【文档说明】安徽省阜阳市临泉田家炳实验中学2025届高三上学期12月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(23)页，1.396 MB，由envi的店铺上传

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高三12月考试卷数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.设集合21{|0}{|37

10}xAxBxxxx−==−，，则AB=（）A.()11−，B.1003，C.01，D.(01，【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．【详解】因为10xx−，所以()100

xxx−，解得01x，因为23710xx−，所以()()31010xx−+，解得1013x−，所以{|01}Axx=，10{|1}3Bxx=−，故(01AB=，．故选：D．2.已知复数z满足zz=4且0zzz++=，

则2019z的值为A.﹣1B.﹣22019C.1D.22019【答案】D【解析】【分析】首先设复数z=a+bi（a，b∈R），根据zz=4和zz++|z|=0得出方程组，求解可得：z13222i=−−，通过计算可得：313(-)122=，代入即

可得解.【详解】设z=a+bi（a，b∈R），由zz=4且zz++|z|=0，得224220aba+=+=，解得a=﹣1，b3=.∴z1313222ii=−=−，而322313113133()3()3()()2

2822222iiii−−=−+−−+−−+−=1，322313113133()3()3()()122822222iiii−+=−+−+−+=.∴20192019201920193673201913132()2

[()]22222zii=−=−=.故选：D.【点睛】本题考查了复数的计算，考查了共轭复数，要求较高的计算能力，属于较难题.3.在ABCV中，2AC=，D为AB的中点，172CDBC==，P为CD上一点，且13APmACAB=+，则AP=（）

A.314B.133C.132D.2133【答案】D【解析】【分析】由中点可知𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)，根据模长关系可得2CACB=−，设CPCD=，结合平面向量的线性运算以及基本定理可得1323m==，用CACB,表示AP，

结合模长运算求解.【详解】因为D为AB的中点，则𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)，可得()222124CDCACBCACB=++，即()1742824CACB=++，解得2CACB=−，又因为P为

CD上一点，设CPCD=，则()111223APACCPACCDACABACACABmACAB=+=+=+−=−+=+，可得1123m−==，解得1323m==，即

23=uuruuurCPCD，则2112132233APACCPCACACBCACB=+=−++=−+，可得222414529999=+−=uuuruuruuruuruurAPCACBCACB，即2133AP=.故选：D.【点睛】关键点睛：1.根据模长关系可得2

CACB=−；2.设CPCD=，根据平面向量基本定理求得1323m==；3.以CACB,为基底表示AP，进而运算求解.4.已知甲植物生长了一天，长度为(0)aa，乙植物生长了一天，长度为16a

.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的32倍，乙每天的生长速度是前一天的23，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（）（参考数据：取lg20.3,lg30.48==）A.第6天B.第7天C.第8天D.第9天【答案】C【解析】【分析】设甲植物每天生长的长

度构成等比数列na，甲植物每天生长的长度构成等比数列nb，设其前n项和分别为nS、nT，依题意得到na、nb的通项公式，即可求出nS、nT，再由nnST得到3242n，最后根据指数函数的性质及对数的运算性质计算

可得.【详解】设甲植物每天生长的长度构成等比数列na，甲植物每天生长的长度构成等比数列nb，设其前n项和分别为nS、nT（即n()N*n天后树的总长度），则132nnaa−=，12163nnba−=，所以213123333213222212nnnnaSaaa

aa−−=++++==−−−，2121613222216161614812333313nnnnaTaaaaa−−=++++==−

−，由nnST，可得322148123nnaa−−−，即2332524022nn−+，即33241022nn

−−，解得3242n或312n（舍去），由3242n则32log24n，因为32lg24lg33lg20.4830.3log247.7

3lg3lg20.480.3lg2++===−−，即7.7n，又*nN，所以n的最小值为8.故选：C【点睛】关键点睛：本题关键是利用等比数列求出公式求出n()N*n天后树的总长度，从而得到不等式，再结合指数函数

的性质解得.5.已知四棱锥PABCD−的底面为矩形，23AB=，4BC=，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，M为四棱锥PABCD−内切球表面上一点，则点M到直线CD距离的最小值为（）A.102−B.101−C.232−D.231−【答案】B【解析】【分析】,HN分别为AB和CD的

中点，平面PHN截四棱锥PABCD−的内切球O所得的截面为大圆，求出圆的半径，利用圆心到直线距离求点M到直线CD距离的最小值.【详解】如图，设四棱锥的内切球的半径为r，取AB的中点为H，CD的中点为N，连接PH，PN，HN，球O为四棱锥P

ABCD−的内切球，底面ABCD为矩形，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，则平面PHN截四棱锥PABCD−的内切球O所得的截面为大圆，此圆为PHN的内切圆，半径为r，与HN，PH分别相切于点E，F，平面PAB⊥平面ABCD，交线为AB，PH平面PAB，

PAB为正三角形，有PHAB⊥，PH⊥平面ABCD，HN平面ABCD，PHHN⊥，23AB=，4BC=，则有3PH=，4HN=，5PN=，则PHN中，()113434522PHNSr==++，解得1r=所以，四棱锥PABCD−内切球半径1，连接ON.PH⊥Q平面ABCD，C

D平面ABCD，CDPH⊥，又CDHN⊥，,PHHNÌ平面PHN，PHHNH=，CD\^平面PHN，ON平面PHN，可得ONCD⊥，所以内切球表面上一点M到直线CD的距离的最小值即为线段ON的长减去球的半径，又2210ONOEEN=+=.所以四棱锥PABCD−内切球表面

上的一点M到直线CD的距离的最小值为101−.故选：B.【点睛】方法点睛：.为四棱锥PABCD−的内切球，与四棱锥的五个面都相切，由对称性平面PHN截四棱锥PABCD−的内切球O所得的截面为大圆，问题转化为三角形内切圆，利用面积法求出半径，即内

切球的半径，由球心到直线CD的距离，求点M到直线CD的距离的最小值.6.已知()fx是定义在)0,+上单调递增且图像连续不断的函数，且有()()()()()1fxfyfxyfxfy++=+，设121xx，则下列说法正确的是（）A.(

)()1212122fxfxxxf++B.()()1212122fxfxxxf++C.()()1212122fxfxxxf++D.()()1212122fxfxxxf++【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性的定义和性质以及利

用反证法证明不等式，结合选项先证明()1fx，再根据()()()2221fxfxfx=+，可得()12122122212xxffxxxxf++=++，构造函数())22,0,11xgxxx=+，根据函数单调性即可得出结论.【详解

】()()()()()0010fxffxfxf++=+得到()()2010ffx−=，因为()fx单调递增，所以()fx不恒等于1，故()00f=，因为()fx在)0,+上单调递增，故()()00fxf=，若存在0x使得()01fx=，则()()()011

1fxfxxfx++==+，则()fx恒等于1，与()fx单调递增矛盾，故()1fx，)0,x+，若存在1x，使得()11fx因为()fx连续，()()11,001fxf=，故存在2x，使得()21fx=，与上述()1fx矛盾，

故)0,x+()1fx,对于本题，()()()()()()()()()12121221212112fxfxfxfxfxxfxfxfxfx+++=+++，当且仅当()()12fxfx=时取等，因为()12,xxf

x单调递增，故不取等号，即()()()()()121221212fxfxfxxfxfx++++当yx=时，有()()()2221fxfxfx=+，即()12122122212xxffxxxxf++=+

+，当)0,1x时，令()221xgxx=+，()()2,0,11gxxxx=+,因为()1,0,1yxxx=+单调递减，所以()()2,0,11gxxxx=+单调递增，因为()00g=，所以()22,1xgxx=+)0,1x，单调递增，因为()121212212

22212xxfxxgffxxxxf++==+++，()()()()()()1212212212fxfxfxfxgfxfx++=++，所以()()121222fxfxxxgfg

++，所以()()121222fxfxxxf++.综上所述()()1212122fxfxxxf++.故选：D.【点睛】关键点点睛：根据选项先证明()1fx，构造函数()221xgxx=+，根据单调性得出

结论.7.已知抛物线C：22(0)ypxp=的焦点为F，过F作不与x轴垂直的直线l交C于,AB两点，设OAB△的外心和重心的纵坐标分别为,mn（O是坐标原点），则mn的值为（）A.1B.34C.12D.38【答案】D【解析】【分析】设()11,Axy，()22,Bxy，直线

AB的方程为()02pxtyt=+，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，OAB△的重心的纵坐标1203yyn++=，再表示出OA、OB的垂直平分线方程，从而求出m，即可得解.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，显然()1122,

,,0xyxy，直线AB的方程为()02pxtyt=+，由222ypxpxty==+整理得2220yptyp−−=，显然0，所以122yypt+=，212yyp=−，所以2122xxptp+=+，所以OAB△的重心的纵坐标120233yyptn++==

，又OAB△的外心既在OB的垂直平分线上，也在OA的垂直平分线上，又OA的垂直平分线方程为211111121122242yyxyyyxyyyxpp=−−+=−−+整理得21124ypxypyp=−++，同理可得OB的垂直平分线方程为22224ypxypyp=−

++，则2221212244yyppmpmpypyp−++=−++，解得()1212284yyyyptmp+=−=，即外心的纵坐标4ptm=，所以34283ptmptn==.故选：D【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决

直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,xy、()22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为1

2xx+、21xx的形式；（5）代入韦达定理求解.8.已知函数()3exfx−=，()1ln22xgx=+，若()()fmgn=成立，则nm−的最小值为（）A.ln21−B.ln2C.1ln2−−D.1ln2+

【答案】A【解析】【分析】令()()tfmgn==，得到m，n关于t的函数式，进而可得nm−关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求nm−的最小值.【详解】令()()tfmgn==，则3e

mt−=，1ln22nt+=，3lnmt=+，122etn−=，所以122e3lntnmt−−=−−，若12()2e3lnthtt−=−−，则121()2e(0)thttt−=−，()0ht=，有

12t=，当102t时，()0ht，()ht单调递减，当12t时，()0ht，()ht单调递增，min1()ln21()2thh==−，即nm−的最小值为ln21−.故选：A.【点睛】关键点点睛：令()()tfmgn==确定nm−关于t的函数

式，构造函数并利用导数求函数的最小值.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.记函数()()()2cos0,0πfxx=+的最小正周期为T，若()3fT=，且()fx在ππ,33−上的最

大值与最小值的差为3，则（）A.()01f=B.ππ39ff−=C.()fx在区间π2π,93−上单调递减D.直线332yx=−是曲线()yfx=的切线【答案】BD【解析】【分析】根据题意，先由函数周期以及()3fT

=可得π6=，再由条件可得的值，即可得到()3π2cos26fxx=+，然后对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由2π2πTT==，又()()2cos3fTT=+=，可得3cos2=，又0π，则π6=，即()π2cos6fxx=+，若()fx在π

π,33−上单调，则1ππ2π2333T−−=，即π23π32，令π6tx=+，则ππ2ππππ36363t−++，即2cosyt=在πππ,π3636−++上单调递减，即π1π0362

−+，即πππππ36663++=，此时minπ31tyy==，此时maxmin211yy−−=，不符合题意，所以()fx在ππ,33−上不单调，即2cosyt=在πππ,π3636−++上不单调，又maxmin3yy−=，即22ππ3

3T=，即03，即π7ππ366+，π5πππ,3666−+−，若minππππ232cos1π363632y=+=−+==，此时πππ363−+=−，符合题意；若minππ252c

osπ1ππ363632y=−+=−−+=−=，此时πππ36+=，不符合题意；综上可得，3π,26==，即()3π2cos26fxx=+，对于A，()02co

s36πf==，故错误；对于B，πππ32cos2cosπ132363f−=−+=−=，π32cos1929ππ6f=+=，故B正确；对于C，当π2π,93x−，则3π70,π266x+

，且2cosyx=在70,π6上先递减后递增，故C错误；对于D，因为()3π3sin26fxx=−+，所以()302f=−，()03f=，可得332yx=−是()yfx=在()()0,0f处的切线，故D正确；故选：BD【点睛】关键点

点睛：本题的关键是根据最值之差求出的值，需要对该区间内函数的单调性进行分类讨论，从而确定函数解析式，再一一分析选项即可.10.已知数列na各项均为负数，其前n项和nS满足()*16NnnaSn=，则（）A.数列na的第2项小于3−B.数列na不可能是等比数列C.数列na为递

增数列D.数列na中存在大于1100−的项【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，由数列前n项和与通项的关系求出1a和2a的值，可判断选项A，利用反证法判断选项B和D，分析1nnaa−−的符号，即可判断选项C.【详解】由题知，因为()*16NnnaSn=，所以当1n=时，1116aS

=，可得14a=−，当2n=时，()2222416aSaa=−+=，可得2225a=−，又()2253525−−−=−，且()22525，所以22253a=−−，A错误；对于B，假设数列na是等比数列，设其公比为q，由于()2213aaa=，即2213161616S

SS=，变形可得()()22221111aqaqq+=++，必有0q=，与等比数列定义矛盾，B正确；对于C，当2n时，可得()11111616160nnnnnnnnnaaaSSaaaa−−−−−=−=−=，必有10nnaa−−即1

nnaa−，则na是递增数列，C正确；对于D，假设数列na中不存在大于1100−的项，即对于*nN，有1100na−，则100000011000000100000010000100nSa−=−，所以有10

0000010000001610000Sa=−，变形得100000016110000100a−−，与假设矛盾，故D正确.故选：BCD11.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设aO表示以O为圆心，且过B，C的圆

，同理，圆bO，cO的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，若abc==，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面ABCV围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面OABC−.设BOC=，AOC=，AOB=，则下列结论正确的

是（）A.若平面ABCV是面积为234R的等边三角形，则abcR===B.若222abc+=，则222+=C.若π3abcR===，则球面OABC−体积3212VRD.若平面ABCV为直角三角形，且π2ACB

=，则222abc+【答案】BC【解析】【分析】根据弧长公式即可求解A，根据勾股定理以及弧长公式即可求解B，根据球的截面性质可得求解C，根据余弦定理，取反例即可求解D.【详解】若平面ABCV是面积为234R的等边三角形，则ABBCACR===，则π

3===，π3abcR===.A不正确.若222abc+=，则()()()222RRR+=，则222+=.B正确.若π3abcR===，则π3===，ABBCACR===，则平面ABC

V的外接圆半径为13π23sin3RR=，则O到平面ABC的距离223633RhRR=−=，则三棱锥OABC−的体积312312OABCABCVShR−==△，的则球面OABC−的体积3212OABCV

VR−=.C正确.由余弦定理可知22222222222cos,22cos,22cos,BCRRACRRABRR=−=−=−因为π2C=，所以222BCACAB+=，则coscoscos1+−=.取π3==，π2=，则π3

abR==，π2cR=，则22222222ππ94abRRc+==.D不正确.故选：BC【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的

距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并

求解.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是

红球的概率为______.【答案】3356【解析】【分析】记从乙盒中取出的是红球为事件A，从甲盒中取出的球为红球为事件1B，取出白球为事件2B，由已知可得出()()()()1212||PBPBPABPAB，，，的值，然后根据全概率公式，即可得出答案.【详解】记从乙盒

中取出的是红球为事件A，从甲盒中取出的球为红球为事件1B，取出白球为事件2B，由已知可得，()157PB=，()227PB=，()15|8PAB=，()241|82PAB==，根据全概率公式可得，()()()()1212PAPABABPABPAB==+()()()()1122||P

BPABPBPAB=+552133787256=+=.故答案为：3356.13.512axxxx+−展开式中的常数项是120，则实数a=______．【答案】2【解析】【分析】求出512xx−的通项公式，得到44

0Tx=−与380Tx=，从而得到512axxxx+−展开式常数项，得到方程，求出2a=.【详解】∵512xx−展开式的通项公式为()()552151C20,1,2,,5rrrrrTxr−−+=−=，令521r−=−得3r=，即321454

0C2Txx−=−=−．令521r−=得2r=，即2335C280Txx==，∴512axxxx+−展开式中的常数项为434080axTTax+=−+，故4080120a−+=，解得2a=

．故答案为：214.若1x，则2161xxx−+−的最小值为___________.【答案】9【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.【详解】由1x，得10x−，于是216161616112(1)19111

1xxxxxxxxx−+=+=−++−+=−−−−，当且仅当1611xx−=−，即5x=时取等号，所以2161xxx−+−的最小值为9.故答案为：9四、解答题（本题共5小题，共77分）15.若锐角ABCV的内角A，B，C所对的边分

别为a，b，c，其外接圆的半径为3，且()coscos23sincosaBCaAcBA−+=．（1）求角A的大小；（2）求22bab+的取值范围【答案】（1）π3A=（2）)6,43【解析】【分析】（1）利用正弦定理可将()coscos23sinc

osaBCaAcBA−+=化简为sinsin3sincosaBCcBA=，再次化简得sinsinsin3sinsincosABCCBA=，从而求得tan3A=，从而可求解.（2）由ABC的外接圆半径为√3，从而得23sinsinabAB==，从而可得22323si

n4sinbaBbB+=+，由ABC为锐角三角形可得1sin,12B，再构造函数()34fxxx=+，1,12x结合对勾函数的性质从而可求解.【小问1详解】因为()co

scos23sincosaBCaAcBA−+=，所以()coscossinsincoscossinsin23sincosaBCaBCaBCBCcBA+−−=，即sinsin3sincosaBCcBA=，由正弦定理得sinsinsin3sin

sincosABCCBA=，显然sin0C，sin0B，所以sin3cosAA=，所以tan3A=，因为π0,2A，所以π3A=．【小问2详解】因为ABC外接圆的半径为3，所以23sinsinabAB==，所以3a=，23sinbB=，所以22233323

sin23sin2sin4sinbaabBBbbBB+=+=+=+，因为ABCV为锐角三角形，所以π022ππ032BB−，即ππ62B，即1sin,12B．令()34fxxx=+，1,12x

，根据对勾函数的性质可知函数()34fxxx=+在13,22上单调递减，在3,12上单调递增，且122f=，332f=，()714f=，所以())3,2fx，

即)3sin3,24sinBB+，所以)323sin6,434sinBB+，即22bab+的取值范围为)6,43.16.如图，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是菱形，平面ABCD⊥平面PAD，点M在DP上，且2,,120DMMPADAPP

AD===．（1）求证：BD⊥平面ACM；（2）若60ADC=，求平面ACM与平面ABP夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理逆定理可得MAAD⊥，后结合平面ABCD⊥平面PAD，可得MABD^，后结合ACBD⊥可得结论

；（2）由（1）结合题意建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面ACM与平面ABP的法向量，即可得答案.【小问1详解】不妨设3,120,2ADAPPADDMMP====，33,23,3DPDMPM===，由余弦定理得222cos303A

MAPMPAPMP=+−=，在ADM△中，222,ADAMDMMAAD+=⊥，平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD平面,PADADMA=平面PAD，MA⊥平面ABCD．BDQ平面,ABCDMABD⊥，四边形ABCD是菱形，ACBD⊥

，又ACMAA=，且AC平面,ACMMA平面,ACMBD⊥平面ACM．【小问2详解】在平面ABCD内，过点B作AD的垂线，垂足为N，平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD平面PADAD=，BN⊥平面ADP，又四边

形ABCD是菱形，60,30ADCBDA==，,ACDABC△△均为等边三角形，以点A为坐标原点，,ADAM及过点A平行于NB的直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系（如图），则()()3333330,0,0,,0,,3,0,0,,,02222A

BDP−−，由（1）BD⊥平面ACM，933,0,22BD=−为平面ACM的一个法向量，设平面ABP的法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则0,0,ABm

APm==即333022333022xzxy−+=−+=．令3x=，可得()3,1,1m=，335cos,5533BDm==，平面ACM与平面ABP的夹角的余弦值为55．17.2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒

体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：不太了解比较了解合计男生204060女生202040合计4060100（1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技

的了解存在性别差异；（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为X，求X的分布列及()EX.附：①()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中na

bcd=+++；②当23.841时有95%的把握认为两变量有关联.【答案】（1）没有（2）分布列见解析，()45EX=【解析】【分析】（1）根据题意和公式求出2，然后根据附②即可得出结论；（2）由题得出X的取值依

次为0，1，2，依次求出各种取值的概率，然后写出分布列求出期望.【小问1详解】根据列联表中的数据，得()2210020202040252.7783.841406040609−==，所以没有95%的把

握认为对这十大科技的了解存在性别差异.【小问2详解】这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，则抽取的男生有3人，女生在2人，所以X的取值依次为0，1，2，()2325C30C10PX===，()112325CC31C

5PX===，()2225C12C10PX===，所以X的分布列为X012P31035110()3314012105105EX=++=.18.抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛

物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知点F为抛物线()2:20Cypxp=的焦点，O为坐标原点，M点在抛物线上，且其纵坐标为22，满足MFMO=.（1）求抛物线C的标准方程；（2）已知平行于x轴的光线l从点()(),20Pmm射入，经过抛物线上的

点A反射后，再经过抛物线上另一点B，最后沿BQ方向射出，若射线BP平分ABQ，求实数m的值.【答案】（1）22yx=（2）418m=【解析】【分析】（1）求出点M的坐标，根据MFMO=可得出关于p的等式，即可解出p的值，由此可得出抛物线

C的标准方程；（2）求出点A的坐标，可得出直线AF的方程，将直线AF的方程与抛物线的方程联立，求出点B的坐标，设直线BP的倾斜角为，分析可得出π04，2ABQ=，由tan2AFk=结合二倍角的正切公式求出tan的值，结合tan

BPk=可得出实数m的值.【小问1详解】解：由题意可知，抛物线C的焦点为,02pF，将22y=代入抛物线方程可得14xp=，即点12,42Mp，由MFMO=可得211142162ppp+=+，解得1p=，故抛物线C标准方程为22

yx=.【小问2详解】解：由题意可知，直线l的方程为2y=，由222yyx==可得2xy==，即点()2,2A，则24tan1322AFABQk===−，直线AB的方程为4132yx=−，联立2413222yxyxx=−

=可得1812xy==−，即点11,82B−，的设直线BP的倾斜角为，则12202tan1818BPkmm+===−−，由题意可知，2ABQ=，且2为锐角，π022，可得π04，所

以，0tan1，因为22tan4tan21tan3==−，可得120tan281m==−，解得418m=.19.已知函数()()ln,1fxxgxx==−.（1）证明：()()fxgx；（2）设()()

()hxfxgx=−，求证：对任意的0ba，都有()()11hahbabab−−−+成立.【答案】（1）证明过程见解析（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）构造新函数，根据导数的性质判断新构造函数的单调性，利用单调性进行运算证明即可；（2）根据对数运算性质

，结合分析法、构造函数法进行运算证明即可.【小问1详解】设()()()()()111ln01xmxgxfxxxxmxxx−=−=−−=−=，当1x时，()0,()mxmx单调递增，当01x时，()0,()mxmx单调递减，所以()min()10mxm==，

于是有()()()()()1ln0mxgxfxxxgxfx=−=−−，即()()fxgx.【小问2详解】要证明()()11hahbabab−−−+成立，即证明()()ln1ln111aabbabab−−−−−−−+成立，即证明()ln11aabbabab

−−−−+成立，的也就是证明ln1ababab−+成立，因为0ba，所以原问题就是证明1ln1aaabbababb−−=++成立，由01abab，设1atb=，即证明1ln1ttt−+，也就是证明()()1ln11tttt+−成立，设()(

)()()11ln11ln0FtttttFttt=+−+=+，所以当1t时，函数()Ft单调递增，即有()()()101ln1FtFttt=+−，从而()()11hahbabab−−−+成立.【点睛】关键点睛：本题的关键是构造新函数，

利用导数的性质判断其单调性，运用函数的单调性进行证明.