【文档说明】《精准解析》江苏省常州市第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）.docx，共(21)页，985.297 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-56ed81cbd46242d07c0a495f29964c73.html

以下为本文档部分文字说明：

常州市第一中学2022-2023年度第一学期期末考试高二数学试卷（时间：120分钟页数：共4页满分：150分）出卷人：刘文娟审卷人：丁春梅一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.若直线(1)10

xay+−+=与直线210axy+−=互相垂直，则实数=a（）A.32B.23C.1−D.2【答案】B【解析】【分析】直接根据直线垂直公式计算得到答案.【详解】由两直线互相垂直可知2(1)0aa+−=，解得23a=，故选：B

.【点睛】本题考查了根据直线垂直求参数，属于简单题.2.已知等差数列na的前n项和为nS，且1233,,aSa成公比为q的等比数列，则q=（）A.13B.1C.13−D.3【答案】B【解析】【分析】由等比中项的性质结合等差数列的通项公式得出

1ad=，进而由213Sqa=得出q.【详解】等差数列na的公差为d，则21312,2Sadaad=+=+，因为1233,,aSa成公比为q的等比数列，所以()()2111232adaad+=+，整理得()210ad−=，故1ad

=，则213133Sdqad===故选：B3.若数列na满足111nnaa+=−，且12a=，则2022a=（）A.－1B.2C.2D.12【答案】A【解析】【分析】根据递推公式求出na的周期即可.【详解】由题意，1234112,1,12

1,11222aaaa==−==−=−=+=，又1231211111,1,11nnnnnnnnaaaaaaaa+++++=−=−==−=−，na是周期为3的周期数列，20223367331aaa+

===−.故选：A.4.函数()||3exxxf=的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求解()fx的定义域并判断奇偶性，然后根据()1f的值以及()fx在()0,+上的单调性选择合适图象.【详解】()e3

xfxx=定义域为()(),00,−+，()e3xfxx−=−，则()()fxfx−=−，()fx为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；()e113f=，故排除A；∵()e3xfxx=，当0x时，可得()()21e3xx

fxx−=，当1x时，()0fx¢>，()fx单调递增，故排除D.故选：C.5.椭圆焦点为1F，2F，过1F的最短弦PQ长为10，2PFQ的周长为36，则此椭圆的离心率为A.33B.13C.23D.63【答案】C【解析】【详解】试题分析：设椭圆方程为22221xyab+=其焦点坐标为1

F(-c,0)，由已知P、Q坐标为：M(-c,2ba),N(-c,-2ba)所以，2·2ba=10，25ba=；△P2FQ的周长为36|P2F|=|2FQ|=36|PQ|2−=13,c=62a=225bca+=+36，所以(a-9)(a+4)=0因为a>0,所以，a=9，椭圆的离心率为23，

故选C．考点：本题主要考查了椭圆的标准方程、几何性质．点评：过1F的最短弦PQ垂直于x轴，另外，由椭圆的对称性，△P2FQ是一直角三角形．6.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹40=尺，一丈10=

尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按3

0天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为na，则13292430aaaaaa++++++的值为（）A.1415B.1617C.2324D.23【答案】C【解析】【分析】由题意，数列na为等差数列

，利用1a和30S求出公差d和通项公式，利用等差数列的性质化简132915243016aaaaaaaa+++=+++，求解1516aa即可.【详解】由题意，数列na为等差数列，16a=，3011

40310470S=+=，设数列na公差为d，由等差数列前n项和公式，()30303013064702Sd−=+=，解得23d=，所以()221661333nann=+−=+()129132915

15152aaaaaa++++==，()23024301615152aaaaaa++++==，所以132915243016216152333216241633aaaaaaaa++++===++++.故选：C【点睛】本题主要考查利

用等差数列前n项和公式求解通项公式和等差数列性质的应用，熟练掌握等差数列相关公式是求解的关键，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题.7.已知函数()1yfx=−的图像关于点()1,0对称，且当(),0x−，()()0fxxfx+成立.若()()0.20.222af=

，()()ln2ln2bf=，2211loglog44cf=，则a，b，c的大小关系是（）A.abcB.bacC.cabD.acb【答案】C【解析】【分析】由题知()fx是奇函数，令()()gxxfx=

，进而得函数()gx为偶函数，在()0,+上单调递增，再根据函数单调性比较大小即可.【详解】解：函数()1yfx=−的图像关于点()1,0对称，所以函数()fx图像关于点()0,0对称，即()fx是奇函数，()()fxfx−=−构造函数()()gxxfx=，()()()gxfxxfx=+

，因为当(),0x−时，()()()0gxfxxfx=+，所以函数()gx在(),0x−上单调递减．因为()()fxfx−=−，()()()()gxxfxxfxgx−=−−==，所以函数()gx为偶函数，所以，函数()gx在()0,+上单

调递增，因为()0.20.222af==()0.22g，()ln2ln2bf==()ln2g()()()2211loglog2222244cfffg==−−==0.2122ln20所以，()()()0.222ln2ggg，即cab.故选：C．8.高斯是德

国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数()fxx=，其中x表示不超过x的最大整数，已知数列na满足12a=，26a=，2156nnnaaa+++

=，若51lognnba+=，nS为数列11000nnbb+的前n项和，则2023S=（）A.999B.749C.499D.249【答案】A【解析】【分析】根据递推关系可得1nna

a+−为等比数列，进而可得1145nnnaa−+=−，由累加法可求解151nna+=+，进而根据对数的运算性质可得51lognnban+==，根据裂项求和即可求解.【详解】由2156nnnaaa+++=得()2115nnnnaaaa+++−=−，因此数列1nna

a+−为公比为5，首项为214aa−=的等比数列，故1145nnnaa−+=−，进而根据累加法得()()()()1111112024555251nnnnnnnnaaaaaaaa++−−−=+++=++−+−++=+−，由于()5

15loglog51nna+=+，又()()()5555log5log51log55log511nnnnnn+++，因此51lognnban+==，则()11000100011100011nnncbb

nnnn+===−++，故12110001nnScccn=+++=−，所以20231100010001100099920232023S=−=−=，故选：A【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法

有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于nnncab=+，其中na和nb分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11nann=+，错位相减法类似于nnncab=，其中na为等差数列，nb为等比数列等.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线C的方程为221()91xykkk+=−−R．（）A.当5k=时，曲线C是半径为2的圆B.当0k=时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为13yx=C.存在实数k，使得曲线C为离心率为2的双曲线D.“1k

”是“曲线C为焦点在x轴上椭圆”的必要不充分条件【答案】ABD【解析】【分析】A.由5k=得到曲线方程判断；B.由0k=得到曲线方程判断；C.根据曲线C为离心率为2的双曲线，则由910kk−+−=判断；D.利用充分和必要条件的定义判断.【详解】A.当5k=

时，曲线方程为224xy+=，所以是半径为2的圆，故正确；B.当0k=时，曲线方程为2219xy−=，所以是双曲线，且其渐近线方程为13yx=，故正确；C.若曲线C为离心率为2的双曲线，则910kk−+−=，方程无解，故错误；D.当10k=时，1k，曲线C为焦

点在y轴上的椭圆，故不充分，当曲线C为焦点在x轴上的椭圆时，的则1091kkk−−−，解得15k，故必要，故正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查曲线与方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10.下列

命题中，正确的命题有（）A.abab+=−是a，b共线的充要条件B.对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若243OPOAOBOC=−+，则P，A，B，C四点共面C.若ab∥，则存在唯一实数，使得ab=D.若,,abc为空间的一个基底，则,2

,3abbcca+++构成空间的另一个基底【答案】BD【解析】【分析】对于选项A：根据向量的模相等关系，结合充要条件判断；对于选项B：利用共面向量定理判断；对于选项C：利用平面向量的基本定理判断；对于选项D：根据空间向量的基底判断.【详解】对于选项A：当abab+=

−时，a，b共线，但当a，b同向共线，abab+−，故abab+=−是a，b共线充分不必要条件，故A错误；对于选项B：若243OPOAOBOC=−+，而2431−+=，根据共面向量定理得P，A，B，C四点共面，故B正确；对于选项C：当0b=时

，ab∥，不存在唯一的实数，使得ab=，故C错误；对于选项D：若,,abc为空间的一个基底，则,,abc不共面，则,2,3abbcca+++不共面，则,2,3abbcca+++可以构成空间的另一个基底，故D正确；故选：BD.11.已知数列na的前n项和为Sn，22nnSa=−，若存

在两项ma，na，使得64mnaa=，则（）A.数列{}na为等差数列B.数列{}na为等比数列的的C.22212413nnaaa−+++=LD.mn+为定值【答案】BD【解析】【分析】由nS和na的关系求出数列{}na为等比数列，所以选项A错误，选项B正确；利用等比数列前

n项和公式，求出122212443nnaaa+−+++=L，故选项C错误，由等比数列的通项公式得到62642mn+==，所以选项D正确.【详解】由题意，当1n=时，1122Sa=−，解得12a=，当2n时，1122nnSa−−=−，所以()1112222

22nnnnnnnaSSaaaa−−−−=−=−−−=，所以12nnaa−=，数列{}na是以首项12a=，公比2q=的等比数列，2nna=，故选项A错误，选项B正确；数列2na是以首项214a=

，公比14q=的等比数列，所以()()21112221211414441143nnnnaqaaaq+−−−+++===−−L，故选项C错误；6222642mnmnmnaa+====，所以6mn+=为定值，故选项D正

确.故选：BD【点睛】本题主要考查由nS和na的关系求数列的通项公式，等比数列通项公式和前n项和公式的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题.12.某数学研究小组在研究牛顿三叉戟曲线21()2fxxx=+时通过数学

软件绘制出其图象（如图），并给出以下几个结论，则正确的有（）A.函数()fx的极值点有且只有一个B.当0x时，|()|()fxfx−恒成立C.过原点且与曲线()yfx=相切的直线有且仅有2条D.若()()1212,0fxfxxx=，则21xx−的最小值为3

【答案】ABD【解析】【分析】由()0fx=确定极值点的个数（可由图象得极值点个数），判断A，由绝对值的性质判断B，设切点为00(,)xy，利用导数的几何意义求出切点坐标，判断C，由12()()fxfx=得121

212()xxxx+=，然后表示出21xx−，用换元法求得最小值后判断D．【详解】0x，21()4fxxx=−＝0，314x=，322x=，极值点有且只有一个，A正确；（实际上，由图象知函数()fx的极值点有且只有一个）0x时，221

1()22()fxxxfxxx−=−+=，B正确；21()4fxxx=−，设切点为00(,)xy，则0001()4fxxx=−，又切线过原点，所以000()yfxx=，即20002001214xx

xxx+−=，301x=，01x=，只有一个切点(1,3)，过原点的切线只有1条，C错；12()()fxfx=，且120xx，则2212121122xxxx+=+，121212()xxxx+=，()222

11212122121()444()xxxxxxxxxx−=+−=−，设12txx=，0t，()2212144xxtt−=−，21()44gttt=−，33111()4(8)22gttt=−−=−+，当2

1t−时，()0gt，()gt递减，102t−时，()0gt，()gt递增，所以min1()()32gtg=−=，所以21xx−的最小值为3，此时12133331,88xx+−=−=．D正确．故选：ABD．【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的应用，导数的几何意义，用导数研

究函数的极值、最值．在求过某点的切线方程时，一般要设切点坐标为11(,)xy，写出切线方程，利用切线所过的点求出切点坐标，得切线方程．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．.1

3.若直线yxb=+与曲线()2290xyy+=有两个公共点，则实数b取值范围为______.【答案】)3,32【解析】【分析】画出直线与圆的图象，根据直线yxb=+与曲线()2290xyy+=有两个公共点，利用数

形结合法求解.【详解】解：如图所示：当直线yxb=+与曲线()2290xyy+=相切时，圆心到直线的距离等于半径，即32b=，解得32b=，因为直线yxb=+与曲线()2290xyy+=有两个公共点，的所以实数b

的取值范围为)3,32，故答案为：)3,32.14.已知()1,2,1a=−−，()1,1,1bx=−−，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是______.【答案】()()0,33,+【解析】【分析】根据题意得出0ab且a与b不共线，然后

根据向量数量积的定义及向量共线的条件即可求出x的取值范围.【详解】因为a与b的夹角为钝角，所以0ab且a与b不共线，因为()1,2,1a=−−，()1,1,1bx=−−，所以()12110abx=−−−−，且1112x−−−，解得0x，且3x，所以x的取值范围是(

)()0,33,+.故答案为：()()0,33,+.15.已知函数()yfx=满足()()11fxfx+−=，若数列na满足121(0)(1)nnafffffnnn−=+++++

，则数列na的前16项的和为______.【答案】76【解析】【分析】利用倒序相加法可得到12nna+=，即可求得前16项的和.【详解】121(0)(1)nnafffffnnn−=+++++

，①121(1)(0)nnnafffffnnn−−=+++++，②两式相加，又因为()()11fxfx+−=，故21nan=+，所以12nna+=，所以na的前16项的和为161216171163172=176222Saaa+=+

+++++==故答案为：7616.已知正实数x，y满足lnelnxxyy=+，则exy−−的最大值为______.【答案】21e##2e−【解析】【分析】把已知等式变形为lnelnexxyxxy=，利用

函数()0()exfxxx=的单调性得,xy的关系，从而将exy−−转化为x的函数，再利用导数求得其最大值即可．【详解】由lnelnxxyy=+得lnexxyy=，所以lnexxxxyy=，则lnelne

xxyxxy=，因为0x，e0x，lne0xy，所以ln0xy，令()0()exfxxx=，则()e(1)0xfxx=+，所以()fx在()0,+上单调递增，所以由lnelnexxyxxy=，即()lnxfxfy=，得lnxxy=，所以exx

y=，所以11eeeexxxxxxy−−−=−=，令()1()0exxgxx−=，则2()exxgx−=，令()0gx，得02x；令()0gx，得2x，所以()gx在()0,2上单调递增，在()2,+上单调递减，所以max21()(2)egxg==

，即exy−−的最大值为21e．故答案为：21e．【点睛】关键点点睛：本题解决的关键对已知等式进行同构变形lnelnexxyxxy=，从而利用函数的单调性得出变量间的关系，由此得解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.17.已知数列na满足12311,9,45,3nnaaaaa+===−为等比数列.（1）证明：3nna是等差数列，并求出na的通项公式.（2）求na的前n项和为nS.【答案】（1）证明见解析，

1(21)3nnan−=−（2）(1)31nnSn=−+【解析】【分析】（1）根据题意得11363nnnaa−+−=，进而根据等差数列定义证明，并结合通项公式求解即可；（2）根据错位相减法求解即可；【小问1详解】证明：因为数列n

a满足12311,9,45,3nnaaaaa+===−为等比数列，所以13nnaa+−的公比2213345273393aaqaa−−===−−，首项为1236aa−=所以11363nnnaa−+−=，即112333nnnnaa++−=，所以3nna

是以23为公差的等差数列，首项为1133a=，所以，1221(1)33333nnann=+−=−，所以，1(21)3nnan−=−【小问2详解】解：根据错位相减法有：01211333...(23)3(21)3nnnSnn−−=++

+−+−，12131333...(23)3(21)3nnnSnn−=+++−+−，所以，0121213232323(21)3nnnSn−−=++++−−()10313132(21)313nnn−−=+−−−()32(21)33222nnnnn=−−−=−−，

所以(1)31nnSn=−+18.已知圆221:(6)(7)25Cxy−+−=及其上一点()2,4A.（1）设平行于OA的直线l与圆1C相交于,BC两点，且BCOA=，求直线l的方程；（2）设圆2C与圆1C外切于点A，且经过点()3,1P，求圆2C的方程.【答案】（1）

250xy−+=或2150xy−−=（2）22(2)(1)25xy++−=【解析】【分析】（1）由题意可设直线l的方程为2yxb=+，再由根据弦长结合点到直线的距离与勾股定理求解即可；（2）由题意可知圆心2C在直线1AC上也在在AP的中垂线上，先求出这两条直线，再联立可得圆心坐标

，进而可得半径，即可求解小问1详解】因为直线lOA∥，所以直线l的斜率为40220−=−.设直线l的方程为2yxb=+，则圆心1C到直线l的距离222+112755bbd−++==.则()2225252255bBCd+=−=−，又25BCOA==∣，所以

()25225255b+−=，解得5b=或15b=−，即直线l的方程为：250xy−+=或2150xy−−=.【小问2详解】因为圆2C与圆1C外切于点A，所以圆心2C在直线1AC上【由两点式427462yx−−=−−得直线1AC方程为34100

xy−+=又因为圆2C经过点A和P，所以圆心2C在AP的中垂线上，AP中点为55,,322APk=−所以AP中垂线方程为515232yx−=−，即350xy−+=由34100350xyxy−+=−+=解得圆心坐标为()22,1C−，半径

2235rCP==−−=所以圆2C的方程为22(2)(1)25xy++−=19.记等差数列na的前n项和为nS，公差为d，等比数列nb的公比为(0)qq，已知124ab==，23qd=，949Sb=

.（1）求na，nb的通项公式；（2）将na，nb中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列nc，求nc的前100项和.【答案】（1）31nan=+，2nnb=.（2）15080【解析】【分析】（1）根

据等差数列的求和公式以及等比数列的通项公式，整理方程，解得公比和公差，可得答案；（2）由题意，求得等差数列的第100项，逐项求解等比数列，利用等差数列建立方程，找出相同项，分组求和，可得答案.【小问1详解】由949Sb=，得21298992adbq+

=，因为124ab==，所以21dq+=.结合23qd=，可得2312qq+=，()()2120qq+−=，0q，解得2q=，3d=，所以数列na的通项公式为()43131nann=+−=+，数列nb的通项公式为2422nnn

b−==.【小问2详解】由（1）可知，当100n=时，100301a=.又2nnb=，所以12b=，24b=，38b=，416b=，532b=，664b=，7128b=，8256b=，9512301b=，令231n=+，解得13n=，令431n=+，解得1n=，令831n=

+，解得73n=，令1631n=+，解得5n=，令3231n=+，解得313n=，令6431n=+，解得31n=，令12831n=+，解得1273n=，令25631n=+，解得85n=，所以数列na

的前100项中与数列nb中相同的项共有4项，即4，16，64，256，即为nb的前8项中的偶数项.将na，nb中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列nc，则n

c的前100项为数列na的前100项中剔除与数列nb相同的4项后剩余的96项与nb的前8项中剔除与数列na相同的4项后剩余的4项，所以nc的前100项和为()()943011002224166425615080212+−+

−+++=−.20.已知函数1()1ln1fxxkx=++−．（1）若函数()fx图象的切线倾斜角总是锐角，求实数k的取值范围；（2）若对任意的1,()0xfx恒成立，求整数k的最大值．【

答案】（1）0k（2）3【解析】【分析】（1）求出函数导数，由题可得()0fx对一切正数x恒成立，即可求出；（2）由题可得ln1xxxkx+−对任意1x恒成立，构造函数ln()1xxxgxx+=−，利用导数求出()gx的最小

值即可.【小问1详解】由题221()(0)kxkfxxxxx−=−=．∵函数()fx图象的切线倾斜角总是锐角，∴()0fx对一切正数x恒成立，即xk恒成立，于是0k．【小问2详解】因为对任意的1,()0xfx恒成立，即ln

1xxxkx+−对任意1x恒成立．令ln()1xxxgxx+=−，则2ln2()(1)−−=−xxgxx，令()ln2(1)hxxxx=−−，则11()10xhxxx−=−=，∴函数()hx在(1,)+上单调递增，∵(3)ln3

0,(4)22ln20hh=−=−，∴方程()0hx=在(1,)+上存在唯一实根0x，且满足0(3,4)x，当01xx时，()0hx，即()0gx，当0xx时，()0hx，即()0gx，∴函数ln()1xxxgxx+=−在()01,x

上单调递减，在()0,x+上单调递增，∵0x是()0hx=的根，即00ln20xx−−=，∴()()()0000min00001ln12()(3,4)11xxxxgxgxxxx++−====−−，∴min0()kgxx=，∵0(3,4)x，故整数k的最大值为3．21.已

知抛物线C：2y=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，QMQO=，QNQO=，求证：11+为定值．【答

案】(1)取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(2)证明过程见解析【解析】【详解】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据

韦达定理可得12224kxxk−+=−，1221xxk=．再由=QMQO，=QNQO得=1My−，1Ny=−．利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简11+可得结论.详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得

p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由241yxykx==+得()222410kxkx+−+=．依题意()2224410kk=−−，解得k<0或0<k<1．又PA，PB与y轴相交，故直线l不过

点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知12224kxxk−+=−，1221xxk=．直线PA的方程为()112211yyxx−−=−−．令x=

0，得点M的纵坐标为1111212211Mykxyxx−+−+=+=+−−．同理得点N的纵坐标为22121Nkxyx−+=+−．由=QMQO，=QNQO得=1My−，1Ny=−．所以()()()2212121212122224211111111=21111

111MNkxxxxxxkkyykxkxkxxkk−+−+−−+=+=+==−−−−−−．所以11+为定值．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问

题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.22.已知函数1()ln()xfxexaxaR−=+−，'()fx是()fx的导函数，且'()fx有两个零点()1212,

xxxx.（1）讨论'()fx的单调性；（2）若1214xx，求证：()()21216fxfxaxx−−−.【答案】（1）()'fx在()0,1单调递减，在()1,+?单调递增；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）

函数()fx的定义域为()0,+?，令()()11'xgxfxeax−==+−，故()121'xgxex−=−，由于()'10g=，进而得函数()'0gx，()'0gx的解集，进一步得函数的单调区间；（2）由（1）得21112112xxxxeexx

−−−−=，进而()()1222121121lnl1nxxfxfxxxaxxxx−−=+−−−，再结合不等式()21211212lnln10xxxxxxxx−−即可证得.【详解】解：（1）函数()fx

的定义域为()0,+?，()11'xfxeax−=+−，设()()11'xgxfxeax−==+−，()121'xgxex−=−，由于()'10g=所以当()0,1x时，()'0gx，()gx单调递

减，当()1,+x时，()'0gx，()gx单调递增，所以()'fx在()0,1单调递减，在()1,+?单调递增.（2）证明：因为()1212,xxxx是函数'()fx有两个零点，()11'xfxeax−=+−所以121112

1010xxeaxeax−−+−=+−=，所以211121121211xxxxeexxxx−−−−=−=，所以()()()2111212121lnlnxxfxfxeexxaxx−−−=−+

−−−()21221211lnlnxxxxxxaxx=+−−−−所以()()1222121121lnl1nxxfxfxxxaxxxx−−=+−−−下面先证：()21211212lnln10xxxxxxxx−−，只需证：()22112112ln0xxxxxxxx−，只需证：()22

112112ln0xxxxxxxx−，设21,1xttx=，故只需证：12ln,1tttt−，只需证12ln0,1tttt−−故设()12ln,1httttt=−−，()2221221'10tthtttt−+=+−=，所以()12lnhttt

t=−−在()1,+?上单调递增，故()()10hth=，所以12ln0,1tttt−−成立，故()21211212lnln10xxxxxxxx−−成立，所以()()12211222121211

21211lnln111124fxfxxxaaaxxxxxxxxxxxx−−=+−+−=+−−−−因为1214xx，所以()1210,2xx，所以21211125,244xx+，所以()()221211

2212112lnln111251621444xxxxfxfxxxaaaaxxxx−−=+−+−−−−=−−−.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，证明不等式等，考查运算求解能力，是难题.本题第二问解题的关键在于利用不等式()21211212lnln10xxxxx

xxx−−进行放缩求解.