【文档说明】安徽省安庆市大观区安庆一中2021-2022学年高三上学期阶段性测试一数学（理科）试题 含解析.docx，共(20)页，1.045 MB，由小赞的店铺上传

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安庆一中2022届龙门高三数学（理科）阶段性测试一（2021.10.4）第I卷（选择题）一、单选题（共60分）1.设U是全集，若ABU=，则下列关系式一定正确的是（）A.AB=B.UBCAC.UCABD.UUCACB

U=【答案】C【解析】【分析】利用Venn图，通过举例说明A，B，D错误，从而选C.【详解】如图，ABU=，此时AB∅，A错，BUCA，B错，UUCACBU，D错，故选：C2.“1a”是

“1,()x+，1)ln(xxa−−”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】转化“1,()x+，()ln1xxa−−”为()min[ln1]xx

a−−，令()()ln1fxxx=−−，求导分析最小值，再结合充分必要条件的定义，即得解【详解】令()()ln1fxxx=−−，则12()111xfxxx−=−=−−，当()1,2x时，()0fx′，当(2,)x+时，()0fx′，故当2x=时，

()fx取最小值2，故“1,()x+，()ln1xxa−−”⇔“2a”故“1a”是“1,()x+，()ln1xxa−−”的必要不充分条件，故选：B3.已知22()sin()ln(1)4fxxxx=+++−，(ln2)af=，1(ln)2bf=，则（）A.1a

b+=B.0ab+=C.0ab−=D.1ab−=【答案】A【解析】【分析】()fx211sin2ln(1)22xxx=+++−，令1()sin22gxx=+2ln(1)xx+−，可证()gx为奇函数，从而代入可计算结果.【详解】()fx=2π1cos22ln(1)2xxx−+

++−211sin2ln(1)22xxx=+++−设1()sin22gxx=+2ln(1)xx+−，则1()()2fxgx=+，∴1(ln2)(ln2)2afg==+，1(ln)(ln2)2bff==−1(ln2)2

g=+−，因为()()()()2211sin2ln1sin2ln1ln1022gxxxxxxx−=−++++++−==，即()()gxgx−=−，∴()gx为奇函数，∴(ln2)(ln2)0gg+−=，∴1ab+=+(ln2)(ln2)1gg+−=.故选：A．4.定义2ab

aab=−rrrrr.若向量()1,2,2a=−，向量b为单位向量，则ab的取值范围是（）A.0,6B.6,12C.)0,6D.()1,5−【答案】B【解析】【分析】根据题意结合数量积的定义以及模长运算求解【详解】由题意可知()2221223,1ab=+

−+==rr，设a与b的夹角为0,π，则22cos93cosabaabaab=−=−=−rrrrrrrr，又因为[0,π]，则cos1,1−，所以93cos[6,12]ab=−rr，故选：B.5.设()fx是定义在R上的奇函数

，满足()()2=fxfx−，数列na满足11a=−，且()()1*211Nnnaannnnn+=+++，则()22=fa（）A.0B.1−C.21D.22【答案】A【解析】【分析】先把()1211nnaannnn+=+++裂项后迭代求出=2nan−，

得到2220a=；再证明出()fx是以4为周期的周期函数，即可求解.【详解】对于数列na满足11a=−，且()()1*211Nnnaannnnn+=+++，变形可得：()12=11nnaannnn+−++，即122=11nn

aannnn+−−++，则有：112211=112211nnnnnaaaaaaaannnnn−−−−+−++−+−−−2222221=121121nnnn−−+−+

+−+−−−2=1n−.所以=2nan−，所以22=22220a−=.因为()fx是定义在R上的奇函数，所以()()=fxfx−−且()0=0f.因为()()2=fxfx−，则有()()=2fxfx−−−，变形可得：()()2=fxfx+−，则有()()()4

=2=fxfxfx+−+，即()fx是以4为周期的周期函数.所以()()()222000faff===.故选:A6.已知2log2.5a=，3log3.5b=，1.52c=，则a，b，c的大小关系是（）．A.cbaB.c<a<bC

.abcD.bac【答案】D【解析】【分析】先根据题意得12a，12b，1.522c=，再构造函数()ln0.51log2lnxxyxx+=+=，1x，研究函数单调性比较大小即可.【详解】因为22.54，33.59，所以1

2a，12b，1.522c=，所以c最大，故排除A，B；设()()ln0.51log2lnxxyfxxx+==+=，1x，则()()()()()()0.52211lnln0.5lnln0.50.5ln

0.5lnxxxxxxxxyxxxx+−+−++==+，因为1x，所以()()0.50.5xxxx++，所以()()0.5lnln0.50xxxx+−+，所以()fx在()1,+上单调递减．所以()()23ff，即

ab，所以bac.故选：D7.函数()()33sinfxxxx=−的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析函数()fx的奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出

合适的选项.【详解】函数()()33sinfxxxx=−的定义域为R，()()()()()()333sin3sinfxxxxxxxfx−=−−−−=−=，函数()fx为偶函数，排除AD选项，当01x时，0x

，230x−，sin0x，则()()23sin0fxxxx=−，排除B选项.故选：C.8.定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个1212,()xxxx，均有1212()()fxfxkxx

−−成立，则称函数()fx在定义域D上满足利普希茨条件.若函数()(1)fxxx=满足利普希茨条件，则常数k的最小值为A4B.3C.1D.12【答案】D【解析】【详解】试题分析：由已知利普希茨条件的定义，若函数()(1)fxxx=满足利普希茨条件，所以存在常数k，使得对定义域[

1，+∞）内的任意两个1212,()xxxx，均有1212|()()|||fxfxkxx−−成立，不妨设12xx＞，则1212121xxkxxxx−=−+．而0＜121xx+＜12，所以k的最小值为12．故选D.考点：1.新定义问题；2.函数恒成立问题．9.已知函数()(

)tan23fxx=−+，()322xgxx−=−.若()fx与()gx的图象在区间1725,22,22−.上的交点分别为()()()()()1122667788,,,,,,,,,,xyxyxyxyxy，则128128xxxyyy+++++++的值

为（）A.20B.30C.40D.42【答案】C【解析】【分析】利用整体对应法可求得()fx的对称中心为()2,32kkZ+，由()()46gxgx+−=可得()gx的对称中心()2,3；根据对称性可知若(),ab为满足题意的

交点，则()4,6ab−−也为满足题意的交点，由此可将所求式子化为()()11221442xxxx+−++−+()884xx++−()()()112288666yyyyyy++−++−+++−，进而求得结果.【详解】令()22kxkZ−=，解得：22kx=+，()fx\关

于()2,32kkZ+对称；当2x时，()()3210361246222xxxgxgxxxx−−−+−=+==−−−，()gx关于()2,3对称；1725,22,22x−，17254,22,22x−−

，若(),ab为()fx与()gx在1725,22,22−的交点，则()4,6ab−−也为()fx与()gx在1725,22,22−的交点，()()()()()1281281822144466x

xxyyyxxxyy+++++++−+−++−+−+−=+()86y+−()()()()11228811144462xxxxxxyy=+−++−+++−++−+()()228866yyyy+−+++−()14868402=+=.故选：C.【点

睛】关键点点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够利用正切型函数对称中心的求法和函数对称性的判断确定两函数的对称中心，由对称性得到交点坐标所满足的关系.10.已知ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，sin2sin2sinABC+=，3b=，当内角C最大时，ABC的

面积等于（）A.9334+B.6324+C.32624−D.36324−【答案】A【解析】【分析】已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，利用余弦定理表示出cosC，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出cosC的

最小值即可求出三角形的面积.【详解】已知等式利用正弦定理化简得：22abc+=，两边平方得：22(2)4abc+=，即2222224abbc++=，所以2222232224abababc+−+−=，所以222223222cos28abcababCaba

b+−+−==132132(22)(222)88ababbaba=+−−162(2622)84−=−=，当且仅当32=abba，即32ab=时取等号，此时232633ba===，则cosC的最小值为624−，此时C最大，且262sin1cos4CC+=−=，则

ABC的面积1162933sin632244SabC++===，故选:A.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11.已知a<0，不等式1ln0ax

xeax++对任意的实数1x恒成立，则实数a的最小值为（）A.12e−B.2e−C.1e−D.e−【答案】D【解析】【分析】首先不等式变形为lnlnaxaxxexe−−，()xfxxe=()1x，不等式等价于()()lnafxfx−，

然后利用函数的单调性可得lnxax−对任意1x恒成立，再利用参变分离lnxax−恒成立，转化为求函数的最小值.【详解】不等式变形为()lnxaxexax−−，即lnlnaxaxxexe−−，设()xfxxe=()1x，则不等式1ln0

axxeax++对任意的实数1x恒成立，等价于()()lnafxfx−对任意1x恒成立，()()10xfxxe=+，则()fx在()1,+上单调递增，lnaxx−，即lnxax−对任意1x恒成立，lnxax−恒成立，即m

inlnxax−，令()lnxgxx=，则()()2ln1lnxgxx−=()1x，当1ex时，()0gx，()gx在()1,e上单调递减，当xe时，()0gx，()gx在(),e+上单调递增，xe=时，()gx取得最小值(

)gee=，ae−，即ae−，a的最小值是e−.故选：D【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形lnlnaxaxxexe−−，并能构造函数并转化为()()lnafxfx−对任意1x恒成立

.12.已知平面直角坐标系中点(1,1)A−，(4,0)B，(2,2)C，平面区域D由所有满足APABAC=+（312，1b）的点(,)Pxy组成的区域，若区域D的面积为8，则b的值为A.

3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】由已知可得(3,1),(1,3)ABAC==，进而可求出两个向量的模长和夹角，利用区域D的面积为8列方程，解出b的值．【详解】由已知可得(3,1),(1,3)ABAC==，则3|

|10,cos,5ABACABAC===4sin,5ABAC=，由310(1)10(2b−41)835b−==，故选：A第II卷（非选择题）二、填空题（共20分）13.已知单位向量a、b满足2ab+与a垂直，则a与b的夹角,ab=______．【答案】135【解析】【分析】本题首

先可根据单位向量的性质得出1a=、1b=，然后根据2ab+与a垂直得出()2?0aba+=，最后通过向量的数量积公式得出2cos,2ab=−，即可得出结果.【详解】因为a、b是单位向量，所以1a=，1b=，因为2ab+与a垂直

，所以()2?0aba+=，即22?0aba+=，22cos,0abaab+创?，12cos,0ab+=，2cos,2ab=−，,135ab=，故答案为：135.14.下列函数中，最小值为2的有___________.（填写所有满足条件的函数的序号）①246yxx=

−+；②22xxy−=+；③221loglogyxx=+；④1sin(0)sinyxxx=+【答案】①②④【解析】【分析】①利用二次函数的性质分析最小值；②③④采用换元法结合对勾函数的单调性分析最小值.【详解】①()2246222yxxx=−+=−+，取等号时2x=，所以min2y=

，满足；②令20xt=，1ytt=+在()0,1上递减，在()1,+上递增，所以当1t=时，min112y=+=，满足；③令()()2log,00,tx=−+，1ytt=+在()0,1上递减，在()1,+上递增，

在(),1−−上递增，在()1,0−上递减，0t时，12ytt=+−，取等号时1t=−；0t时，12ytt=+，取等号时1t=，不满足；④令(sin0,1tx=，1ytt=+在(0,1上单调递减，所以当1t=时，min112y=+=，满足；故答案为：①②④．15.设函数()f

x是定义在实数集R上的偶函数，且()()2fxfx=−，当[0,1]x时，3()fxx=，则函数()|cos|()gxxfx=−在15,22−上所有零点之和为___________.【答案】7【解析】【分析】分析()|cos|,yxfxy

==的对称性，将问题转化为()|cos|,yxfxy==图象交点横坐标之和，采用数形结合法求解出结果.【详解】因为()()2fxfx=−，所以()()()2fxfxfx+=−=，所以()fx是一个周期为

2的周期函数，且关于直线1x=对称，令()|cos|hxx=，所以()()()()2cos2cos2coshxxxxhx−=−=−==，所以()hx关于直线1x=对称，在同一平面直角坐标系中作出()|cos|,yxfxy==的图象，如

下图所示：由图象可知：()|cos|,yxfxy==的图象共有7个交点，其中6个点关于1x=对称，还有一个点横坐标为1，所以交点的横坐标之和为62172+=，所以()gx在15,22−上所有零点之和为7，故答案为：7.【点睛】思路点睛：求解函数零点之和的问题，可以转化为求解函数

图象交点的横坐标之和，利用数形结合的思想能高效解答问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.16.若,(,)66−，mR

，且3tan30m+−=，319tan303m++=，则cos(3)+=________.【答案】1【解析】【分析】构造函数3()tanfxxx=+，再结合条件，利用其奇偶性和单调性，由()(3)0ff+=求解.【详解】

∵319tan303m++=，∴3(3)tan330m++=．令3()tan,(,)22fxxxx=+−，易知()fx为奇函数，且在区间(,)22−上为增函数．由题意得()30,(3)30fmfm−=+=，∴()(3)

0ff+=，∴3=−，故30+=，∴cos(3)1+=．故答案为：1三、解答题（共70分）17.已知全集U=R，集合115Axyxx==−+−，117Bxx=−，3Cxa

xa=−+.（1）求AB；（2）若CAA=U，求a的取值范围.【答案】（1）{|18}xx（2）(,1−−【解析】【分析】（1）利用具体函数定义域的解法化简集合A，解一次不等式化简集合B，从而利用集合的并集运算即可得解；（2）由CAA=U得CA

，从而得到关于a的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】依题意，得1050xx−−，解得15x，{|15}Axx=，又117{|28}Bxxxx=−=，{|18}ABxx=

.【小问2详解】因为CAA=U，所以CA，又3Cxaxa=−+，当C=时，3aa−+，解得32a−，满足题意；当C时，32135aaa−−+，解得312a−−，a的取值范围为：

(,1−−．18.在ABC中，AD是BC边的中线，120BAC=，且152ABAC=−．（1）求ABC的面积；（2）若5AB=，求AD的长．【答案】（1）1534；（2）192．【解析】【分析】（1）利用平面向量的

数量积计算出ABAC的值，利用三角形的面积公式可求得结果；（2）求出AC的长，延长AD到E，使ADDE=，连接BE，由平面向量加法的平行四边形法则可得2ADABAC=+uuuruuuruuur，计算出24AD的值，即可求得AD的长．【详解】（1）115

cos12022ABACABACABAC==−=−，则15ABAC=，113153sin152224ABCSABACBAC===△；（2）由5AB=得3AC=，延长AD到E，使ADDE=，连接BE．由平面向量加法平行四边形法则可得2ADAE

ABAC==+，所以，()2222422515919ADABACABABACAC=+=++=−+=，192AD=，即AD的长为192．19.数列na的前n项和为nS，已知0na，2243nnnaaS+=+．（1）求数列na的通项公式；（2）令12nnab

−=，设数列21nnbb+的前n项和为nT，若不等式()1log13naTa−对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围．的【答案】（1）21nan=+；（2）10,2．【解析】【分析】（1）本题首先可令1n=，求出13a=，然后令2n，根据2

243nnnaaS+=+得出2111243nnnaaS−−−+=+，再然后两式相减，得出12nnaa−−=，最后通过等差数列的定义即可得出结果；（2）本题首先可根据21nan=+得出2111122nn

bbnn+=−+，然后通过裂项相消法得出31114212nTnn=−+++，根据10nnTT+−得出数列nT单调递增，再然后根据题意得出()11log133aa−，最后通过计算即可得

出结果.【详解】（1）当1n=时，2111243aaa+=+，解得13a=或11a=−，因为0na，所以13a=，当2n时，2243nnnaaS+=+，2111243nnnaaS−−−+=+，两式相减，得2121

1243243nnnnnnaaSaaS−−−+−−=+−−，整理得()()1120nnnnaaaa−−+−−=，因为0na，所以10nnaa−+，120nnaa−−−=，12nnaa−−=，故na是以3为首项、2为公差的等差数列，21nan=+，（2）因为21nan=+，所以12n

nabn−==，()211111222nnbbnnnn+==−++，则13243521111nnnTbbbbbbbb+=++++11111111111111121322423521122nnnn=−+−+−++−+−

−++11113111122124212nnnn=+−−=−+++++，因为()()11013nnTTnn+−=++，所以数列nT单调递增，()1min13nTT==，要

使不等式()1log13naTa−对任意正整数n恒成立，只要()11log133aa−即可，即()log11aa−，因为10a−，所以01a，()log11aa−，即1aa−，解得102a，实数a的取值范围为10,2.20.已知函数2(

)21xxafx−=+为定义在R上的奇函数．（1）求()fx解析式并判断函数()fx的单调性；（2）若关于x的不等式41()()01xxxeeffte−−++++在R上恒成立，求t的取值范围．【答案】（1）21()21xxfx-=+，()yfx=在R上为增函数；

（2）(3,)−+.【解析】【分析】（1）由奇函数在0x=处有定义，可得()00f=可求得a以及()fx解析式，再检验是否满足奇函数的定义.结合指数函数的单调性，可得()fx的单调性；（2）由()fx的奇偶

性和单调性，可得411xxxeete−−++−+在R上恒成立，则min41()1xxxeete−−++−+，由基本不等式可得最小值，进而求得t的取值范围.【详解】（1）函数2()21xxafx−=+为定义在R上的奇函数，可得(0)0f=，即10a−=

，解得1a=，所以21()21xxfx-=+，2112()()2112xxxxfxfx−−−−−===−++，即有()fx为R上的奇函数，故1a=，21()21xxfx-=+；由2()121xfx=−+，2xy=在R上递增，可得()yfx=在R上为增函数；的的

（2）41()()01xxxeeffte−−++++在R上恒成立，即为41()()()1xxxeefftfte−−++−=−+在R上恒成立．所以411xxxeete−−++−+在R上恒成立，则min41()1xxxeete−−++−+，由(

)2414411111xxxxxxxxeeeeyeeee−−++++===++−+++，因为11xe+，所以()4141xxee+++…，当且仅当12xe+=时，等号成立则3y…，所以3t−，即3t−，可得t的取值范围是(3,)−+．21.对于定义域为D的函数()yfx=

，如果存在区间[,]mnD，同时满足：①()fx在[,]mn内是单调函数；②当定义域是[,]mn时，()fx的值域也是[,]mn.则称[,]mn是该函数的“和谐区间”.（1）求证：函数5()3ygxx==−不存在“和谐区间”.（2）已知：函数()221(,0)aaxyaRaax+

−=有“和谐区间[,]mn，当a变化时，求出nm−的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）233.【解析】【分析】（1）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间[,]m

n为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立；（2）设[,]mn是已知函数的定义域的子集，可以用a表示nm−，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，即可得答案；【详解】（1）设[,]

mn是已知函数定义域的子集.∵0x，[,](,0)mn−或[,](0,)mn+，故函数53yx=−在[,]mn上单调递增.若[,]mn是已知函数的“和谐区间”，则()()gmmgnn==故m、n是方程53xx−=的同号的相异实数根.∵2350xx−+=无实数根，∴函

数53yx=−不存在“和谐区间”.（2）设[,]mn是已知函数定义域的子集.∵0x，[,](,0)mn−或[,](0,)mn+，故函数()222111aaxayaxaax+−+==−在[,]mn上单调递增.若[,]mn是已知函数的“和谐区间”，则()()fmmfnn==故m、n

是方程211axaax+−=，即()2210axaax−++=的同号的相异实数根.∵210mna=，∴m，n同号，只须2(3)(1)0aaa=+−，即1a或3a−时，已知函数有“和谐区间”[,]mn，∵22

114()4333nmnmmna−=+−=−−+，∴当3a=时，nm−取最大值233.【点睛】本题考查函数定义域、值域等性质，确定性问题要注意建立正难则反的思想，用反证法来求解简化证明过程，考查函数与方程思想

、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.22.已知函数()()lnxfxaRxa=+，曲线()yfx=在点()()1,1f的切线方程为yxb=+.（1）求实数a的值，并求()fx的极值.（2）是否存在Zk，使得()

2kxfx+对任意0x恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）0a=，1ye=极大值，无极小值.（2）存在，3【解析】【分析】（1）由求导公式求出导数，再由切线的方程得()11f=，列出方程求出a的值，代入函数解析式和导数，分别求出()0fx、()

0fx对应的x的范围，即求出函数()fx的单调区间；（2）先将()2kxfx+分离出22:lnxkkxx+，构造函数22()lnxgxxx=+，再求出此函数的导数()gx并化简，再构造函数并二次求导，通过特殊函数值的符号，确定函数零点所在的区间，列出表格判断出()gx的单调性，从而

求出()gx的最大值，再由自变量的范围确定出()gx的最大值的范围，从而求出满足条件的k的最小值．【详解】（1）依题意，()()2ln'xaxxfxxa+−=+，所以()()211'111afaa+==++，又由切线方程可得()'11f=，即111a=+，解得0a=，所以()lnx

fxx=，所以()21ln'xfxx−=，令()'0fx=，解得xe=，当0x时，()'fx，()fx的的变化情况如下：x()0,ee(),e+()'fx+0-()fx极大值所以()1yfee==极大值，无极小值

.（2）若()2kxfx+对任意0x恒成立，则2ln2xkxx+，记()2ln2xgxxx=+，只需()maxkgx.又()32312ln2122ln'xxxgxxxx−−−=−=，记()122lnhxxx=−−，则()2'20hxx=−−，所以()hx在()0

,+上单调递减.又()110h=−，22122ln12ln222h=−−=−+321ln2ln02e−+=，所以存在唯一02,12x，使得()00hx=，即00122ln0xx−−=，当0x时

，()hx，()'gx，()gx变化情况如下：x()00,x0x()0,x+的()hx+0-()'gx+0-()gx极大值所以()()0002max02lnxxgxgxx+==，又因为00122ln0xx−−=，所以0022ln1xx+=，所以()()000

00220022ln21222xxxxgxxx+++==2001112xx=+，因为02,12x，所以()011,2x，所以()03122gx+，又()()max12gxg

=，所以()0212gx+，因为()maxkgx，即()0kgx，且Zk，故k的最小整数值为3.所以存在最小整数3k=，使得()2kxfx+对任意0x恒成立.【点睛】本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值之

间的关系，恒成立问题转化为求函数的最值，以及构造法、二次求导判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力，化简计算能力．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com