【文档说明】四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高二下学期期末联考数学（文）试题【精准解析】.doc，共(22)页，1.644 MB，由小赞的店铺上传

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蓉城名校联盟2019~2020学年度下期高中2018级期末联考文科数学考试时间共120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴

在答题卡上的“条形码粘贴处”．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．3．考试结束后由监考老师将答题卡收回

．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知(1)zii=−（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点的位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答

案】A【解析】分析：把z化为(,)abiabR+形式，得对应点为(,)ab，从而可在第几象限.详解：2(1)1ziiiii=−=−=+，对应点为(1,1)在第一象限.故选A.点睛：本题考查复数的几何意义，解题时

需把复数化为标准形式，即(,)abiabR+的形式，它对应的点的坐标为(,)ab.2.已知集合0,1,2,3,4A=，2{|30}Bxxx=−，则集合AB的子集个数为（）A.2B.3C.4D.8【答案】C【解析】【分析】先求集合的交集，再根据集

合子集与元素的个数公式计算即可.【详解】因为0,1,2,3,4A=，|03Bxx=，所以{1,2}AB=，故其子集的个数是224=.故选：C.【点睛】本题考查集合交集运算，集合子集个数的计算，是基础题.3.已知角顶点在原点，始边

与x轴正半轴重合，终边与直线1x=有公共点，且3sin5=−，则tan=（）A.45B.45−C.34−D.34【答案】C【解析】【分析】由已知条件可知在第四象限，根据同角三角函数的基本关系，计算即可得解.【详解】终边与直线1x=有公共点，

且3sin05=−，可知在第四象限，故24cos1sin5=−=，sin3tancos4==−.故选：C.【点睛】本题考查三角函数在各象限的符号，考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.

4.春季，某小组参加学校的植树活动，计划种植杨树x棵，柳树y棵，由于地理条件限制，x，y需满足条件2526xyxyx−−，则该小组最多能种植两种树苗共（）A.12棵B.13棵C.14棵D.15棵【答案】B【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数

zxy=+，转化为yxz=−+，由几何意义可知当过A点时，目标函数取得最大值，计算可得结果.【详解】由,xNyN,且满足约束条件2526xyxyx−−，画出可行域如下图所示：将目标函数z

xy=+，转化为yxz=−+，平移直线yx=−，当直线在y轴上截距最大时，经过()6,7A，此时，目标函数取得最大值，最大值为13.故选：B.【点睛】本题考直线性目标函数的最值，一般利用平移直线找到最优

解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.5.数列na的前n项和为nS，若1(1)nann=+，则99S=（）A.1B.1100C.9899D.99100【答案】D【解析】【分析】利用裂项相消法求解即可.【详解】

111(1)1nannnn==−++，991111111991122399100100100S=−+−++−=−=.故选：D．【点睛】本题主要考查了裂项相消法求和的问题.属于较易题.6.已知函数()2log(0)1(0)3xxxfxx=

，则14ff=（）A.19B.19−C.9D.9−【答案】C【解析】【分析】先计算14f，再计算14ff，注意自变量的范围．【详解】104，则211log

244f==−，又20−，则211(2)943fff−=−==．故选：C．【点睛】本题考查分段函数，求分段函数函数值时要注意自变量的取值范围，不同的范围选用不同的表达式计算．7.在A

BC中，三个角满足2ABC=+，且最长边与最短边分别是方程2327320xx−+=的两根，则BC边长为（）A.6B.7C.9D.12【答案】B【解析】【分析】首先根据题的条件，确定出最长边和最短边必定为b，

c，且60A=，利用韦达定理得到9bc+=，323bc=，利用余弦定理求得BC边长.【详解】因为2ABC=+，可知最长边和最短边必定为b，c，且60A=，于是，9bc+=，323bc=，根据余

弦定理：()22222cos603813249abcbcbcbc=+−=+−=−=，解得7a=，故选：B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有韦达定理，余弦定理，属于基础题目.8.运行下图所示的程序框图，如果输入的2020n=，则输出的n=（）A.6B.7C.63D

.64【答案】A【解析】【分析】根据题中所给的框图，模拟执行程序框图，求得结果.【详解】输入2020100n=，且不是奇数，赋值1010100n=，且不是奇数，赋值505100n=，且是奇数，赋值252100n=，且不是奇数，赋值126100n=，且不是奇数，赋值63

100n=，赋值()2log6316n=+=，输出6.故选：A【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有计算程序框图的输出结果，属于简单题目.9.四面体OABC−的顶点都在同一球面上，其中OA，OB，O

C两两垂直，且2OAOB==，1OC=，则该球面的表面积为（）A.9B.4C.12D.36【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合三棱锥的特征，将四面体补成长方体，且该四面体的外接球就是所补成长方体的外接球，其对角线就是外接球的

直角，从而求得结果.【详解】根据题意，将四面体补成长方体，则长方体的对角线长为2222213++=.四面体的四个顶点在同一球面上，则长方体的八个顶点也在同一球面上，长方体的对角线3就是球的直径.则球的半径32R=，

球的表面积为23492=，故选：A.【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的问题，涉及到的知识点有从同一顶点出发的三棱锥的三条棱两两垂直时，求其外接球可以应用补体来完成，属于简单题目.10.函数()31fxxax=−−在()1,1−上不单调的一个充分不必要条件

是（）A.0,3aB.()0,5aC.()0,3aD.()1,2a【答案】D【解析】【分析】先求出()fx在()1,1−上单调的范围，其补集即为不单调的范围，结合选项即可得到答案.【详解】由已知，当()1,1x−时，())23,3fxxaaa=−−−，当

0a时，()0fx，当3a时，()0fx，所以()fx在()1,1−上单调，则0a或3a，故()fx在()1,1−上不单调时，a的范围为()0,3，A､B是必要不充分条件，C是充要条件，D是充分不必要条件.故选

：D.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及到充分条件、必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.11.已知椭圆()2222:10xyCabab+=，焦点()12,0F−，()22

,0F.过()12,0F−作倾斜角为60的直线L交上半椭圆于点A，以11,FAFO(O为坐标原点)为邻边作平行四边形1OFAB，点B恰好也在椭圆上，则2b=（）A.3B.23C.43D.12【答案】B【解析】【分析】

设()11,Axy，()22,Bxy，根据四边形1OFAB为平行四边形可得12yy=，利用椭圆方程可得21xx=−，利用1//FAOB，且直线1FA的倾斜角为60°可得121,1xx=−=，123yy==，即可得(1,3)A−，代入椭圆方程并结合2

224abc−==可得31a=+，从而可得结果.【详解】依题意可知，2c=，设()()1122,,,AxyBxy，因为四边形1OFAB为平行四边形，所以12yy=，又2211221xyab+=，2222221xyab+=，所以21xx=−，又1//FAOB，且直线1FA的

倾斜角为60，所以121232yyxx==+，因为12yy=，21xx=−，所以11x=−，21x=，123yy==，所以()1,3A−，将其代入22221xyab+=，得22131ab+=➀又2c=，所以2224abc−==②所以联立①②解得2423a=+，223b=.故选：

B.【点睛】本题以椭圆为背景，考查了椭圆的性质，考查了斜率公式，考查了运算求解能力，属于中档题.12.已知()fx是定义在R上的函数，其导函数为()fx，若()()1fxfx−，()02020f=，则不等式()20191xfxe+(其中e为自然对数的底数)的解集为（）A.()(

),00,−+B.()0,+C.()2019,+D.()(),02019,−+U【答案】B【解析】【分析】首先构造函数()()1xfxFxe−=，利用导数得到()()1xfxFxe−=在R

上单调递增，再根据()02020f=得到()()02019FxF=，再化简即可得到答案.【详解】由题知：构造函数()()1xfxFxe−=，则()()()()()()2110xxxxfxefxefxfxFxee−−−+==，故函数()()1xfxFxe−=在R上单调递

增，又因为()()0010202012019fFe−==−=，所以当且仅当0x时，()()02019FxF=成立，即()12019xfxe−，即()20191xfxe+，因此不等式()20191xfxe

+的解集为()0,+.故选：B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，其中构造函数为解题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos3sinxy==（为参数，02），

则曲线C的普通方程为____________．【答案】22149xy+=【解析】【分析】利用同角三角函数的平方关系，消去参数求解即可.【详解】由cos2cos23sin3xxyysin====，由22sinco

s1+=，则22149xy+=．故答案为：22149xy+=.【点睛】该题考查曲线的参数方程与普通方程的互化.属于较易题.14.已知一组数据1x，2x，3x，4x，5x，6x，7x，8x的方差为2，则121x+，221x+，321x+，42

1x+，521x+，621x+，721x+，821x+这组数据的方差为____________.【答案】8【解析】【分析】根据方差性质公式计算即可.【详解】由性质()()2DaxbaDx+=可知，新的数据的方差为2×22=8.故答案为：8.【点睛】本题考查方差的性质，是基础题.15.在平面直

角坐标系xOy中，已知点()0,0O，()2,0A，()2,1B，()0,1C，现在矩形OABC中随机选取一点(),Pxy，则事件：点(),Pxy的坐标满足21(1)yx−−的概率为____________．【答案】π14−【解析】【分析】在坐标平面中画出可行域，再画出不等式2

1(1)yx−−对应的平面区域，算出它们的面积后可得所求的概率.【详解】矩形OABC围成的可行域如图所示.由21(1)yx−−可得221(1)0yxy−−，也就是22(1)10xyy−+，此不等式对

应的平面区域如图阴影部分所示,则矩形OABC的面积为2，而阴影部分的面积为121222−=−.则22124P−==−．故答案为：π14−.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，弄清随机事件对应的平面区域是关键，本题属于中档题.16.已知双曲线()2222:10,0x

yCabab−=的左右焦点分别为12,FF，点P在第一象限的双曲线C上，且2PFx⊥轴，12PFF△内一点M满足1212::1:2:3MPFMPFMFFSSS=，且点M在直线2yx=上，则双曲线C的离心率为____________．【答案】2133+【解析

】【分析】首先得点2,bPca，则122PFFbcSa=，这样12MFF△和2MPF的面积可表示出来，从而可得M点坐标，代入直线方程2yx=得到,,abc的等式，变形后可求得离心率．【详解】由图像可知，点2,bPca，则122PFFbcSa=，由1212

::1:2:3MPFMPFMFFSSS=，则222132PMFbcbSdaa==，则23cd=，则3Mcx=，由1221222FMFbcScha==，则22bha=，则22Mbya=，点2,32cbMa

，由点M在直线2yx=上，则22222234334343023bcbaccaaceea==−=−−=，则2133e=，由1e，则2133e+=．故答案为：2133+.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,abc的齐次式，本题中利用12MFF△和2MPF的面

积得出M点坐标，从而得到要找的等式．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()32113fxxaxbx=+++，其导函数为()fx，不等式()0fx的解集为()2,4.（1）求a，b的值；（2）求函数在0,3上的最大值

和最小值.【答案】（1）3,8ab=−=；（2）最大值：233，最小值：1.【解析】【分析】（1）根据题意可得()220fxxaxb=++的解集为()2,4，利用韦达定理即可求解.（2）利用导数判断函数的单调性，

然后求出极值与端点值即可求解.【详解】解：（1）由()220fxxaxb=++的解集为()2,4，则2423,824aabb+=−=−==.（2）由（1）问可知，()3238311fxxxx=−++，()268,0

,3fxxxx=−+，则x()0,22()2,3()fx大于零等于零小于零()fx单调递增极大值单调递减则()()max8232533fxf===，由()01f=，()37f=，则()()min01fxf==.【点睛】本题考查了由一元二次

不等式的解集求参数、利用导数求函数的最值，考查了计算求解能力，属于基础题.18.今年5月底，中央开始鼓励“地摊经济”，地摊在全国遍地开花.某地政府组织调研本地地摊经济，随机选取100名地摊摊主了解他们每月的收入情况，并按收

入(单位：千元)将摊主分成六个组)5,10，)10,15，)15,20，)20,25，)25,30，)30,35，得到下边收入频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中t的值，并估计每月每名地摊摊主收入的中位数和平均

数(单位：千元)；（2）已知从收入在)10,20的地摊摊主中用分层抽样抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求抽取的2人收入都来自)15,20的概率.【答案】（1）0.04t=，中位数为21.875(千元)，平均数为：20.75(千元)

；（2）310.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，列方程可求出t的值，利用中位数两边的频率相同可求出中位数，平均数等于各组中点值乘以对应的频率，再把所有的积加起来可得平均数；（2）利用分层抽样的比例求出)10,15和)15,20的人数，然后利用列举法把

所有情况列出来，再利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】（1）由()0.020.020.030.080.0151t+++++=，则0.04t=，由()0.020.020.0350.35++=，由0.50.3551.8750.4−=，则中

位数为201.87521.875+=(千元)，平均数为()7.50.0212.50.0217.50.0322.50.0827.50.0432.50.015+++++20.75=(千元)（2）由分层抽样可知)10,1

5应抽取2人记为1，2，)15,20应抽取3人记为a，b，c，则从这5人中抽取2人的所有情况有：()()()()()()()()()()1,2,1,,1,,1,,2,,2,,2,,,,,,,abcabcabacbc，共10种情况，记其中2

人收入都来自)15,20为事件A，情况有()()(),,,,,abacbc3种，则()310PA=.【点睛】此题考查了由频率分布直方图求中位数，平均数，考查了分层抽样，古典概型，考查了分析问题的能力，属于基础题.19.如图，矩形ABCD中，2AB=，3BC=，点E是边AD上的一点，且2AEE

D=，点H是BE的中点，现将ABE△沿着BE折起构成四棱锥ABCDE−，M是四棱锥ABCDE−棱AD的中点．（1）证明：//HM平面ABC；（2）当四棱锥ABCDE−体积最大时，求二面角MABC−−的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）79.【解析】【分析】（1）取AE的中点为K，连接,HKKM

，可证明平面//KMH平面ABC，从而可得//HM平面ABC.（2）当四棱锥ABCDE−体积最大时，平面ABE⊥平面BCDE，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABC和平面MAB的法向量后可求二面角MABC−−的余弦

值.【详解】（1）取AE的中点为K，连接,HKKM，因为,AKKEAMMD==，故//KMDE，而//DEBC，故//KMBC，因为KM平面ABC，BC平面ABC，故//KM平面ABC.同理//KHBA，因为KH平面ABC，BA平面ABC，故//KH平面ABC，因为KH平面K

MH，KM平面KMH，KMKHK=，故平面//KMH平面ABC，因MH平面KMH，故//MH平面ABC.（2）当四棱锥ABCDE−体积最大时，平面ABE⊥平面BCDE.在BC上取点L，使得1CL=，则//DECL，DECL=，故四

边形EDCL为平行四边形，所以2ELCD==，因2BL=，BHHE=，故HLBE⊥.因为2AEED=，故2AE=，故ABE△为等腰直角三角形，因BHHE=，故AHBE⊥，而AH平面ABE，平面ABE平面BCDEBE=，所以AH⊥平面BCDE.因为HL

平面BCDE，故AHHL⊥，故可建立如图所示的空间直角坐标系.所以()()2323220,0,2,2,0,0,,,0,,,02222ABCD−−，故3222,,442M−.又()2,0,2AB=−，3232,

,022BC=−，3222,,442MA=−，设平面ABC的法向量为()111,,mxyz=，则由00mABmBC==可得11112203232022xzxy−=−+=，取11y=，则111,1xz==，故()1,1,1m=.设平面MAB的法向量

为()222,,nxyz=，则由00nABnMA==可得222222203222+0442xzxyz−=−=，取21x=，则225,1yz==，故()1,5,1n=.所以77cos,9327mnmnmn===.因为二面角MABC−−的平

面角为锐角，故其余弦值为79.【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.空间中的角

的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左右焦点分别为1F、2F，若点()0,3B在椭圆上，

且12BFF△为等边三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点1F的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点2F在以MN为直径的圆外，求直线l斜率k的取值范围.【答案】（1）22143xy+=；（2）377

k或377k−.【解析】【分析】（1）本题可以根据点()0,3B在椭圆上得出3b=，然后根据12BFF△为等边三角形得出2a=，即可写求椭圆C的标准方程；（2）本题首先可以设出直线l的方程为()1ykx=+，然后联立直线方程

与椭圆方程，得出12xx+以及12xx的值，再然后根据点2F在以MN为直径的圆外得出220FMFN，最后通过化简并计算即可得出结果.【详解】（1）因为点()0,3B在椭圆上，所以3b=，因为12BFF△为等边三角形，所以sin60ba=，解得2a=，故椭圆C的标准方程

为22143xy+=.（2）因为椭圆C的标准方程为22143xy+=，所以()11,0F−，()21,0F，直线l的方程为()1ykx=+，设()11,Mxy，()22,Nxy，则()2111,FMxy=−，()2221,FNxy=−，联立方程()221143ykxxy

=++=，得()22223484120kxkxk+++−=，则2122834kxxk+=+，212241234kxxk−=+，且恒成立，因为点2F在以MN为直径的圆外，所以290MFN，220FMFN，即()()1212110x

xyy−−+，()()()()2121211110xxkxx−−+++，整理可得()()()22212121110kxxkxxk++−+++，则()()2222222412811103434kkkkkkk−+−−++++，整理可得279k，297k，377k或377k−

.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法以及椭圆与直线相交的相关问题的求法，考查向量的数量积的灵活应用，考查韦达定理的灵活应用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是难题.21.已知函数()xfxaeb=+在点(0,(0))f处的切线方程为1

yx=+．（1）求a，b的值；（2）已知函数()ygx=的图像与()yfx=的图像关于直线yx=对称．若不等式()1kfxx−()1gx+对0x恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）1,0==ab；（2）1k³.【解析

】【分析】（1）先对函数求导，利用导数的几何意义即可得出结果；（2）利用已知条件得出()lngxx=，把不等式转化为ln1xxxkxe++对0x恒成立，令ln1(),(0,)xxxrxxxe++=+，求导分析函数()rx的单调性求出()maxrx，即可得出结果.【详解】（1）由()xfx

ae=，又切点(0,1)，则(0)111,0(0)11fababkfa=+======（2）由()xfxe=，则()lngxx=，由不等式()1ln1xkexx−+对0x恒成立，整理可得ln1x

xxkxe++对0x恒成立，令ln1(),(0,)xxxrxxxe++=+，则2(1)(ln)()xxxxrxxe+−−=，由ln0xx+=有且仅有唯一的根为0x，则00ln0xx+=，所以00lnxx=−，则001xxe=，由x()00,x0x()0,x+()rx小于零等于零大于

零()rx单调递减极大值单调递增则()()0000max0ln11xxxrxrxxe++===，则1k³．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数解决不等式恒成立问题.属于中档题.22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为11231

2xtyt=+=+(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为42sin4=+.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）已知点()1,1P，若直线l与曲线C相交于M､N两点，求()2||||PMPN+的值

.【答案】（1）()()22228xy−+−=；（2）2823+.【解析】【分析】（1）利用cosx=，siny=化简42sin4=+即可得到答案.（2）首先将112312xtyt=+=+代入()()22228xy−+−=得到()2316

0tt−+−=，再利用直线参数方程的几何意义即可得到答案.【详解】（1）由242sin4sin4cos4sin4cos4=+=+=+，则2244xyyx+=+，则曲线C的直角坐标方

程为()()22228xy−+−=.（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程整理可得()23160tt−+−=，其两根分别设为12,tt，则121231,6tttt+=+=−由()()2212122(||||

||||)PMPNtttt+=+=−()2121242823tttt=+−=+.【点睛】本题第一问考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，第二问考查直线参数方程的几何意义，属于简单题.