【文档说明】浙江省嘉兴市桐乡第一中学2023届高三下学期5月适应性测试数学试题 含解析.docx，共(26)页，2.966 MB，由小赞的店铺上传

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桐乡第一中学2023届高三数学适应性测试一、选择题I：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知U＝R，A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x||x－3|＞1}，则A∪UBð＝（）A

.{x|1≤x≤4}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x＜2}D.{x|2＜x≤3}【答案】A【解析】【分析】先化简集合A，B，再利用集合的补集和并集运算求解.【详解】解：因为13Axx=，4Bxx=或2x，所以24UBxx=ð，()

14UABxx=ð，故选：A．2.已知复数z满足()12i43iz+=−（i是虚数单位），则z的虚部为（）A.2B.2−C.1D.1−【答案】B【解析】【分析】由题目条件可得()12i43i5z+=−=，即512iz=+，然后利用复数的运算法则化简.【详解】因为43i5

−=，所以()12i43i5z+=−=，则()()()512i5510i12i1+2i1+2i12i5z−−====−−故复数z的虚部为2−.故选：B3.已知两个非零向量a，b满足3ab=，()abb+⊥，则cos,ab=（）A.12B.12−C.13D.13−【答案】D【解析】

【分析】根据向量的数量积运算律和夹角公式求解.【详解】因为()abb+⊥，所以()0abb+=，所以20abb+=，所以2abb=−，221cos,33bbababababbb−−====−，故选:D.4.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”

与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且120A

BC=，则该圆台的体积为（）A.502π3B.9πC.7πD.142π3【答案】D【解析】【分析】根据题意求出圆台上下底面半径121,2rr==，圆台的高22h=，代入圆台的体积计算公式即可求解.【详解】设圆台上下底面的半径分别为12,rr，由题意可知112π3=2π3r，解得11r=，

212π6=2π3r，解得：22r=，作出圆台的轴截面，如图所示：图中121,2ODrOAr====，633AD=−=，过点D向AP作垂线，垂足为T，则211ATrr=−=，所以圆台的高2223122hADAT=−=−=，则上底面面积21π1=πS=，22π2=4πS=，由圆台的体积计

算公式可得：121211142π()7π22333VSSSSh=++==，故选：D.5.甲乙丙丁戊5个人站成一排，则甲乙均不站两端的概率（）A.310B.25C.12D.35【答案】A【解析】【

分析】求出5人作全排、甲乙不在两端的排法数，再由古典概型概率的求法求概率.【详解】5人作全排有55A120=种排法，甲乙不在两端，中间3个位置选2个安排甲乙，余下3人全排有2333AA36=种，所以甲乙均不站两端的概率36312010=.故选：A6.若2cos2sin04

++=，0,2，则sin=（）A.714+B.714−C.624+D.624−【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式把cos2化为sin(2)2+，再用二倍角公式变形，从而求出cos()4+，再求出sin()4

+.把sin变形为sin()44+−再用和差角公式即可计算.【详解】由2cos2sin()04++=得2sin(2)sin()0.24+++=所以22sin()cos()sin()0444

++++=.因为0,2，所以3,444+，所以sin()04+，所以22cos()104++=，所以2cos()44+=−，2sin()1cos()44414+=−+=，所以sin()sin()coscos

()sin444444sin+−=+−+=222714242414+=−−=.故选：A7.已知动直线l与圆22:4Oxy+=交于A，B两点，且120AOB

=．若l与圆22(2)25xy−+=相交所得的弦长为t，则t的最大值与最小值之差为（）A.1046−B.1C.468-D.2【答案】D【解析】【分析】根据题意当动直线经过圆22(2)25xy−+=的圆心时，可得到弦

长的最大值为该圆的直径，再设线段AB的中点为C，从而得到动直线l在圆221xy+=上做切线运动，当动直线l与x轴垂直且点C的坐标为(1,0)−时，即可得到弦长的最小值，进而即可求解．【详解】由题意可知圆22(2)25xy−+=的圆心(2,0)在圆22:4Oxy+=上，则

当动直线经过圆心，即点A或B与圆心(2,0)重合时，如图1，此时弦长t取得最大值，且最大值为max2510t==；设线段AB的中点为C，在AOB中，由2OAOB==，且120AOB=，则1OC=，则动直线l在圆221xy+=上做切线运动，所以当动直线l与x轴

垂直，且点C的坐标为(1,0)−时，如图2，此时弦长t取得最小值，且最小值为22min2538t=−=，所以t的最大值与最小值之差为2．故选：D．【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法：①几何法：求圆的半径r，弦心距d，则弦长为222trd=−；②代数法：运用根与系数

的关系及弦长公式2121ABkxx=+−．8.已知函数()lnfxxx=，()exgxx=，若存在0t，使得()()12fxgxt==成立，则122xx−的最小值为（）A.2ln4−B.2ln4+C.eln2−D.eln2+【答案】A【解析】【分析】由题设知21()(e)xfxft==

，研究()fx的单调性及最值，画出函数图象，数形结合确定0yt=、()fx的交点个数得21exx=，进而将目标式化为121122lnxxxx−=−且11x，构造函数研究最小值即可.【详解】由题设222211eelennlxxxxxtx===，即21()(e)

xfxft==，由()1lnfxx=+，则1(0,)e上()0fx，()fx递减；1(,)e+上()0fx，()fx递增；11()()eefxf=−，且(1)0f=，()fx图象如下：由图知

：(0,)t+时，21exx=，即21lnxx=且11x，所以121122lnxxxx−=−，令()2lnhxxx=−且(1,)x+，则22()1xhxxx−=−=，12x时，()0hx，(

)hx递减；2x时，()0hx，()hx递增；所以min()(2)22ln22ln4hxh==−=−，即122xx−的最小值为2ln4−.故选：A【点睛】关键点睛：利用同构得到21()(e)xfxft==，导数研究()fx性质，结合(0,)t+得到21exx=为关键.二、选择题

II：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.以下说法正确是（）A.决定系数2R越小，模型的拟合效果越差B.数据1，2，4，5，6，8，9的60百分位数为5C.若19,3XB，则

()218DX+=D.有一组不全相等的样本数据1x，2x，L，11x，它的平均数和中位数都是5，若去掉其中的一个数据5，则方差变大【答案】ACD【解析】【分析】A由决定系数2R实际意义；B百分位数定义求60百分位数；C二项分布方差公式求方差，再由方差

性质求新方差；D应用方差公式写出原方差、新方差，结合题意判断大小.【详解】A：决定系数2R越小，模型的拟合效果越差，越大拟合效果越好，对；B：760%4.2=，故60百分位数为6，错；C：由19,3XB，则11()9(1)233DX=

−=，故()214()8DXDX+==，对；D：由5x=，原方差112211(5)11iisx==−，去掉一个数据5，均值不变，新方差1022111(5)10iisy==−，数据iy是数据ix去掉一个数据5所得新数据，显然221ss，对.故选：ACD的的10.设函数

()fx的定义域为()00,0xxR是()fx的极大值点，以下结论一定正确的是（）A.()()0,xfxfxRB.0x−是()fx−的极大值点C.0x是()fx−的极小值点D.0x−是()fx−−的极大值点【答案】BC【解析】【分析】根据极值定

义结合函数的对称性进行判断即可.【详解】0x是()fx的极大值点．则存在区间(,)ab，0x(,)ab，对任意(,)xab有0()()fxfx，0()fx不一定是最大值，A错误；()fx−的图象与()fx的图象关于y轴对称，因此0

(,)xba−−−，对任意(,)xba−−有0()()fxfx−，0x−是()fx−的极大值点，B正确；()fx的图象与()fx−的图象关于x轴对称，因此对任意(,)xab有0()()fxfx−−，C正确；由BC的推理可知0x−是()fx−−的极小

值点，D错误．故选：BC．11.在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角的终边OA与圆心在坐标原点，半径为2的圆交于点()(),10Amm−，射线OA绕点O按逆时针方向旋转弧度．．后交该圆于点B，记点B的纵坐标y关于的函

数为()yf=．则下列说法正确的是（）．A.()π2sin6f=+B.函数()yf=的图象关于直线π3=对称C.函数()yf=的单调递增区间为()2ππ2π,2πZ33kkk−++

的D.若()32f=，()0,π，则π39tan613+=【答案】BD【解析】【分析】由题意确定7π2π,Z6kk=+，由此可求得()2sin()π6yf==−+判断A；结合正弦函数对称性和单调性可判断BC；由()32f=可得4πs63

in()+=−，利用同角的三角函数关系可判断D.【详解】由题意可知1sin2=−，而()(),10Amm−，故3cos2=−，故7π2π,Z6kk=+，则())7ππ2π62sin()2sin2sin(6ykf==+=+=−++，A错误；当π3=

时，(2sin()2πππ)336f−=+=−，即()yf=此时取最小值，故函数()yf=的图象关于直线π3=对称，B正确；令π3π2π2π,Zπ622kkk+++，解得()π4π2π2π,Z33kkk++，即函数()yf=的单调递增区间为

()π4π2π,2πZ33kkk++，由于()yf=的最小正周期为2π，故()π4π2π,2πZ33kkk++和()2ππ2π,2πZ33kkk−++不同，C错误；若()32f

=，()0,π，即332sin(),sin()24ππ66−+=+=−，因为ππ7π(,)666+，故4π613cos()+=−，则3394tan()134π613−+==−，D正确

，故选：BD12.已知抛物线C：2yx=，点()11,Axy，()22,Bxy均在抛物线C上，点()0,3P，则（）A.直线PA的斜率可能为110B.线段PA长度的最小值为5C.若P，A，B三点共线，则1211yy+是定

值D.若P，A，B三点共线，则存在两组点对(),AB，使得点A为线段PB的中点【答案】BCD【解析】【分析】根据两点斜率公式，结合一元二次方程的根可判断A，由两点距离公式，结合导数求单调性确定最值可判断B，联立

直线与抛物线方程，由根与系数的关系求解可判断C，根据中点坐标公式，由一元二次方程根的个数可判断D.【详解】设()()221122,,,AyyByy在抛物线上，且满足221122,xyxy==，对于A，假如直线PA的斜率可以为110，则2111213110300,10APykyyy−==

−+=由于1001200=−，则该方程无解，所以直线PA的斜率不可能为110，故A错误；对于B，()24113PAyy=+−，记()()24311113,423yyyyyy=+−=−−，记()()()()32111111423,1220,gyyygyy

ygy=−−=+=单调递增，由于110yy==，因此11y时，()24110,3yyyy+−=单调递增，当11y时，()24110,3yyyy+−=单调递减，故当11y=时，()24113yyy=+−取最小值5，因此(

)24113PAyy=+−的最小值为5，故B正确；对于C，若,,PAB三点共线，显然直线AB与x轴不平行，设直线方程为(3)xmy=−，联立抛物线方程可得，230ymym−+=，当2120mm=−时，1212,3yymyym+==，

所以22112111133yyyymyym=++==，故C正确；对于D，若,,PAB三点共线，A为线段PB的中点，则212102,32xxyy+=+=，将()()221122,,,AyyByy代入抛物线方程中得()2222

21211123221290,Δ144429720yxyxxyy=−==−+==−=，故有两个不相等的实数根，所以满足条件的点A有2个，即存在两组点对(),AB，故D正确.故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知椭圆22116xym+=的左、右焦

点分别为点1F、2F，若椭圆上顶点为点B，且12FBF为等腰直角三角形，则m=______.【答案】8【解析】【分析】根据12FBF为等腰直角三角形得到222ab=，代入计算得到答案.【详解】椭圆22116xym+=，故2216,abm==，12FBF为等腰直角三角形，故bc=，故222

ab=，即162m=，8m=.故答案为：814.已知数列na的通项公式为1nan=−，数列nb是以1为首项，2为公比的等比数列，则129bbbaaa+++=___________.【答案】502【解析】【

分析】由等差数列、等比数列的通项公式可得121nnba−=−，再由等比数列的前n项和公式即可得结果.【详解】由题意可得：1nan=−，12nnb−=，1121nnbnab−=−=−.所以129981(12)(122)9950212bbbaaa−+++=+++−=−=−LL故答案为：50

2.15.若函数()2logfxax=+的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为________．【答案】)1,+【解析】【分析】作出函数()2logfxax=+的大致图象，结合图象可得()000fa−，即可得解.

【详解】函数()2logfxax=+的图象关于xa=−对称，其定义域为xxa−，作出函数()2logfxax=+的大致图象如图所示，由图可得，要使函数()2logfxax=+的图象不过第四象限，则()00

0fa−，即2log00aa−，解得1a，所以实数a的取值范围为)1,+.故答案为：)1,+.16.已知三棱锥−PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC==，ABC是边长为2的正三角形，三棱锥−

PABC的体积为16，Q为BC的中点，则过点Q的平面截球O所得截面面积的最小值是______.【答案】π2【解析】【分析】先根据条件可证明PAPB⊥，PBPC⊥，PCPA⊥，故三棱锥−PABC放入正方体中，正方体的外接球

即是三棱锥−PABC的外接球，从而即可求出球O的半径，过点Q的平面截球O所得截面面积的最小时，截面与OQ垂直，求得截面圆半径r即可．【详解】设P在底面ABC上的射影为M，如图，因为PAPBPC==，由APMBPMCPM，，全等得M为ABC的中心，由题可知，32ABCS=

，由1136△PABCABCVPMS−==，解得33PM=在正ABC中，可得63AM=.从而直角三角形APM中解得221PAPMAM=+=.同理1PBPC==，又ABC是边长为2的正三角形，所以2222PA

PBAB+==，则PAPB⊥，同理PBPC⊥，PCPA⊥，因此正三棱锥−PABC可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥−PABC的外接球相同，正方体对角线的中点为球心O.记外接球半径为R，则32R=，过点Q的平面截球O所得截面面积的最小时，截面与OQ垂直，此

时截面圆半径r满足222RrOQ=+，由12OQ=得23144r=+，所以212r=，所以截面面积的最小值为2ππ2r=.故答案为：π2四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.数列na满足1312nnaan+=+−，12a=，（1

）若数列nan−是等比数列，求及na的通项公式；（2）若数列nb满足：21nnnban−=−，数列nb的前n项和为nT，求证：3nT.【答案】（1）1=，13nnan−=+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先通过递推关

系配凑出等比数列的结构，从而得到，进而得出na的通项公式；（2）利用错位相减法求和并证明.【小问1详解】由1312nnaan+=+−可得，()1312131nnnaannann+=+−−−=−−−，又1110a−=，故nan−是首项为1，公比为3的

等比数列，即1=，13nnan−−=，于是13nnan−=+【小问2详解】由（1）知，1213nnnb−−=于是0122111111135(23)(21)33333nnnTnn−−=+++−+−，则1231111111135(23)(21)333

333nnnTnn−=+++−+−，两式相减：121111121112121121331212213333333313nnnnnnnTnnn−−−−−−−=++++−=+−=−−−，即1212122223333nnn

nTnn−−+=−−=−，于是1133nnnT−+=−，故3nT.18.“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产

投资，所获得的利润有如下统计数据，并计算得()()61iiixxyy=−−=30.A充电桩投资金额x/万元3467910所伏利润y/百万元1.5234.567（1）已知可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，求其经验回归方程；（2）若规定所获利润y

与投资金额x的比值不低于23，则称对应的投入额为“优秀投资额”.记2分，所获利润y与投资金额x的比值低于23且大于12，则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利润y与投资金额x的比值不超过12，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投资金额中任意选2个，用X表示

记分之和，求X的分布列及数学期望.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,nnxyxyxy，其回归直线方程ˆˆˆybxa=+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()()1122211ˆˆˆ,nnii

iiiinniiiixxyyxynxybaybxxxxnx====−−−===−−−【答案】（1）ˆ0.81.2yx=−（2）分布列见解析，53【解析】【分析】（1）根据已知数据，利用最小二乘法，求出回归

系数，可得线性回归方程；（2）利用概率公式求出随机向量X的概率，可得随机变量X的分布列，代入期望公式计算即可.【小问1详解】根据获得的利润统计数据，可得34679106.56x+++++==，1.5234.56746y+++++==，()622222221

(36.5)(46.5)(66.5)(76.5)(96.5)(106.5)37.5iixx=−=−+−+−+−+−+−=，所以()()()6162130ˆ0.837.5iiiiixxyybxx==−−===−，所以ˆˆ

40.86.51.2aybx=−=−=−，所以y关于x的经验回归方程为ˆ0.81.2yx=−.【小问2详解】由题意，1.5132=，2142=，3162=，4.59714=，6293=，710，所以“优秀投资额”有2个，“良好投资额”有1个，“不合格投资额”有3个.随机变量X的可能取值为4

,3,2,1,0，()2326C10C5PX===，()111326CC11C5PX===，()112326CC22C5PX===，()112126CC23C15PX===，()2226C14C15PX===，所以X的分布列为X01234P

151525215115数学期望112215()0123455515153EX=++++=.19.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，平面1ABC⊥侧面11ABBA，且12AAAB==.（1）求证：ABBC⊥；（2）若直线

AC与平面1ABC所成角为π6，E为线段1AC的中点，求平面ABE与平面BCE所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析的（2）π3【解析】【分析】（1）利用线面垂直和面面垂直的判定与性质即可完成证明；

（2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量进而求得两个平面所成锐二面角的大小.【小问1详解】取1AB的中点为M，连接AM.因为1AAAB=，所以1AMAB⊥.又因为平面1ABC⊥侧面11ABBA，平面1ABC侧面

111=ABBAAB，AM平面11ABBA，所以AM⊥平面1ABC.因为BC平面1ABC，所以AMBC⊥.因为在直三棱柱111ABCABC-中，1AA⊥底面ABC且BC平面ABC，所以1AABC⊥，又1AAAMA=，从而BC⊥侧面11ABBA，又因为AB

平面11ABBA，所以ABBC⊥.【小问2详解】由（1）知AM⊥平面1ABC，所以直线AC与平面1ABC所成的角为π6ACM=，因为2AB=，2AM=，22AC=，222BCACAB=−=;以B为原点，BC，BA，1BB分别

为x，y，z轴正向建立坐标系，()0,0,0B，()0,2,0A，()10,2,2A，()2,0,0C，()1,1,1E，()=0,2,0BA，()=1,1,1BE，()=2,0,0BC设平面ABE的法向量为(),,nxyz=200nB

AynBExyz===++=，故可设()1,0,1n=−，设平面CBE的法向量为()111,,mxyz=，1111200mBCxmBExyz===++=，故可设()0,1,1m=−，设平面ABE与平面BCE所成锐二面角为，∴1cos2nm

nm==，所以π3=.20.在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，22cosacbC−=.（1）求B；（2）若点D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，π3EDF=，2bc==.设BDE=，将DEF的面积

S表示为的函数，并求S的取值范围.【答案】（1）π3；（2）33ππ,2π6216sinsin3S=−，333,48S.【解析】【分析】（1）由余弦定理可得222acbac+−=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题

可得ABC为等边三角形，ππ62，在BDE与CDF中，分别由正弦定理求出DE，DF，根据三角形面积公式可得33ππ,2π6216sinsin3S=−，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cosacbC−=，所以22222

2222abcabcacbaba+−+−−==，的即222acbac+−=，所以2221cos222acbacBacac+−===.因为()0,πB，所以π3B=.【小问2详解】由π3B=及2bc==可知ABC为等

边三角形.又因为π3EDF=，BDE=，所以ππ62.在BDE中，2π3BED=−，由正弦定理可得,sinsinDEBDBBED=，即32π2sin3DE=−.在CDF中，CFD=,由正弦定理可得，sinsinDFCDCCFD=，即32sinDF

=.所以31π33ππsin,2π2π8362sinsin16sinsin33S==−−.因为2π31sinsincossinsin322−=+231311sincossinsin2co

s222444=+=−+1π1sin2264=−+，因为ππ62，所以ππ5π2,666−，所以π1sin2,162−，所以1π113sin2,26424−+.所以2π16sinsi

n8,123−，所以111,2π12816sinsin3−，所以33333,2π4816sinsin3S=−.所以S的取值范围为333,48.21.已知双曲线E：222

21(0,0)xyabab−=的离心率为5，并且经过点()2,2．（1）求双曲线E的方程．（2）若直线l经过点()2,0，与双曲线右支交于P、Q两点(其中P点在第一象限)，点Q关于原点的对称点为A，点Q关于y轴的对称点为B，

且直线AP与BQ交于点M，直线AB与PQ交于点N，证明：双曲线在点P处的切线平分线段MN．【答案】（1）2214yx−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知可求2a，2b，可求双曲线E的方程．（2）设()11,Pxy，()22,Qxy，与双曲线联立方程，求得AP，BP的方程求得M，N坐标

，可求得中点T的坐标，点P处的切线经过线段MN的中点T即可．【小问1详解】依题意，离心率225cabeaa+===，22241ab−=，解得21a=，24b=，双曲线E的方程为2214yx−=．【小问2详解】证明：设()11,

Pxy，()22,Qxy，则()22,Axy−−，()22,Bxy−，直线PQ为()20xtyt=+，代入双曲线2214yx−=方程得()224116120tyty−++=．则2410t−且()216430t=+，12212041yyt

=−，2104t，1221641tyyt+=−−，()212121212216414164441APtyyyytkttxxtyytt−++−====+++−+−，直线AP的方程为()224yy

txx+=+，令2yy=，得222Myxxt=−，222,2yMxyt−，直线PQ为2xty=+，令2xx=−，得：2224Nxyytt−−==−−，即224,Nxyt−−−，设线段MN的中点坐标为

()00,Txy，则()220224Mxxyxxt+−==−，2022Nyyyt+==−，过点P的切线方程为：1114yyxx−=，要证双曲线在点P处的切线平分线段EF，即证点P处的切线经过线段MN的中点T，()10212110121222244442yyyy

yyxxxxtytytttt−=−−−=+−−+()222212122214141412141644142441241tttttyyyytttt−−−−=++−=+−−=−−，点

P处的切线过线段MN的中点T，即点P处的切线平分线段MN．22.已知函数()2exfxax=−，Ra．（1）若e2a，证明：()fx在()0,+上单调递增．（2）若()()lnfxFxaxx=+存在两个极小值点12,xx()12x

x．①求实数a的取值范围；②试比较()1Fx与()2Fx的大小．【答案】（1）证明见解析（2）①()e,+；②()()12FxFx=.【解析】【分析】（1）求得()e2xfxax=−，根据题意得到()e2ee

xxfxaxx=−−，设()eexpxx=−，利用导数求得()px的单调性和()()min10pxp==，即可证得()fx在()0,+上单调递增；（2）根据题意求得()()()21exxaxFxx−−=，令()()e0xhxaxx=−，

则()exhxa=−，（i）当1a时，得到()hx单调递增，进而得到()Fx的单调性，得出()Fx只有一个极小值点，不合题意；（ii）当1a时，利用导数求得()hx在()0,lna上单调递减，在()ln,a+上单调递增且()()min1

lnhxaa=−，①当1ea时，求得()Fx单调性，得到()Fx只有一个极小值点，不合题意；②当ea时，得到()hx在()0,1上存在零点1x，即存在()10,1x，使得()10hx=，利用函数()2

lnxxx=−，证得()()2ln2ln0haaaa=−，得到()hx在()1,2lna上存在零点2x，结合极值点的定义，求得实数a的取值范围，再由（ii）得到12,xx满足方程1212ee0xxaxa

x−=−=，得出11lnlnxxa−=−，22lnlnxxa−=−，求得()()12FxFx=.【小问1详解】解：由()2exfxax=−，可得()e2xfxax=−，因为2ea且0x，所以2eaxx，所以当0x时，可得()e2eexxfxaxx=−−，设

()eexpxx=−，则()eexpx=−，当()0,1x时，可得()0px；当()1,x+时，可得()0px，所以()px在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以当1x=时，函数()px取得最小值，且()()min10pxp==，所以当0x时，()0px，即(

)e2ee0xxfxaxx=−−，所以()fx在()0,+上单调递增．【小问2详解】解：由题意得，函数()()elnlnxfxFxaxaxaxxx=+=−+，定义域为()0,+，可得()()(

)()221ee1xxxaxxaFxaxxx−−−=−+=，令()()e0xhxaxx=−，则()exhxa=−，（i）当1a时，因为0x时，e1x，所以()0hx，()hx单调递增，故()0e10hx=，此时()Fx在()0,1上单调递

减，在()1,+上单调递增，所以()Fx只有一个极小值点，不合题意；（ii）当1a时，令()e0xhxa=−=，则ln0xa=，当0lnxa时，()0hx，当lnxa时，()0hx，所以()hx在()0,lna上单调递减，在()ln,a+上单

调递增，所以当lnxa=时，()hx取得最小值，即()()()minln1lnhxhaaa==−，①当1ea时，()()min1ln0hxaa=−，此时()Fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，可得()Fx只有一个极小值点，不合题意；②当ea时，()(

)min1ln0hxaa=−，因为0x→时，()1hx→，()1e0ha=−，所以()hx在()0,1上存在零点1x，即存在()10,1x，使得()10hx=．令()2lnxxx=−，则()221xxxx−=−=，当()0

,2x时，()0x，()x单调递减；当()2,x+时，()0x，()x单调递增，所以()()20x，即2ln0xx−，可得()()2ln2ln0haaaa=−，所以()hx在()1,2lna上存在

零点2x，即存在()21,2lnxa，使得()20hx=，所以()Fx，()Fx随x的变化情况如下：x()10,x1x()1,1x1()21,x2x()2,x+()Fx-0+0-0+()Fx↘极小值↗极大值↘极小值↗所以12,xx为()Fx的两个极小值点．故实数a的取值范围为()e,+由

（ii）知12,xx满足()()120hxhx==，即1212ee0xxaxax−=−=，所以11lnlnxax=+，22lnlnxax=+，得11lnlnxxa−=−，22lnlnxxa−=−，所以()()()1111111e

lnln11lnxFxaxaxaxxaax=−+=−+=−，()()()2222222elnln11lnxFxaxaxaxxaax=−+=−+=−，所以()()12FxFx=．【点睛】方法点睛：对于利用导数研究极值与最值的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调

性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，

进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com