【文档说明】四川省成都市盐道街中学2024-2025学年高二上学期第一学月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(23)页，1.708 MB，由小赞的店铺上传

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成都市盐道街中学高2023级2024—2025学年度上期第一学月月考数学命题人：王寒审题人：廖洋一、单选题1.某中学为了了解500名学生的身高，从中抽取了30名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，500名学生身高的全体是（）A.总体B.

个体C.从总体中抽取的一个样本D.样本的容量【答案】A【解析】【分析】根据总体、个体、样本和样本容量的知识选出正确选项.【详解】500名学生身高的全体是总体；每名学生的身高是个体；所抽取的30名学生的身高是从总体中抽取的一个样本；3

0是样本容量.故选：A【点睛】本小题主要考查对随机抽样中总体、个体、样本和样本容量的理解，属于基础题.2.如图是一个古典概型的样本空间Ω和随机事件,AB，其中()()()()Ω30,15,10,20nnAnBnAB===

=，则()PAB=（）A.14B.13C.12D.23【答案】B【解析】【分析】根据韦恩图，进行分析，结合古典概型计算即可.【详解】()()()()Ω30,15,10,20nnAnBnAB====，则()302010nAB=−=,则()

()()101Ω303nABPABn===.故选：B3.设,xyR，向量(),1,1ax=，()1,,1by=，()2,4,2c=−，且ab⊥，//bc，则ab+等于（）A.22B.10C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由向量的位置关系列式求出,xy，

根据模的计算公式计算即可求解.【详解】//bc，241y=−，2y=−，()1,2,1b=−，ab⊥，()11210abx=+−+=，1x=，()1,1,1a=．()2,1,2ab+=−，()2222123ab+=+−+=．

故选：C.4.有一组样本数据1x，2x，L，nx，由这组样本得到新样本数据1y，2y，L，ny，其中iiyaxb=+，则（）A.1x，2x，L，nx中位数为1m，则1y，2y，L，ny的中位数为1amB.1x，2x，L，n

x的平均数为2m，则1y，2y，L，ny的平均数为2amb+C.1x，2x，L，nx的方差为3m，则1y，2y，L，ny的方差为3amD.1x，2x，L，nx的极差为4m，则1y，2y，L，ny的极差为4am【答案】B【解析】【分析】

利用中位数的定义可判断A；利用平均数和方差的计算方法和性质可判断BC,；举例利用极差的定义可判断D.的【详解】对于A，数据从小到大排列对应中位数的顺序不变，所以若1x，2x，L，nx的中位数为1m，则1y，2y，L，ny的中位数为1amb+，故A

不正确；对于B，由平均数的计算方法与性质可知，若1x，2x，L，nx的平均数为2m，则1y，2y，L，ny的平均数为2amb+，故B正确；对于C，由方差的性质可知，若1x，2x，L，nx的方差为3m，所以1y，2y，L，ny的方差为

23am，故C不正确；对于D，若原数据为1，2，3，4，极差为3，当21iiyx=−+，则新数据为1−，3−，5−，7−，所以极差为6，所以极差为4am，故D不正确.故选：B.5.下列说法正确的是（）A.若()()1PAPB+=，

则事件A与事件B是对立事件B.事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率大C.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D.若()0PA，()0PB，则事件A，B相互

独立与A，B互斥不能同时成立【答案】D【解析】【分析】根据题意举反例判断A、B即可，根据古典概型求概率的方法可判断C，根据事件相互独立的概念以及事件互斥的概念即可判断D.【详解】对于A，举例事件：掷一枚骰子，掷得点数为奇数为事件A，

则()12PA=；所掷点数大于3为事件B，则()12PB=，()()1PAPB+=，但事件A与事件B不是对立事件，故A错误；对于B，举例事件：抛一枚硬币，正面向上为事件A，反面向上为事件B，事件A与事件B中至少有一个发生的概率为1，A与B中恰有一个发生的概率也为1，故B错误；对于C，

从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，共有()1,3,5，()1,3,7，()1,3,9，()1,5,7，()1,5,9，()1,7,9，()3,5,9()3,5,7，()3,7,9，()5,7,910种情况，其中能构成三角形的有()3,5,7，(

)3,7,9，()5,7,9三种情况，所以从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为310，故C错误；对于D，若事件A，B相互独立，则有()()()PABPAPB=，又()0PA，()0PB，

所以有()0PAB；若A，B互斥，则()0PAB=，所以若()0PA，()0PB，则事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立，故D正确.故选：D6.若向量123,,eee是空间中一个基底，那么对任意一个空间向量a，

存在唯一的有序实数组(),,xyz，使得：123axeyeze=++，我们把有序实数组(),,xyz叫做基底123,,eee下向量a的斜坐标.设向量p在基底,,abc下的斜坐标为()1,2,3−，则向量p在基底,,ababc+−下的斜坐标为（）A.13,,322−−

B.13,,322−−C.13,,322−D.13,,322−【答案】D【解析】【分析】借助待定系数法设()()pmabnabsc=++−+，结合所给定义及其在基底,,abc下的斜坐标计算即可得.【详解

】由题意可得23pabc=−++，设()()pmabnabsc=++−+，即有()()()()23abcmabnabscmnamnbsc−++=++−+=++−+的即可得123mnmns+=−−==，解得1

2323mns==−=，即()()13322pababc=+−−+，即向量p在基底,,ababc+−下的斜坐标为13,,322−.故选：D.7.在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，盒子中所示数值表示通电时保险丝熔断的概率，则下列结论正确的是（

）A.A，B两个盒子并联后FG段畅通的概率为13B.D，E两个盒子串联后GH段畅通的概率为712C.C，D，E三个盒子混联后GK段畅通的概率为34D.当开关合上时，整个电路畅通的概率大于整个电路不通的概率【答案】D【解析

】【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率、相互独立事件的概率，逐项分析计算即可判断得解.【详解】对于A，A，B两个盒子并联后FG段畅通的概率为1221233−=，A错误；对于B，D，E两个盒子串联后GH段畅通的概率为111(1)(1)342−−=，B

错误；对于C，由选项B知，GH熔断的概率为11122−=，因此C，D，E三个盒子混联后GK段畅通的概率为1171248−=，C错误；对于D，由选项AC知，整个电路畅通的概率为2773812=，不通的概率为512，D正确.故选：D8.如图，在四面体OABC中，12BM

BC=，12MNNO=，34APAN=，若OQOB=，且PQ∥平面ABC，则实数=（）A.23B.32C.43D.34【答案】D【解析】【分析】由条件可知，延长OP与AM交于D，连接BD，则由题意可得PQ∥BD，令ODOP=，ADmAM=，则利用不同的方法将AD用,,OA

OBOC表示，可求出,m，然后利用三角形相似可求得结果.【详解】由条件可知，延长OP与AM交于D，连接BD，因为PQ平面ABC，PQ平面OBD，平面OBD平面ABCBD=，所以PQ∥BD，令ODOP=，ADmA

M=，则有AD=1111444ODOAOPOAOAOBOC−=−=−++，()12ADmAMmABAC==+()111222mOBOAOCOAmOAmOBmOC=−+−=−++，根据向量基底表示法的唯一

性，得1141124mm−=−=解得2343m==PQ∵∥BD，OPQODB∽△△，34OQOPOBOD==，34=．故选：D．二、多选题9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理

财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18－29周岁人群参保的总费用最少

D.人均参保费用不超过5000元【答案】ACD【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例10.020.040.10.30.54−−−−=，故A正确;由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的45%不到五成，B错误;由不同年龄段人

均参保费用图可知，1829周岁人群人均参保费用最少()3000,4000，但是这类人所占比例为15%，54周岁以上参保人数最少比例为10%，54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C正确

．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D正确;故选：ACD．10.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1B.已知一组数据1，2，m，1m+，8，9的平均数为5，则这组数据

的中位数是5C.已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩是全班数学成绩的第20百分位数D.甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的

数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的方差是3【答案】AB【解析】【分析】根据数据的平均数、中位数、百分位数、分层抽样的方差的计算方法逐一分析选项即可.【详解】对A，由古典概型计算公式可得

每个个体被抽到的概率是60.160=，故A正确；对B，已知一组数据1，2，m，1m+，8，9的平均数为5，则112189)56mm++++++=（，即1212)56m+=（，解得92m=，则数据的中位数为199(1)5222++

=，故B正确；对C，已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，将数学成绩从小到大排列，小明成绩为第36名，又由3680%45=，则小明成绩的百分位数是80，故C错误；对D，由题意得甲班和乙班这60人的数学成绩的平均数为

2080408224420403+=+，甲班和乙班这60人的数学成绩的方差为2220244402443480114[2(80)][4(82)]4.22040320403272727+−++−=+=++，故D错误.故选：AB.11.如图，在长方体1111A

BCDABCD−中，点P是底面1111DCBA内的动点，,,,EFOK分别为1,,,ABBCBDBB中点，若1111,2===AAADAB，则下列说法正确的是（）A.APBC最大值为1B.四棱锥PABCD−的体积和表面积均不变C.若//PK面1AEF，

则点P轨迹的长为54D.在棱1AA上存在一点M，使得面MBD⊥面1OCD【答案】ACD【解析】【分析】()11111=++APBCAAxADyABBC，当P点与1C点重合时，11111=+APADAB，可得APBC最大值为1可判断A；利用棱锥的体积公式计

算可得四棱锥PABCD−的体积；当P点与1A点重合、为上底面的中心时，计算出表面积可判断B；取1111,ABBC的中点,GH，11,GBBH的中点,NJ，利用面面平行的判定定理可得平面1//AEF平面NKJ，可得点P轨迹为线段NJ，求出NJ可判断C；以D为原点，

1,,DADCDD所在的直线为,,xyz轴建立平面直角坐标系，设()1,0,Ma，求出平面1BDC、平面MBD的一个法向量，利用面面垂直的向量求法求出a可判断D.【详解】对于A，1111111=+=++APAAAPAAxADyAB，当P点与1C点重合时，11111=+APADAB，即1x=，

所以01x，所以()1111111111=++=++APBCAAxADyABBCAABCxADBCyABBC0110=++=xx，所以APBC最大值为1，故A正确；对于B，因为P点到底面

ABCD的距离为11AA=，底面面积为2=ADAB，所以四棱锥PABCD−的体积为122133V==，是定值；当P点与1A点重合时，四个侧面都为直角三角形，所以表面积为长方形=++++PABPBCPCDPADABCDSSSSSS1111512152211123.5

222222=++++=++，当P点为上底面1111DCBA的中心时，连接,,,,,,PAPBPCPDPOPEPF，则,==PABPCDPBCPADSSSS，且,PEABPFBC⊥⊥，22225,22=+==+=PEPOOEPF

POOF，此时表面积为长方形=++++PABPBCPCDPADABCDSSSSSS1512221212522222=++=++，所以53.525222++++，故C错误；对于C，取1111,ABBC的中点,GH，1

1,GBBH的中点,NJ，分别连接11,,,,,,,ACBGBHGHNKNJKJAC，可得111////,////////AEBGNKACACGHNJEF，因为NJ平面1AEF，EF平面1AEF，所以//NJ平面1AEF，因为NK平面1AEF，1AE平面1AEF，

所以//NK平面1AEF，且=NKNJN，、NKNJ平面NKJ，所以平面1//AEF平面NKJ，当PNJ时，PK平面NKJ，可得//PK面1AEF，则点P轨迹为线段NJ，此时1154164=+=NJ，故C正确；对于D，以D为原点，1,,DADCDD所在的直线为,,xy

z轴建立平面直角坐标系，所以()()()10,0,0,1,2,0,0,2,1DBC，设()1,0,Ma，则01a，()()10,2,1,1,2,0DCDB==，()()1,0,,0,2,DMaBMa==−，设平面1BDC的一个法向量为()1111,,nxyz=，所以11

100DCnDBn==，11112020yzxy+=+=，令12x=可得()12,1,2n=−，设平面MBD的一个法向量为()2222,,nxyz=，所以2200DMnBMn==，2222020xazazy+=−=，令21z=可得2,,12ana=−

，由122202anna=−−+=，解得45a=，满足题意，故D正确.故选：ACD.【点睛】空间中面面角的解题步骤：第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步然后求出两个平面的法向量；第三步再利

用向量的夹角公式即可得出结论.三、填空题12.在空间直角坐标系中，点()0,1,0A，点()5,4,3B−，点()2,0,1C，则AB在CA方向上的投影向量的坐标为______.【答案】()6,3,3−【解析】【分析】根

据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可求解.【详解】由条件可得()5,5,3AB=−，()2,1,1CA=−−，所以AB在CA方向上的投影向量的坐标为ABCACACACA()()()2,1,11

05332,1,16,3,3411411−−−−−==−−−=−++++.故答案为：()6,3,3−13.某商场在618大促销活动中，活动规则是：满168元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中

有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．顾客首先掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为______．【答案】710##0.7【

解析】【详解】利用概率性质求解【分析】设掷一枚质地均匀的骰子出现点数为1或2为事件A，则()2163PA==，骰子出现点数为3，4，5，6为事件A，则()23PA=，甲箱摸出红球为1B，乙箱摸出红球为2B，设顾客中奖为事件C，所以()112PB=，()245PB=，所以()(

)()()121211247323510PCPABABPABPAB=+=+=+=．故答案为：710．14.如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转90°形成的面所围成的几何体，点G是圆弧DF的中点，点H是圆弧»AE上的动点，2AB=，给出下列四

个结论：①不存在点H，使得平面BDH∥平面CEG；②存在点H，使得FH⊥平面CEG；③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于433；④存在点H，使得直线DH与平而CEG所成角的正弦值为23．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】②③④【解析】【分析】将图形补全为一个正方体A

BEMDCFN−，以点B为坐标原点，BA、BE、BC所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】由题意可将图形补全为一个正方体ABEMDCFN−，如图所示：以点

B为坐标原点，BA、BE、BC所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0B、()0,0,2C、()2,0,2D、𝐴(2,0,0)、()0,2,2F、()0,2,0E，()2,2,2

G，设点()2cos,2sin,0H，其中π02，对于①，()0,2,2CE=−，()2,2,0CG=，设(),,nxyz=⊥平面CEG，则00nCEnCG==，即220220yzxy−=+=，取x=1，则1,1yz=

−=−，可得()1,1,1n=−−，设()111,,mxyz=⊥平面BDH，()2,0,2BD=，()2cos,2sin,0BH=，则00mBDmBH==，即2202cos2sin0xzxy+=+=，取sinx=，则cos,sinyz

=−=−，可得()sin,cos,sinm=−−，若平面//BDH平面CEG，则11sincos−=−，解得：π4=，所以存在()2,2,0H使得平面//BDH平面CEG，故①错误；对于②，()2cos,2sin2,2FH=−−，若FH⊥平面CEG，则/

/0FHn=，即1112cos2sin22−−==−−，即cos1,sin0==，故()2,0,0H，故存在点H，使得FH⊥平面CEG，故②正确；对于③，()2cos,2sin,2CH=−，所以点H到平面CEG的距

离为d，3π22sin22cos2sin2433CHndn++−+===，因为π02，所以3π3π5π444+，所以3π22sin,422+−，3π22sin20,44++

，所以3π22sin24430,33d++=，所以不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于433，故③正确；对于④，()2cos2,2sin,2DH=−−，()1,1,1n=−−，则直线DH与平面CEG的所成角为，所以，()

222cos22sin2sincos,2cos24sin43DHnDHnDHn−−+===−++cossin23332sin−==−，整理可得3sin24sin30−+=，因为函数()3sin24sin3f=−+在π0,2时图象是连续的，

且()030f=，π43102f=−+=−，所以，存在0π0,2，使得()00f=，所以，存在点H，使得直线DH与平面CEG的所成角的余弦值为23，④正确.故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的

性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h，从而不必作出线面角，则线面角满足sinhl=（l为斜线段长），进而可求得线面

角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l的方向向量，n为平面的法向量，则线面角的正弦值为sincos,an=.四、解答题的15.如图，已知斜三棱柱111ABCABC−中，π2BAC=，

12π3BAA=，1π3CAA=，1ABAC==，12AA=，点O是1BC与1BC的交点．（1）用向量AB，AC，1AA表示向量AO；（2）求异面直线AO与BC所成的角的余弦值．【答案】（1）AO=()112ABACAA++（2）33【解析】【分析】（1）结合题

意根据空间向量的线性运算求解即可；（2）先利用空间向量的线性运算表示向量AO，BC，然后根据空间向量求异面直线所成角的公式求解即可.【小问1详解】由题意可知：点O是1BC的中点，则()112BOBCBB=+uuuruuuruu

ur，所以()112AOABBOABBCBB=+=++，()()111122ABACABAAABACAA=+−+=++；小问2详解】设ABa=，ACb=，1AAc=，则1ab==，2c=，0ab=，11212bc==，11212ac

=−=−，()()222221122224AOabcbcabbcaac=++=+++++【()1311402242=++++−=，所以62AO=，又因为BCba=−，所以()()112AOBCabcba=+

+−=，因为()222222BCbbbbaa==−=−+，所以22BC=，所以3cos,3AOBCAOBCAOBC==，所以异面直线AO与BC所成的角的余弦值为33.16.第24届冬奥会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障．某高校承办了北京志愿者

选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95)，绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，

第一组和第五组的频率相同．（1）求a，b的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60%分位数（分位数精确到0.1）；（3）在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概

率．【答案】（1）0.005,0.025ab==；（2）估计平均数为69.5，第60%分位数为71.7；（3）25.【解析】【分析】（1）根据频率之和为1，及第三、四、五组的频率之和为0.7列出方程组，求出

a，b的值；（2）中间值作代表估计出平均数，利用百分位数求解方法进行求解；（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型求概率公式.【小问1详解】()()20.0450.020

1010.0450.020100.7aba+++=++=，解得：0.0050.025ab==，所以0.005,0.025ab==；【小问2详解】500.00510600.02510700.04510800.02010900.0051069.

5++++=，故估计这100名候选者面试成绩的平均数为69.5；前两组志愿者的频率为()0.0050.025100.30.6+=，前三组志愿者的频率为()0.0050.0250.0451

00.750.6++=，所以第60%分位数落在第三组志愿者中，设第60%分位数为x，则()650.0450.60.3x−=−，解得：71.7x，故第60%分位数为71.7【小问3详解】第四、第五两组志愿者的频率比为4:1，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a

bcd,,,，第五组志愿者人数为1，设为e，这5人中选出2人，所有情况有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,abacadaebcbdbecdcede，共有10种情况，其中选出的两人来自不同组的有()()()(),,,,,,,ae

becede共4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为42105=17.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，22PDDCAD===，E是PC的中点．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求平面EDB与平面PAD夹角的余弦值；（3）在棱PB上是否存在一点F，使直

线EF与平面EDB所成角的正弦值为63，若存在，求出求线段BF的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）66（3）存在；BF的长为32或94【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角；（3）假设

棱PB存在一点F使得BFBP=，且EFEBBF=+uuuruuruuur，即可求出EF，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可.【小问1详解】连接AC，交BD于点O，连接OE，点E是PC的中点，点O是AC的中点，所以PA∥OE,OE平面EDB,PA平面ED

B，所以PA∥平面EDB；【小问2详解】如图，以向量DA，DC，DP为,,xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，即()0,0,0D，()1,2,0B，()0,1,1E，则()()1,2,0,0,1,1DBDE==，设平面EDB的法向量(),,mxyz=，则200DBmx

yDEmyz=+==+=，令1y=−得2,1xz==，所以平面EDB的法向量()2,1,1m=−，平面PAD的一个法向量为()0,1,0n=，设平面EDB和平面PAD的夹角为，则16co

scos,66mnmnmn====，所以平面EDB和平面PAD的夹角的余弦值为66；【小问3详解】由（2）知()0,0,0D，()1,2,0B，()0,1,1E，()0,0,2P，()1,1,1EB=−，

()1,2,2BP=−−，(),2,2(01)BFBP==−−，()()()1,1,1,2,21,12,12EFEBBF=+=−+−−=−−−+，由（2）知平面EDB的法向量()2,1,1m=−，设直线

EF与平面EDB的夹角为，则()()2222112126sincos,,013(1)(12)(12)6EFm−−−−+===−+−+−+整理得281030−+=，解得12=或3,4=故当12=时，32BF=；当34=时，94BF=则BF的长为32或94．1

8.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为()1101pp，收到0的概率为11p−；发送1时，收到0的概率为()2201pp，收到1的概率为21p−．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号

重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0

,1，则译码为1，若依次收到1,1,1，则译码为1）．（1）已知1223,34pp==．①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；②若采用单次传输方案，依次发送0,0,1，证明：事件“第三次收到信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．（2

）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求2p的取值范围．【答案】（1）①59；②证明见解析（2）1,12【解析】【分析】（1）①记事件A为“至少收到

一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；②记事件B为“第三次收到的信号为1”，事件C为“三次收到的数字之和为2”，证明()()()PBCPBPC=即可；（2）记事件M为“采用三次传输方案时译码为0”，事件

N为“采用单次传输方案时译码为0”，根据题意可得()()PMPN，解不等式可解.【小问1详解】①记事件A为“至少收到一次0”，则()12115233339PA=+=．②证明：记事件B为“第三次收到的信号为1”，则()31144PB=−=．记事件C为“三次收到的

数字之和为2”，则()22321112143343343349PC=++=．因为()()()21112113343349PBCPBPC=+==，所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．【小问2详解】记事件M为“采用三次传

输方案时译码为0”，则()()2322231PMppp=−+．记事件N为“采用单次传输方案时译码为0”，则()2PNp=．根据题意可得()()PMPN，即()23222231pppp−+，的因为201p，所以()2222222311,2

310ppppp−+−+，解得2112p，故2p的取值范围为1,12．【点睛】关键点点睛：利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算各事件的概率.19.n个有次序的实数1a，2a，…，n

a所组成的有序数组()12,,,naaa称为一个n维向量，其中()1,2,iain=称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量()12,,,naaaa=，若()11,2,,iain==，称a为n维信号向量.设()12,,,naaaa=，()12,,,nbbbb=，则a和b的内

积定义为1niiiabab==，且0abab⊥=.（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量；（2）证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；（3）已知k个两两垂直的2024维信号向量1x，2x，…，kx满足它们的前m个分量都是相同的，求证：

45km.【答案】（1）()1,1,1,1，()1,1,1,1−−，()1,1,1,1−−，()1,1,1,1−−；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，结合两两垂直的定义，即可求解；（2）根据题意，不妨设()()121,1,,1,1

,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1yy==−−−−−−−，得到3y有5个分量为1−，设3y的前5个分量中有r个1−，得到5个分量中有5r−个1−，进而求得r的值，即可求解；（3）任取,1,2,,ijk，得到221222024kSxxxk=+++=，

设12,,,kxxx的第i个分量之和为ic，结合222222122024122mScccckccm=++++=++，列出不等式，即可求解.【小问1详解】两两垂直的4维信号向量可以为：()1,1,1,1

，()1,1,1,1−−，()1,1,1,1−−，()1,1,1,1−−.【小问2详解】假设存在10个两两垂直的10维信号向量1y，2y，…，10y，因为将这10个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，所以不妨设()11,

1,,1y=，()21,1,1,1,1,1,1,1,1,1y=−−−−−，因为130yy=，所以3y有5个分量为1−，设3y的前5个分量中有r个1−，则后5个分量中有5r−个1−，所以()()()()2315510yyrrrr=−+−+−+

−=，可得52r=，矛盾，所以不存在10个两两垂直的10维信号向量.【小问3详解】任取,1,2,,ijk，计算内积ijxx，将所有这些内积求和得到S，则222122024kSxxxk=+++=，

设1x，2x，…，kx的第i个分量之和为ic，则从每个分量的角度考虑，每个分量为S的贡献为2ic，所以222222212202412mScccccckm=++++++=，令22024kkm，所以20242025km，所以45km.【点睛】关键点睛：本题以新定义为

背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给线性相关的定义进行运算判断.