【文档说明】湖北省襄阳市第四中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，1.388 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-577566d495ab6e61e597c683f7fe5883.html

以下为本文档部分文字说明：

襄阳四中2025届高三上学期10月月考数学试卷命题人：陈国兵审题人：饶雨一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合31Axx=−ZZ，则用列举法表示A=

（）A.2,0,1,2,4−B.2,0,2,4−C.0,2,4D.2,4【答案】B【解析】【分析】由题意可得1x−可为1、3，计算即可得.【详解】由题意可得1x−可为1、3，即x可为0,2,2,4−，即2,0,2,4A=−.故

选：B.2.设3i,iaaz+=R，其中i为虚数单位.则“1a−”是“10z”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z，再求出z，令10z

求出相应的a的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为23i3i3iiiaaza+−===−，所以29za=+.令10z，即2910a+，解得1a或1a−，所以1a−推得出10z，故充分性成立

；由10z推不出1a−，故必要性不成立；所以“1a−”是“10z”的充分不必要条件.故选：A3.已知向量a，b不共线，且cab=+，()21dab=++，若c与d同向共线，则实数的值为（）A.1B.12C.1或12−D.1−或12【答案】B【解析】【分

析】先根据向量平行求参数，再根据向量同向进行取舍.【详解】因为c与d共线，所以()2110+−=，解得1=−或12=.若1=−，则cab=−+，dab=−，所以dc=−，所以c与d方向相反，故舍去；若12=，则12cab=+，2dab=+

，所以2dc=，所以c与d方向相同，故12=为所求.故选：B4.已知3322xyxy−−−−，则下列结论中正确的是（）A.()ln10yx−+B.ln0yxC.ln0yx+D.ln0yx−【答案】A【解析】【分析】构造函数()32xfxx−=−，利用()fx的单调性可得xy，进而

可得.【详解】由3322xyxy−−−−得3322xyxy−−−−，设()32xfxx−=−，因函数3yx=与2xy−=−都是R上的增函数，故()fx为R上的增函数，又因3322xyxy−−−−，故xy，()ln1ln10yx−+=，

故A正确，因yx，yx+，yx−与1的大小都不确定，故B，C，D错误，故选：A5.从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数12345aaaaa”（满足12345aaaaa

），则这样的“五位凹数”的个数为（）A.126个B.112个C.98个D.84个【答案】A【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个共有57C种方法，第二步，选出的5个数中，最小的为3a，从剩下的4个数中选出2个分给12,aa，由

题意可知，选出后1245,,,aaaa就确定了，共有24C种方法，故满足条件的“五位凹数”5274CC126=个，故选：A6.若数列na满足11a=，21a=，12nnnaaa−−=+（3n，n为正整数），则称数列na为斐波那契数列，又

称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设nS是数列na的前n项和，则下列结论成立的是（）A.78a=B.13520192020aaaaa++++=C.754S=D.24620202021aaaaa+++

+=【答案】B【解析】【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.【详解】解析：按照规律有11a=，21a=，32a=，43a=，55a=，68a=，713a=，733S=，故A、C错；21112123341nnnn

nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaS++−−−−−−−−=+=+++=+++++==+，则202020181220183520191352019111aSaaaaaaaaaa=+=++++=++++=++++，故B对；246202

02234520182019aaaaaaaaaaa++++=+++++++1234520182019201920211aaaaaaaSa=+++++++==−，故D错．故选:B．7.已知12,FF是椭圆2222:1

(0)xyCabab+=的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若122FAFB=，且12π4AFF=，则椭圆C的离心率为（）A13B.23C.33D.23【答案】B【解析】【分析】设122AFm=，结合题意可得2AF，根据椭圆定义整理可得

2222bacm−=，根据向量关系可得1FA∥2FB，且22BFm=，同理结合椭圆定义可得22bacm+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0FcFc−，设122,0AFmm=，因

为12π4AFF=，则()2,2Acmm−+，可得()222422AFmcm=+−，由椭圆定义可知：122AFAFa+=，即()22224222mmcma++−=，整理可得2222bacm−=；又因为

122FAFB=，则1FA∥2FB，且21122BFAFm==，则(),Bcmm+，可得()2212BFcmm=++，.由椭圆定义可知：|𝐵𝐹1|+|𝐵𝐹2|=2𝑎，即()22222cmmma+++=

，整理可得22bacm+=；即2222acac−=+，可得23ac=，所以椭圆C的离心率23cea==.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等

关系，然后把b用a，c代换，求e的值．8.圆锥的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，则12SS的取值范围是（）A.)1,+B.)2,+C.)22,+D.)4,+【答案】B【解析】【分析】选择OBC（角）与内切球半径R为变量，可表示出圆锥底面半径r和母线l，由圆锥和球的表面积

公式可得()122212tan1tanSS=−，再由2tan(0,1)t=换元，转化为求解二次函数值域，进而得12SS的取值范围.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥内切球半径为R，如图作出圆锥的轴截面，其中设O为外接圆圆心，,DE为切点，,ABAC为圆锥母线，连

接,,,OBODOAOE.设OBC=，tanRr=，0tan1tanRr=.ODAB⊥，OEBC⊥，πDBEDOE+=，又πAODDOE+=，2AODDBE==，tan2ADR=，22tan2tanRlrADBDrADrR+=++=+=+，则圆锥表

面积()21πππSrrlrlr=+=+，圆锥内切球表面积224πSR=，所求比值为()212222π2tan21tan1tantan4π2tan1tanRRRSSR+−==−

，令2tan0t=，则()2211()2122222gtttttt=−=−+=−−+，则10()2gt，且当12t=时，()gt取得最大值12，故122SS，即12SS的取值范围是)2

,+.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化

为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设A，B为随

机事件，且()PA，()PB是A，B发生的概率.()PA，()()0,1PB，则下列说法正确的是（）A.若A，B互斥，则()()()PABPAPB=+B.若()()()PABPAPB=，则A，B相互独立C若A，B互斥，则A，B相互独立D.若A，B独立，则()(|)PBAPB=【答案】A

BD【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；由相互独立事件的概念可判断B选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C选项；由相互独立事件的概念，可判断D选项..【详解】对于选项A，若,AB互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()PAB

PAPB=+，所以选项A正确，对于选项B，由相互独立事件概念知，若()()()PABPAPB=，则事件,AB是相互独立事件，所以选项B正确，对于选项C，若,AB互斥，则,AB不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A：“正面朝上”，

事件B：“反面朝上”，事件A与事件B互斥，但()0PAB=，1()()2PAPB==，不满足相互独立事件的定义，所以选项C错误，对于选项D，由相互独立事件的定义知，若A，B独立，则()(|)PBAPB=，所以选项D正确，故选：ABD.10.已知函数()sinsi

ncos2fxxxx=−，则（）A.()fx的图象关于点(π,0)对称B.()fx的值域为[1,2]−C.若方程1()4fx=−在(0,)m上有6个不同的实根，则实数m的取值范围是17π10π,63

D.若方程22()2()1(R)fxafxaa−+=在(0,2π)上有6个不同的实根(1,2,,6)ixi=，则61iiax=的取值范围是(0,5π)【答案】BCD【解析】【分析】根据(2π)()ffx=−是否成立判断A，利用分段函数判

断BC，根据正弦函数的单调性画出分段函数()fx的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.【详解】因为()sinsincos2fxxxx=−，所以(2π)sin(2π)sin(2π)cos2(2π)sinsincos

2()fxxxxxxxfx−=−−−−=−−−，所以()fx的图象不关于点(π,0)对称，故A错误；当sin0x时，()222()sin12sin3sin1fxxxx=−−=−，的由sin0,1x可得()1,2fx−，当si

n0x时，()222()sin12sinsin1fxxxx=−−−=−，由)sin1,0x−可得(()1,0fx−，综上()1,2fx−，故B正确：当sin0x时，由21()3sin14fxx=−=−解得1sin2x=，当sin0x时，由21()sin14fxx=−=−

解得3sin2x=−，所以方程1()4fx=−在(0,)+上的前7个实根分别为π6，5π6，4π3，5π3，13π6，17π6，10π3，所以17π10π63m，故C正确；由22()2()1fxafxa−+=解得()1fx

a=−或()1fxa=+，又因为()223sin1,sin0sin1,sin0xxfxxx−=−，所以根据正弦函数的单调性可得()fx图象如图所示，所以()1fxa=−有4个不同的实根，()1fxa=+有2个不同的实根，所以110012aa−−

+，解得01a，设123456xxxxxx，则1423πxxxx+=+=，563πxx+=，所以615πiix==，所以61iiax=的取值范围是(0,5π)，故D正确.故选：BCD.11.在平面直角坐标系中，定义(

)1212,max,dABxxyy=−−为两点()11,Axy、()22,Bxy的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称(),dPQ的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作(),dPl，给出下列四个命题，正确的是（）

A对任意三点,,ABC，都有()()(),,,dCAdCBdAB+；.B.已知点()2,1P和直线:220lxy−−=，则()83dPl=,；C.到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正

方形.D.定点()1,0Fc−、()2,0Fc，动点(),Pxy满足()()()12,,2220dPFdPFaca=−，则点P的轨迹与直线yk=（k为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD【解析】【分析】对于选项A，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B，设点Q是直

线21yx=−上一点，且(,21)Qxx−，可得()1,max2,22dPQxx=−−，讨论|2|x−，1|2|2x−的大小，可得距离d，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C，运用新定义，求得点的轨

迹方程，即可判断；对于选项D，根据定义得max,max,2xcyxcya+−−=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A选项，设()()(),,,,,AABBCCAxyBxyCxy，由题意可得：()

(),,max,max,,ACACBCBCACBCABdCAdCBxxyyxxyyxxxxxx+=−−+−−−+−−同理可得：()(),,ABdCAdCByy+−，则：()()(),,max,,ABABdCAdCBxxyydAB+−−=，则对任意的

三点A，B，C，都有()()(),,,dCAdCBdAB+；故A正确；B选项，设点Q是直线220xy−−=上一点，且1,12Qxx−，可得()1,max2,22dPQxx=−−，由1222x

x−−，解得0x或83x，即有(),2dPQx=−，当83x=时，取得最小值23；由1222xx−−，解得803x，即有()1,22dPQx=−，(),dPQ的范围是2,23，无最值，综上可得，P，Q两点的“切比雪

夫距离”的最小值为23，故B错误；C选项，设(),Mab，则()()22max,xaybxayb−+−=−−，若ybxa−−，则()()22xaybyb−+−=−，两边平方整理得xa=；此时所求轨迹为xa=(yb或)yb−若ybxa−−，则()()2

2xaybxa−+−=−，两边平方整理得yb=；此时所求轨迹为yb=(xa或)xa−，故没法说所求轨迹是正方形，故C错误；D选项，定点()1,0Fc−、()2,0Fc，动点(),Pxy满足()()12,,2dPFdPFa−=（220ca），则：max,max,2xcyxcya+

−−=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0.(1)当xcyxcy+−时，有2xcxca+−−=，得：0xayac=−；(2)当xcyxcy+−时，有02a=，

此时无解；(3)当xcyxcy+−时，有2,xcyaax+−=；则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P的轨迹与直线yk=（k为常数）有且仅有2个公共点，故D正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理

、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“

难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若()naxx−的展开式的二项式系数和为32，且2x−的系数为80，则实数a的值为________．【答案】

−2【解析】【分析】由二项式系数和先求n，再利用通项53215C()rrrrTax−+=−得到2x−的指数确定r值，由2x−的系数为80，建立关于a的方程求解可得.【详解】因为()naxx−的展开式的二项式系数和为32，所以012CCCC2

32nnnnnn++++==，解得5n=.所以二项式展开式的通项公式为5352155C()()C()rrrrrrraTxaxx−−+=−=−，由5322r−=−，解得3r=，所以2x−的系数为3335C()1080aa−=−=，解得2a=−.故答案为：2−.13.已知函

数()()()2fxxaxx=−−在xa=处取得极小值，则a=__________.【答案】1【解析】【分析】求得()()()221fxxxxax=−+−−，根据()0fa¢=，求得a的值，结合实数a

的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.【详解】由函数()()()2fxxaxx=−−，可得()()()221fxxxxax=−+−−，因为xa=处函数()fx极小值，可得()20faaa=−=，解得0a=或1a=，若0a=时，可得()(32)fxxx=−，当0x时，()

0fx；当203x时，()0fx；当23x时，()0fx，此时函数()fx在2(,0),(,)3−+单调递增，在2(0,)3上单调递减，所以，当0x=时，函数()fx取得极大值，不符合题意，（舍去）；若1a=时，可得()

(1)(31)fxxx=−−，当13x时，()0fx；当113x时，()0fx；当1x时，()0fx，此时函数()fx在1(,),(1,)3−+单调递增，在(0,1)上单调递减，所以，当1x=时，函数()fx

取得极小值，符合题意，综上可得，实数a的值为1.故答案为：1.14.数学老师在黑板上写上一个实数0x，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数0x乘以2−再加上3得到1x，并将0x擦掉后将1x

写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数0x除以2−再减去3得到1x，也将0x擦掉后将1x写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为2x．现已知20xx的概率为0.5，则实数0x的取值范围是__________．【答案】()

(),21,−−+【解析】【分析】构造函数()23fxx=−+，()32xgx=−−，由两次复合列出不等式求解即可.【详解】由题意构造()23fxx=−+，()32xgx=−−，则有()()43ffxx=−，()()9fgxx=+，()()92gfxx=−，()()342xggx=−．

因为()()fgxx，()()gfxx恒成立，又20xx的概率为0.5，所以必有43,3,42xxxx−−或者43,3,42xxxx−−解得()(),21,x−−+．故答案为：()(

),21,−−+四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在ABCV中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知()()()sinsinsinbcBCacA

+−=−.（1）求B；（2）若ABC的面积为334，且2ADDC=，求BD的最小值.【答案】（1）π3（2）2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()bcbcaca+−=−，再结合余弦定理得22

21cos22acbBac+−==，从而可求解.（2）结合ABCV的面积可求得3ac=，再由112333BDBCCABABC=+=+，平方后得，()222142993BDca=++，再结合基本不等式即可求解.

【小问1详解】由正弦定理得()()()bcbcaca+−=−，即222acbac+−=，由余弦定理可得2221cos222acbacBacac+−===，因为()0,πB，所以π3B=.【小问2详解】因为ABCV的面积为33π,43B=，所以133sin24acB=，所以

3ac=.因为()11123333BDBCCABCBABCBABC=+=+−=+，所以()()()()22222221421441422cos999999993BDBABCBABCcaacBca=++=++=++，所以2214212222993333caca+++=，当且仅当6,

62ac==时取等号，所以BD的最小值为2.16.已知抛物线2:2(0)Eypxp=与双曲线22134xy−=的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3．（1）求抛物线E的方程；（2）过点(3,0)

M−的直线l与抛物线E相交于,AB两点，B关于x轴的对称点为B，求证：直线AB必过定点．【答案】（1）24yx=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点Q的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线AB的方程与抛物线方程可得关于x的一元二

次方程，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，()22,Bxy−，根据韦达定理求出12124,12yymyy+==，求出直线AB的方程并令0y=，求出x并逐步化简可得3x=，则直线AB

过定点(3,0).【小问1详解】设点Q的坐标为()03,y，因为点Q在第一象限，所以00y，双曲线22134xy−=的渐近线方程为233yx=，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以023y=，所以点Q的坐标为()3,23，又点()3,23Q在抛物线22ypx=上，所以1223p=，

所以2p=，故抛物线E的标准方程为：24yx=；【小问2详解】设直线AB的方程为3xmy=−，联立243yxxmy==−，消x得，24120ymy−+=，方程24120ymy−+=的判别式216480m=−，即230m−，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵

(𝑥2,𝑦2)，则12124,12yymyy+==，因为点A、B在第一象限，所以121240,120yymyy+==，故0m，设B关于x轴的对称点为()22,Bxy−，则直线AB的方程为212221()yyyyxxxx−−−+=−，令

0y=得：212221xxxyxyy−=+−−122121xyxyyy+=+()()12211233ymyymyyy−+−=+()21121223myyyyyy−+=+241212344mmmmm−===．直线AB过定点(3,0

)．【点睛】方法点睛：联立直线AB的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，()22,Bxy−，根据韦达定理求出12124,12yymyy+==，求出直线AB的方程并令0y=，求出x并逐步化简可得

3x=，则直线AB过定点(3,0).17.如图，已知正方形ABCD的边长为4，,EF分别为,ADBC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角AEFC−−的大小为60°，点M在线段AB上．（1）若M为AB的中点，且直线MF与直线E

A的交点为O，求OA的长，并证明直线OD//平面EMC；（2）在线段AB上是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角MECF−−的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】（1）2OA=

；证明见解析.（2）存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；此时二面角MECF−−的余弦值为14.【解析】【分析】（1）根据中位线性质可求得OA，由//MNOD，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知60DEA=，取

AE，BF中点O，P，由线面垂直的判定和勾股定理可知OD，OA，OP两两互相垂直，则以O为坐标原点建立空间直角坐标系；设()1,,0Mm()04m，利用线面角的向量求法可求得m；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】,EF分别

为,ADBC中点，////EFABCD，且2AEFB==，又M为AB中点，且,ABOEABBF⊥⊥，易得OAMFBM，2OAFBAE===，连接,CEDF，交于点N，连接MN，由题设，易知四边形CDEF为平行四边形，NQ为DF中点

，//,AMEFA是OE的中点，M为OF中点，//MNOD，又MN平面EMC，OD平面EMC，//OD平面EMC；【小问2详解】////EFABCD，EFDE⊥，EFAE⊥，又DE平面CEF，AE平面AEF，DEA即为二面角AEFC−−的平面角，60DEA=∠

；取,AEBF中点,OP，连接,ODOP，如图，60DEA=，112OEDE==，2414cos603OD=+−=，222ODOEDE+=，ODAE⊥，//OPEF，OPDE⊥，OPAE⊥，又

,AEDE平面AED，AEDEE=，OP⊥平面AED，,ODAE平面AED，,ODOPAEOP⊥⊥，则以O为坐标原点，,,OAOPOD方向为,,xyz轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则()0,0,3D，()1,0,0E−，()1

,4,0F−，()0,4,3C，设()()1,,004Mmm，则()1,0,3DE=−−，()2,,0EMm=，()1,4,3EC=，设平面EMC的法向量𝑛1⃗⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则1111111·20·430EMnxmyECnxyz=+=

=++=，令12y=，则1xm=-，183mz−=，18,2,3mmm−=−，∵直线DE与平面EMC所成的角为60o，·sin60cos,·DEnDEnDEn==111()228328243mm==−++，解得1m=或3m=，存在点M，当1AM=或3AM=时

，使得直线DE与平面EMC所成的角为60o；设平面CEF的法向量()2222,,nxyz=，又()1,4,3EC=，()1,0,3FC=，2222222·430·30ECnxyzFCnxz=++==+=，令21z=，则23x=−，20y=，(

)23,0,1m=−；当1m=时，171,2,3n=−−，12121243·13cos,84·23nnnnnn===；当3m=时，253,2,3n=−−，12121243·13

cos,84·23nnnnnn===；综上所述：二面角MECF−−的余弦值为14.【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点M的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解

题的关键.18.已知函数()12exxfxx−=−.（1）当1=时，求()fx图象在点(1,𝑓(1))处的切线方程；（2）若1x时，()0fx，求的取值范围；（3）求证：()1111111232124e2e*nnnnnnn+++++−+++−N.【答案】

（1）0y=（2）)1,+（3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212lnxxx+，求出函数()212lnxgxxx=+的最大值得解；的（3）先构造

函数()12lnxxxx=−+，利用导数证明11ln2xxx−，1x，令11xn=+，可得()111ln1ln21nnnn+−++，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1=时，()12

exxfxx−=−，𝑓(1)=0，则()12121exxfxxx−=−+，则()0122e0f=−=，所以()fx在点(1,𝑓(1))处的切线方程为0y=.【小问2详解】由1x时，()0fx，即12e0

xxx−−，整理得212lnxxx+，对1x恒成立，令()212lnxgxxx=+，则()()42321ln222lnxxxxxgxxxx−−−=−+=，令()1lnhxxxx=−−，1x，所以()ln0h

xx=−，即函数ℎ(𝑥)在1x上单调递减，所以()()10hxh=，即()0gx，所以函数()gx在1x上单调递减，则()()11gxg=，1.【小问3详解】设()12lnxxxx=−+，1x，则()()222221212110xxxx

xxxx−−−+−==−−=，所以𝜑(𝑥)在(1,+∞)上单调递减，则()()10x=，即12ln0xxx−+，11ln2xxx−，1x，令11xn=+，*Nn，可得1111111ln1112211nnnnn++−=

+++，所以()111ln1ln21nnnn+−++，()()111ln2ln1212nnnn+−++++，()()111ln3ln2223nnnn+−++++，…()()1

11ln2ln212212nnnn−−+−，以上式子相加得()112221ln2ln212212nnnnnnn−+++++++−，整理得，11111ln2412212nnnnn−++++++−L，两边取指数得，11111ln2412212eennnnn−++

++++−L，即得111114122122eennnnn−++++++−L，()*Nn得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12lnxxxx=−+，利用导数证明11ln2xxx−，1x，令11xn=+，得到()111ln1ln21n

nnn+−++.19.已知整数4n…，数列na是递增的整数数列，即12,,,naaaZ且12naaa．数列nb满足11ba=，nnba=．若对于2,3,,1in−，恒有1iiba−−等于同一个常数

k，则称数列nb为na的“左k型间隔数列”；若对于2,3,,1in−，恒有1iiab+−等于同一个常数k，则称数列nb为na的“右k型间隔数列”；若对于2,3,,1in−，恒有1iiabk+−=或者1iibak−−=，则称

数列nb为na的“左右k型间隔数列”．（1）写出数列:1,3,5,7,9na的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）已知数列na满足()81nann=−，数列nb是na的“左k型间隔数列”，数列nc是na的“右

k型间隔数列”，若10n=，且有1212nnbbbccc+++=+++，求k的值；（3）数列na是递增的整数数列，且10a=，27a=．若存在na的一个递增的“右4型间隔数列nb”，使得对于任意的,2,3,,1ijn−，都有ijijabba++，求na的关于n的最小值（

即关于n的最小值函数()fn）．【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．（2）80k=（3）()()382nnfn−=+【解析】【分析】（1）由“左右k型间隔数列”的定义，求数列:1,3,5,7

,9na的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）根据“左k型间隔数列”和“右k型间隔数列”的定义，由1212nnbbbccc+++=+++，则有1291016aakaa++=+，代入通项计算即可；（3）由“右4型间隔数列”的定义，有144iiibaa+=−−，可知3i

ibann−−∣，则有()()()232431nnnaaaaaaaa−=+−+−++−()()()()413216nn−+−+−+−++−，化简即可．【小问1详解】数列:1,3,5,7,9na的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4

，6，8，9．【小问2详解】由12101210bbbccc+++=+++，可得239239bbbccc+++=+++，即128341088aaakaaak++++=+++−，即1291016aakaa++=+，即16168988109k+=+，所以80k=．【小问3详解】当

2,3,,1in−时，由144iiibaa+=−−，可知3iibann−−∣．又因为对任意,2,3,,1ijn−，都有ijijabba++，即当2,3,,1in−时，iiba−两两不相等．因为()()()232

431nnnaaaaaaaa−=+−+−++−()()()2233117444nnbababa−−=++−++−+++−()()()()223311742nnnbababa−−=+−+−+−++−()()()()413

216nn−+−+−+−++−()382nn−=+．所以na的最小值函数()()382nnfn−=+．另外，当数列{𝑎𝑛}的通项()0,1,38,2,2iiaiiin==−+间隔数列{𝑏𝑛}的通项(),1,13,21

,2iiaiinbiiin===−+−或时也符合题意．【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此

基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!