【文档说明】《新九年级数学暑假精品课程（苏科版）》第05讲 特殊的平行四边形（菱形 矩形 正方形）（解析版）.doc，共(20)页，771.190 KB，由管理员店铺上传

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1第05讲特殊的平行四边形（矩形菱形正方形）（复习课）【基础知识】矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形

的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S矩形=长×宽=ab菱形1、菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积：S菱形=底边

长×高=两条对角线乘积的一半正方形1、正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直

平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方

形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等；先证它是菱形，再证有一个角是直角。（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积设正方形边长为a，对角线长为bS正方形=222ba=【考

点剖析】考点一：矩形2例1．在矩形ABCD中，4,8ABAD==，点P为线段AD垂直平分线上一点，且5PD=，则BP的长是________．【答案】65或17【分析】根据点P在线段AD垂直平分线MN上，

求得MN⊥AD，DM=12AD=4，MN=AB=4，①点P在矩形外，②点P在矩形内，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：如图，∵点P在线段AD垂直平分线MN上，∴MN⊥AD，DM=12AD=4，MN=AB=4，①点P

在矩形外，则22113PMPDDM=−=，∴17PN=，∴221165PBPNBN=+=，②点P在矩形内，同理23PM=，∴21PN=，∴222217PBPNBN=+=，故答案为：65或17．【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线定理，以及勾股定理，熟练掌握矩

形的性质是解本题的关键．3考点二：菱形例2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，8AC=，6BD=，点E是CD上一点，连接OE，若OEAE=，则OE的长为______．【答案】52【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA，OD，AC⊥BD，

再利用勾股定理列式求出AD，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求解即可．【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OD＝12BD＝12×6＝3，OC＝12AC＝12×8＝4，AC⊥BD，由勾股定理得，CD＝223

45+=，∵OE＝AE，∴∠DAC＝∠EOA，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠EOA＝∠DCA，∴OE//CD，∵AO＝OC，∴OE是△ADC的中位线，4∴OE＝12CD＝12×5＝52，故答案是：52．【点睛】本题考查了菱形的

性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，推出OE是△ADC的中位线，是解题的关键．考点三：正方形例3．设M表示平行四边形，N表示矩形，P表示菱形，Q表示正方形，则它们之间的关系用图形来表示正确的是（）A．B．C．D．【答

案】B【分析】根据正方形、平行四边形、菱形和矩形的定义进行解答即可．【详解】解：∵四个边都相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，∴正方形应是N的一部分，也是P的一部分，∵矩形、正方形、菱形都属于平行四边形，∴它们之间的关系故选：B．【点睛】5本题考查的是正方形、平行

四边形、菱形和矩形的定义，熟练掌握这些多边形的定义与性质是解答此题的关键．【真题演练】一、单选题1．下列命题中，真命题是（）A．有两个内角是90的四边形是矩形B．一组邻边互相垂直的菱形是正方形C．对角线

相互垂直的梯形是等腰梯形D．两组内角相等的四边形是平行四边形【答案】B【分析】根据矩形、正方形、等腰梯形、平行四边形的判定逐个判断即可．【详解】解：A、有两个内角是90的四边形不一定是矩形，也有可能是梯形，故此选项不符合题意；

B、一组邻边互相垂直的菱形是正方形，故此选项符合题意；C、对角线相互垂直的梯形不一定是等腰梯形，故此选项不符合题意；D、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了命题和定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命

题称为假命题；经过推论证的真命题称为定理．以及平行四边形、正方形、矩形、等腰梯形的判定定理．2．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点()2,3E，则点F的坐标为（）6A．()1,5−B．()2,3−C．()5,1−D

．()3,2−【答案】A【分析】过点E构造一线三直角全等模型求解即可【详解】如图所示，过点E作EA⊥x轴，垂足为A，过点F作FB⊥EA，交AE的延长线于点B，交y轴与点C，∵四边形OEFG是正方形，∴FE=EO，∠FEO=90°，∴∠FEB+∠AEO=90°，∠AEO+∠AO

E=90°，∴∠FEB=∠EOA，∴△FEB≌△EOA，∴FB=EA，EB=OA，∵E（2，3），∴FB=EA=3，EB=OA=2，∵EA⊥x轴，FB⊥EA，OC⊥x轴，∴四边形OABC是矩形，∴BC=OA=2，∴FC=FB-BC=1，BA=EB+

EA=5，7∵点F在第二象限，∴点F（-1，5）故选A．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的全等和性质，点的坐标与象限的关系，熟练构造一线三直角全等模型是解题的关键．3．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC

相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（）A．36°B．54°C．64°D．72°【答案】B【分析】利用菱形的性质，∠DAC＝∠ACB，△AOE≌△COF，从而为等腰三角形三线合一性质的运用创造条件．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝

AD＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠DAC＝∠ACB＝36°，在△AOE和△COF中，EAOFCOAOECOFAECF===，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AO

＝CO，8又∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠OBC＝90°﹣∠ACB＝54°，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握菱形的性质，准确判断三角形的全等，

活用等腰三角形，直角三角形的性质是解题的关键．二、填空题4．如图，在菱形ABCD中，AEBC⊥于点E，BEEC=，2AC=，则菱形ABCD的周长是________．【答案】8【详解】∵BEEC=，AEBC⊥，∴2

ABAC==，∴菱形ABCD的周长为428=．5．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，60,3AODAD==，则AC的长为_______．【答案】6【分析】由矩形的性质得出OA=OD,再证明△AOD

是等边三角形，得出OA=AD=3,即可求得AC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=12BD,AC=BD,9∴OA=OD,∵∠AOD=60°，∴△AOD是等边三角形，∴OA=AD=3

,∴AC=2OA=6，故填：6．【点睛】本次考查了等边三角形的判定，矩形对角线的性质，注意：矩形的对角线互相平分且相等，解题的关键是由矩形对角线相等和60°证明出等边三角形．6．如图所示，将矩形ABCD沿直线AE折叠（点E在边CD上），折叠后顶点D恰好落在边BC上的点F处，若AD＝5，

AB＝4，则EC的长是_____．【答案】1.5【分析】由折叠可得5ADAF==，DEEF=．再由矩形性质结合勾股定理即可求出BF的长，从而求出CF的长．设ECx=，则4DEEFx==−，在RtCEFV中，利

用勾股定理列出关于x的等式，解出x即可．【详解】解：由折叠可知5ADAF==，DEEF=，∵四边形ABCD是矩形，∴在RtABFV中，2222543BFAFAB=−=−=，∴532CFBCBF=−=−=．设ECx=，则4DEEFx==−，∴在RtCEFV中，222+=CFCEEF，即22

22(4)xx+=−，解得：1.5x=．故EC的长为1.5．故答案为1.5．10【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质和勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．三、解答题7．如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BEDF=．连接CE

、CF．求证：CECF=．【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，∴∠CDF=∠

CBE，在△BEC和△DFC中，BEDFCBECDFBCCD===，∴△BEC≌△DFC（SAS），∴CE=CF．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．8．如图，△ABC中，∠ACB

=90°，D、E分别是BC、BA的中点，联结DE，F在DE延长线上，且AF=AE，若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．11【答案】30°．【分析】先根据菱形的性质可得AFACCE==，从而可得ACCEAE==，再根据等边三

角形的判定与性质可得60BAC=，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得．【详解】解：Q四边形ACEF是菱形，AFACCE==，AFAE=Q，ACCEAE==，ACEV是等边三角形，60BAC=，

又90ACB=Q，9003BBAC−==．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．9．如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形

．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）如果ABAE=，求证：四边形ACED是矩形．12【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行

四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵点C是BE的中点，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．【过关检测】13一、单选题1．正方形具有而矩形不具有

的性质是（）A．对角相等B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直【答案】D【详解】略2．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知8,10ABBC==，则EF=（）A．4B．3C．5D．6【答案】C【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴9

0BC==．由题意得:10,AFADBCEDEF====，设EFx=，则8ECx=−．由勾股定理得:22236BFAFAB=−=，∴6,1064BFCF==−=．由勾股定理得:()22248xx=+−，解得5x=．3．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点1D、1

C的位置，1ED的延长线交BC于点G，若64EFG=，则EGB等于（）A．128B．130C．132D．13614【答案】A【分析】由矩形得到AD//BC，∠DEF=∠EFG，再由与折叠的性质得到∠DEF=∠GEF=∠EF

G，用三角形的外角性质求出答案即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∵矩形纸片ABCD沿EF折叠，∴∠DEF=∠GEF，又∵AD//BC，∴∠DEF=∠EFG，∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64︒，∵EGB是△EFG的外角，∴EGB=∠GEF+

∠EFG=128︒故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠的性质，关键在于折叠得出角相等，再由平行得到内错角相等，由三角形外角的性质求解．二、填空题4．如图，在ABCV中，ADBC⊥于点D，点,EF分别是,ABAC边的中点，若要使得四边形AEDF是菱形，则需添加的一个条件是__

_______（不添加辅助线，写出一个答案即可）．【答案】ABAC=15【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出DE=12AB=AE，DF=12AC=AF，由AB=AC，得出DE=DF=AE=AF，即可得出结论．【详解】解：添加条件：AB=AC．理由如下：∵AD⊥B

C，点E，F分别是AB，AC边的中点，∴DE=12AB=AE，DF=12AC=AF，∵AB=AC，∴DE=DF=AE=AF，∴四边形AEDF是菱形；故答案为：AB=AC（答案不唯一）．【点睛】本题考查了菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定和

直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．5．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，若4cmAB=，3cmAE=，则重叠部分（即BDEV）的面积是________．【答案】210cm【分析】利用勾股定理求得BE的长，根据折叠和矩形的性质求得BE=DE，从而求解【详解】解：

∵∠A=90°∴在Rt△ABE中，225BEABAE=+=，16在长方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB又由折叠的性质可得∠DBC=∠EBD∴∠ADB=∠EBD∴BE=DE=5∴阴影部分面积为：2115410cm22DEAB==故答案为：210cm【点睛】此题

考查了图形的折叠变换，能够根据折叠的性质和勾股定理求出BE的长是解答此题的关键，难度一般，注意掌握折叠前后三角形的对应角相等．6．一副三角板拼成如图所示，E是BD的中点，则EAC=________．【答案】15°【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到AE=BE=CE=BE=12BD，再根

据等边对等角以及外角的性质得到∠AED和∠CED，从而得到∠AEC，再利用等边对等角求出∠EAC．【详解】解：由题意可得：∠BAD=∠BCD=90°，∠ABD=30°，∠CBD=45°，∵E是BD中点，∴AE=BE=12BD，CE=BE=12B

D，∴AE=CE，∵AE=BE，∴∠EAB=∠ABD=30°，17∴∠AED=∠EAB+∠ABD=60°，∵EB=EC，∴∠ECB=∠EBC=45°，∴∠CED=∠ECB+∠EBC=90°，∴∠AEC=∠CED+∠AED=150°，∵AE=CE，∴∠EA

C=1802AEC−=15°，故答案为：15°．【点睛】本题考查了等边对等角，直角三角形斜边中线的性质，外角的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握相应性质，灵活转化角和边之间的关系．三、解答题7．如图，

△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D，当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【答案】21−．【分析】先根据菱形的性质可得1,//DEACBEAC==，再根据平行线的性质可得45ABEBAC==

，然后根据旋转的性质可得1AEAB==，最后根据等腰直角三角形的判定与性质可得2BE=，由此即可得出答案．【详解】解：Q四边形ACDE是菱形，1AC=，1,//DEACBEAC==，45ABEBAC==，由旋转的

性质得：1AEAB==，1845AEBABE==，ABEV是等腰直角三角形，222BEABAE=+=，21BDBEDE=−=−．【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握菱形和旋转的性质是解

题关键．8．如图，四边形ABCD是菱形，E是BD上一点，AE的延长线交CD于点F．求证：∠AFD=∠ECB．【答案】见解析【分析】根据菱形的性质，推知△ABE≌△CBE（SAS），所以由全等三角形的对应角相等得到∠EAB=∠ECB，再由平行线的性质和等量代换证得结论．【详解】证明：∵四边形AB

CD是菱形，∴AB=BC，∠ABE=∠CBE．又∵EB=EB，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠EAB=∠ECB．∵AB∥DC，∴∠AFD=∠EAB．∴∠AFD=∠ECB．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，此题难度适中，重点把握菱形的邻边相等，对角线平分对角

的性质．9．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA=CB，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE．（1）当AC⊥BD时，求证：BE=2CD；19（2）当∠ACB=90°时，求证：四边形ACED是正方形．【答案】（1）见解析；（2

）见解析【分析】（1）根据已知条件得到四边形ABCD是菱形．求得BC=CD．得到BE=2BC，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BE，求得AD=CE，AD∥CE，推出平行四边形ACED是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结

论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．∴BC=CD．又∵CE=BC，∴BE=2BC，∴BE=2CD；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴

AD=BC，AD∥BE，又∵CE=BC，∴AD=CE，AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠ACB=90°，∴平行四边形ACED是矩形，又∵CA=CB，∴CA=CE，∴矩形ACED是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，熟练

掌握各定理是解题的关键．20