【文档说明】湖北省孝感市2022-2023学年高二上学期1月期末考试数学试题 含解析.docx，共(23)页，2.626 MB，由小赞的店铺上传

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湖北省孝感市2022-2023年高二上学期1月期末考试数学试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，

将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知空间向量121a

=−−（，，），1.bxy=−（，，）若//ab，则（）A.1xy−=B.1xy+=C.0xy+=D.2xy+=−【答案】B【解析】【分析】根据空间向量平行的坐标运算，即可进一步求解.【详解】根据题意，由//ab，设bta=，即11212xytttt−=−−=−−（，，）（，

，）（，，）解得：12t=−，则有12xy==，由此得1xy+=．故选：B.2.设不同直线1l：210xmy−−=，2l：(1)10mxy−−+=，则“2m=”是“12ll//”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件【答案】C【解析】【详解】当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有2m＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选

C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对

于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．3.将字母a，b，c分别填入标号为a，b，c的三个方格里，每格填上一

个字母，则每个方格的标号与所填的字母均不相同的概率是（）A.16B.13C.12D.23【答案】B【解析】【分析】根据古典概率的运算公式进行求解即可.【详解】将字母a，b，c填入标号为a，b，c的三个方格里有6种不同的填法，这6种情况发生的可能性是

相等的.而每个方格的标号与所填的字母均不相同只有两种不同的填法.故所求概率2163P==．故选：B4.过点()1,1A−，()1,1B−，且圆心在直线20xy+−=上的圆的方程是（）A.()()22114xy−+−=B

.()()22314xy++−=C.()()22314xy−++=D.()()22114xy+++=【答案】A【解析】【分析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线20xy+−=上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程．【详解】因为过点()1,1A−与()1,1B−，所以线段A

B的中点坐标为()0,0，()11111ABk−−==−−−，所以线段AB的中垂线的斜率为1k=，所以线段AB的中垂线的方程为yx=，又因为圆心在直线20xy+−=上，所以20xyyx+−==，解得11xy==，所以圆心为()1,1，()()2211112r=−+

+=所以圆的方程为()()22114xy−+−=.故选：A5.已知直三棱柱111ABCABC-中，120ABC=，2AB=，11BCCC==，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为A.105−B.105C.155D.155−【答案】

B【解析】【详解】如图所示，设MNP，，分别为AB，1BB和11BC的中点则1AB,1BC夹角为MN和NP夹角或其补角因异面直线所成角的范围为02，可知，11522MNAB==11222NPBC==作BC中点Q

，则PQM直角三角形1PQ=,12QMAC=ABC中，由余弦定理得：22212cos4122172ACABBCABBCABC=+−=+−−=7AC=,72MQ=在MQP中，22112MPMQPQ=+=在PMN中，由余弦定理得222222521122210cos25

52222MNNPPMMNPMNNP+−+−===−又异面直线所成角的范围为02，异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为105故选B6.已知双曲线的渐近线方程为2yx=，则双曲线的离心率为（）A.52B.5C.5

5或5D.52或5【答案】D【解析】【分析】分两种情况焦点在x轴上与焦点在y轴上，再根据离心率公式即可得到答案.【详解】当双曲线的焦点在x轴上时，离心率2221125bea=+=+=；为当焦点在y轴上时222151122be

a=+=+=．故选：D.7.在等差数列na中，其前n项和为nS，若10a，810=SS，则nS中最大的是（）A.7SB.8SC.9SD.10S【答案】C【解析】【分析】先求得数列na的首项和公差的关系式，然后结合二次函数的性质求

得正确答案.【详解】设等差数列na的公差为d，由810=SS得118281045adad+=+，所以1172ad=−，由10a，得到0.d所以()()2111822nnndSnadnn−=+=−

，02d，从而当9n=时nS有最大值．故选：C8.法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆()2222:10xyCabab+=

外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以22ab+为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆()22:1044xyCmm+=的蒙日圆为22:7Exy+=，过圆E上的动点M作椭

圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确．．．的是（）A.椭圆C的离心率为12B.M到C的右焦点的距离的最大值为71+C.若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为1k，2k，则1234kk=−D.MPQ面积的最大值为72【答案】D【解析】【分析

】A.根据蒙日圆的定义，可求椭圆方程，即可判断；B.根据椭圆方程和圆的方程，结合几何意义，即可判断；C.根据PQ为圆的直径，则点,AB关于原点对称，利用点在椭圆上，证明1234kk=−；D.利用圆的几何性质，确定MPQ面积的最大值.【详解】A.因为椭圆()22:1044xyCmm

+=的蒙日圆为22:7Exy+=，根据蒙日圆的定义，47m+=，得3m=，所以椭圆22:143xyC+=，24a=，23b=，则21c=，所以椭圆的离心率12cea==，故A正确；B.点M是圆22:7Exy+=上的动点，椭圆的右焦点

()10F，，则MF的最大值是71+，故B正确；C.根据蒙日圆的定义可知MPMQ⊥，则PQ为圆E的直径,PQ与椭圆交于两点,AB，点,AB关于原点对称，设()11,Axy，()11,Bxy−−，()00,Nxy，

()2222010101012222010101013344ANBNxxyyyyyykkxxxxxxxx−−−+−====−−+−−，故C正确；D.因为PQ为圆的直径，27PQ=，当点M到直线PQ的距离为7r=时，PQM的

面积最大，此时最大值是127772=，故D错误.故选：D二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知等差数列na为递减数列，且31a=，2434aa=，则下列结论中正确的有（）A.数列na的公差为12−B.1522nan=−+C.数列

1naa是公差为1−的等差数列D.1741aaa+=−【答案】ABC【解析】【分析】A选项，根据等差数列的性质得到24322aaa+==，从而求出412a=，232a=，得到公差，A正确；利用等差数列求通项公式求出B正确；由12nnaaa=，得到当2n时，1221nnaa−−=−

，结合214a=，从而得到C正确；在C选项的基础上，求出17572aa=−=−，结合451222a=−=，求出答案.【详解】由题意知，24322.aaa+==又2434aa=，故24,aa可看出方程23204xx−+=的两根，∵数列na

为递减数列，412a=，232a=．公差42122aad−==−，故A正确；又122aad=−=，11521222nann=+−−=−+（）（），故B正确；由上可知12nnaaa=，则当2n时

，()111222212nnnnaaaa−−−=−=−=−，当1n=时，214a=，数列1naa是首项为4，公差为1−的等差数列，故C正确；由C选项知：15naan=−，故17572aa=−=−

，∵451222a=−=，174135722aaa+=−+=−，故D错误．故选：ABC10.已知圆22:(1)(2)25Cxy−+−=，直线:(21)(1)740lmxmym+++−−=，则下列命题中正确的有（）A.直线l恒过定点(

)3,1B.圆C被y轴截得的弦长为4C.直线l与圆C恒相离D.直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为250xy−−=【答案】AD【解析】【分析】求出直线所过的定点即可判断选项A；求出圆与y轴的交点坐标，进而求出弦长可判断选项B；根据直线过的定点在圆内可判断选项C；当直线截得的弦

长最短时，⊥lCD，12CDk=−，即可求出直线方程，进而判断选项D.【详解】将直线l的方程整理为(4)(27)0xymxy+−++−=，由40270xyxy+−=+−=，解得：31xy==，则无论m为何值，直线l过都定点(3,1)D，故选

项A正确；令0x=，则2(2)24y−=，解得226y=，故圆C被y轴截得的弦长为46，故B不正确；因为22(31)(12)525−+−=，所以点D在圆C的内部，直线l与圆C相交，故C不正确；圆心(1,2)C，半径为5，5CD=，当截得的弦长最短时，⊥lCD

，12CDk=−，则直线l的斜率为2，此时直线l的方程为12(3)yx−=−，即250xy−−=，故D正确．故选：AD.11.抛物线2:4Cyx=的焦点为F，直线l过点F，斜率为0kk（），且交抛物线C于A、B两点（点A在x轴的下方）

，抛物线的准线为m，1AAm⊥交m于1A，1BBm⊥交m于1B，点13E（，），P为抛物线C上任一点，则下列结论中正确的有（）A.若3BFFA=，则3k=B.PEPF−的最小值为2−C.若1k=，则12AB=D.1190AFB=【答案】ABD【解析】分析】根据焦半径结合图形关系即可

判断A,根据三点共线即可判断B，根据焦点弦即可求解C，联立方程根据向量垂直即可求解.【详解】对于A;设33BFFAt==，过A做1AMBB⊥于点M，则2BMt=，4ABt=，易得【60ABM=，从而A正

确;对于:B过P、E分别作1PPm⊥、1EEm⊥于点1P、1E，则1PEPFPEPP−=−,当1,,PEP三点共线时，此时最小值为12EP−=−,从而B正确;对于:C由()241yxykx==−得2440yyk−−=,4AByyk=+,24ABA

ByyABxxkk=++=++，当1k=时，4448AByyABkk=++=+=，C错误;对于D,由()241yxykx==−得2440yyk−−=，4AByy=−，1140ABFAFByy=+=，从而119

0AFB=，故D正确，故选：ABD12.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1BC上运动，有下列判断，其中正确的是（）A.平面1PBD⊥平面1ACDB.1//AP平面1ACDC.异面直线1AP与1AD

所成角的取值范围是π0,3D.三棱锥1DAPC−的体积不变【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理证得1DB⊥平面1ACD，从而利用面面垂直的判定定理即可判断；对于B，利用线面平行与面面平行的判定定理证得平面11//BAC平面1ACD，从而得以判

断；对于C，利用线线平行将异面直线1AP与1AD所成角转化为1AP与1BC所成的角，从而在等边11BAC△中即可求得该角的范围，由此判断即可；对于D，先利用线线平行得到点P到面平面1ADC的距离不变，再利用等体积法即可判断.【

详解】对于A，连接DB，如图，因为在正方体1111ABCDABCD−中，1BB⊥平面ABCD，又AC平面ABCD，所以1BBAC⊥，因为在正方形ABCD中DBAC⊥，又DB与1BB为平面11DBBD内两条相交直线，所以AC⊥平面11DBBD，因为1

DB平面11DBBD，所以1DBAC⊥，同理可得11DBAD⊥，因为1AD与AC为平面1ACD内两条相交直线，可得1DB⊥平面1ACD，又1DB平面1PBD，从而平面1PBD⊥平面1ACD，故A正确；.对于B，连接1

AB，11AC，如图，因为11//AACC，11AACC=，所以四边形11AACC是平行四边形，的所以11//ACAC，又11AC平面1ACD，AC平面1ACD，所以11//AC平面1ACD，同理1//

BC平面1ACD，又11AC、1BC为平面11BAC内两条相交直线，所以平面11//BAC平面1ACD，因为1AP平面11BAC，所以1//AP平面1ACD，故B正确；对于C，因为11//ADBC，所以1AP与1AD所成角即为1AP与1BC

所成的角，因为1111ABBCAC==，所以11BAC△为等边三角形，当P与线段1BC的两端点重合时，1AP与1AD所成角取得最小值π3；当P与线段1BC的中点重合时，1AP与1AD所成角取得最大值π2；所以1AP与1AD所成角的范围是π

π,32，故C错误；对于D，由选项B得1//BC平面1ADC，故1BC上任意一点到平面1ADC的距离均相等，即点P到面平面1ADC的距离不变，不妨设为h，则11113DAPCPACADCDShVV−−==

，所以三棱锥1DAPC−的体积不变，故D正确．故选：ABD.【点睛】关键点睛：解答本题关键在于熟练掌握线面垂直与面面垂直的判定定理、线面平行与面面平行的判定定理，能够利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化严密推

理.第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为___________.【答案】660xy−+=或660xy−−=【解析】【分析】设直线方程为1x

yab+=，根据题设条件得到关于,ab的方程组，解方程组后可得所求的直线方程.【详解】设直线l的方程为1xyab+=，则132ab=，且16ba−=，解得61ab==−或者61ab=−=，∴直线l的方

程为161xy+=−或161xy+=−，即660xy−+=或660xy−−=.故答案为：660xy−+=或660xy−−=.14.圆2240xxy−+=与圆22430xyx+++=的公切线共有__________条.【答案】4【解析】【分析】由两圆的位置关系，判断两圆的公切线.【详

解】由()22224024xxyxy−+=−+=，所以该圆的圆心坐标为2,0（），半径为2，()222243021xyxxy+++=++=，所以该圆的圆心坐标为2,0−（），半径为1，所以该两圆圆心距为4，两圆半径和为3，因为43，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.故答案为

：4.15.设数列na的前n项和为nS，点()*,nSnnNn均在函数32yx=−的图象上，则数列na的通项公式na=________．【答案】()*65nannN=−【解析】【分析】代入法求得nS，由nS表达式数列{}na为等

差数列，求得首项和公差后可得通项公式．【详解】依题意得32nSnn=−，即232nSnn=−，所以数列na为等差数列，且111aS==，2217aSS=−=，设其公差为d，则6d=，所以()*65nannN=−．故答案为：()*65nannN=−.16.已知椭圆和双曲线有共同的焦点

1F、2F，M是它们的一个交点，且121cos4FMF=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e、2e，则121ee的最大值为__________．【答案】41515##41515【解析】【分析】利用椭圆和双曲线的

定义，在焦点三角形利用余弦定理得到2212358ee+=，再用基本不等式求解.【详解】不妨设M为第一象限的点，1F为左焦点，设椭圆的长半轴长为1a，双曲线的实半轴长为2a，则根据椭圆及双曲线的定义可得1212MFMFa+=，1222MFMF

a−=，所以112MFaa=+，212MFaa=−，122FFc=，在△12MFF中，121cos4FMF=，由余弦定理得22212121221214()()2()()coscaaaaaaaaFMF−=++−+−，化简得22212358aac+=

，即2212358ee+=．所以22221212351582eeee+=，从而12141515ee，当且仅当221235ee=，且2212358ee+=，即132e=，252e=时等号成立．故答案为：41515四、解答题（本大题共

6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试概率分别为25，34，13.求：（1）3人都通过体能测试的概率；（2）只有

2人通过体能测试的概率.【答案】（1）110；（2）2360.【解析】的【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式直接计算作答.（2）把只有2人通过体能测试的事件分拆成三个互斥事件的和，再利用概率的加法公式、乘法公式求解作答.【小问1详解】设事件A=“甲通过体能测试”，事件B

=“乙通过体能测试”，事件C=“丙通过体能测试”，由题意有：()25PA=，()34PB=，()13PC=.设事件1M=“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即事件1MABC=，而事件A，B，C相互独立，所以3人都通过体能测试的概率是()12311()()()()54

310PMPABCPAPBPC====.【小问2详解】设事件2M=“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则2MABCABCABC=++，由于事件A，B，C，A，B，C均相互独立，并且事件ABC

，ABC，ABC两两互斥，因此()()()()()()()()()()2PMPAPBPCPAPBPCPAPBPC=++2321312311154354354301326=−+−+−=，所以只有2人通过体能测试

的概率是2360.18.已知公差大于零的等差数列na的前n项和为nS，且满足34117aa=，2522aa+=，（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb是等差数列，且nnSbnc=+，求非零常数c；【答案】（1）43nan=−（2）12c

=−【解析】【分析】(1)利用等差数列的性质可得25343422117aaaaaa+=+==,联立方程可得34,aa,代入等差数列的通项公式可求na;(2)代入等差数列的前n和公式可求nS,进一步可得nb,然后结合等差数列的定义可得2132bbb=+,从而可求c.【详解】（

1）na为等差数列，34117aa=，2522aa+=又253422aaaa+=+=34,aa是方程2221170xx−+=的两个根，0d349,13aa==1129313adad+=+=14,1

da==1(1)443nann=+−=−（2）由（1）可知，2(1)422nSnnnnn−=+=−22nnnnbnccnS−==++1231615,,123bbbccc===+++nb为等差数列，22132,20

bbbcc=++=1(02cc=−=舍去)当12c=−时，2nbn=为等差数列，满足要求【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的综合运用,属于中档题.19.如图，AB是过抛物线22(0)ypxp=焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线

，,MNlN⊥为垂足，点N坐标为(2,3)−−.（1）求抛物线的方程；（2）求AOB的面积（O为坐标系原点）.【答案】（1）28yx=.（2）10.【解析】【分析】（1）由已知得准线l方程为：2x=−，由此可求得抛物线的方程；（2）设()()1122,,,AxyBxy，

代入抛物线的方程作差得()()()1212128yyyyxx−+=−，再由M是AB的中点，求得126yy+=−，由此求得直线AB的方程，与抛物线的方程联立可求得弦长AB，由三角形的面积公式可求得答案.【小问1详解】解：点(2,3)−

−N在准线l上，所以准线l方程为：2x=−，则22p=，解得4p=，所以抛物线的方程为：28yx=；【小问2详解】解：设()()1122,,,AxyBxy，由AB、在抛物线28yx=上，所以21122288yxyx==，则()()()12121

28yyyyxx−+=−，又MNl⊥，所以点M纵坐标为3,M−是AB的中点，所以126yy+=−，所以()()121268yyxx−−=−，即43ABk=−，又知焦点F坐标为(2,0)，则直线AB的方程为：4380xy+−=

，联立抛物线的方程28yx=，得26160yy+−=，解得2y=或8y=−，所以1210yy−=，所以1210AOBAOFBOFSSSyy=+=−=.20.已知三棱柱111ABCABC-中，1114,2,90,ACAABCACBABAC====⊥

.（1）求证:平面11AACC⊥平面ABC.（2）若160AAC=，在线段AC上是否存在一点P使平面1BAP和平面11AACC所成角的余弦值为3?4若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）在线段

AC上存在一点P，且P是靠近C的四等分点.【解析】【分析】(1)连接1AC，根据给定条件证明1AC⊥平面1ABC得1BCAC⊥即可推理作答.(2)在平面11AACC内过C作CzAC⊥，再以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，利用空

间向量计算判断作答.【小问1详解】在三棱柱111ABCABC-中，四边形11AACC是平行四边形，而1ACAA=，则11AACC是菱形，连接1AC，如图，则有11ACAC⊥，因11ABAC⊥，111ABACA=，11,ABAC平面1ABC，于是得1AC⊥平面1ABC

，而BC平面1ABC，则1ACBC⊥，由90ACB=得ACBC⊥，1ACACA=，1,ACAC平面11AACC，从而得BC⊥平面11AACC，又BC平面ABC，所以平面11AACC⊥平面ABC.【小问2详

解】在平面11AACC内过C作CzAC⊥，由(1)知平面11AACC⊥平面ABC，平面11AACC平面ABCAC=，则Cz⊥平面ABC，以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，因160AAC=，14,2ACAABC===，则1(0,

0,0),(4,0,0),(0,2,0),(2,0,23)CABA，假设在线段AC上存在符合要求的点P，设其坐标为(,0,0),(04)P，则有1(2,2,23),(,2,0)BABP=−=−，设平面1BAP的一个法向

量(,,)nxyz=，则有12223020nBAxyznBPxy=−+==−=，令2x=得2(2,,)3n−=，而平面11AACC的一个法向量(0,1,0)m=，依题意，222||3|cos,|4||||22()3nmnmnm===−

++，化简整理得：2340+−=而04，解得1=，所以在线段AC上存在一点P，且P是靠近C的四等分点，使平面1BAP和平面11AACC所成角的余弦值为34.21.已知圆心在x轴上的圆C与直线:4360lxy+−=切于点36,55M.（1）求

圆C的标准方程；（2）已知()2,1N，经过原点且斜率为正数的直线1l与圆C交于()11,Pxy，()22,Qxy.求22PNQN+的最大值．【答案】（1）()2214xy++=（2）21022+【解析】【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆C

的标准方程.（2）设出直线1l的方程，并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得22PNQN+的表达式，结合换元法以及基本不等式求得22PNQN+的最大值.【小问1详解】由圆心在x轴上的圆C与直线:4360lxy+−=切于点36,55M，设(),0Ca，直线:4360lx

y+−=的斜率为43−，则6535CMka=−，所以6451335a−=−−．所以1a=−，所以()1,0C−，22361255CM=−−+−=，即2r=，所以圆C的标准方程为()2214xy++=．【小问2详解】设直线()1:0lykxk=，与

圆联立方程组()2214ykxxy=++=，可得()221230kxx++−=，()241210k=++，由根与系数的关系得12221xxk+=−+，12231xxk=−+，()()()()22221122222121PNQNxyxy=−++−+−+−()()

()()222211222121xkxxkx=−+−+−+−()()()()()22212121221241214210161kkxxkxxkxxk+=++−+−+++=++，令33tkt=+（），则3kt=−，所以()22124444161616161011013626ktkttt

tt++=+=++++−+−−416210222106=+=+−，当且仅当10tt=，即10=t时取等号，此时103k=−，所以22||PNQN+的最大值为21022+.【点睛】本题的难点在于第二问，求最值.求解最值有关的题目，首先要将表达式求出，本题是结合根与系数

关系求得表达式.然后根据表达式的结构来选择求最值的方法，可考虑二次函数的性质、基本不等式或函数的单调性来求解最值.22.已知点()11,0F−，圆()222:18Fxy−+=，点Q在圆2F上运动，1QF的垂直平分线交2QF于点P．（1）求动点P轨迹C的方程.（2

）动点P的轨迹C与x轴交于A，B两点A（在B点左侧），直线l交轨迹C于M，N两点MN（，不在x轴上），直线AM，BN的斜率分别为1k，2k，且122kk=，求证：直线l过定点．【答案】（1）2212xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合椭圆的定义求得动

点P的轨迹C的方程.（2）设出直线l的方程并与轨迹C的方程联立，化简写出根与系数关系，结合122kk=列方程，化简后判断出直线l过定点.【小问1详解】圆()222:18Fxy−+=的圆心为()21,0F，半径为22，依题意得12212222PFPFQFFF+===，的则动点P

的轨迹是以1F，2F为焦点的椭圆，其中2a=，1c=，2221bac=−=，所以动点P的轨迹C的方程为2212xy+=.【小问2详解】设直线l的方程为xtym=+，()11,Mxy，()22,Nxy，则由221xtymxy=

++=得()2222220tymtym+++−=，由根与系数的关系得12221222222mtyytmyyt+=−+−=+①，由题意M，N两点不在x轴上，所以12x，22x，2m，又点()2,0A

−，()2,0B，所以1112ykx=+，2222ykx=−，由221112xy+=得1111222yxyx−=−+，从而由已知122kk=得12122222xyyx−−=−，即()()1212224

xxyy−−=−②，又11xtym=+，22xtym=+③，将③代入②得()()()()2212124220tyytmyym++−++−=，将①代入上式并整理得：()()()()()()22224222220tmtmmtmt

+−+−−+−+=．()()()()()2220,422220mtmtmtmt−+++−+−+=，整理得6220m+=，23m=−，直线l的方程为23xty=−，故直线l恒过定点2,03−.【点睛】求解动点轨迹方程有关的题目，可根据圆锥曲线的定义来进行求

解，还可以利用题目所给等量关系，列方程来进行求解.求解直线定点有关问题，可先设出含有参数的直线方程，根据已知条件求得与参数有关的式子，从而判断出定点.