【文档说明】【精准解析】山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试数学试题.doc，共(24)页，2.334 MB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

高三数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，共150分．第Ⅰ卷（选择题共52分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共13小题

，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项是符合题目要求，第11～13题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．1.已知集合2{|23}{2023}AxyxxB==+−=−,,,,，MAB=，则M的子集共有（）A.3个B.4个C.

7个D.8个【答案】B【解析】【分析】先由已知条件求出集合ABM、、，再求M的子集即可知子集个数.【详解】因为22{|23}|230|3Axyxxxxxxx==+−=+−=−或1x且2,0,2,3B=−，所以2,3MAB==所以M的子集共有224=个.

【点睛】本题主要考查了集合的交集运算以及集合子集的个数，涉及求函数的定义域，属于基础题.2.已知命题p：(,0)x−，32xxa，若p为假命题，则实数a的取值范围是（）A.1aB.0aC.1aD.01a【答案】A【解析】【分析】先以命题p为真命题求得实数a的取值范围

，再根据题意求补集即可得答案.【详解】解：当命题p为真命题时，(),0x−，32xxa等价于(),03,2xax−所以有1a所以当p为假命题时，实数a的取值范围是：1a故选：A.【点睛】本题考查根据命题的真假求参数范围，是基础题.3.已知向量()2,2AB

=，(),1ACt=，若2ABBC=，则t=（）A.5B.4C.3D.2【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件计算BC，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案.【详解】解：根据题意得：()()(),12,22,1BCACABtt=−=−=−−，所以()()2

2212422ABBCtt=−+−=−−=，解得4t=.故选：B.【点睛】本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题.4.点P从(01)−,出发，沿单位圆顺时针方向运动83弧长到达点Q

，则点Q的坐标（）A.13()22−,B.13()22−,C.31()22−,D.31()22−,【答案】C【解析】【分析】单位圆的周长为2，由题意82233=+，可得到QOx的大小，然后求出点Q的坐标，得到结果.【

详解】如图设(01),A−,P点从(01)−,出发，沿单位圆按顺时针方向运动83弧长到达Q点，由单位圆的周长为2，所以23AQ=.由单位圆的半径为1，所以23AOQ=，即56QOx=即5351cos,sin6262xy==−==，所以Q点坐标为31()22−,故选

：C.【点睛】该题考查的是有关单位圆上点的坐标的求解问题，涉及到的知识点有弧长公式，注意转动的方向，明确角的大小之后，点的坐标显而易见，属于基础题目.5.已知函数()fx对任意xyR,，都有()()()fxyfxfy+=，且1(1)2f=，则01

()nifi==（）A.112n−B.122n−C.21n−D.121n+−【答案】D【解析】【分析】根据题意，由赋值法，先求出(0)1f=；1(1)()2fnfn+=，n+N；记()1nafn=，得到数

列na是以2为首项，以2为公比的等比数列，求出通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.【详解】因为函数()fx对任意xyR,，都有()()()fxyfxfy+=，且1(1)2f=，令0x=，1y=，则(1)(

0)(1)fff=，所以(0)1f=；令xn=，1y=，n+N，则(1)()(1)fnfnf+=，所以1(1)()2fnfn+=，n+N；记()1nafn=，则1122(1)()nnaafnfn+===+，()1121af==即数列na是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以2n

na=，n+N；所以21201111...122...2()(0)nnniniiaaaafif===+=++++=++++()111122112nn++−==−−.故选：D.【点睛】本题主要考查求等比数列的前n项和，涉及赋值法求函数值，属于跨章节综合题.6.

设为第二象限角，若1tan()47+=，则sincos+=（）A.15−B.15C.75D.75−【答案】A【解析】【分析】将1tan()47+=展开可得tan的值，再由同角三角函数基本关系结合为第二象限角，可sinc

os、的值，即可得答案.【详解】tan11tan()41tan7++==−,即()7tan11tan+=−可得：8tan6=−，解得：3tan4=−由22sin3tancos4sincos1==−+=可得：3sin5

4cos5==−所以1sincos5+=−.故选：A【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，以及同角三角函数基本关系，属于基础题7.已知函数2()ln(1)1fxxx=+++，若正实数ab,满足(4)(1)2fafb+−=，则11ab+的最小值为（）A.4

B.8C.9D.13【答案】C【解析】【分析】由函数2()ln(1)1fxxx=+++，知()fx是奇函数，又因为正实数a，b满足(4)(1)2fafb+−=，所以41ab+=，利用基本不等式求得结果．【详解】解：由函数2(

)ln(1)1fxxx=+++，设()()2ln1gxxx=++，知()()gxgx−=−，所以()gx是奇函数，则()()2fxfx+−=，又因为正实数a，b满足(4)(1)2fafb+−=，，所以41ab+=，114()(4)5

549abababba++=+++=…，当且仅当16a=，13b=时取到等号．故选：C．【点睛】本题考查了函数的奇偶性，基本不等式应用，属于简单题．8.物理学规定音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由如下公式计算：010lgII=(其中0I是人耳能

听到声音的最低声波强度).我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40dB与60dB之间，则60dB声音的声波强度1I是40dB声音的声波强度2I的（）A.32倍B.3210倍C.100倍D.3lg2倍【答案】

C【解析】【分析】先根据010lgII=得10010II=，再将60dB和40dB代入得计算12II即可得答案.【详解】解：因为音量大小与强度为I的声波的关系为010lgII=，所以10010II=，所以606101001010III==，404102001010II

I==，所以6014201010010IIII==，故选：C.【点睛】本题以物理知识为背景，考查指对数的互化，运算等，是中档题.9.已知函数10()ln0xfxxxx=,,，()()gxfxxa=−+，若()gx恰有3个零点，则实数a的取值范围是（）A.1a

−B.0aC.10a−D.1a【答案】D【解析】【分析】()gx恰有3个零点，即函数()fx的图像与yxa=−的图像有三个交点，先求出yxa=−与函数lnyx=相切时a的值，然后数形结合得出答案.【详解】由()gx恰有3个零点

，即方程()fxxa=−恰有3个实数根.即函数()fx的图像与yxa=−的图像有三个交点，如图.yxa=−与函数()1()0fxxx=的图像恒有一个交点，即函数lnyx=与yxa=−有两个交点.设yxa=−与函数lnyx=相切于点()00,xy，由()1lnxx

=所以011kx==，得01x=，所以切点为()1,0，此时1a=，切线方程为1yx=−将1yx=−向下平移可得yxa=−与lnyx=恒有两个交点，所以1a故选：D【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数范围，考查数形结合的思想应用，属于中档题.10.已知函数()fx定

义域为R，且满足下列三个条件：①任意12(4,0)xx−，都有2121()()0fxfxxx−−；②()(4)fxfx=−+；③(4)yfx=+为偶函数，则（）A.(2019)(15)(2)fffB.(15)(2)(2

019)fffC.(2)(15)(2019)fffD.(2)(2019)(15)fff【答案】B【解析】【分析】由①可得()fx在(4,0)−单调递增，由②可得()fx周期为8T=，由③可

得函数()fx对称轴是4x=，结合以上性质既可以比较(2)(15)(2019)fff、、的大小关系.【详解】由①对任意12(4,0)xx−，都有2121()()0fxfxxx−−，可得()fx在(4,0)

−单调递增，由②()(4)fxfx=−+，可得(4)(8)()fxfxfx+=−+=−，所以(8)()fxfx+=即函数()fx周期为8T=由③(4)yfx=+为偶函数，可得函数()fx对称轴是4x=，所以(2)(6)(2)fff==−，(15)(1)ff=−，(2019)(3)(5)(3)f

fff===−，因为()fx在(4,0)−单调递增，且123−−−，所以(15)(2)(2019)fff故选：B【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，涉及函数的单调性，周期性和对称性，属于中档题.11.下列命题正确的是（）A.若角(,)44kk−

+（kZ），则22sincosB.任意的向量,ab，若abab=，则//abC.已知数列na的前n项和2nSanbnc=++（,,abc为常数），则na为等差数列的充要条件是0c=D.函数()fx的定义域为R，若对任

意xR，都有(21)(12)fxfx+=−，则函数(2)yfx=的图像关于直线1x=对称【答案】BC【解析】【分析】对于A选项：当0k=时，(,)44−，当0=时，代入可判断A；对于B选项：设,ab的夹角为，则cosababab==，由向量的数量积的定义可判断B；对于C：

验证必要性和充分性两个方面，可判断C；对于D选项：取函数2()2+1fxxx=−，满足(21)(12)fxfx+=−，求得函数(2)yfx=的对称轴，可判断D.【详解】对于A选项：当0k=时，(,)44

−，当0=时，sin0cos1==，，不满足22sincos，故A不正确；对于B选项：设,ab的夹角为，则cosababab==，所以cos1=，所以0=或=，所以//ab，故B正确；对于C：验证必要性：当n=1时，1aabc=++；当n≥2

时，12nnnaSSanba−=−=+−；由于0a，所以当n≥2时，na是公差为2a等差数列.要使na是等差数列，则212aaa−=，解得c=0.即{an}是等差数列的必要条件是：c=0.验证充分性

：当c=0时，20nSanbna=+，.当n=1时，1aab=+；当n≥2时，12nnnaSSanba−=−=+−，显然当n=1时也满足上式，所以*()2naanbanN=+−，进而可得12(*)nnaaanN−−=，所以

na是等差数列.所以na为等差数列的充要条件是0c=成立，故C正确；对于D选项：设函数2()2+1fxxx=−，满足其定义域为R，且对任意xR，都有2222(21)(21)(21)4(12)(12)(122+1)

+22+14+2fxxxxfxxxx+=++=−=−−−−=，，满足(21)(12)fxfx+=−，而()2222+144(2+1)2yfxxxxx−=−==，则函数(2)yfx=的图像关于直线12x=对称，故D不正确，故选：BC.【点睛】本题

综合考查正弦函数与余弦函数的性质，向量的数量积的定义，等差数列的定义，抽象函数的对称性，属于中档题.12.设na是各项均为正数的数列，以na，1na+为直角边长的直角三角形面积记为nS()nN，则{}nS为等比数列的充分条件是

（）A.na是等比数列B.1a，3a，，21na−，或2a，4a，，2na，是等比数列C.1a，3a，，21na−，和2a，4a，，2na，均是等比数列D.1

a，3a，，21na−，和2a，4a，，2na，均是等比数列，且公比相同【答案】AD【解析】【分析】根据{}nS为等比数列等价于2nnaa+为常数，从而可得正确的选项.【详解】{}nS

为等比数列等价于1nnSS+为常数，也就是等价于12+1nnnnaaaa++即2nnaa+为常数.对于A，因为na是等比数列，故22nnaqa+=（q为na的公比）为常数，故A满足；对于B，取21221,2nnnan

a−=−=，此时满足2a，4a，，2na，是等比数列，1a，3a，，21na−，不是等比数列，2121nnaa+−不是常数，故B错.对于C，取2123,2nnnnaa−==，此时满足2a，4a，，2na，是等比数列，1a，3a，，21na−，

是等比数列，21213nnaa+−=，2222nnaa+=，两者不相等，故C错.对于D，根据条件可得2nnaa+为常数.故选：AD.【点睛】本题考查等比数列的判断，此类问题应根据定义来处理，本题属于基础题.13.已知函数()

()sinfxx=+0,2的最小正周期为，且其图像向左平移3个单位得到函数()cosgxx=的图像，则（）A.6=−B.()()fxgx=在5(0)4,有且仅有3个解C.

()fx在50,12单调递增D.()fx在7,32有且仅有6个极值点【答案】ABD【解析】【分析】由周期可以求的值，由平移变换可以求的值，即得()fx解析式，然后利用三角函数图象与性质逐一检验四个选项正误即可.【详解】因为()()sinfxx

=+的最小正周期为，所以222T===，即()()sin2fxx=+，其图像向左平移3个单位得2()sin2sin(2)33fxxx=++=++所以2sin

(2)3cosxx++=，即()232kkZ+=+,解得：()6kkZ=−+，又2，令0k=，得6=−，所以()sin26fxx=−，对于选项A：显然正确；对于选项B：sin2

cos26xx−=，展开得tan23x=，所以23xk=+，即()62kxkZ=+，因为5(0)4x,，所以27636x=、、，仅有3个解，故选项B正确.对于选项C：因为5012x，所以22663x−−，显然()fx在50,1

2不单调，故选项C错误.对于选项D：()fx的极值点，即为取得对称轴的位置，令()262xkkZ−=+，可得：()32kxkZ=+，因为7,32x，所以541171710,,,,,636363

x=，共有6个极值点，显然正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共98分）注意事项：请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．在试题卷上答题无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4

分，共16分．14.在等差数列na中，若124aa+=，566aa+=，则910aa+=_________.【答案】8【解析】【分析】根据等差数列的性质可得910aa+的值.【详解】因为910aa++()51621

22aaaa+==+，故9108aa+=，故答案为：8.【点睛】本题考查等差数列的性质，关于等差数列的处理方法，一般有两类方法：（1）基本量法，即把问题归结为首项和公差的问题；（2）利用等差数列的性质来处理，本题属于基础题.15.化简：

()40103sintan−＝________.【答案】－1【解析】原式sin10sin?40?(3cos10＝－)()sin402sin40sin1?03cos1?0cos10cos10＝－＝(13sin1?0?cos1?0)22－2sin40sin80cos?401c

os10cos10−−＝＝＝－.故答案为1－【点睛】本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.16.已知函数()sin24cosfxxax=+在(0,)2单调递增，则实数a的取值范围_________.【答案】1(,]2−−【解

析】【分析】把函数()fx在(0,)2单调递增，即()0fx在(0,)2恒成立，进入得到cos22sinxax在(0,)2恒成立，令()cos212sinsinsinxgxxxx==−，(0,)2x，结合换元法和导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】

由题意，函数()sin24cosfxxax=+，则()2cos24sinfxxax=−，因为函数()fx在(0,)2单调递增，即()2cos24sin0fxxax=−在(0,)2恒成立，即cos22sinxax在(0,

)2恒成立，令()2cos212sin12sinsinsinsinxxgxxxxx−===−，(0,)2x，令sin(0,1)tx=，则()12,(0,1)tttt=−，可得()2120tt=−−，可得函数()t在(0,1)上为单调递减函数，所以(

)()1121t=−=−，所以21a−，解得12a−，即实数a的取值范围1(,]2−−.故答案为：1(,]2−−.【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解参数的取值范围问题，其中解答中因为函数()fx在(0,)2单调递增，转化为()0fx在(0,)

2恒成立，结合分离参数法，结合新函数的单调性与最值求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17.《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方（正方形小城）不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何（小城的边长）

.根据描述如图所示，其中A点代表北门，B处是木，C点代表南门（A，C分别是所在边中点），则邑方边长为_________步.【答案】250【解析】【分析】正方形边长为x，则由三角形相似可得202177534xx=+，从而可求正方形的边长.【详解】由题设可知14CD=，20AB=，1775ED=

，设正方形边长为x，则202177534xx=+，整理得到2344017750xx+−=，解得250x=或280x=−（舍），故答案为：250.【点睛】本题考查数学文化，注意读懂题意，弄清楚“见木”的意义（即,,BEF共线），本题属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，共82分．解

答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，从A处沿斜坡向上走a米到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，且斜坡AB的倾斜角BAQ=.求证：山高sinsin()sin()aPQ−=−.【答案】证明见解析

.【解析】【分析】已知仰角为，AB的倾斜角BAQ=，在B处测得山顶P的仰角为，用正弦定理可计算出高度.【详解】由题意可知，PAQ=，PBC=，PAB=−分别在RtPQ，RtPC中，2APQ=−，2BPQ=−，所以APBAP

QBPQ=−=−，又sinsin[)]ABPAPBBAP=−(+，sin)sin()APBBAP=(+=−在ABP中，由正弦定理可得，sinsinABAPAPBABP=，即sin()sin()a

AP=−−，sin()sin()aAP−=−，在RtPQ中，sinsin()sinsin()aPQAP−==−.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，涉及正弦定理，锐角三角函数的定义

，以及直角三角形的边角关系，属于中档题19.已知各项均为正数的数列na前n项和为nS，且1111,nnnaaSS++==+()nN.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设212131nnnaba+++=−，求数列nb的前n项和nT.【答案】（Ⅰ）21nan=

−；（Ⅱ）221+=+nnnTn.【解析】【分析】（Ⅰ）由11nnnSSa++−=和题设条件，化简得到11nnSS+−=，得到{}nS表示首项为1，公差为1的等差数列，求得2nSn=，进而求得数列na的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ），化简得111()1nbnn=+−+，结合“裂项法”，即可求得数列

nb的前n项和nT.【详解】（Ⅰ）因为11nnnSSa++−=且11nnnaSS++=+，所以11nnnnSSSS++−=+，即111()()nnnnnnSSSSSS++++−=+，又因为各项均为正数的数列na前n

项和为nS，所以0nS，所以11nnSS+−=，又由11a=，所以11S=，所以数列{}nS表示首项为1，公差为1的等差数列，所以1(1)1nSnn=+−=，所以2nSn=，当2n时，221(1)21nnnaSSnnn−=−=−−

=−，当1n=时也满足，综上可得，数列na的通项公式为21nan=−.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2221222213(21)3111111()1(21)11nnnannnbannnnnnn+++++++====+=+

−−+−+++，所以数列nb的前n项和211111112(1)()()()2233411nnnTnnnn+=+−+−+−++−=++.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式na与nS的关系求解数列的通项公式，以及数列的“裂

项法”求和的应用，其中解答中熟练na与nS的关系，以及合理利用裂项法求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，B为钝角，且sincosbcBa

C=+.（Ⅰ）求证：2BA−=；（Ⅱ）若61bc==,，求边a.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3a=.【解析】【分析】（Ⅰ）根据正弦定理和两角和的正弦可把题设中的边角关系化简为cossinAB=，结合B为钝角可证2BA−=.（Ⅱ）根据正弦定理和2BA−=可得cos6c

os2AA=，从该方程可求6cos3A=，结合余弦定理可得边a的长.【详解】解：（Ι）因为sincosbcBaC=+，由正弦定理得，sinsinsinsincosBCBAC=+①.因为()BAC=−+，所以sinsin[()]sin()sincoscossinBACACAC

AC=−+=+=+，代入①式得，sincoscossinsinsinsincosACACCBAC+=+；化简得，cossinsinsinACCB=，因为sin0C，故cossinAB=，又cossin()2AA=+，所以sin()sin2AB+=.因为B为钝角，所以A为锐

角，所以2A+为钝角因为sinyx=在(,)2单调递减，所以2AB+=，即2BA−=.（Ⅱ）由正弦定理可知，sinsinbcBC=，61sinsinBC=，因为2AB+=，得()222CAAA=−++=−，所以61sin()sin(2)22AA=+−，整理得

cos6cos2AA=，226coscos60AA−−=(3cos2)(22cos3)0AA−+=，A为锐角，所以6cos3A=，由余弦定理可知，6162633a=+−=.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦以及诱导

公式，遇到三角形中的边角关系时，可根据正弦定理或余弦定理把边角关系转化为边的关系或角的关系，另外三角形中有三角三边，注意知三求三，本题属于中档题.21.某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧PMQ（M为此圆弧的中点

）和线段PQ构成.已知圆O的半径为12千米，M到PQ的距离为16千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域1R为矩形ABCD，养殖区域2R为，且,AB均在圆弧上，CD,均在线段PQ上，设AOM

=.（Ⅰ）用分别表示矩形ABCD和的面积，并确定cos的范围；（Ⅱ）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在1R内养殖鱼类，在2R内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为3:2.求当为何值时，能使年总产值最大.【答案】（Ⅰ）矩形：96sin

(13cos)+；：144sin(1cos)−，1cos13；（Ⅱ）3=.【解析】【分析】（Ⅰ）利用解三角形可求出矩形ABCD的边长以及的底边AB边上的高，从而两者的面积，过P作//PNOM交圆弧于点N，连接ON，则可得1cos13..（Ⅱ）设鱼类与贝类单位

面积的年产值分别为3,2(0)kkk，根据（Ⅰ）中的结果集合三角变换可得1576(sinsincos)Sk=+，利用导数可得当3=时总产值最大.【详解】解：（Ⅰ）设矩形ABCD和的面积分别为12,SS，由题意可得，矩形ABCD的边长分别为24sin，

412cos+，所以196sin(13cos)S=+，等腰三角形的底与高分别为24sin，1212cos−，所以2144sin(1cos)S=−，过P作//PNOM交圆弧于点N，连接ON，设0MON=，0(0,)2，易得041cos123==因为,CD均在线

段PQ上，所以00，所以0coscoscos0，即1cos13.（Ⅱ）因为鱼类与贝类单位面积的年产值比为3:2，所以设鱼类与贝类单位面积的年产值分别为3,2(0)kkk，则年总产值为1396sin(13cos)2144sin(1cos)S

kk=++−576(sinsincos)k=+设()sinsincosf=+，且00，22()coscossinf=+−22coscos1=+−(2cos1)(cos1)=−+，()0f

=，得3=，因为011cos32=，所以0(,)32，当(0,)3，1cos2，()0f，()f在(0,)3单调递增；当0(,)3，1cos2，()0f，()f在0(,)3单调递减.所以3=，能使年总产值

最大.【点睛】本题考查导数的实际应用，注意根据图形合理构建数学模型，根据函数的特征选择导数来研究目标函数的最值，本题属于中档题.22.将数列na中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15a16

a其中24a=，1710a=，1412a=，且表中的第一列数12510,,,,aaaa构成等差数列，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数.表中每一行正中间的项13713,,,,aaaa

构成的数列记为nb.（I）求nb的前n项和nS；（II）记集合|(1),nMnnbnN=+，若M的元素个数为4，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）4882nnnS+=−；（Ⅱ）1544.【解析】【分析】（1）先根据

题意得第n行的第1项为2n，1212()22nnnnbn−−==，再用错位相减法求和即可得答案；（2）设2(1)(1)2nnnnncnb−+=+=，则123ccc=，当3n时，1nncc+，再根据题意得51cc，即1544.【详解】解：（Ⅰ

）第一列构成的等差数列公差为172104233aa−−==，所以11a=所以第n行的第1项为2n，由此可知第4行的第1项108a=，又14a为第4行的第5项，所以每行的公比1144141011()()162aqa===.由题意可知，第n行共有21n−项，且nb为第n行的中间项，所以

nb为第n行的第n项，得1212()22nnnnbn−−==.10132123122222nnnnnS−−−−=+++++…①①式各项乘以12得，0122111231222222nnnnnS−−−=+++++…②①-②式得，1012211111112222222nnnn

S−−−=+++++−12(1)122424212212nnnnnnS−+=−=−−4882nnnS+=−（Ⅱ）设2(1)(1)2nnnnncnb−+=+=，1211(1)(2)(1)22(1)(2)

2nnnnnnnnnccnn−−+−+++−=−+−=所以123ccc=，当3n时，1nncc+12345154654ccccc=====,,,，即23415>ccccc=，当6n时，5ncc，因为集合{|(

1)}nMnnbn=+,N的元素个数为4，所以51cc，即1544，{1234}M=,,,.【点睛】本题考查等差等比数列的通项公式的求解，错位相减法求和，数列单调性求参数，考查分析问题解决问题的能力，考查

运算能力，是中档题.23.已知函数()xfxeax−=+.（I）讨论()fx的单调性；（II）若()fx有两个零点1x、2x，且12xx.证明：（i）210x−；（ii）12ln2xxa+−.【答

案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（I）求得函数()yfx=的定义域和导数()xfxae−=−，对实数a的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()yfx=的单调递增区间和单调

递减区间；（II）（i）由函数()yfx=由两个零点可求得ae，然后利用零点存在定理可证得210x−；（ii）利用分析法得出要证12ln2xxa+−，即证()22ln0fax−−，由()20fx=，得22xeax−=−，进而需证明()22212

ln0xxx−++−，然后构造函数()()12lnhxxxx=−++−，()1,0x−，利用导数证明出()0hx，由此可证得结论成立.【详解】（Ⅰ）函数()yfx=的定义域为R，且()xfxae−=−.①当0a时，()0fx，函数()yfx=在R上单调递减；②当0a时，令()

0fx，可得lnxa−；令()0fx，可得lnxa−.此时，函数()yfx=的单调递减区间为(),lna−−，单调递增区间为()ln,a−+；（Ⅱ）证明：（i）当0a时，函数()yfx=在R单调递减

，此时，函数()yfx=至多一个零点，所以要使得函数()yfx=有两个零点1x、2x，一定有0a且()ln0fa，即()()lnlnlnln1ln0afaeaaaaaaa−=−=−=−，解得ae，则ln1a−−，即()1ln,a−−+，因为函数()yfx=的单调递减区间为

(),lna−−，单调递增区间为()ln,a−+，且12xx，则12lnxax−，又因为()10fea−=−，()010f=，所以()21,0x−；（ii）因为12lnxax−，则22lnlnaxa−−−，要证12ln2xxa+−，即证122lnxax−−，

因为函数()yfx=在(),lna−−单调递减，即证()()122lnfxfax−−，又()10fx=，即证()22ln0fax−−，()()()()2222ln222222ln2ln2ln2lnaxxxfaxeaaxaeaa

xaaeax+−−=−+=−+=−−，因为()20fx=，得22xeax−=−，所以()2222222222112ln2ln2lnlnxxxeaeaxxexxxxx−−−−=−−−−=−−−−−()()2222222112

ln2lnxxxxxxx=−−−−−−=−++−，令()()12lnhxxxx=−++−，()1,0x−，()()222221122110xxxhxxxxx+++=++==，所以函数()yfx=在()1,0−单调递增，又210x−，所以()()210h

xh−=，即222ln0xaeax−−，所以()222ln0xaaeax−−，()22ln0fax−−，综上可知，12ln2xxa+−.【点睛】本题考查利用导数求解含参函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题

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