【文档说明】江苏省如皋中学2020-2021学年高二下学期数学周练试卷四 PDF版含答案.pdf，共(19)页，726.278 KB，由小赞的店铺上传

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12020--2021江苏省如皋中学高二第二学期数学周练试卷四一、单选题1．设()fx是可导函数，且()()0002lim2xfxxfxx→−−=，则()0fx=（）A．12B．-1C．0D．-22

．已知()fx的定义域为22−,，则函数(1)()21fxgxx−=+,则()gx的定义域为（）A．1(,3]2−B．(1,)−+C．1(,0)(0,3)2−D．1(,3)2−3．已知集合2|230Axxx=−−，集合||1|3Bxx=−，集合4|05

xCxx−=+，则集合A，B，C的关系为（）A．BAB．AB=C．CBD．AC4．已知zC，2zzi+=+，则z等于（）A．34i−+B．34i−C．34i−−D．34i+5．函数21yxx=+−的值域是（）A．(,2−

B．17,8−C．17,8+D．)2,+26.已知，若对区间内任意两个相异的两个实数，恒有，则实数的取值范围是（）A.30,2B.31,2C.)1,+D.3,2+

7．设函数,(),xxxafxexxa=，若函数存在最大值，则实数a的取值范围是（）A．1aB．1aC．1aeD．1ae8．设函数()fx是定义在R上的奇函数，函数()fx的导函数为()fx，且当[0,)x+时，()sin()cos()fxxfxxefx

−，e为自然对数的底数，则函数()fx在R上的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3二、多选题9．已知i为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是（）A．342ii++B．24(2)()aaiaR−++为纯虚数的充要条件为2a=C．()2(1)12zii=++

的共轭复数对应的点为第三象限内的点D．12izi+=+的虚部为15ixaxxfaln)(,0+=)1,21(21,xx212111)()(xxxfxf−−a310．对于定义域为D的函数()yfx=,若同时满足下列条件:①()fx在D内

单调递增或单调递减;②存在区间,abD,使()fx在,ab上的值域为,ab.那么把()()yfxxD=称为闭函数.下列结论正确的是()A．函数21yx=+是闭函数B．函数3yx=−是闭函数C．函数()1=+xfxx是闭函数D．2k=−时,函数2ykx=++是闭函数11

、对于三次函数()()320axbxdafxcx=+++，给出定义：设()fx是函数()yfx=的导数，()fx是()fx的导数，若方程()0fx=有实数解0x，则称点()()00,xfx为函数()yf

x=的“拐点”.探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数()3211133212xxfx=−+，则以下说法正确的是（）A．函数()fx对称中心1,02

B．129899100100100100ffff++++的值是99C．函数()fx对称中心1,12D．129899100100100100ffff

++++的值是1412．设函数()lnfxx=，且()012,,0,xxx+，下列命题：其中正确的命题是（）A．若12xx，则()()122121fxfxxxx−−；B．存在(

)012,xxx，12xx，使得()()120121fxfxxxx−=−；C．若11x，21x，则()()12121fxfxxx−−；D．对任意的1x，2x，都有()()121222fxfxxxf++

.三、填空题13．如果z＝21i−，那么z100＋z50＋1＝________.14．如图为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，'()fx为函数f(x)的导函数，则不等式xf′(x)＜0的解集为__________．15.已知函数f(x)＝|sinx|－kx(x≥0，k∈R)

有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x0，则x0（1＋x20）sin2x0=.16、.函数1,0()ln,0xxfxxx+=，若函数()()gxfxtx=−恰有两个零点，则实数t的取值范围是______．5四、解答题17．已知集合{|121},{|01},AxaxaBxxUR=−

+==。（1）若12a=，求(),UABACB；（2）若AB=，求实数a的取值范围。18．设函数()()2ln1fxxxax=−−+.（1）若()fx在区间)1,+上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若存在正数

0x，使得()001lnfxx−成立，求实数a的取值范围.19.已知函数()cossin,0,2fxxxxx=−.（1）求证：()0fx；（2）若不等式sinxbx在(0,)2上恒成立，求b的最小值．20．如图所示，某风景区在一个直径AB为200m的半圆形花园中设计

一条观光路线，在点A与圆6弧上一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿圆弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带.(注：小路及绿化带的宽度忽略不计)（1）设BAC=(弧度)，将绿化带总长度()S表示为的函数；（2）试确定

的值，使得绿化带总长度最大.21、(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xlnx＋12ax3－ax2，a∈R．(1)当a＝0时，求f(x)的最值；(2)若函数g(x)＝()fxx存在两个极值点x1、x2(x1≠x

2)，求g(x1)＋g(x2)的取值范围．22．已知0a，函数()2xefxxa=+.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）已知函数()fx存在极值点1x、2x，求证：()()1212eafxfxa−−.2020-

-2012江苏省如皋中学高二第二学期数学周练试卷四7解答一、单选题1．设()fx是可导函数，且()()0002lim2xfxxfxx→−−=，则()0fx=（）A．12B．-1C．0D．-2【答案】B2

．已知()fx的定义域为22−,，则函数(1)()21fxgxx−=+,则()gx的定义域为（）A．1(,3]2−B．(1,)−+C．1(,0)(0,3)2−D．1(,3)2−【答案】A3．已知集合2|230Axxx=−−，

集合||1|3Bxx=−，集合4|05xCxx−=+，则集合A，B，C的关系为（）A．BAB．AB=C．CBD．AC【答案】D4．已知zC，2zzi+=+，则z等于（）A．34i−+B．34i−C．34i−−D．34i+【答案】D

5．函数21yxx=+−的值域是（）8A．(,2−B．17,8−C．17,8+D．)2,+【答案】B6.已知，若对区间内任意两个相异的两个实数，恒有，则实数的取值范围是（）A.30,2B.31,2C.)1,+D.3,

2+【答案】D7．设函数,(),xxxafxexxa=，若函数存在最大值，则实数a的取值范围是（）A．1aB．1aC．1aeD．1ae【答案】C8．设函数()fx是定义在R上的奇函数，函数()fx的导函数为()

fx，且当[0,)x+时，()sin()cos()fxxfxxefx−，e为自然对数的底数，则函数()fx在R上的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B二、多选题9．已知i为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是（）xaxxfal

n)(,0+=)1,21(21,xx212111)()(xxxfxf−−a9A．342ii++B．24(2)()aaiaR−++为纯虚数的充要条件为2a=C．()2(1)12zii=++的共轭复数对应的点为

第三象限内的点D．12izi+=+的虚部为15i【答案】BC【详解】对于A，因为虚数不能比较大小，故A错误；对于B，若()242aai++−为纯虚数，则24020aa−=+，解得2a=，故B正确；对于C，

()()()211221242ziiiii=++=+=−+，所以42zi=−−对应的点为()4,2−−位于第三象限内，故C正确；对于D，()()()()12132225iiiiziii+−++===++−，虚部为15，故

D错误．故选：BC．10．对于定义域为D的函数()yfx=,若同时满足下列条件:①()fx在D内单调递增或单调递减;②存在区间,abD,使()fx在,ab上的值域为,ab.那么把()()yf

xxD=称为闭函数.下列结论正确的是()A．函数21yx=+是闭函数B．函数3yx=−是闭函数C．函数()1=+xfxx是闭函数D．2k=−时,函数2ykx=++是闭函数【答案】BD【详解】因为21yx

=+在定义域R上不是单调函数，所以函数21yx=+不是闭函数，A错误；103yx=−在定义域上是减函数，由题意设,abD，则33baabba=−=−，解得11ab=−=因此存在区间1,

1−，使3yx=−在1,1−上的值域为1,1−，B正确；()1111xfxxx==−++在(),1−−上单调递增，在()1,−+上单调递增，所以函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数

不是闭函数，C错误；若2ykx=++是闭函数，则存在区间,ab，使函数()fx的值域为,ab，即22akabkb=++=++，所以a，b为方程2xkx=++的两个实数根，即方程()()2221202,xkxkxxk−+

+−=−有两个不等的实根.当2k−时，有()0202122fk−+−，解得924k−−；当2k−时，有()00212fkkk+，此不等式组无解.综上所述，9,24k−−，因此D正确，E错误；故选：BD11、对于三次

函数()()320axbxdafxcx=+++，给出定义：设()fx是函数()yfx=的导数，()fx是()fx的导数，若方程()0fx=有实数解0x，则称点()()00,xfx为函数11()yfx=的“拐点”.探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心

，且“拐点”就是对称中心，设函数()3211133212xxfx=−+，则以下说法正确的是（）A．函数()fx对称中心1,02B．129899100100100100ffff++++

的值是99C．函数()fx对称中心1,12D．129899100100100100ffff++++的值是1【答案】BC【

详解】()32'2''1113()()213212fxxxfxxxfxx=−+=−=−,令''()210fxx=−=，解得12x=，32111111312322212f=−+=，由题意可知：函数(

)3211133212xxfx=−+的对称中心为1,12；因为函数()3211133212xxfx=−+的对称中心为1,12，所以有()(1)2fxfx+−=，设129899(1)10

0100100100Sffff=++++，所以有999821(2)100100100100Sffff=++++

，(1)(2)+得，2222229999SS=++++==，即129899100100100100ffff++++的值是99.故选：BC1212．设函数()lnfxx=，且()012,,0,xxx+，下列命题：其中正确

的命题是（）A．若12xx，则()()122121fxfxxxx−−；B．存在()012,xxx，12xx，使得()()120121fxfxxxx−=−；C．若11x，21x，则()()12121fxfxxx−−；D．

对任意的1x，2x，都有()()121222fxfxxxf++.【答案】BCD【详解】由()lnfxx=可得()1fxx=，如图：对于选项A：21x表示曲线在点B处的切线斜率小于割线AB的斜率，所以()(

)122121fxfxxxx−−，故选项A不正确；对于选项B：在点B处的切线斜率小于割线AB的斜率，在点A处的切线斜率大于割线AB的斜率，所以在曲线AB上必存在某点()012,xxx，使得该点处的切线斜率等于

割线AB的斜率，所以存在()012,xxx，12xx使得()()120121fxfxxxx−=−；故选项B正确；对于选项C：()11f=，由图知割线AB的斜率，小于在点()1,0处的切线的斜率，所以()()()121211fxfxxxf−−=，故选

项C正确；对于选项D：由图知梯形中位线CD的长为()()122fxfx+，DE的长为122xxf+，13因为CDDE，所以()()121222fxfxxxf++，故选项D正确；故选：BCD三、填空题13．如果z＝21i−，那么z100＋z50＋1＝

________.【答案】i【分析】先求出复数()212zi=+，计算出2z后可求100501zz++的值.【详解】因为21zi=−，故()212zi=+，所以()22112zii=+=，故()()251210025021,zizi

ii==−==，故100501zzi++=，故答案为：i.14．如图为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，'()fx为函数f(x)的导函数，则不等式xf′(x)＜0的解集为__________．【答案】(－∞，3−)∪(0,2)【解析】由图象，得函数()fx在区间(),3−−上递增，

在区间()3,2−上递减，在区间()2+上递增，即当3x−或2x时，()0fx，当32x−时，()0fx，所以不等式()x0fx的解集为()(),30,2−−.15.已知函数f(x)＝|si

nx|－kx(x≥0，k∈R)有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x0，则x0（1＋x20）sin2x0=.【答案】1216、函数1,0()ln,0xxfxxx+=，若函数()()gxfxtx=−恰有两个零点，则实数t的取值范围是______．

14【答案】1(,1)0e【解析】由题知：函数()()gxfxtx=−恰有两个零点.等价于函数()yfx=与ytx=恰有两个交点.当0t时，函数()yfx=与ytx=恰有一个交点，舍去.当0t=时，函数()y

fx=与ytx=恰有两个交点.当0t时，如图设()lnfxx=与ytx=的切点为00(l,n)mm，1x，()lnfxx=，1()fxx=，01km=则切线方程为0001ln()ymxmm−=−，原点代入，解得00ln1m

me==，1ke=.因为函数()yfx=与ytx=恰有两个交点，由图知11te.综上所述：11te或0t=.故答案为：1(,1)0e.四、解答题17．已知集合{|121},{|01},AxaxaB

xxUR=−+==。（1）若12a=，求(),UABACB；（2）若AB=，求实数a的取值范围。【答案】(1)1(0,1),(,0][1,2)2−(2)122aa−或【解析】（1）1(,2)(0,1)2AAB=−=1(,

0][1,)(,0][1,2)2UUCBACB=−+=−（2）1212Aaaa=−+−1121121022222Aaaaaaaa−−+−−−或或或综上可

得实数a的取值范围为122aa−或1518．设函数()()2ln1fxxxax=−−+.（1）若()fx在区间)1,+上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若存在正数0x，使得()001lnfxx

−成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）(,1−−；（2）)0,+【详解】（1）函数()fx的定义域为()0,+，()2ln1fxxax=+−−，要使()fx在区间)1,+上单调递增，只需()0fx，即2ln1xax+−在)1,+上恒成立即可，由对数函数、反比例

函数的性质可得2ln1yxx=+−在)1,+上单调递增，所以只需minay即可，当1x=时，y取最小值，min2ln1111y=+−=−，∴实数a的取值范围是(,1−−.（2）存在正数0x，使得()001lnfxx

−成立，即()0001lnxxax−，即存在()00x+,使得()0001lnxxax−，令()()()1ln,0,xxgxxx−=+，则()2ln1xxgxx+−=，令()()ln1,0,hxxxx=+−+，则()

hx在()0,+上单调递增，且()10h=，所以当()0,1x时，()0hx，即()0gx，当()1,x+时，()0hx，即()0gx，所以()gx在()0,1上单调递减；在()1,+上单调递16增，则()()m

in10gxg==，故0a，即实数a的取值范围为)0,+.19.已知函数()cossin,0,2fxxxxx=−.（1）求证：()0fx；（2）若不等式sinxbx在(0,)2上恒成立，求b的最小值．(1)证明：由f(x)＝xcosx－sinx得f′(

x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.因为在区间0，π2上f′(x)＝－xsinx＜0，所以f(x)在区间0，π2上单调递减．从而f(x)≤f(0)＝0.(2)解：当x>0时，“sinxx>a”

等价于“sinx－ax>0”“sinxx<b”等价于“sinx－bx<0”．令g(x)＝sinx－cx，则g′(x)＝cosx－c，当c≤0时，g(x)＞0对任意x∈0，π2恒成立．当c≥1时，因为对任意x∈0，π2，g′(x)＝cosx－

c＜0，所以g(x)在区间0，π2上单调递减．从而g(x)＜g(0)＝0对任意x∈0，π2恒成立．当0<c<1时，存在唯一的x0∈0，π2使得g′(x0)＝cosx0－c＝0.g(x)与g′(x)在区间

0，π2上的情况如下：x(0，x0)x0x0，π2g′(x)＋0－g(x)极大值因为g(x)在区间[0，x0]上是增函数，所以g(x0)>g(0)＝0.进一步，“g(x)＞0对任意x∈0，π2恒成立

”当且仅当gπ2＝1－π2c≥0，即0＜c≤2π.综上所述，当且仅当c≤2π时，g(x)>0对任意x∈0，π2恒成立；当且仅当c≥1时，g(x)<0对任意x∈0，π2恒成立．所以，若a<sinxx<b对任意x∈0，π2恒成立，则a的最大值为

2π，b的最小值为1.20．如图所示，某风景区在一个直径AB为200m的半圆形花园中设计一条观光路线，在点A与圆弧上一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿圆弧BC的弧

形小路，在路的一侧边缘种植绿化带.(注：小路及绿化带的宽度忽略不计)（1）设BAC=(弧度)，将绿化带总长度()S表示为的函数；17（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大.【答案】（1）()4

00cos200S=+，0,2；（2）6=.【详解】（1）如图，连结OC，BC，在直角三角形ABC中，CAB=，200AB=（m），所以200cosAC=（m），由于22COBCAB=

=，所以弧BC的长为1002200=（m），所以()2200cos200400cos200S=+=+（m），0,2，（2）由（1）得()400cos200S=+0,2，所以()(

)2002sin1S=−+，0,2，当06时，()0S，当6=时，()0S=，当62时，()0S，所以()S在0,6上单调递增，在,62上单调递减，当6

=时，()S有最大值100400cos20020036663S=+=+，所以当6=时，绿化带总长度最大.21、(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xlnx＋12ax3－ax2，a∈R．(1)当a＝0时，求f(x)的最值；(2)若函数g(

x)＝()fxx存在两个极值点x1、x2(x1≠x2)，求g(x1)＋g(x2)的取值范围．【解析】：(1)当a＝0时，f(x)＝xlnx，x＞0，所以f'(x)＝lnx＋1，当0＜x＜e-1时，f'(x)＜0，f(x)为单18调减函数

；当x＞e-1时，f'(x)＞0，f(x)为单调增函数；所以f(x)min＝f(e-1)＝－e-1，无最大值；(2)因为g(x)＝()fxx＝lnx＋12ax2－ax，x＞0，所以g'(x)＝1x＋ax－a＝21axaxx−+，因为g(x)存在两个极值点x1、x2(x1≠x2

)，所以方程ax2－ax＋1＝0有两个不等正根x1、x2，因此Δ＝a2－4a＞0，即a＞4或a＜0，x1＋x2＝1，x1x2＝1a＞0，所以a＞4；又g(x1)＋g(x2)＝lnx1＋12ax12－ax1＋lnx2＋1

2ax22－ax2＝lnx1x2＋12a(x12＋x22)－a(x1＋x2)＝－lna＋12a(1－21a)－a＝－12a－lna－1；令h(a)＝－12a－lna－1，a＞4，因为h'(a)＝－12－1a＜0，所以h(a)在a∈(4，＋∞)上单调递减，因此h(a)＜h(

4)＝－3－ln4，所以g(x1)＋g(x2)的取值范围为(－∞，－3－ln4)．22．已知0a，函数()2xefxxa=+.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）已知函数()fx存在极值点1x、2x，求证：()()1212eafxfxa−−

.【详解】（1）当0a时，函数()2xefxxa=+的定义域为R，且()()()2222xexxafxxa−+=+.对于方程220xxa−+=，44a=−.①当0时，即()0,1a时，令()0fx=，111xa=−−，211xa=+−，由()0fx可

得1111axa−−+−；由()0fx可得11xa−−或11xa+−.所以函数()fx在(),11a−−−上单调递增，在()11,11aa−−+−上单调递减，在19()11,a+−+上单调递增；②当0

时，即)1,a+时，()()()22220xexxafxxa−+=+，所以函数()fx在R上单调递增.（2）由（1）可得01a，且1x、2x是220xxa−+=的两根.由韦达定理可得122xx+=，12xxa=.设1201xx，则()fx在1xx=处取到极

大值，在2xx=处取到极小值，所以()()12fxfx.因为2112xax+=，2222xax+=，所以命题等价于证明121212121222xxxxeeexxxx−−，整理得121121121xxxexexx−−−−，即()(

)11211111210xxxexex−−−−−−.令()110,1tx=−，构造函数()()()211ttFttetet−=+−−−，()0,1t，则()()2ttFttee−=−−，()0,1t，令()2ttgte

e−=−−，易知()gt在()0,1上单调递增.因为()020g=−，()10g，所以存在()00,1t，使()00gt=，当()00,tt时，()0Ft，()Ft单调递减；当()0,1tt时，()0Ft，()Ft单调递增，所以()()()max0,10

FtFF=，所以()()11211111210xxxexex−−−−−−成立，所以()()1212eafxfxa−−.