【文档说明】北京市北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(18)页，794.261 KB，由小赞的店铺上传

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北师大附属实验中学2023-2024学年度第二学期期中试卷高二年级数学班级______姓名______学号______成绩______考生须知：1.本试卷共4页，共五道大题，24道小题，答题卡共8页，满分

150分，考考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号.3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答.第Ⅰ卷（共100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分

）1.2与8的等差中项是（）A.5−B.5C.4D.4【答案】B【解析】【分析】设2与8的等差中项是x，则22810x=+=，进一步解得x的值即可．详解】解：设2与8的等差中项是x，则22810x=+

=，解得5x=．故选：B．2.函数()()2exfxx=−的单调递增区间是（）A.(),1−B.(),2−C.()2,+D.()1,+【答案】D【解析】【分析】求导后，令()0fx¢>，解出单调增区间即可.【详解

】()()()e2e1exxxfxxx=+−=−，因为e0x恒成立，所以当1x时，()0fx¢>，【即函数()()2exfxx=−的单调递增区间是()1,+.故选：D.3.数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为

A.21nan=−B.(1)(21)nnan=−−C.(1)(12)nnan=−−D.(1)(21)nnan=−+【答案】C【解析】【分析】观察，奇偶相间排列，偶数位置为负，所以为1(1)n+−，数字是奇数，满足2n-1,所以可求得通项公式.【详解】由符号来

看，奇数项为正，偶数项为负，所以符号满足1(1)n+−，由数值1，3，5，7，9…显然满足奇数，所以满足2n-1,所以通项公式为1(1)(21)nnan+=−−，选C.【点睛】本题考查观察法求数列的通项公式，

解题的关键是培养对数字的敏锐性，属于基础题.4.等差数列{}na的公差不为零，首项11a=，2a是1a和5a的等比中项，则数列的前10项之和是（）A.90B.100C.145D.190【答案】B【解析】【分析】

应用等比数列性质及等差数列通项公式求公差，再应用等差数列前n项和公式求结果.详解】由题意得2152aaa=，2111(4)()aadad+=+，可得2d=，1010910121002S=+=.故选：B5.已知某

生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为31812343yxx=−+−，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（）A.7万件B.8万件C.9万件D.11万件【答案】C【解析】【分析】求

导后分析单调性，求出最值点即可.【【详解】281,0yxx=−+，令0y=，解得9x=，所以当()0,9x时，0y，y为增函数；当()9,x+时，0y，y为减函数；所以9x=时，利润y有最大值，所以使该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件.

故选：C.6.设na是等差数列，且公差不为零，其前n项和为nS．则“*nN，1nnSS+”是“na为递增数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析

】【分析】根据等差数列的前n项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】na是等差数列，且公差d不为零，其前n项和为nS，充分性：1nnSS+，则10na+对任意的nN恒成立，则20a，0d，若0d，则数列na为单调递减数列，

则必存在kN，使得当nk时，10na+，则1nnSS+，不合乎题意；若0d，由20a且数列na为单调递增数列，则对任意的nN，10na+，合乎题意.所以，“*nN，1nnSS+”“na为递增数列”；必要性：设10nan=−

，当8n时，190nan+=−，此时，1nnSS+，但数列na是递增数列.所以，“*nN，1nnSS+”“na为递增数列”.因此，“*nN，1nnSS+”是“na为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查

充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n项和公式是解决本题的关键，属于中等题．7.设函数()22lnfxxaxx=−−在()1,2上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.4,5B.()5,+C.)4,+D.)5,+【答案】D【解析】【

分析】问题转化为导函数在()1,2小于等于零恒成立，分离参数后构造函数()gx，再求导进而求最值可得.【详解】()222,0afxxxx=+−，因为函数()22lnfxxaxx=−−在()1,2上单调递减，所以导函数在()1,2小于等于零恒成立，分离参数可得22a

xx+恒成立在()1,2x，设()()22,1,2gxxxx=+，则()()()2221122xxgxxx+−=−=，令()0gx可得1x，所以()gx在()1,2恒增，所以()()25gxg=，即5a所以实数a的取值范围是)5,+.故选：

D.8.已知(2)mne，，，且2211lnmnmn−，则（）A.mnB.mnC.12mn+D.mn，大小关系不确定【答案】A【解析】【分析】将不等式2211lnmnmn−，转化为2211lnlnnmnm++，构造函数(

)21lnfxxx=+，利用导数研究其单调性即可.的【详解】因为不等式2211lnlnlnmmnnmn−=−，所以2211lnlnnmnm++，令()21lnfxxx=+，所以()233212xfx

xxx−=−+=，因为(2)mne，，，即2()xe，，所以()0fx¢>，所以()fx在2()xe，上是增函数，因为()()fnfm，所以mn.故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性比较大小，还考查了转化化归的思想和运算求解

的能力，属于中档题.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.已知()2exfxmx=−，若()fx为奇函数，则m=______.【答案】0【解析】【分析】求导后利用奇函数的性质得到()()fxfx=−−，代入计算再结合指数函数的性质可得结果.【详解】()

e2xfxmx=−，因为()fx为奇函数，所以()()fxfx=−−，即()e2e2xxmxmx−−=−+，化简可得()ee0xxm−+=，因为e0,e0xx−，所以0m=.故答案为：0.10.已知a，b为非零常数，函数()412co

sfxaxbx=+−，则()()11ff+−=______.【答案】0【解析】【分析】求导后分别代入()()1,1ff−，求出结果即可.【详解】()342sinfxaxbx=+，则()()142sin1,142sin1fabfab=+

−=−−，所以()()110ff+−=，故答案为：0.11.若数列{}na满足11a=，12nnaa+=，则5a=_____________；前8项的和8S=______________.（用数字作答）【答案】①.16②.255【解析】【分析

】利用递推式推导出数列为等比数列，利用通项公式和求和公式，代入即可求解,属于基础题.【详解】由111,2nnaaa+==知na是以1为首项，2为公比的等比数列，由通项公式及前n项和公式知45116,aaq==()(

)88181112255.112aqSq−−===−−【点睛】本题考查求通项和求前n项和的问题，属于基础题.12.在等差数列na中，()()35710133224aaaaa++++=，则该数列前13项的和是__________.【答案】26【解析】【分析】利用等差数列的性质结合已知可求

得4104aa+=，再利用等差数列的性质可求得结果【详解】因为在等差数列na中，()()35710133224aaaaa++++=，所以410322324aa+=，所以4104aa+=，所以该数列前13项的和为113

41013()13()13426222aaaa++===，故答案为：2613.斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领

域都有着广泛的应用.斐波那契数列na可以用如下方法定义：()*123,Nnnnaaann−−=+，121aa==.若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列nb，则2024b=______.【答案】1【解析】【分析】列举

出数列na的前几项，根据题意求出nb的前几项，即可判断出数列nb是以6为周期的周期数列，进而即可求解.【详解】因为()*12123,N,1nnnaaannaa−−=+==，所以数列na为1，1

，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…此数列各项除以4的余数依次构成的数列nb为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1,0，…是以6为周期的周期数列，所以20246337221bbb+=

==，故答案为：1.14.若曲线()exyxa=+有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【答案】()(),40,−−+【解析】【分析】设出切点横坐标0x，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x的方

程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.【详解】∵()exyxa=+，∴(1)exyxa=++，设切点为()00,xy,则()000exyxa=+,切线斜率()001exkxa=++,切线方程为：()()()00000e1exxyxaxaxx−+=++−,∵切线过

原点，∴()()()00000e1exxxaxax−+=++−,整理得：2000xaxa+−=,∵切线有两条，∴240aa=+,解得4a<-或0a,∴a的取值范围是()(),40,−−+,故答案为：()(),40,−−+三、解答题（本大题共3小题，共30分）15.等比数列{na}的前

n项和为nS，已知1S,3S,2S成等差数列（1）求{na}的公比q；（2）求1a－3a＝3，求nS【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）n811--32【解析】【详解】（Ⅰ）依题意有由于，故又，从而5分（Ⅱ）由已知可得故从而

10分16.已知函数()3fxxx=−，()23gxx=−.（1）求函数()fx在0,2上的最大值；（2）求证：存在唯一的0x，使得()()00fxgx=.【答案】（1）6（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后，分析单调性，即可得

到最值；（2）构造函数()hx，用导数分析其单调性和极值，再结合零点存在定理证明即可.【小问1详解】()231fxx=−，令()0fx=，解得33x=，函数()fx在0,2上的单调性如下：x30,3

333,23()fx负0正()fx减极小值增因为()()00,26ff==，函数()fx在0,2上的最大值为6.【小问2详解】证明：设()()()333hxfxgxxx=−=−+，则()()()233311hxxxx==+−−，令()0hx=，解得1x=

，()hx的单调性如下：x(),1−−1−()1,1−1()1,+()hx正0负0正()hx增极大值减极小值增则()hx的增区间为(),1−−和()1,+，减区间为()1,1−，又()110h=，()150h−=，所以()hx在()1,−+上没有零点，又()315

0h−=−，所以由零点存在定理可得()hx在(),1−−上有唯一零点0x，综上，存在唯一的0x，使得()()00fxgx=.17.已知函数1ln()xfxx+=．(1)若函数()fx在区间1,2aa+上存在极值，求正实数a的取值范围；(2)若当1x时，不等式()1

kfxx+恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）1,12（2）(,2]−【解析】【分析】(1)先求()fx的定义域及其导函数'()fx，并由当(0,1)x时，()0fx，当(1,)x

+时，()0fx，求()fx的单调区间及极值点，由此可解得a的取值范围；(2)由()1kfxx+得1x时，(1)(1ln)xxkx++，令(1)(1ln)()xxgxx++=，求令'()gx，令()lnhxxx=−，求'()h

x，并根据()gx为[1,)+上的单调性求()gx的最小值及实数k的取值范围.【详解】解：(1)函数()fx的定义域为(0,)+，2211lnln()xxfxxx−−==−．令()0fx=，得1x=．当(0,1)x时，()0fx，()fx

在(0,1)上单调递增；当(1,)x+时，()0fx，()fx在(1,)+上单调递减．所以1x=为()fx的极大值点，所以112aa+，故112a，即正实数a的取值范围为1,12．(2)当1x时，(1)(1ln)xxkx++恒成立，令(1)(1ln)()xxg

xx++=则2211ln1(1)(1ln)ln()xxxxxxxgxxx+++−++−==．令()lnhxxx=−，则1()10hxx=−，所以()(1)1hxh=，所以()0gx，所以()g

x为[1,)+上的增函数，所以()(1)2gxg=，故2k．故实数k的取值范围为(,2]−．【点睛】本题主要考查导数的应用，解决此类题关键是熟练掌握导数与单调性、极值的关系.第II卷（共50分）四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）18.曲线lnyx=在点()1,

0处的切线方程为___________.【答案】1yx=−【解析】【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.【详解】解：1yx=，当1x=时，1y=，所以曲线lnyx=在点()1,0处的切线方程为1yx=−.故答案为：1yx=−.19.已知函数()

πcos26fxx=+，()fx是()fx的导函数，则π6f=______.【答案】2−【解析】【分析】根据()fx解析式，可求得()fx解析式，代入数据，即可得答案.【详解】函数()

πcos26fxx=+可视为函数πcos,26yttx==+的复合函数，函数cosyt=关于变量t的导函数为sinyt=−，函数π26tx=+关于变量x的导函数为2t=，所以π()2sin26fxx=−+，∴πππ2sin22666f=−+=

−故答案为：2−.20.设等差数列na的前n项和为nS，若675SSS，则满足10nnSS+的正整数n的值为______..【答案】12【解析】【分析】由nS与na的关系和等差中项的性质结合题意计算可得.【详解】因为7676

SSaS=+，所以70a，又75675SSaaS=++，可得670aa+，则60a，因为na是等差数列，则0d，即na是递减数列，又()113137131302aaSa+==，()()1

12126712602aaSaa+==+，所以当13n时，130nSS；当112n时，120nSS；所以仅有12130SS，即满足10nnSS+的正整数n的值为12.故答案为：12.21.已知正项数列na满足11a=

，2111nnnnaana++=+，则在下列四个结论中，①2512a−=；②na是递增数列；③111nnaan+−+；④1111nnkak+=+.其中所有正确结论的序号是______.【答案】②③④【解析】【分析】利用递推公式计算可得①错误；由1nnaa

+−的结果可得②正确；把1nnaa+−的结果进行放大和缩小可得③④正确.【详解】对于①：由已知可得2122222101aaaaa−+−==，解得2152a=，因为0na，所以2152a+=，故①错误；对于②：()2211111111111111nnnnnn

nnnnnanananaaaaananana++++++++++−−+−===+++，又0na，所以10nnaa+−，即na是递增数列，故②正确；对于③：由②可得1111111nnnnnaaanana++++−==+

+，因为111naa+=，所以111nnaan+−+，故③正确；对于④：因为1111111nnnnnnaaaananan+++++−==+，所以213243111,,,23aaaaaa−−−，所以11111123naan+−++++，即1111nnkak+=+，故④

正确；故答案为：②③④.五、解答题（本大题共3小题，共34分）22.已知数列na的前n项和为nS，*nN，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.（1）求数列na的通项公式；（2

）设等比数列nb满足24ba=，37ba=，求数列nnab+的前n项和nT.条件①：13a=−；条件②：12nnaa+−=；条件③：24S=−.【答案】（1）25nan=−；（2）()214312nnTnn=−+−

【解析】【分析】（1）若选择①②作为已知条件，根据等差数列的定义，可得公差d，代入公式即可求得答案；若选择②③作为已知条件，根据等差数列的定义，可得公差2d=，根据124aa=−+，即可求得1a，代入公式即可求得答案；（

2）根据题干条件，结合（1）可求得2b，3b的值，代入公式，即可求导1b、q，进而可得nb，根据分组求和法，结合等差、等比的求和公式，即可得答案.【详解】解：(不能选择①③作为已知条件)若选择①②作为已知条件.因为13a=−，12nnaa+−=，所以

数列{}na是以13a=−为首项，公差2d=的等差数列.所以25nan=−.若选择②③作为已知条件.因为12nnaa+−=，所以数列{}na是以1a为首项，公差为2d=的等差数列.因为24S=−，所以124aa=−+.所以124ad+=−，解得13a=−.所以25nan=−.（2）设等比

数列nb的公比为q，结合（1）可得243ba==，379ba==，所以323bqb==，所以21313bbq===.所以等比数列nb的通项公式为1113nnnbbq−−==.所以()1253.nnnabn−+=−+所以()()()1122nnn

Tababab=++++++()()1212nnaaabbb=+++++++()()()-11253331nn=+−++−++++−()32513213nnn−+−−+−=()214312nnn

=−+−.23.已知函数()()()24112ln2122xafxaxx+=−+++，0a.（1）已知函数()fx在2x=取得极小值，求a的值；（2）讨论函数()fx的单调区间；（3）当14a时，若存在01,2x+

使得()20122fxa−，求实数a的取值范围.【答案】（1）1；（2）答案见解析；（3）11,44e−.【解析】【分析】（1）由题意得出()20f=，求得实数a的值，并代入导数验证即可得解；（2）求得()()()21221xxa

fxx−−=+，对2a与12的大小进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可求得函数()fx的单调区间；（3）由题意可知，当14a且01,2x+时，()2min122fxa−，由（2）中的结论可得出关于实数a的不等式，由此

可解得实数a的取值范围.【详解】（1）()()()24112ln2122xafxaxx+=−+++Q，则()()412121afxxax+=−+++，由题意()()41221205afa++=−+=，解得1a=，此时()()()221532121xxfxxxx−−=+=−++.当122x

时，()0fx，()fx递减；当2x时，()0fx¢>，()fx递增.当2x=时，()fx取得极小值，合乎题意.因此，1a=；（2）函数()fx定义域是1,2−+，()()()()()224122124112212121xaxaxxaafxxaxxx−++−−

+=−++==+++，①当122a时，即14a时，当1122x−或2xa时，()0fx¢>；当122xa时，()0fx.此时，()fx的增区间是11,22−和()2,a+，减区间是1,22a，②当14a=时，()0fx对任意的1,2x−

+恒成立，此时，函数()fx增区间1,2−+，无减区间；③当1022a时，即10a4时，当122xa−或12x时，()0fx¢>；当122ax时，()0fx.此时，

函数()fx的增区间是1,22a−和1,2+，减区间是12,2a.综上，当14a时，函数()fx的增区间是11,22−和()2,a+，减区间是1,22a；当14a=时，函数()fx增区间是1,2−+；当10a4时

，函数()fx的增区间是1,22a−和1,2+，减区间是12,2a；（3）由（2）14a时，()fx在1,22a上递减，在()2,a+上递增，则()()min2fxfa=，若存在01,2x

+使得()20122fxa−，则只要()21222faa−，()()22411222ln41222afaaaaa+=−−++−，因为14a，所以()ln411a+，所以，41ae+，14ea−，所以1144ea−.即实数a的取值范

围是11,44e−.【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()yfx=，定义域为D.（1）对任意的xD，()()maxafxafx；（2）对于任意的xD，()()minafxafx

；（3）存在xD，()()minafxafx；（4）存在xD，()()maxafxafx.24.对于给定的正整数m和实数，若数列na满足如下两个性质：①12maaa+++=；②对*nN，

+=nmnaa，则称数列na具有性质()mP.的（1）若数列na具有性质2(1)P，求数列na的前10项和；（2）对于给定的正奇数t，若数列na同时具有性质4(4)P和()tPt，求数列n

a的通项公式；（3）若数列na具有性质()mP，求证：存在自然数N，对任意的正整数k，不等式12NNNkaaakm++++++均成立.【答案】（1）5（2）1na=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意得到当n为奇数时，1naa=，

当n为偶数时，2naa=，从而()110255Saa+==；（2）根据题干条件得到21nnnaaa++==，故na为常数列，结合12344aaaa+++=求出1na=；（3）对要证明的不等式变形，构造

nnbma=−，研究其性质，证明出结论.【小问1详解】由题意得：121aa+=，2nnaa+=，则当n为奇数时，1naa=，当n为偶数时，2naa=，所以数列na的前10项和()110255Saa+==；【小问2详解】由题意得：

12344aaaa+++=，4nnaa+=，对于给定的正奇数t，12taaat+++=，对*nN，ntnaa+=，则令21tk=−，kN，得：2221214nnkknknaaaa+++−+−+===，11212nnknknaaaa+++−+===，综上：na为常

数列，由12344aaaa+++=可得：1na=【小问3详解】要证12NNNkaaakm++++++，只需证12NNNkaaakm++++++，即证120NNNkaaammm+++

−+−++−，令数列nnbma=−，由于na具有性质()mP，即12maaa+++=，对*nN，+=nmnaa，则12120mmbbbaaammm+++=−+−++−=，对*nN，n

mnmnnbmmbaa++=−−==，所以nb具有性质(0)mP，令()123iiSbbbbiN=+++，设12,,mSSS的最小值为()1NSNm，对*kN，令Nkpmr+=+，,,0prNrm，由于nb具有性质(0)mP，则有0pmS=，所以

123123NkpmrpmpmpmpmpmrrrNSSSbbbbbbbbSS++++++==+++++=++++=，所以0NkNSS+−，所以12NNNkaaakm++++++成立【点睛】本

题数列不等式证明题目，要根据题干中条件对数列进行变形，用到了构造新数列，数论的基础知识，对学生的逻辑思维能力要求较高.