【文档说明】北京市第一次普通高中2023-2024学年高二上学期学业水平合格性考试数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，1.086 MB，由小赞的店铺上传

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2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须

用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合1,0,1,1,2AB=−=，则AB=（）A.1B.2C.1,2D.1,0,1,2−【答案】A【解析】【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.【详解】集合1,0,1,

1,2AB=−=，根据集合交集的运算，可得1AB=.故选：A.2.复数2i=（）A.iB.i−C.1D.1−【答案】D【解析】【分析】直接根据复数的运算得答案.【详解】2i1=−.故选：D.3.

函数()()21fxxx=+的零点为（）A.1−B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点.【详解】令()()210fxxx=+=，则0x=，即函数()()21fxxx=+的零点为0，故选：B4.已知向量()()0,1,2,1ab==，则ab−=（）

A.()0,2−B.()2,0C.()2,0−D.()2,2【答案】C【解析】【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可.【详解】()()0,1,2,1ab==,()2,0ab−=−.故选：C.5.不等式21x的解集为（）A.10xx−B.01xxC.11x

x−D.1xx−或1x【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由题意知，211xx−或1x，所以原不等式的解集为{1xx−或1}x.故选：D6.在空间中，若两条直线a与b没有公共点

，则a与b（）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线【答案】D【解析】【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.【详解】由题意知在空间中，两条直线a与b没有公共点，即a与b不相交，则a与b可能平行，也可能是异面直线，故

选：D7.在同一坐标系中，函数()yfx=与()yfx=−的图象（）A.关于原点对称B.关于x轴对称C.关于y轴对称D.关于直线yx=对称【答案】B【解析】【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系.【详解】当xa=时，()yfa=与

()yfa=−互为相反数，即函数()yfx=与()yfx=−图象关于x轴对称.故选：B.8.已知,ab挝RR，则“ab=”是“22ab=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条

件【答案】A【解析】【分析】直接根据充分性和必要定义判断求解.【详解】当ab=时，22ab=，当22ab=时，ab=，则“ab=”是“22ab=”的充分而不必要条件.故选：A.9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋

”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.16【答案】A【解析】【分析】直接根据古典概型的计算公式求解即可.的的【详解】由已知得随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲有4种赠法，其中游客甲得到“春”或“冬”款

书签的有2种赠法，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为2142=.故选：A.10.已知函数(),01,0xxfxxx=，若()02fx=，则0x=（）A.12B.12−C.2D.2−【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代

入求值，即可得答案.【详解】当0x时，()0fxx=，当0x时，1()0fxx=，故由()02fx=，得001122,xx==，故选：A11.在ABC中，7,3,5abc===，则A=（）A.30B.60C.90D.120【答案】D【解析】【

分析】根据余弦定理求角，即可得答案.【详解】在ABC中，7,3,5abc===，由余弦定理得222925491cos22352bcaAbc+−+−===−,而A三角形内角，故120A=，故选：D12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1fxx=−+B.()

22fxxx=−C.()exfx=D.()lnfxx=【答案】B【解析】为【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可.【详解】()1fxx=−+单调递减值域为R,无最小值，A选项错误；()22fxxx=−在(),1−单调递减，在()1,+单调

递增，当1x=取得最小值，B选项正确；()exfx=单调递增，值域为()0,+，无最小值，C选项错误；()lnfxx=单调递增，值域为R,无最小值，D选项错误.故选:B.13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额

占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.

41.4%【答案】B【解析】【分析】将数据从小到大排列，然后求中位数即可.【详解】把这10年占比数据从小到大排列得38.6%,38.9%,39.2%,39.6%,40.3%,40.6%,41.4%,42.2%,42.4%,45.4%，中位数为40.3%40.6%40.45%2+=.

故选：B14.若tan1=−，则角可以为（）A.π4B.π6C.3π4D.5π6【答案】C【解析】【分析】直接根据正切值求角即可.【详解】tan1=−,3ππ,4kk=+Z，观察选项可得角可以为3π4.故选：C.15.66log2log3+=（）A.0B.1C.2D.3

【答案】B【解析】【分析】直接利用对数的运算性质计算即可.【详解】()66661lo2og2log3lglg36o==+=.故选：B.16.函数()39xfx=−的定义域为（）A.)3,−+B.)2,−+C.)2,+D.)4,+【答案】

C【解析】【分析】根据函数()fx的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数()39xfx=−有意义，则满足390x−，即2393x=，解得2x，所以函数()fx的定义域为)2,+.故选：C.17.如图，在正方体1111ABCDA

BCD−中，P为BC的中点.若1AB=，则三棱锥1DADP−的体积为（）A.2B.1C.12D.16【答案】D【解析】【分析】直接利用棱锥的体积公式计算.【详解】因为1DD⊥面ADP所以1111111113326DADPADP

VDDS−===.故选：D.18.()2sin15cos15+=（）A.12B.1C.32D.2【答案】C【解析】【分析】按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案.

【详解】()2223sin15cos15sin152sin15cos15cos151sin302+=++=+=，故选：C19.已知0,0ab，且1ab+=，则ab−的取值范围是（）A.1,0−B.0,1C.1,1−D.22−,【答案】C【解析】【分析】先通过条件

求出a的范围，再消去b求范围即可.【详解】由1ab+=得1ba=−，所以10a−，得01a，所以()1211,1abaaa−=−−=−−.故选：C.20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中

一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生【答案】D【解析】【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可.【详解】185036162=,61

61617+=，即研学人数最多的地点最少有617名学生，18501001001650−−=，即研学人数最多的地点最多有1650名学生.故选：D第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()fxx=的图象经过点(2,4)，则=___

____．【答案】2【解析】【分析】由幂函数所过的点可得24=，即可求.【详解】由题设，(2)24f==，可得2=.故答案为：222.已知,ab挝RR，且ab，则2a−________3b−（填“>”或“<”）.【答案】<【解析】【分析】根据

不等式的基本性质即可求解.【详解】由题意知，ab，则ab−−，所以23ab−+−+，即23ab−−.故答案：<23.已知向量,,abc，其中()1,0a=.命题p：若abac=rrrr，则bc=，能说明p为假命题的一组b和c的坐标为b=________，c=________.【答案

】①.()0,1（答案不唯一）②.()0,2（答案不唯一）【解析】【分析】直接根据0abac==rrrr可得答案.【详解】让0abac==rrrr即可，如()()0,1,0,2bc==rr，此时bcrr故

答案为：()()0,1,0,2（答案不唯一）.24.已知的()11fxx=+，给出下列三个结论：为①()fx的定义域为R；②()(),0xfxfR；③kR，使曲线()yfx=与ykx=恰有两个交点

.其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】【分析】①直接观察函数可得答案；②通过0x求出()fx的最值即可；③将问题转化为1yk=与()()1ygxxx==+的交点个数即可.【详解】对于①：由10x+恒成立得()fx的定义域为R，①正确；对于

②：()1011101xxfx+=+，②正确；对于③：令11kxx=+，变形得()11xxk+=，作出函数()()22,01,0xxxgxxxxxx+=+=−+的图象如下图：根据图象可得()gx在R上单调递增，故1yk=与()ygx=只有一个交点，即不存在kR，使曲线()

yfx=与ykx=恰有两个交点，③错误.故答案为：①②.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2fxx=.（1）求()fx的最小正周期；（2）求()fx在区间π0,2上的

最大值和最小值.【答案】25.π26.最大值为2，最小值为-2【解析】【分析】（1）结合公式2πT=计算直接得出结果；（2）由题意求得02πx，根据余弦函数的单调性即可求解.【小问1详解】由2π2ππ2T===，知函数()fx的最小正周期为π；【小问2详解】由π02x，得

02πx，令2x=，则0π，函数cosy=在[0,π]上单调递减，所以1cosθ1-＃，所以2()2fx−，即函数()fx在π[0,]2上的最大值为2，最小值为-2.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxfx−=+.（1）证明：()

fx是偶函数；（2）证明：()fx在区间()0,+上单调递增.解：（1）()fx的定义域为D=①________.因为对任意xD，都有xD−，且()22xxfx−−=+=②________，所以()fx是偶函数.（2）③________()

12,0,xx+，且12xx，()()()()1122122222xxxxfxfx−−−=+−+1212112222xxxx=−+−21121222222xxxxxx+−=−+()()12121222212xxxxxx++−−=因为120xx，所

以1222xx−④________0，1221xx+−⑤________0，1221xx+.所以()()120fxfx−，即()()12fxfx.所以()fx在区间()0,+上单调递增.以上题目的解答过程中，

设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”），空格序号选项①A.RB.()(),00,−+U②A.()fx−B.()fx③A.任取B.存在④A.

B.⑤A.B.【答案】ABABA【解析】【分析】根据()fx的定义域以及函数奇偶性的定义可解答①②；根据函数单调性的定义，结合用单调性定义证明函数单调性的步骤方法，可解答③④⑤.【详解】①由于()22xxfx−=+的定义域为R，故A正确；②由于()2()2xxxxff−−=+=，故B正

确；③根据函数单调性定义可知任取()12,0,xx+，故A正确；④因为120xx，所以1222xx，故12220xx−，故B正确；⑤因为120xx，故120xx+，故121221,210xxxx++−，故A正确.27.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是菱形，PA⊥

平面ABCD，E为PD的中点.（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求证：//PB平面AEC.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得BDPA⊥，结合线面垂直判定定理即可证明；（2）设A

C与BD交于点O，连接OE，则//OEPB，结合线面平行的判定定理即可证明.小问1详解】因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA⊥，又平面ABCD为菱形，所以BDAC⊥，又,PAACAPAA

C、=?平面PAC，所以BD⊥平面PAC；【小问2详解】E为PD的中点，设AC与BD交于点O，连接OE，则//OEPB，又OE平面AEC，PB平面AEC，所以//PB平面AEC.【28.已知()00000,,,abcd=和数表11112222333

3abcdAabcdabcd=，其中()*,,,N0,1,2,3iiiiabcdi=.若数表A满足如下两个性质，则称数表A由0生成.①任意11110,1,2,,,,iiiiiiiiiaabbccdd++++−−−−中有三个1−，一个3；②存在1,2,3k，使,

,,kkkkabcd中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A=是否由()06,7,7,3=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A由()06,7,7,4=生成？说明理由；（3）若存在

数表A由()007,12,3,d=生成，写出0d所有可能的值.【答案】（1）是（2）不存在，理由见解析（3）3，7，11.【解析】【分析】（1）根据数表A满足的两个性质进行检验，即可得结论；（2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A，由性质①

推出对任意的1,2,3k，,,,kkkkabcd中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论；（3）判断出0d的所有可能的值为3，7，11，一方面说明0d取这些值时可以由()007,12,3,d=

生成数表A，另一方面，分类证明0d的取值只能为3，7，11，由此可得0d所有可能的值.【小问1详解】数表566645593848A=是由()06,7,7,3=生成；检验性质①：当0i=时，561,671,671,633−=−−=

−−=−−=，共三个1−，一个3；当1i=时，451,561,561,963−=−−=−−=−−=，共三个1−，一个3；当2i=时，341,853,451,891−=−−=−=−−=−，共三个1−，一个3；任意11110,1,2,,,,iiiiiii

iiaabbccdd++++−−−−中有三个1−，一个3；检验性质②：当1k=时，11115,6,6,6abcd====，恰有3个数相等.【小问2详解】不存在数表A由()06,7,7,4=生成,理由如下:若存在这样的数表A，由性质①任意11110,1,2

,,,,iiiiiiiiiaabbccdd++++−−−−中有三个1−，一个3，则13iiaa+−=或-1，总有1ia+与ia的奇偶性相反，类似的，1ib+与ib的奇偶性相反，1ic+与ic的奇偶性相反，1

id+与id的奇偶性相反；因为00006,7,7,4abcd====中恰有2个奇数，2个偶数，所以对任意的1,2,3k，,,,kkkkabcd中均有2个奇数，2个偶数，此时,,,kkkkabcd中至多有2个数相等，不满足性质②；综上，不存在数表A由()

06,7,7,4=生成；【小问3详解】0d的所有可能的值为3，7，11.一方面，当03d=时，(71233),,,可以生成数表611265105541344A=；当07d=时，(71237),,,可以生成数表611665145541744A=

；当011d=时，(712311),,,可以生成数表611610510998988A=；另一方面，若存在数表A由()007,12,3,d=生成，首先证明：0d除以4余3；证明：对任意的0,1,2,3i=，令iiiab=−，则()()()()11111ΔΔiiti

iiiiiiababaabb+++++−=−−−=−−−，分三种情况：（i）若11iiaa+−=−，且11iibb+−=−，则10ii+=−；（ii）若11iiaa+−=−，且13iibb+=−，则14ii+−=−；（iii）若13iiaa+−=，且11iibb+−=−，则1

4ii+=−；均有1i+与i除以4的余数相同.特别的，“存在1,2,3k，使得kkab=”的一个必要不充分条件为“00,ab除以4的余数相同”；类似的，“存在1,2,3k，使得kkac=”的一个必要不充分条件为“00,ac除以4的余数相同”；“存在1,2,3k，

使得kkad=”的一个必要不充分条件为“00,ad除以4的余数相同”；“存在1,2,3k，使得kkbc=”的一个必要不充分条件为“00,bc除以4的余数相同”；“存在1,2,3k，使得kkbd=”的一个必要不充分条件为“00,bd除

以4的余数相同”；“存在1,2,3k，使得kkcd=”的一个必要不充分条件为“00,cd除以4的余数相同”；所以，存在1,2,3k，使得,,,kkkkabcd中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是,,,

kkkkabcd中至少有3个数除以4的余数相同.注意到07a=与03c=除以4余3，012b=除以4余0，故0d除以4余3.其次证明：0{3,7,11,15}d；证明：只需证明015d；由上述证明知若()007,12,3,d=可以生成数表A，则必存在

1,2,3k，使得kkkacd==；若015d，则0015312dc−−=，()()1100221148,44dcdcdcdc−−−−−−，()332240dcdc−−−，所以，对任意1,2,3k，均有0kkdc−，矛盾；最后证明：015d；

证明：由上述证明可得若()007,12,3,d=可以生成数表A，则必存在1,2,3k，使得kkkacd==，0015312dc=−−=，()()1100221148,44dcdcdcdc−−−=−−−，()332240dcdc−−−，欲使上述等号成立，对任意的1,2,3

k，113,1kkkkccdd++−=−=−，则111,1kkkkaabb++−=−−=−，611614510913491212A=，经检验，不符合题意；综上，0d所有可能的取值为3

，7，11.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定0d所有可能的取值，解答时要根据数表A满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路.