【文档说明】四川省眉山市仁寿第一中学校（北校区）2023-2024学年高二上学期期中数学试题 含解析 .docx，共(19)页，1.121 MB，由管理员店铺上传

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高2025届2023-2024学年度上期半期考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题1.直线320xy−+=的倾斜角是（）．A.30B.60C.120D.150【答案】B【解析】【分析】求出直线的斜率，

由斜率的公式结合倾斜角的范围即可求解.【详解】由320xy−+=可得32yx=+，所以该直线的斜率为3，设直线的倾斜角为，则tan3=，因为0180，所以60=，故选：B.2.在空间直角坐标系Oxyz中，与点()1,2,1−

关于平面xOz对称的点为（）A.()1,2,1−−B.()1,2,1−C.()1,2,1−−−D.()1,2,1−−【答案】A【解析】【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因

为点()1,2,1−，则其关于平面xOz对称的点为()1,2,1−−.故选：A.3.若直线30xmy++=与直线460mxy++=平行，则m=（）A.12B.12−C.12或12−D.不存在【答案】B【解析】【分析】

根据两直线平行，列出方程，去掉两直线重合的情况，即可得到结果.【详解】由直线30xmy++=与直线460mxy++=平行，可得:241126mm=，解得12m=−．故选:B4.如图，在四面体OABC中，M

是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设OAa=，OBb=，OCc=，则向量OP可表示为（）A.111444abc++B.111234abc++C.111324abc++D.111344abc++【答案】D【解析】【分析】

根据向量的线性运算，分析即得解详解】由题意，向量111111)121131(22434444COOMONOMOBOOAOBCPbcOa=+=+++=+++=，故选：D5.一次函数2:lykxb=+与1:(,lykbxkb=为常数，

且0)kb，它们在同一坐标系内的图象可能为（）A.B..【C.D.【答案】C【解析】【分析】根据图象分析b、k取值符号进行判断即可．【详解】对于选项A中，直线1l的0,kb直线2l的0,0,0kbkb∴A错；对于选项B中，直线1l的0,kb直

线2l的0,0,0kbkb，∴B错；对于选项C中，直线1l的0,kb直线2l的0,0,0kbkb∴C对；对于选项D中，直线1l的0,kb直线2l的0,0,0kbkb∴D错．故选：C．6.下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A.甲､乙两运动员各射击一次，事件M“甲

射中10环”，事件N“乙射中9环”B.甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名学生参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”C.袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件

N"第二次摸到白球”D.袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”【答案】D【解析】【分析】根据事件的特点结合独立事件的定义对选项一一验证即可.【详解】对于选项A：甲、乙两

运动员各射击一次，甲的成绩与乙的成绩互不影响，故事件M与事件N为相互独立事件；对于选项B：从甲､乙两组中各选1名学生参加演讲比赛，甲的选择与乙的选择互不影响，故事件M与事件N为相互独立事件；对于选项C：依次有放回地摸两球，则第一

次的结果与第二次的结果互不影响，故事件M与事件N为相互独立事件；对于选项D：依次不放回地摸两球，则第一次的结果会影响第二次的结果，故事件M与事件N不为相互独立事件；故选：D.7.在空间直角坐标系中，已知()1,1,1A−，()3,1,1B，则点()1,0,2P到直线AB的距离为（）A.22B.32

C.62D.3【答案】C【解析】【分析】由题可求AP在AB方向上的投影数量22h=，进而点()1,0,2P到直线AB的距离为22dAPh=−，即求.【详解】∵()1,1,1A−，()3,1,1B，()1,0,2P，∴()()2,2,0,0,1,

1ABAP==，∴2,22,2ABAPABAP===，∴AP在AB方向上的投影数量为22222ABAPhAB===，∴点()1,0,2P到直线AB的距离为2216222dAPh=−=−=.故选：C.8.已知实数,xy满足10xy+

+=，则222221245xyyxxyy+−++−+−+的最小值为（）A.10B.32C.25D.5【答案】B【解析】【分析】利用两点距离公式，转化问题式为动点到两定点距离之和的最小值，根据将军饮马模型计算即可.

【详解】由()()()2222222221245112xyyxxyyxyxy+−++−+−+=+−+−+−，即转化问题为：直线10xy++=上一动点(),Pxy到点()()0,1,1,2AB的距离之和最小，如图所示，设直

线10xy++=与xy、轴分别交于DC、点，则1AOODOC===，由直线10xy++=方程可得其倾斜角为135，易知ADC△是等腰直角三角形，设A关于直线10xy++=的对称点为A，连接AC，则AAD、、三点共线，易知AAC也是等腰直角三角形，所以()2,1A−−，故()()22211

232PAPBPAPBAB+=+=−−+−−=，当且仅当PD、重合时取得最小值.故选：B二､多选题（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知a，b，c是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）A.若ab∥，bc∥，则

ac∥B.若a，b，c两两共面，则a，b，c共面C.若,,abc是空间的一组基底，则,,abbcca+++也是空间的一组基底D.对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z，使得pxaybzc=++【答案】AC【解析】【分析】直接利用共线向量和共面向量，向量的基底等基础知识和相关

的定义判断四个命题的结论．【详解】a，b，c都是非零向量，当//ab且//bc时，一定有//ac，故A正确；若a，b，c两两共面，可能为空间能作为基底的三个向量，则a，b，c不一定共面，故B错误；若a，b，c是空间的一组基底，则+a

b，bc+，ca+不共面，也可以是空间的一组基底，故C正确；对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z，使得pxaybzc=++，需要,,abc不共面，故D错误.故选：AC．10.下列说法正确的是（）A.过()11,xy，()22,xy两点的直线

方程为112121yyxxyyxx−−=−−B.直线40xy−−=与两坐标轴围成的三角形的面积是16C.点()1,0关于直线1yx=+的对称点为()12−，D.直线()0Rmxymm++=必过定点【答案】CD【解析】【分析】选项A，根据两点式直线方程的使用条件判断即可

；选项B求出直线与两坐标轴交点，再用三角形面积公式求解即可；选项C，设点()1,0关于直线1yx=+的对称点为()00,xy，列方程组求解即可；选项D，将直线可转化为(1)ymx=−+即可进行判断.【详解】对于选项A，当12xx=或12yy=时，不

存在选项中的两点式直线方程，故A错误；对于选项B，直线40xy−−=与两坐标轴的交点为()()4,0,0,4−，所以与两坐标轴围成的三角形的面积14482S==，故B错误；对于选项C，设点()1,0关于直线1yx=+的对称点为()00,

xy，则0000111122yxyx=−−+=+，解得0012xy=−=，即点()1,0关于直线1yx=+的对称点为()1,2-，故C正确；对于选项D，直线()0Rmxymm++=可化为(1)ymx=−+，故直线恒过点()1,0−

，故D正确.故选：CD11.在一次随机试验中，事件123,,AAA发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（）A.12AA与3A是互斥事件，也是对立事件B.()123AAA是必然事件C.()230.8PAA=D.()120.5PAA

∪【答案】ABC【解析】【分析】根据事件1A，2A，3A不一定两两互斥，结合概率运算公式和互斥、对立的概念，即可求解.【详解】由事件1A，2A，3A不一定两两互斥，所以121212()()()()0.5PAAPAPAPAA=+−,()()()()2323230.8PAAPAPAPAA=

+−，且()1231PAAA，所以()123AAA不一定是必然事件，无法判断12AA与3A是不是互斥或对立事件，所以A、B、C中说法错误.故选：ABC.12.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1

B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A.166AC=B.向量1BC与1AA的夹角是60°C.AC1⊥DBD.BD1与AC所成角的余弦值为63【答案】AC【解析】

【分析】选择{AB、AD、1AA}作为一组基底，分别表示各选项中的向量，运用向量的模、向量夹角、数量积、异面直线所成角公式计算即可判断.【详解】对于A选项，由题意可知11ACABADAA=++，则1122()ACABADAA=++2

22111222ABADAAABADABAAADAA=+++++2223666266cos60266cos60266cos606=+++++=，∴166AC=，所以选项A正确；对于B选项，111BCBBBCADAA=+=−，所以2211

111166cos606(18)BCADADAAAAAAAAAA−=−=−−==，()222211111226266cos6066BAADADADADCAAAAAAA=−=−=−=−=++，则1111111cos,2BCAABCAABCAA==−，

∴向量1BC与1AA的夹角是120，所以选项B不正确；对于C选项，BDADAB=−，又因为11ACABADAA=++，所以11()()ACBDABADAAADAB=++−11ABADADADAAADAB

ABADABAAAB=++−−−2266cos60666cos60666cos6066cos600=++−−−=，∴1ACBD⊥，所以选项C正确；对于D选项，设1BD与AC所成角的平面角为，因

为111BBDADDDAAADB=+=+−，ACABAD=+，所以221111()()BDACAAADABAAABADABADAAAABD==+−++−+22066666cos6066c3os6=−++=，2111()BDABAAAADAAADB==+−+−22111226

222AAADAAADAAABABBADA=++−=+−，222()263ACABADABADABABADAD===+=+++，∴111366coscos6623,6BDBADBCAACDC====，所以选项D不正确.故选：AC.第Ⅱ卷（选择题共90分）二、填空题（

每题5分，共计20分）13.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在30%和40%，则口袋中白色球的个数可能是__________个．【

答案】15【解析】【分析】求出摸到白球频率，从而得到白色球的可能个数.【详解】∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在30%和40%，∴摸到白球的频率为130%40%30%−−=，故口袋中白色球的个数可能是5030%15=个．

故答案为：1514.平面的法向量为(2,1,3)nm=−−，平面β的法向量为(1,,2)mm=−，若⊥，则m=_________.【答案】27−【解析】【分析】⊥等价于0nm=，由数量积坐标

运算求解.【详解】因为⊥，所以0nm=，即260mm−−−=，所以27m=−.故答案为：27−15.已知点(3,4)A−，(2,2)B，直线20mxym+++=与线段AB相交，则m的范围为___________.【答案

】[3，)(+−，4]3−【解析】【分析】先求出PA的斜率和PB的斜率，可得m的范围.【详解】解：直线20mxym+++=，即(1)20mxy+++=，它经过定点(1,2)P−−，斜率为m−，的PA的斜率为423

31+=−−+，PB的斜率为224213+=+，直线20mxym+++=与线段AB相交，3m−−„或43m−…，求得3m…或43m−„，故答案为：[3，)(+−，4]3−.16.若非零实数对(),ab满足关系式2217715ababa

b++=−+=+，则ab=__________．【答案】34−或43【解析】【分析】化简转化为点到直线的距离，利用直线的位置关系即可求解.【详解】由2217715ababab++=−+=+，可得222217715abababab++−+==++，221abab+++

可以看成点()1,1A到直线10axby++=的距离1d，22771abab−++可以看成点()7,7B−到直线10axby++=的距离2d，因为222217715abababab++−+==++，所以125dd==.因为10AB=，12

10dd+=，所以当点A，B在直线10axby++=同侧时，直线AB与直线10axby++=平行，当点A，B在直线10axby++=异侧时，A，B关于直线10axby++=对称，因为直线AB的斜率174173k+==−−，直线10axby++=的斜率为ab−，所以43ab−=−或413ab

−−=−，所以43ab=或34ab=−.故答案为：34−或43.三、解答题（6个大题，共计70分）17.已知ABC的三个顶点是()()()1,2,1,3,4,5ABC−−．（1）试判定ABC的形状；（2）求BC边上

的中线所在直线的方程．【答案】（1）等腰直角三角形（2）12140xy−−=【解析】【分析】（1）由ABC顶点坐标，得ABk和BCk，由1ABBCkk=−得出ABBC⊥；再根据两点之间距离公式求出AB和BC，得出ABBC=，即可证明；（2）由点,

BC的坐标求出边BC中点M的坐标，再求出AMk，即可写出直线AM的点斜式方程．【小问1详解】由题可知52ABk=−，25BCk=，因为52125ABBCkk=−=−，所以ABBC⊥，所以ABC是直角

三角形，又因为2222(11)(23)29,(14)(35)29ABBC=++−−==−−+−=，所以ABBC=，所以ABC是等腰三角形综上可知，ABC是等腰直角三角形．【小问2详解】BC的中点M坐标为3,42，又()1,

2A−，所以直线AM的斜率4212312k+==−，所以直线AM的方程为：()2121yx+=−，即12140xy−−=，所以BC边上的中线所在直线的方程为：12140xy−−=．18.有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，

分别计算下列事件的概率．（1）恰有两名同学拿对了书包；（2）至少有两名同学拿对了书包；（3）书包都拿错了．【答案】（1）14（2）724（3）38【解析】【分析】先列出全部事件的24个样本点，根据古典概型可知：（1）恰有两名同学拿

对了书包包含6个样本点，概率14P=，（2）至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，概率为724P=，（3）书包都拿错了包含9个样本点，概率为38P=【小问1详解】设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的所有可能可表示为(),,,ABCD，(),,,ABDC，(),,,AC

BD，(),,,ACDB，(),,,ADBC，(),,,ADCB，为(),,,BACD，(),,,BADC，(),,,BCAD，(),,,BCDA，(),,,BDAC，(),,,BDCA，(),,,CABD，(),,

,CADB，(),,,CBAD，(),,,CBDA，(),,,CDAB，(),,,CDBA，(),,,DABC，(),,,DACB，(),,,DBAC，(),,,DBCA，(),,,DCAB，(),,,DCBA，共有24种情况．恰有两名同学拿对了书包包含6个样

本点，分别为(),,,ABDC，(),,,ACBD，(),,,ADCB，(),,,BACD，(),,,CBAD，(),,,DBCA，故其概率为61244P==．【小问2详解】至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为(),,,ABCD，(),,,ABDC，(),,,ACBD

，(),,,ADCB，(),,,BACD，(),,,CBAD，(),,,DBCA，故其概率为724P=．【小问3详解】书包都拿错了包含9个样本点，分别为(),,,BADC，(),,,BCDA，(),,,BDAC，(),,,CADB，(),,,CDAB，(),,,CDBA，(),,,DAB

C，(),,,DCAB，(),,,DCBA，故其概率为93248P==．19.已知直线l过点()1,2P−.（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；（2）设直线l的斜率0k，直线l与两坐标轴交点别为AB、，求AOB面积最小值.【答案】（1）20xy+

=或30xy−+=；（2）4【解析】【分析】（1）由题知直线l斜率存在且不为0，故不妨设斜率为k，进而写出直线的方程并求解直线在,xy坐标轴上截距，再结合题意求解即可；（2）由题知()21,0,0,2ABkk−−+，进而根据题意得1442Sk

k=++，再根据基本不等式求解即可得答案.【详解】解：（1）因为直线l在两坐标轴上截距和为零，所以直线l斜率存在且不为0，故不妨设斜率为k，则直线l方程为()21ykx−=+，所以直线在,xy坐标轴上截距分别为21k−−，2k+，所以2120kk−−++=，整理

得220kk+−=，解得2k=−或1k=所以直线l方程为20xy+=或30xy−+=.（2）由（1）知()21,0,0,2ABkk−−+，因为0k，所以AOB面积为()121414124424222Skkkkkk=++=+++

=，当且仅当4kk=，即2k=时等号成立，所以AOB面积最小值420.如图，P、O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，E是AB的中点，AB=kAA1=22．（1

）求证：A1E∥平面PBC．（2）当k=2时，求点O到平面PBC的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）233.【解析】【分析】（1）根据题意，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，根据向量共面证明线面平行即可；（2）根据（1）中所求，求得平面PBC的法向

量，利用向量法求点面距离即可.小问1详解】因为ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，,,OAOBOP显然两两垂直，则以点O为原点，直线OA、OB、OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

，则得A1222,0,k、E()1,1,0、()()220,0,0,2,02,0,0PBCk−、、，由上得1AE221,1,k=−−、BC()2,2,0=−−、PB220,2,k=−

．设1AE=x·BC+y·PB得()22221,1,?2,2,0?0,2,xykk−−=−−+−，解得x=12，y=1，∴112AEBCPB=+，∵BC∩PB=B，A1E平面PBC，,BCPB面

PBC，∴A1E∥平面PBC．【小问2详解】当k=2时，得P()0,0,2，得BC=()2,2,0−−，PB()0,2,2=−．设平面PBC的法向量为n=()1,,，则由·0·0nBCnPB==，得100

+=−=，，故平面PBC的一个法向量为n=()1,1,1−−，设点O到平面PBC的距离为d，又OP=()0,0,2，∴d=·22333OPnn==．故点O到平面PBC的距离为233.【21.与学生安全有关的问题越来越受到

社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是23，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是115．乙、丙两个家庭都回答正确的

概率是35，各家庭是否回答正确互不影响，（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率：（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率【答案】（1）34，45（2）56【解析】【分析】（1

）根据独立事件的乘法公式即可得到方程，解出即可；（2）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案.【小问1详解】记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则

2()3PA=，1()()15PAPC=，3()()5PBPC=，即1[1()][1()]15PAPC−−=，3()()5PBPC=，所以3()4PB=，4()5PC=，所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为34，45．【小问2详解】

有3个家庭回答正确的概率为32342()()()()3455PPABCPAPBPC====，有2个家庭回答正确的概率为213421423113()34534534530PPABCABCABC=++=

++=，所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率2313253056PPP=+=+=．22.如图，在四棱锥SABCD−中，四边形ABCD是矩形，SAD是等边三角形，平面SAD⊥平面ABCD，1AB=，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥SABCD−

的体积为233.（1）若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求直线BC与平面PEF所成的角的大小；（2）是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为235？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3（2）存在，点E在靠近点S

的三等分点处【解析】【分析】（1）取BC的中点Q，连接PQ，易得PQAD⊥，根据棱锥的体积求得AD，根据平面SAD⊥平面ABCD，可得SP⊥平面ABCD，则有SPPQ⊥，以点P为原点建立空间直角坐标系，再利用向量法即可得出

答案；（2）假设存在，设,0,1SESA=，求出两个平面的法向量，根据平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为235，则法向量所成角的余弦值的绝对值等于235，求出，即可得出结论.【小问1详解】解：取

BC的中点Q，连接PQ，则PQAB∕∕，PQAD⊥，因为SAD是等边三角形，P为棱AD的中点，所以SPAD⊥，因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD=，SP平面SAD，所以SP⊥平面ABCD，又PQ平面ABCD，所以

SPPQ⊥，则21323363SABCDVSPADABAB−===，所以2AB=，则3SP=，如图，以点P为原点建立空间直角坐标系，则()()131131,1,0,1,1,0,,0,,,,22222BCEF−

，()1132,0,0,0,,0,,0,222CBEFPE===，设平面PEF的法向量(),,nxyz=，直线BC与平面PEF所成的角为0,2，则有10213022n

EFynPExz===+=，可取()3,0,1n=−r，所以233sincos,222nCB===，所以直线BC与平面PEF所成的角的大小为3；【小问2详解】解：假设存在，设

,0,1SESA=，()()()()1,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,3BQAS，由（1）得PQAD⊥，SPPQ⊥，因为SPADP=，所以PQ⊥平面SAD，则()0,1,0PQ=即为平面SAD的一

个法向量，()()()1,1,0,1,0,3,0,0,3PBSAPS==−=，(),0,3SESA==−，则(),0,33PEPSSE=+=−，设(),,mabc=为平面PEB的法向量，则()0330mPBabmPEac=+==+−=，可取(

)33,33,m=−−，则()()2223323cos,53131PQm−==−+−+，解得13=或1−（舍去），所以存在点E，点E在靠近点S的三等分点处，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为235.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxu

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