【文档说明】四川省自贡市旭川中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题 Word版含解析.docx，共(13)页，720.708 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-56e435670b929b172d9b70c5e7d65899.html

以下为本文档部分文字说明：

自贡市旭川中学高2026届2023-2024年下期第一次月考试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.cos57cos3sin57sin3－的值为（）A.0B.12C.32D.cos54【答案】B【解析】【分析】逆用两角和差的余弦公式，再根据特殊角计算即可.【详解】原式

()1cos57cos3sin57sin3cos573cos60.2－＝＋＝＝故选：B.2.下列命题中正确的个数是（）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量ABCD∥，则,,,ABCD四点必在一直线上；③若,abbc∥∥，则ac∥；④共线的向

量，若起点不同，则终点一定不同.A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，【详解】对于A，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误，对于B，向量ABCD∥，则,,,ABCD四点共线或//A

BCD，故B错误，对于C，若,abbc∥∥，当0b=时，,ac不一定平行，故C错误，对于D，若,,ABC三点共线，则//ACBC，此时起点不同，终点相同，故D错误，故选：A3.已知(1,2)a=−，(2,)bx=−r，若//abrr，则实数x

的值为（）A.4−B.4C.1−D.1【答案】B【解析】【分析】由平面向量平行的坐标表示求解，【详解】由题意得2(2)4x=−−=.故选：B4.若1cos3=−，,2，则tan等于（）A.24−B.24C.22−D.22【答案】C【解析】【分析】由已知利用平方关系求

得sin，再由商的关系可得tan.【详解】解：∵1cos3=−，,2，∴22122sin1cos133=−=−−=.∴22sin3tan221cos3===−−.故选：C.【

点睛】题考查了同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.属于基础题.5.在ABCV中，点D满足3ADDB=，则（）A.1344CDCACB=+B.2133CDCACB=+C.3144CDCACB=+D.1233CDCACB=+【答案】A【解析

】【分析】根据题意画出ABCV并确定点D的位置，即可以向量CACB,为基底表示出CD.详解】根据题意如下图所示：【根据向量加法法则可知CDCAAD=+，又3ADDB=，所以34ADAB=即()33134444CDCAABCACBCACACB=+=+−+=

，可得1344CDCACB=+.故选：A6.若平面四边形ABCD满足：0ABCD+=，()0ABADAC−=，则该四边形一定是（）A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形【答案】B【解析】【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形

，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形.【详解】0ABCD+=，ABDC=,所以四边形ABCD为平行四边形，()0ABADAC−=,0DBAC=，所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.故选：B7.已知向量a，b满足|2|3ab==，，且a与b的夹角为π6，则()

()2abab+−=（）A.6B.8C.10D.14【答案】B【解析】【分析】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.【详解】`由|2|3ab==，，且a与b的夹角为π6，所以()()2222ababaabb+

−=+−rrrrrrrr222co6sπaabb=+−rrrr()2232223382=+−=.故选：B.8.ABCV中，60A=，∠A的平分线AD交边BC于D，已知3AB=，且1233ADACAB=+，则AD的长为（）A.3B.3C.23D.33

【答案】C【解析】【分析】过D作//DEAC交AB于E，作//DFAB交AC于F，由向量加法的平行四边形法则和向量的基本定理得23AEAB=，13AFAC=，从而得BDDC，即可求得AC，最后把1233ADACAB=+平方可

求得AD．【详解】如图，过D作//DEAC交AB于E，作//DFAB交AC于F，则ADAEAF=+，又1233ADACAB=+，所以23AEAB=，13AFAC=，所以13BDAFBCAC==，即12BDDC=，又AD是BAC的平分线，所以12ABBDACCD==，而3AB=，所以6AC=，

cos36cos609ABACABACBAC===，222212144()33999ADACABACACABAB=+=++2214469312999=++=，所以23AD=，故选：C．二、多选题（本题共3小题，每小题5分，漏选3分，错选0分，共

15分）9.若单位向量21,ee满足1212230eeee−+=，则（）A.1213ee=−B.123ee−=C.122(2)eee+⊥D.122π3ee=【答案】BCD【解析】【分析】根据向量的数量积运算

律以及夹角公式求解即可.【详解】因为1212230eeee−+=，所以1212230eeee−=−，所以120ee，因为21,ee为单位向量，121223eeee−=−两边平方，得212126()10eeee+−=，即1212(21)(31)

0eeee+−=，所以1212ee=−或1213ee=（舍），故A错误；所以1212233,eeee−=−=故B正确；2122122(2)2110,eeeeee+=+=−+=所以122(2)eee+⊥，故C正确；1212121cos,2

||||eeeeee==−，12,0,πee，所以122π,3ee=，故D正确.故选:BCD.10.下列说法中正确的有（）A.已知a在b上的投影向量为12br且5b=，则252ab=；B.已知()()1,2,1,1ab==，且a与a

b+夹角为锐角，则的取值范围是5,3−+；C.若非零向量,ab满足||||||abab==−，则a与ab+的夹角是30o.D.在ABCV中，若0ABBC，则B为锐角；【答案】AC【解析】【分析】结合投影向量的概念以及平面向量数量积的定义可判断A选项，结合平面向量数量积和

向量共线的坐标运算即可判断B选项，根据平面向量夹角的公式以及数量积的运算律即可判断C选项，结合平面向量数量积的定义即可判断D选项.【详解】设a与b的夹角为，又因为a在b上的投影向量为12br，所以1cos2babb=r

rrr，即1cos2ab=rr，所以125cos5522abab===，故A正确；因为()()1,2,1,1ab==，则()1,2ab+=++，又因为a与ab+夹角为锐角，所以()0aab+

，且a与()ab+不共线，即()()1220212+++++，解得530−，所以则的取值范围是()5,00,3−+，故B错误；因为aab=−，两边同时平方得22aab=−，即()22aab=−，

所以2222aabab=+−，即22bab=，因此()2222222212cos,2aaaabaabaabaabaababaaaa++++===+++++2233223aa==，又因为向量夹角的范围是0,180

，所以,30aab+=，故C正确；因为0ABBC，所以()coscos0ABBCABBCBABBCB=−=−，因为0,0ABBC，故cos0B，又因为()0,B，故,2B，因

此B为钝角，故D错误，故选：AC.11.函数()()sin04fxx=+在0,2内有唯一零点的充分条件是（）A.()fx的最小正周期为πB.()fx在0,2内单调C.()fx在0,2

内有且仅有一条对称轴D.()fx在0,2内的值域为(1,1−【答案】AD【解析】【分析】求出()fx在0,2内有唯一零点的的范围，再逐项分析即可判断作答.【详解】函数()()sin04fxx=+，当02x时，4424x

++，依题意，()fx在π0,2内有唯一零点，当且仅当224+，解得3722，对于A，()fx的最小正周期为π，则2=，符合题意，A正确；对于B，当()fx在0,2内单调时，必有242+

，解得102≤，不符合题意，B不正确；对于C，因()fx0,2内有且仅有一条对称轴，则32242+，解得1522，显然当1522时，不能确保有3722，即C不正确；对于D，因()fx在0,2

内的值域为(1,1−，则必有3242+=，解得52=，符合题意，D正确.故选：AD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.化简4(3)6(2)abba−−−−=________.【答案】10a【解析】【分析】利

用向量的线性运算求解即得.【详解】4(3)6(2)41212610abbaabbaa−−−−=−++=故答案为：10a在13.已知函数()sin2sin,0,2πfxxxx=+的图象与直线yk=有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是________．【答案】()1,3【解析】【分析】将

函数()fx写成分段函数的形式，在同一坐标系下画出函数()fx和函数yk=图象，利用数形结合即可判断两函数有两个不同的交点时实数k的取值范围.【详解】由题意，得())3sin,0,πsin2sinsin,π,2πxxfx

xxxx=+=−画出函数图象，如下图所示：由图象可知，当()1,3k时，函数()fx的图象与直线yk=有且仅有两个不同的交点．故答案为：()1,314.已知平面向量a，b，c满足2abab==+=，且12abc+−=

，则cr的最大值为________．【答案】52##2.5【解析】【分析】由222()24abaabb+=++=，可求得2ab=−，再求解2222abaabb+=++=，结合向量模长的三角不等式abcabcabc−

−+−++，即得解.【详解】由题意，222()24abaabb+=++=，又2ab==，故2ab=−，故2222abaabb+=++=，由向量模长的三角不等式，abcabcabc−−+−++，的即1222cc−+，解得：3522cr，

则cr的最大值为52.故答案为：52四、解答题（本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分）15.设向量,ab满足3ab=，3,2ab==．（1）求向量,ab夹角；（2）求ab−．【答案】（1）π,3ab=（2）7【解析】【分析】（1）直接

利用数量积求夹角即可；（2）由2||()abab−=−，展开后代入已知得答案．【小问1详解】因为3ab=，3,2ab==，所以31cos,322ababab===，又,[0,π]ab，所以π,3ab=.【小问2详

解】222()292347ababaabb−=−=−+=−+=.16.平面直角坐标系xOy中，已知向量(6,1),(,),(2,3)ABBCxyCD→→→===−−，且//ADBC→→．（1）求x与y之间的关系式；（2）若ACBD→→⊥，求四边形AB

CD的面积．【答案】（1）20xy+=；（2）16.【解析】的【分析】（1）由题知(4,2)ADxy→=+−，再根据//ADBC→→即可得20xy+=；（2）由题知(6,1)ACxy→=++，(2,3)BDxy→=−−，进而根据ACBD→→⊥得2242

150xyxy++−−=，结合（1）联立方程得21xy==−或63.xy=−=，再结合12ABCDSACBD→→=四边形分类讨论即可得答案.详解】解：（1）由题意得(4,2)ADABBCCDxy→→→

→=++=+−，因为//ADBC→→，(,)BCxy→=，所以(4)(2)0xyyx+−−=，即20xy+=，所以与y之间的关系式为：20xy+=①（2）由题意得(6,1)ACABBCxy→→→=+=++，(2,3)BDBCC

Dxy→→→=+=−−，因为ACBD→→⊥，所以(6)(2)(1)(3)0xxyy+−++−=，即2242150xyxy++−−=，②由①②得21xy==−或63.xy=−=当21xy==−时，(8,0)AC→=，(0,4)BD→=−，则11

62ABCDSACBD→→==四边形当63xy=−=时，(0,4)AC→=，(8,0)BD→=−，则1162ABCDSACBD→→==四边形所以，四边形ABCD的面积为16.【点睛】本题解题的关键在

于由ACBD→→⊥得12ABCDSACBD→→=四边形，故只需解决,ACBD→→即可求解，考查向量的坐标运算，是中档题.17.已知、均为第二象限角，且π5cos25−=，10sin10=.（1）求cos的值；【（2）求()tan+的值.【答案】

（1）255−（2）1−【解析】【分析】（1）诱导公式计算得出cos的值；（2）分别计算tan，tan的值，通过公式()tantantan1tantan++=−求得.【小问1详解】由诱导公式

可知π5sincos25=−=，为第二象限角，所以25cos5=−；【小问2详解】由第一问可知1tan2=−，同理，10sin10=，310cos10=−，1tan3=−，所以()tantantan11t

antan++==−−.18.已知a，b，c是同一平面内的三个不同向量，其中()1,2a=r.（1）若25c=r，且ac∥，求c；（2）若2b=，且()20kabakbk−=+，求ab的最小值，并求出此时a与b夹角的余弦值.【答案】（1）()2,4c

=r或()2,4c=−−r（2）()min2ab=，此时10cos10=【解析】【分析】（1）先设(),2ca==,根据坐标求模公式，即可求解.(2)根据题意，条件可化简为2636kabk=+，再根据基本不等式，即可求解.【小问1详解】因为()1,2a=r，且ac∥，所以设(),2

ca==，所以()22225c=+=，解得2=，所以()2,4c=r或()2,4c=−−r.【小问2详解】由2+=−kabakb，得()()222kabakb+=−，所以()222222222kakabbakabkb++=−+，因为5a=r，2b=，可得263

6kabk=+，因为0k，所以112222kkabkk=+=，当且仅当12kk=，2k=时取等号.所以()min2ab=.设a与b夹角为，则此时10cos10=.19.已知函数()2()cos3sincos0=+fxxxx，其相邻两个对称中心之间的距离为

π.2（1）求实数的值及函数()fx的单调递增区间；（2）求函数()fx在ππ[,]63x−上的最大值和最小值；（3）设()()gxfxm=−，若函数()gx在ππ[,]63x−上有两个不同零点，求实数m的取值范围.【答案】（1）1=，()fx单调递增区间

是ππ[π,π](Z)36kkk−++；（2）()min0fx=，()max32fx=；（3）31.2m【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数()fx，再利用正弦函数的性质求解即得.（2）函数()gx的零点问题转化为直线

与函数图象的交点个数问题，再结合几何图形求出范围.【小问1详解】依题意，1cos231π()sin2sin(2)2226xfxxx+=+=++，显然函数()fx的周期2ππ2T==，解得1=，因此()1πsin226fxx=++，由πππ2π22π,Z

262kxkk−+++，得ππππ,Z36kxkk−++，故()fx单调递增区间是ππ[π,π](Z)36kkk−++.【小问2详解】当ππ[,]63x−时，]π2π5π[,666x−+，则当ππ266x+=−

，即π6x=−时，min()0fx=，当ππ262x+=，即π6x=时，max3()2fx=.【小问3详解】由（1）知，函数()yfx=在ππ[,]66−上单调递增，函数值从0增大到32，在[,]63ππ上单调递减，函数值从32减小到1，函数()yfx=在ππ[

,]63−的图象，如图，由()0gx=，得()fxm=，函数()gx在ππ[,]63x−上有两个不同零点，即直线ym=与函数()yfx=在ππ[,]63−的图象有两个公共点，此时312m，所以实数m的取值范围是312m.