【文档说明】北京市和平街第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(14)页，644.561 KB，由小赞的店铺上传

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和平街第一中学高一数学月考试题（2024.10）（考试时间：90分钟，满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、单选题（每小题4分，共40分）1.设集合0,1,2,3A=，1,0,1,2,3B=−，则AB=（）A.1,0,1,2,3−B

.1,2C.0,1,2,3D.1,2,3【答案】C【解析】【分析】根据集合交集运算求解即可.【详解】0,1,2,3AB=,故选：C.2.已知命题20001:,04−+pxxxR

，则命题p的否定为（）A.20001,04−+xxxRB.20001,04−+xxxRC.21,04−+xxxRD.21,04xxx−+R【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题可

得答案.【详解】20001:,04−+pxxxR，则命题p的否定为21,04xxx−+R.故选：D.3.已知全集1,2,3,4,5U=，2,3,4A=，3,5B=，则下列结论正确的是（）A.BAB.1,5UA=ðC.3AB=D.2,4,5AB=【答案】B【解析

】【分析】利用集合的包含关系可判断A选项的正误，利用集合的基本运算可判断BCD选项的正误.【详解】已知全集1,2,3,4,5U=，2,3,4A=，3,5B=.对于A选项，BA，A选项错误；

对于B选项，1,5UA=ð，B选项正确；对于C选项，2,3,4,5AB=，C选项错误；对于D选项，3AB=，D选项错误.故选：B.4.设集合2{,},0,AxyBx==，若AB=，

则2xy+等于（）A.0B.1C.2D.－1【答案】C【解析】【分析】根据元素的确定性可得0x=或0y=，再利用元素的互异性可确定0y=，1x=，从而可得正确的选项.【详解】由AB=，得0x=或0y=.当0x=时，20x=，不满足集合中元素的互异性，舍去；当0y=时，2xx=，则0x=或1x=，

由上知0x=不合适，故0y=，1x=，则22xy+=.故选：C.【点睛】本题考查集合相等的性质以及集合元素的确定性和互异性，一般地，我们利用确定性求值，利用互异性取舍，本题属于基础题.5.已知0x，则2xx+的最小值为（）A.2B.2C.22D.4

【答案】C【解析】【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【详解】因为0x，则22222xxxx+=，当且仅当2xx=，即2x=时取“=”，所以2xx+的最小值为22.故选：C6.若a，b是任意实数，且ab，则

（）A.22abB.1baC.1ab−D.0ab−>【答案】D【解析】【分析】利用不等式性质一一判定选项即可.【详解】若2201abab==−，故A错误；若1221baba=−=−=，故B错误；若011abab==−−=，故C错误；显然0ababbb

−−=，故D正确.故选：D7.不等式2230xx−−的解集为（）A.()1,3−B.()3,1−C.(1)(3)−−+，，D.(3)(1)−−+，，【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得.详解】不

等式2230xx−−，即()()130xx+−，解得13x−，所以不等式2230xx−−的解集为()1,3−.故选：A8.“02x”是“13x−”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充

要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】02x时，一定有13x−，满足充分性，【但13x−时，如2.5x=，不满足02x，即不满足必要性，“02x”是“13x−”的为充分不必要条件．故选：A．9

.已知集合0,Aa=，230,ZBbbbb=−，AB，则实数a的值为（）A.1B.2C.1或2D.2或3【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式即可求出集合B，再根据AB求出a的值.【详解】由230bb−，即()30bb−，解得03b，所以23

0,Z03,Z1,2Bbbbbbbb=−==，又0,Aa=且AB，所以1a=或2a=.故选：C.10.设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为AXMm=−，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知1A，2A，3A，…

，nA是集合*N的元素个数均不相同的非空真子集，且12360nAAAAXXXX++++=，则n的最大值为（）A.10B.11C.12D.13【答案】B【解析】【分析】根据题设描述只需保证各集合中nAXMm=−（*Nn）尽量小，结合已知及集合的性质有n最大时123(1)...2nAAAAn

nXXXX−++++=，进而分析n的取值.【详解】由题设1A，2A，3A，…，nA中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，要使n最大，则各集合中nAXMm=−（*Nn）尽量小，所以集合1A，2A，3A，

…，nA的元素个数尽量少且数值尽可能连续，所以，不妨设1230,1,2,...,1nAAAAXXXXn====−，有123(1)...2nAAAAnnXXXX−++++=，当11n=时，123...5560nAAAAXXXX++++=，当12n=时，123...

6660nAAAAXXXX++++=，只需在11n=时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5即可，故n的最大值为11.故选：B【点睛】关键点点睛：注意n最大则各集合中nAXMm=−（*

Nn）尽量小，并求出该情况下特征值之和关于n的公式，再分析其最大取值.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（每小题5分，共25分）．11.已知函数()43fxx=+，则()3f=__________.【答案】15【解析】【分析】代值求解可得.详解】()4

3fxx=+Q，(3)43315f=+=.故答案为：15.12.设x、y满足10xy+=，且x、y都是正数，则xy的最大值为________．【答案】25【解析】【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由于x、y都是正数，故2252xyxy+=

，当且仅当5xy==时等号成立，故xy的最大值为25，故答案为：2513.满足11,2,3A的集合A的个数为____________个.【答案】4【解析】【分析】【根据子集的定义即可得到集合A的个数；【详解】11,2,3A，

1A=或1,2或1,3或1,2,3，故答案为：4.【点睛】本题考查子集的定义，属于基础题.14.已知集合21,2,3,2,ABaaa==+．若2AB=，则a=____________．【答案】2−【解析】【分析

】根据交集的定义，结合集合中元素的互异性进行求解即可.【详解】当22a=时，1a=，此时2,2B=，不满足集合中元素的互异性，所以1a=（舍）；当22aa+=时，可得2,1aa=−=（舍），此时，4,2B=−，满足条件，所以2a=−．故答案为：2−15.函数

2(0)yaxbxca=++的图像如图所示，则不等式20axbxc++的解集是__________，不等式0axbcxa++的解集是__________.【答案】①.|12xx②.1|32xx−【解析】【分析】根据图像求出a，b，c之间的关系，再解不等式0a

xbcxa++＜即可.【详解】由函数图像知，20axbxc++的解集为|12xx；从而0,420,abcabc++=++=且0a，解得3ba=−且2(0)=caa，所以不等式0axbcxa

++等价于3021xx−+，等价于()()3210xx−+＜，解得132x−；故答案为：|12xx；1|3.2−xx三、解答题（六小题，共85分）16.已知集合2|430Axxx=−+，集合|2Bxx=．（

1）化简集合A并求AB，AB．（2）若全集UR=，求()UBAð．【答案】（1）|23ABxx=，|1ABxx=U；（2）|3xx﹒【解析】【分析】(1)解二次不等式得集合A，利用交并运算的定义求解即可；(2)先求补集UAð，进而求交集即可．小问

1详解】2|430Axxx=−+|13xx=，∴|23ABxx=，|1ABxx=U．【小问2详解】∵{|1UAxx=ð或3}x，∴()|3UBAxx=ð．17.完成如下三个小题并写出必要过程（1）设()()23Mxx=++，()()14Nxx=++，比

较,MN的大小．（2）已知,abcd，求证：acbd−−；（3）已知Rx，设()1Axx=−；2Bx=−，比较A与B的大小．【答案】（1）MN（2）证明见解析（3）AB【解析】【分析】（1）由作差法得到𝑀−𝑁=(𝑥+2)(𝑥+3)−(𝑥+1)(𝑥+4)=(𝑥

2+5𝑥+6)−(𝑥2+5𝑥+4)=【2>0，即可比较；（2）由cd则cd−−，由同向不等式的可加性可得acbd−−；（3）由作差法得到𝐴−𝐵=𝑥2−2𝑥+2=(𝑥−1)2+1>0，即可比较.【小问1详解】因为𝑀−𝑁=(𝑥+2)(𝑥+3)−(

𝑥+1)(𝑥+4)=(𝑥2+5𝑥+6)−(𝑥2+5𝑥+4)=2>0，MN.【小问2详解】因为,abcd，所以cd−−，由同向不等式的可加性可得acbd−−.【小问3详解】因为Rx，()1Axx=−，2Bx=−，所以𝐴−𝐵=𝑥2−2𝑥+2=(𝑥−1)2+

1>0，所以AB.18.已知集合45Axx=−，36Bxx=−，|121,RCxmxmm=−+.（1）求AB，AB；（2）若()CAB，求实数m的取值范围.【答案】（1）46ABxx=−，35ABxx=

−（2）2m−或22m−.【解析】【分析】（1）根据集合的交并运算求得AB，AB；（2）根据C是否为空集进行分类讨论，由此求得m的取值范围.【小问1详解】45Axx=−，36Bxx=−，∴46ABxx=−，35ABxx=−.

【小问2详解】35ABxx=−，当C=时，121mm−+，∴2m−．当C时，213215mmm−−−+，∴22m−．综上所述，2m−或22m−.19.函数()243fxmxmx=+

+（1）若1m=，求()0fx的解集；（2）当()0fx恒成立时，求m的取值范围；（3）若方程()0fx=有两个实数根12,xx，且22121230xxxx+−，求m的取值范围【答案】（1）3,1−

−（2）30,4（3）1516m或0m【解析】【分析】（1）把1m=代入，结合二次不等式的求解方法可得答案；（2）讨论二次型函数的系数，结合判别式可得答案；（3）利用韦达定理及限制条件可得答案.【小问1详解】当1m

=时，原不等式等价于2430xx++，解得31x−−，所以()0fx的解集为3,1−−.【小问2详解】当0m=时，()30fx=恒成立；当0m时，()0fx恒成立，则有216120mm−，解得304m，当0m

时，()0fx显然不恒成立.综上，m的取值范围是30,4.【小问3详解】()0fx=有两个实数根，所以0m，216120mm=−，解得34m或0m，121234,xxxxm+=−=，因为22121230xxxx+−，所以()2121250xxxx+−，15160m−

解得1516m或0m，综上可得1516m或0m.20.设一个矩形长为x，宽为y．（1）当点(),Pxy位于直线4yx=−+上时，求该矩形面积的最大值．（2）当点(),Pxy位于曲线81212yxx=−上时，求该矩形周

长的最小值．（3）当该矩形的面积比周长多5时，求该矩形面积的取值范围．【答案】（1）4（2）9（3）)25,+【解析】【分析】（1）表达出矩形面积24Sxyxx==−+，配方后求出最大值；（2）表达出矩形

周长16221lxx=+−，变形后，利用基本不等式求出最小值；（3）由题意得到225xyxy−−=，由基本不等式得到450xyxy−−，求出答案.【小问1详解】该矩形面积为()22424Sxyxxx==−+=−−+，04

x，故当2x=时，S取得最大值，最大值为4；【小问2详解】该矩形周长()16162222112121lxyxxxx=+=+=−++−−，因为12x，所以16210,021xx−−，由基本不等式得()()1616211

221192121lxxxx=−++−+=−−，当且仅当162121xx−=−，即52x=时，等号成立，故该矩形周长的最小值为9；【小问3详解】由题意得225xyxy−−=，即52xyxy−=+，因为0,0xy，

由基本不等式得2xyxy+，故522xyxy−，即450xyxy−−，解得5xy或1xy−（舍去），故25xy，该矩形面积的取值范围为)25,+.21.设集合*AN．定义：和集合,,B

xyxyAxy=+，积集合,,CxyxyBxy=，分别用,,ABC表示集合,,ABC中元素的个数．（1）若1,2,3,4A=，求集合C；（2）若5A=，求B的所有可能的值组成的集合；（3）若4A=，求证：9C．【答案】（1）

12,15,18,20,21,24,28,30,35,42C=（2）7,8,9,10（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据新定义直接求解B,C;（2）令12345aaaaa，由和集合得到数大小

关系，再讨论大小关系分类求解；（3）记A集合为1234,,,aaaa，且1234aaaa，由和集合得到数的大小关系，求出B有两种可能，当6B=得9C，由5B=及数的大小关系分别讨论7C和8C，讨论五种情况即可求解.【小问1

详解】（1）由1,2,3,4A=，则3,4,5,6,7B=，12,15,18,20,21,24,28,30,35,42C=．【小问2详解】当5A=，不妨记A集合为12345,,,,aaaaa，且令12345aaaaa，则必有1213232

4343545aaaaaaaaaaaaaa+++++++，和中剩下的141525,,aaaaaa+++满足141525aaaaaa+++，的并且13142535,aaaaaaaa++

++，下列有四种可能：一是142315242534,,aaaaaaaaaaaa+=++=++=+，则7B=；二是14aa+与2315,aaaa++与2425,aaaa++与34aa+三对数有两对相等，另一对不相等，则8

B=；三是14aa+与2315,aaaa++与2425,aaaa++与34aa+三对数有一对相等，其它两对不相等，则9B=；四是14aa+与2315,aaaa++与2425,aaaa++与34aa+三对数

全不相等，则10B=；综上述，B的所有可能的值组成的集合为7,8,9,10.【小问3详解】当4A=，不妨记A集合为1234,,,aaaa，且1234aaaa，则必有1213232434aaaaaaaaaa+++++，和中剩下的元素为14aa+，满足13

1424aaaaaa+++，所以B有两种可能，当1423aaaa++，6B=；当1423aaaa+=+，5B=；ⅰ）当6B=，不妨记这6个元素为123456,,,,,bbbbbb，且让123456bbbbbb，则必有12132324343

5454656bbbbbbbbbbbbbbbbbb，所以9C；ⅱ）当5B=，1423aaaa+=+，不妨记112baa=+，213baa=+，323baa=+，424baa=+，534baa=+，

则12345bbbbb，则必有12132324343545bbbbbbbbbbbbbb，积中剩下的141525,,bbbbbb满足141525bbbbbb，则7C，下面先证明7C．

假设7C=，由1314242535bbbbbbbbbb，则142315242534,,bbbbbbbbbbbb===，即535242131424,,bbbbbbbbbbbb===，所以35241234bbbbbbbb===，令21bqb=，由15241234bbbbaaaa+=+=+++，

则431111bbqbqbq+=+，所以431qqq+=+，则1q=，与事实不符，所以7C．下面再证明8C．由上述分析知：要使8C=，积中剩下的141525,,bbbbbb满足141525bbbbbb，必有两对积与12132324343545,,,,,,bbbbbbbbbbbbbb七对

中两对相等，有如下五种情况：一是23142415bbbbbbbb==，则可推得524134bbbbbb==，令其比值为t，则1t，于是5421,btbbtb==，由15241234bbbbaaaa+=+=+++，则1414btbtbb+=+，则()()1410tbb−−=，显然无解，故此

情况不能；二是23143415bbbbbbbb==，则可推得35241314,bbbbbbbb==，令3524121314,bbbbttbbbb====，显然211tt，由15241234bbbbaaaa+=+=+++

，则124114btbtbb+=+，所以()()241111tbtb−=−，而显然()()241111tbtb−−，故此情况不可能；三是23143425bbbbbbbb==，则可推得354123bbbbbb==，令其比值为t，则1t，由152432bbbbb+=+

=，又2315bbb=，则15152bbbb+=，这与15152bbbb+矛盾，故此情况不可能；四是23153425bbbbbbbb==，可推得524132bbbbbb==，令其比值为t，则1t，于是53btb=，21btb=，24

21btbtb==，2314aaaa+=+，于是由15241234bbbbaaaa+=+=+++，则2131132btbtbtbb+=+=，所以132bbt=−，代入得211122btbtbt+=−，推得()()222ttt+

−=，所以32220ttt−−+=，所以()()2120tt−−=，有1t，所以2t=，这与21btb=是有理数相矛盾，所以此情况不能；五是24153425bbbbbbbb==，可推得532142bbbbbb==，令其比值为t，则1t，于是5421,btbbtb==，

的由15241234bbbbaaaa+=+=+++，则1414btbtbb+=+，则()()1410tbb−−=，显然无解，故此情况不可能．所以8C．综上，所以9C．【点睛】关键点点睛:本题考查集合新定义，关键是对集合

元素数的大小关系进行讨论，推出矛盾证明第三问.