxgxgga=−−=−，得6a；是在③当02a时，()gx在(0,)2a上递增，在(,)2aa上递减，在(,2)a上递增，故2max()max(),(2)m

ax,2224aagxgga==−，且min()(0)0gxg==，易知12()()gxgx−23()()gxgx+−1()()2()(2)2nnagxgxgg−++−+，则222(2)84aa+−，但是(4)02aa−，故舍去；④当24a时，(

)gx在(0,)2a上递增，在(,2)2a上递减，易知12()()gxgx−23()()gxgx+−1()()()(2)2nnagxgxgg−++−+，则22(2)84aa+−，注意到左边显然小于8，舍去；故a取值范围是2a−或6

a．15.已知椭圆22:14yCx+=，点(,)?(,0)Pxyxy在椭圆上，如图，用t表示椭圆在点P处切线的单位向量．（1）设()fxtOP=，求()fx的最大值；（2）是否存在定圆222:Exy

r+=，使得圆E的任一切线与C的交点,AB满足OAOB⊥，若存在，求出圆E方程，若不存在，请说明理由的【答案】15.116.存在，224:5Exy+=【解析】【分析】（1）设切点坐标，求切线方程，表示出()fx，由基本不

等式求最大值.（2）设出圆的方程，表示出切线，与椭圆联立，利用韦达定理续结合OAOB⊥，列算式化简求值.【小问1详解】2214yx+=，0y时，221yx=−，221xyx−=−，当0x=时，(0,2)P，tOP⊥，()0

fx=；当1x=时，(1,0)P，tOP⊥，()0fx=；当01x时，设(,)Pmn，有2214+=nm，则点P处切线斜率2241mmknm−−==−，切线方程为()2244444mmxmnmxyxmnnnnnn−−+−=−+=+=+，即：14nym

x+=，它的一个方向向量为,4nm−，所以22224,1616nmtmnmn−=++，从而tOP=22222243161616mnmnmnmnmnmn−+=+++，所以()fx=22223311613xyxxxyx−=++（0

1x）．设213xr+=（14r），则(1)(4)44()5521rrfxrrrrr−−==−+−=，当且仅当4rr=，即2r=时等号成立，此时326,33P，所以()fx的最大值为1；【小问2详解】假设存在圆222:Exyr+=

满足题意，当圆的切线l存在斜率时，设:lykxd=+，1122(,),(,)AxyBxy，由于l与E相切，则221drk=+，即222(1)rkd+=．l代入椭圆方程得222(4)240kxkdxd+++−=，则()()()2222

2244441640kdkdkd=−+−=−+，于是12221222444kdxxkdxxk+=−+−=+，因为OAOB⊥，则12120xxyy+=，则221212(1)()0kxxkdxxd++++=，于是2222242(1

)044dkdkkddkk−+−+=++，化简得22544dk=+，满足0，所以222415drk==+，即圆224:5Exy+=，当该圆切线斜率不存在时，经验证，也满足OAOB⊥，故存在224:5Exy+=．【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把

两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等

问题．16.已知数列na满足1aa=，21nnaan+=+．（1）若na是递增数列，求实数a的取值范围；（2）若1a=，且对任意大于1的正整数n，恒有npnpapnq−+，求pq+的最小值．【答案】（1）151,2+−（2）12【解析】【分析】（1）首先

由必要性即na是递增数列得出a的范围，反过来去证明充分性即满足na是递增数列.（2）首先由已知条件得出1p=，然后利用极限的夹逼性质得出111122nann++=+−，从而即可得出12q−，进一步即可得解.【小问1详解】由21nnaan+=+知0(2)nan，首先有21a

a，则1aa+，当10a−时，1aa+显然成立，当0a时，2110aaaa+−−，解得151522a−+，综上，1aa+的解集为151,2+−，其次当21aa时，因为324aa=+，211aa=+，则22322130aaaa−=−+，于是32aa

；以此类推，不妨设10nnaa−−，2n，则21nnaan+=+，21(1)nnaan−=+−，则22111210nnnnnnaaaanaa+−−−=−+−−，于是1nnaa+．综上所述，实数a的取值范

围是151,2+−．【小问2详解】由（1）知，若1a=，则na是递增数列，所以易知0p，一方面，221210(1)(1)(1)nnnpnaaanpnqn+++=++++++，则222(1)(1)pnpnqn

++++，得22(1)(2)1pnpnpq−++++，因此210p−，则01p；另一方面，又因为21nnaann+=+，所以1nan−，因为napnq+，则1npnq−+，即(1)10pnq−++，则1p，于是1p=．由已知得1nnanq−+，则111nn

nqnaaa−+，于是当n→+时，1nna→．根据21nnaan+=+，则2122211nnnnnnnaanannannnnaaa+−=+−==++++，所以当n→+时，112nan+−→，得111122nann++

=+−，从而12q−．故pq+的最小值是12．【点睛】关键点睛：第一问的关键是先由21aa，即1aa+，算出a的范围，进一步验证此时是否有1,2nnaan−；第二问的关键是首先得出1p=，然后根据数列极限的夹逼性即可顺利求解.