【文档说明】浙江省丽水市五校高中发展共同体2024-2025学年高一上学期10月联考试题 数学 Word版含解析.docx，共(14)页，128.353 KB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年浙江省丽水市“五校高中发展共同体”10月联考高一数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列关系中，正确的是()A.−2∈𝑁+B.32∈𝑍C.𝜋∉𝑄D

.5∉𝑁2.若命题𝑝:∃𝑥>0，𝑥2−3𝑥+2>0，则命题𝑝的否定为()A.∃𝑥>0，𝑥2−3𝑥+2≤0B.∃𝑥≤0，𝑥2−3𝑥+2≤0C.∀𝑥≤0，𝑥2−3𝑥+2>0D.∀𝑥>0，𝑥2−3𝑥+2≤03.若𝑎,𝑏,𝑐为实数，且𝑎<𝑏<0，则下列命题

正确的是()A.𝑎𝑐2<𝑏𝑐2B.1𝑎<1𝑏C.𝑎2>𝑎𝑏>𝑏2D.𝑏𝑎>𝑎𝑏4.为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生，家长和教师组成的𝑄𝑄群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两

倍多于男学生人数.则该𝑄𝑄群教师人数的最小值为()A.3B.4C.5D.65.若𝑓(𝑥)对于任意实数𝑥都有2𝑓(𝑥)−𝑓(1𝑥)=2𝑥+1，则𝑓(12)=()A.3B.4C.83D.436.已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的定义域为[−1,4]，则𝑦=𝑓(

2𝑥+1)√𝑥−1的定义域为()A.[−1,32)B.(1,32]C.(1,9]D.[−5,32]7.已知不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>0的解集为(2,4)，则不等式𝑐𝑥2+𝑏𝑥+𝑎<0的

解集为()A.(14,12)B.(−∞,14)∪(12,+∞)C.(2,4)D.(−∞,2)∪(4,+∞)8.如图，在边长为2的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝑂，点𝑃是𝐵𝐷上的一个动点，过点𝑃作𝐸𝐹//𝐴𝐶，分别交正方形的两条边于

点𝐸，𝐹，连接𝑂𝐸，𝑂𝐹，设𝐵𝑃=𝑥，△𝑂𝐸𝐹的面积为𝑦，则能大致反映𝑦与𝑥之间的函数关系的图象为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设𝐴={𝑥|𝑥2+3𝑥−10=0

}，𝐵={𝑥|𝑎𝑥=1}.若𝐴∪𝐵=𝐴，则实数𝑎的值可以为()A.12B.15C.−15D.010.下列命题中，正确的有()A.函数𝑦=√𝑥+1⋅√𝑥−1与函数𝑦=√𝑥2−1表示同一函数B.已知函数𝑓(2𝑥+1)=4𝑥−6，若𝑓(𝑎)=10，则�

�=9C.若函数𝑓(√𝑥−1)=𝑥−3√𝑥，则𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥−2(𝑥≥−1)D.若函数𝑓(𝑥)的定义域为[0,2]，则函数𝑓(2𝑥)的定义域为[0,4]11.已知𝑎>0，𝑏>0

，且3𝑎+𝑏=2，则()A.𝑎𝑏的最大值为13B.13𝑎+1𝑏的最大值是2C.1𝑎2+9𝑏2的最小值是18D.12𝑎+𝑏+𝑎+𝑏的最小值是2√2−2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知𝑥，𝑦∈𝑅，则“𝑥>0，𝑦>0”是

“𝑥𝑦>0”的条件，“𝑥2+𝑦2>0”是“𝑥≠0或𝑦≠0”的条件.(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)13.已知𝑎∈𝑅，函数𝑓(𝑥)={𝑥2−4,𝑥>2|𝑥−3|+𝑎,𝑥⩽2，若𝑓(𝑓(√6))

=3，则𝑎=．14.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+1(𝑎∈𝑅)，若非空集合𝐴={𝑥|𝑓(𝑥)≤0}，𝐵={𝑥|𝑓(𝑓(𝑥))≤1}，满足𝐴=𝐵，则实数𝑎的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出

文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知全集𝑈=𝑅，集合𝐴={𝑥|𝑥2−2𝑥−3≤0}，集合𝐵={𝑥|𝑥−1𝑥+2>0}，集合𝐶={𝑥|𝑚−1<𝑥<2𝑚+1}．(1)求𝐴∪𝐵，𝐴∩∁𝑈𝐵(2)

若𝐴∩𝐶=𝐶，求实数𝑚的取值范围．16.(本小题12分)已知𝑥，𝑦都是正数．(1)若3𝑥+2𝑦=6，求𝑥𝑦的最大值;(2)若𝑥+2𝑦=3，求1𝑥+1𝑦的最小值．17.(本小题12分)为摆脱美国政府针

对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员�

�名(𝑥∈𝑁∗)，调整后研发人员的年人均投入增加4𝑥%，技术人员的年人均投入调整为60(𝑚−2𝑥25)万元．(1)要使这100−𝑥名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数�

�最多为多少人?(2)若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数𝑚的最大值．18.(本小题12分)已知关于的𝑥不等式𝑎𝑥2+(𝑎−1)𝑥−1>0．(1)若𝑎=−2时，求不等式的解集;(2)若𝑎∈𝑅，解这个关于𝑥的不等式;

(3)∀𝑥∈(0,+∞)，(𝑎𝑥−1)(𝑥+1)>(2𝑎+1)𝑥−𝑎恒成立，求𝑎的范围．19.(本小题12分)《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的

重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．例如，已知𝑎𝑏=1，求证：11+𝑎+11+𝑏=1．证明：原式=𝑎𝑏𝑎𝑏+𝑎+11+𝑏=𝑏1+𝑏+11+𝑏=1．波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个

发现后，再四处看看，他们总是成群生长.”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．请根据上述材料解答下列问题：(1)已知𝑎𝑏=1，求11+𝑎2+11+𝑏2的值;(2)若𝑎𝑏𝑐=1，解方程5𝑎𝑥�

�𝑏+𝑎+1+5𝑏𝑥𝑏𝑐+𝑏+1+5𝑐𝑥𝑐𝑎+𝑐+1=1;(3)若正数𝑎，𝑏满足𝑎𝑏=1，求𝑀=11+𝑎+11+2𝑏的最小值．答案和解析1.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查常用数集以及元素与集合的关系，是基础题．【解答】解：𝐴:⋅2∉𝑁+，A错误;

𝐵:32∉𝑍，B错误;𝐶:𝜋∉𝑄，C正确;𝐷:5∈𝑁，D错误故选C．2.【答案】𝐷【解析】【分析】本题主要考查存在量词命题的否定，属基础题．根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得到结论．【解答】解：命题𝑝:∃𝑥>0，𝑥2−3𝑥+2>0为存在量词命题，则该命

题的否定为∀𝑥>0，𝑥2−3𝑥+2≤0，故选：𝐷．3.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵𝑎<𝑏<0，则𝐴.当𝑐=0时，𝑎𝑐2<𝑏𝑐2不成立；B.由已知可

得1𝑎>1𝑏，因此不成立；C.由已知可得：𝑎2>𝑎𝑏>𝑏2，因此正确；D.由已知可得：𝑎2>𝑏2，∴𝑎2𝑎𝑏>𝑏2𝑎𝑏，化为𝑎𝑏>𝑏𝑎，因此不成立．故选：𝐶．4.【答案】𝐵【解析】【分析】本题主要考查了不等

式的性质，属于基础题．设男学生女学生人数分别为𝑥，𝑦人，教师人数为𝑧，家长人数为𝑚，𝑥，𝑦，𝑧，𝑚都是正整数，则{𝑥>𝑦𝑦>𝑚𝑚>𝑧2𝑧>𝑥，进而可得答案．【解答】解：设男学生女学生人数分别为𝑥，𝑦人，教师人数为�

�，家长人数为𝑚，𝑥，𝑦，𝑧，𝑚都是正整数，则由题意有{𝑥>𝑦𝑦>𝑚𝑚>𝑧2𝑧>𝑥，即𝑧<𝑚<𝑦<𝑥<2𝑧，即𝑧最小为4才能满足条件，此时𝑦最小为6，𝑚最小为5，𝑥最小为7，故选B．5.【答

案】𝐴【解析】【分析】本题考查函数值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．由𝑓(𝑥)对于任意实数𝑥都有2𝑓(𝑥)−𝑓(1𝑥)=2𝑥+1，列方程组，求出𝑓(𝑥)=43𝑥+23𝑥+1，由此能求出𝑓(12)的值．【解答】解：∵�

�(𝑥)对于任意实数𝑥都有2𝑓(𝑥)−𝑓(1𝑥)=2𝑥+1，∴{2𝑓(𝑥)−𝑓(1𝑥)=2𝑥+12𝑓(1𝑥)−𝑓(𝑥)=2𝑥+1，解得𝑓(𝑥)=43𝑥+23𝑥+

1，∴𝑓(12)=43×12+23×12+1=3．故选：𝐴．6.【答案】𝐵【解析】【分析】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．由已知𝑓(𝑥)的定义域，再根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可．【解答】解：因为𝑦=�

�(𝑥)的定义域是[−1,4]，所以要使得𝑦=𝑓(2𝑥+1)√𝑥−1有意义，需满足{−1≤2𝑥+1≤4𝑥−1>0，解得1<𝑥≤32．则函数𝑦=𝑓(2𝑥+1)√𝑥−1的定义域为是(1,32].7.【

答案】𝐵【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根与系数的关系，考查了计算能力，属于中档题．由不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>0的解集是(2,4)可知：2，4是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的实数根，

且𝑎<0.然后利用根与系数的关系可得𝑏=−6𝑎,𝑐=8𝑎，代入不等式𝑐𝑥2+𝑏𝑥+𝑎<0即可得出．【解答】解：因为不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>0的解集是(2,4)，所以2，4是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0

的实数根，且𝑎<0.所以2+4=−𝑏𝑎,2×4=𝑐𝑎，即𝑏=−6𝑎,𝑐=8𝑎．所以不等式𝑐𝑥2+𝑏𝑥+𝑎<0化为8𝑎𝑥2−6𝑎𝑥+𝑎<0，即8𝑥2−6𝑥+1>0，解得𝑥<14或𝑥>1

2．所以不等式𝑐𝑥2+𝑏𝑥+𝑎<0的解集为{𝑥|𝑥<14或𝑥>12}．故选B．8.【答案】𝐵【解析】【分析】本题考查函数图象的实际应用，属于中档题．分点𝑃在𝑂𝐵上和点𝑃在𝐷𝑂上两种情况讨论，由面

积公式可求𝑦与𝑥的函数关系，即可求解．【解答】解：当点𝑃在𝑂𝐵上时，∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，边长为2，∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=2，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝐴𝐵=45∘，∴𝐴𝐶=2√2，𝐵𝑂=𝐷𝑂=𝐴

𝑂=𝐶𝑂=√2，∵𝐸𝐹//𝐴𝐶，∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐸𝐹=45∘，∠𝐵𝐹𝐸=∠𝐵𝐶𝐴=45∘，∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐸𝑃𝐵=90∘，∴∠𝐵𝐸𝐹=∠𝐵𝐹𝐸，∴�

�𝐸=𝐵𝐹，∵∠𝐵𝑃𝐸=90∘，∴𝐵𝑃=𝐸𝑃=𝐹𝑃=𝑥，∴𝑂𝑃=√2−𝑥，∴𝑦=12×𝐸𝐹×𝑂𝑃=12×2𝑥×(√2−𝑥)=−𝑥2+√2𝑥，(0⩽𝑥⩽√2)当点𝑃在𝐷�

�上时，同理可得：𝑦=−𝑥2+3√2𝑥−4，(√2<𝑥≤2√2)．故选：𝐵．9.【答案】𝐴𝐶𝐷【解析】【分析】本题主要考查集合间的基本关系和集合运算，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．根据𝐴∪𝐵=𝐴可得：𝐵⊆

𝐴，因为𝐵={𝑥|𝑎𝑥=1}，所以分𝐵=⌀和𝐵≠⌀两种情况进行讨论，进而求解即可．【解答】解：因为𝐴∪𝐵=𝐴，所以𝐵⊆𝐴，又因为𝐵={𝑥|𝑎𝑥=1}，所以分𝐵=⌀和𝐵≠

⌀两种情况进行讨论，当𝐵=⌀时，也即方程𝑎𝑥=1无解，所以𝑎=0;当𝐵≠⌀时，方程𝑎𝑥=1有一解，即𝐵={1𝑎}，因为𝐴={2,−5}，所以1𝑎=2或−5，解得：𝑎=12或−15，综上可知：实数𝑎的值为0或12或−15，故选ACD．10.

【答案】𝐵𝐶【解析】【分析】本题考查同一函数的概念，函数求值，函数解析式以及抽象函数定义域，属于中档题．分别求两个函数的定义域即可判断𝐴；由函数解析式可得若𝑓(𝑎)=10，则{2𝑥+1=𝑎4𝑥−6=10即可判断𝐵；利用配凑法可求解函数𝑓(𝑥)解析式，即可判断𝐶；结合抽象函

数定义域即可判断𝐷．【解答】解：𝑦=𝑓(𝑥)=√𝑥+1⋅√𝑥−1的定义域是{𝑥|{𝑥+1⩾0𝑥−1⩾0}={𝑥|𝑥⩾1},𝑦=𝑔(𝑥)=√𝑥2−1的定义域是{𝑥|𝑥2−1⩾0}={𝑥|𝑥⩾1，或𝑥⩽−1}，两函数

的定义域不同，故不是同一函数，A错误;函数𝑓(2𝑥+1)=4𝑥−6，若𝑓(𝑎)=10，则{2𝑥+1=𝑎4𝑥−6=10⇒{𝑥=4𝑎=9，故B正确；若函数𝑓(√𝑥−1)=𝑥−3√𝑥=(√𝑥−1)2−(√𝑥−1)−2，则𝑓(�

�)=𝑥2−𝑥−2(𝑥≥−1)，故C正确；若函数𝑓(𝑥)的定义域为[0,2]，则函数𝑓(2𝑥)中，0⩽2𝑥⩽2⇒0⩽𝑥⩽1，即函数𝑓(2𝑥)的定义域为[0,1]，故D错误．故选BC．11.【答案】𝐴𝐶【解析】【分析】本题考查利用基本不等式

求最值，根据基本不等式的性质逐项进行判断即可。【解答】解：因为𝑎>0，𝑏>0，且3𝑎+𝑏=2，所以2√3𝑎𝑏≤2，所以𝑎𝑏≤13，当且仅当3𝑎=𝑏=1时，等号成立，则A正确;由题意可得13𝑎+1𝑏=12(3𝑎+𝑏)(13𝑎+1𝑏)=12(

𝑏3𝑎+3𝑎𝑏+2)≥12×(2√𝑏3𝑎⋅3𝑎𝑏+2)=2，当且仅当3𝑎=𝑏时，等号成立，则B错误;因为𝑎𝑏≤13，所以1𝑎2+9𝑏2≥6𝑎𝑏≥18，当且仅当3𝑎=𝑏=1时，等号成立，则C正确;由3

𝑎+𝑏=2，得𝑏=2−3𝑎，对于𝐷，由{𝑎>0𝑏=2−3𝑎>0，得0<𝑎<23，12𝑎+𝑏+𝑎+𝑏=12𝑎+2−3𝑎+𝑎+(2−3𝑎)=12−𝑎+2−2𝑎=12−𝑎+2(2−𝑎)−2≥2√2−2，当且仅当1

2−𝑎=2(2−𝑎)，当𝑎=2±√22时，2±√22>23，矛盾，故等号取不到，故D错误.故选AC．12.【答案】充分不必要；充要【解析】【分析】本题考查充分、必要、充要条件的判断，属于基础题．根据充分条件和必要条件的概念，

直接判断即可．【解答】解：当𝑥>0，𝑦>0时，𝑥𝑦>0，满足充分性；因为𝑥𝑦>0时，𝑥>0，𝑦>0或𝑥<0，𝑦<0，不满足必要性；所以，𝑦>0是的充分不必要条件；当𝑥2+𝑦2>

0，所以𝑥≠0或𝑦≠0，满足充分性；当𝑥≠0或𝑦≠0时，𝑥2+𝑦2>0，满足必要性，所以“𝑥2+𝑦2>0”是“𝑥≠0或𝑦≠0”的充要条件．故答案为充分不必要；充要．13.【答案】2【解析】【分析】本题考查求分段函数的函数值，属于基础题．求出𝑓(√6

)=2，再代入𝑓(𝑓(√6))=3，即可求出结果．【解答】解：因为√6>2，所以𝑓(√6)=6−4=2，所以𝑓(𝑓(√6))=𝑓(2)=1+𝑎=3，解得𝑎=2．故答案为2．14.【答案】[−1−√2,−1]【解析】【分析】本题考查集合相等、二次函数的最值、二

次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，属于中档题．通过直接代入𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+1，然后解一元二次不等式，通过分别判断两一元二次不等式的方程的𝛥,𝛥′，从而进行求解即可。【解答】解：由𝑓(𝑓(𝑥))≤1，可得(

𝑥2−2𝑎𝑥+1)2−2𝑎(𝑥2−2𝑎𝑥+1)+1≤1，即(𝑥2−2𝑎𝑥+1)(𝑥2−2𝑎𝑥+1−2𝑎)≤0，由𝐴=𝐵，可得𝑥2−2𝑎𝑥+1−2𝑎≥0在𝑅上恒成立，即△=4𝑎2−4(

1−2𝑎)≤0，解得−1−√2≤𝑎≤−1+√2，①又集合𝐴是非空集合，所以𝑥2−2𝑎𝑥+1≤0在𝑅上有解，则𝛥′=4𝑎2−4⩾0，解得𝑎⩽−1或𝑎⩾1，②综合①②可得：𝑎∈[−1−√2,−1]．15.【答案】解：根据题意：(1)集合𝐴={𝑥|−1≤𝑥≤3}，集

合𝐵={𝑥|𝑥<−2或𝑥>1}𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥<−2或𝑥≥−1}，𝐴∩𝐶𝑈𝐵={𝑥|−1≤𝑥≤1}(2)因为𝐴∩𝐶=𝐶，所以𝐶⊆𝐴，若𝐶=⌀，则𝑚−1≥2𝑚+1⇒𝑚≤−2

若𝐶≠⌀，则𝑚−1<2𝑚+1⇒𝑚>−2时，可得{𝑚−1≥−12𝑚+1≤3⇒0≤𝑚≤1，∴实数𝑚的取值范围为{𝑚|𝑚≤−2或0≤𝑚≤1}【解析】本题考查了集合关系中的参数取值问题、交集及其运算和交、并、补集的混合运算，是基础题．(1)先解不等式得出集合𝐴、�

�，再由集合的运算可得结果；(2)因为𝐴∩𝐶=𝐶，所以𝐶⊆𝐴，分𝐶=⌀和𝐶≠⌀两种情况求解即可．16.【答案】解：(1)因为3𝑥+2𝑦=6，所以𝑥𝑦=16⋅3𝑥⋅2𝑦≤16×(3𝑥+2𝑦2)2=32，当且仅当3𝑥=2

𝑦，即𝑥=1，𝑦=32时，等号成立.所以𝑥𝑦的最大值为32(2)∵𝑥+2𝑦=3，∴1=𝑥3+2𝑦3，∴1𝑥+1𝑦=(1𝑥+1𝑦)(𝑥3+2𝑦3)=13+23+𝑥3𝑦+2𝑦3

𝑥≥1+2√𝑥3𝑦⋅2𝑦3𝑥=1+2√23，当且仅当𝑥3𝑦=2𝑦3𝑥，即𝑥=3√2−3，𝑦=3−3√22时取等号，∴最小值为1+2√23．【解析】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，以

及等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．(1)由于3𝑥+2𝑦=6，再根据𝑥𝑦=16·3𝑥·2𝑦，利用基本不等式求得𝑥𝑦的最大值；(2)由𝑥+2𝑦=3，得到1=𝑥3+2𝑦3，故1𝑥+1𝑦=(1𝑥+1𝑦)(𝑥3+2𝑦3)，利

用基本不等式求得最小值．17.【答案】解：(1)由题意得(100−𝑥)⋅60⋅(1+4𝑥%)≥100×60，𝑥∈𝑁∗，解得0<𝑥≤75，𝑥∈𝑁∗，故调整后的技术人员的人数最多为75人；(2)由研发人员的年总投入

始终不低于技术人员的年总投入有(100−𝑥)⋅60⋅(1+4𝑥%)≥𝑥⋅60⋅(𝑚−2𝑥25)，即(100𝑥−1)(1+𝑥25)≥𝑚−2𝑥25，整理得𝑚≤100𝑥+𝑥25+3，∵

100𝑥+𝑥25+3≥2√100𝑥⋅𝑥25+3=7，当且仅当𝑥=50时等号成立，∴𝑚≤7，故正整数𝑚的最大值为7．【解析】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．(1)根

据题意列出不等式(100−𝑥)⋅60⋅(1+4𝑥%)≥100×60，𝑥∈𝑁∗，求解即可得出答案；(2)根据题意列出不等式(100−𝑥)⋅60⋅(1+4𝑥%)≥𝑥⋅60⋅(𝑚−2𝑥25)，进行常变量分离，利用基本不等式，求解即可得出

答案．18.【答案】解：(1)𝑎=−2时，−2𝑥2−3𝑥−1>0⇒2𝑥2+3𝑥+1<0⇒(2𝑥+1)(𝑥+1)<0⇒−1<𝑥<−12，则所求不等式的解集为：(−1,−12)；(2)当𝑎=0时，𝑎𝑥2+(𝑎−1)𝑥−1>0⇔−𝑥−1>0⇒𝑥<−1；当𝑎≠0时

，𝑎𝑥2+(𝑎−1)𝑥−1>0⇔(𝑎𝑥−1)(𝑥+1)=𝑎(𝑥−1𝑎)(𝑥+1)>0，当𝑎>0时，有1𝑎>−1，则此时不等式解集为：(−∞,−1)∪(1𝑎,+∞)；当𝑎<0，𝑎(𝑥−1

𝑎)(𝑥+1)>0⇔(𝑥−1𝑎)(𝑥+1)<0．若1𝑎<−1，即−1<𝑎<0时，不等式解集为：(1𝑎,−1)；若1𝑎>−1，即𝑎<−1时，不等式解集为：(−1,1𝑎)；若1𝑎=−1，即𝑎=−1时，不等式解集为

空集．综上，𝑎=0时，解集为(−∞,−1)；𝑎=−1时，解集为⌀；𝑎>0时，解集为(−∞,−1)∪(1𝑎,+∞)；−1<𝑎<0时，解集为(1𝑎,−1)；𝑎<−1时，解集为(−1,1𝑎)；(3)(𝑎𝑥

−1)(𝑥+1)>(2𝑎+1)𝑥−𝑎⇒𝑎(𝑥2−𝑥+1)>2𝑥+1，因𝑥2−𝑥+1=(𝑥−12)2+34≥34>0，则𝑎>2𝑥+1𝑥2−𝑥+1．则题目等价于𝑎>(2𝑥+1𝑥2−𝑥+1)max,𝑥>0．令2𝑥+1=𝑡，因𝑥>0，则𝑡>1．则2

𝑥+1𝑥2−𝑥+1=𝑡(𝑡−12)2−𝑡−12+1=4𝑡𝑡2−4𝑡+7=4𝑡+7𝑡−4⩽42√𝑡·7𝑡−4=2√7−2=2√7+43，当且仅当𝑡=7𝑡，即𝑡=√7时等号成立，所以𝑎

>2√7+43，即𝑎的取值范围为(2√7+43,+∞)．【解析】本题考查不等式的解法以及不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．(1)由题可得−2𝑥2−3𝑥−1>0，即可得答案；(2)当𝑎=0时，不等式变为一次不等式，当𝑎≠0时，对𝑎𝑥2+(𝑎−1)𝑥−1=0分解因式

，讨论根的大小即可得答案；(3)由题，可得∀𝑥>0，𝑎>2𝑥+1𝑥2−𝑥+1，利用换元法结合基本不等式可得答案．19.【答案】解：(1)11+𝑎2+11+𝑏2=𝑎𝑏𝑎𝑏+𝑎2+𝑎𝑏𝑎𝑏+𝑏2=𝑏𝑏+𝑎+�

�𝑎+𝑏=1;(2)∵𝑎𝑏𝑐=1，∴𝑎𝑎𝑏+𝑎+1=𝑎𝑎𝑏+𝑎+𝑎𝑏𝑐=1𝑏+1+𝑏𝑐，𝑐𝑐𝑎+𝑐+1=𝑐𝑐𝑎+𝑐+𝑎𝑏𝑐=1𝑎+1+𝑎𝑏=𝑎𝑏𝑐𝑎+𝑎𝑏𝑐

+𝑎𝑏=𝑏𝑐1+𝑏𝑐+𝑏，∴原方程可化为5𝑥𝑏+1+𝑏𝑐+5𝑏𝑥𝑏𝑐+𝑏+1+5𝑏𝑐𝑥1+𝑏𝑐+𝑏=1，即5(1+𝑏+𝑏𝑐)𝑥𝑏+1+𝑏𝑐=1，即5𝑥=1，∴𝑥=15;(3)∵正数𝑎、𝑏满足𝑎

𝑏=1，∴𝑀=11+𝑎+11+2𝑏=𝑎𝑏𝑎𝑏+𝑎+11+2𝑏=𝑏𝑏+1+11+2𝑏=(𝑏+1)−1𝑏+1+11+2𝑏=1−1𝑏+1+11+2𝑏=1−𝑏(1+𝑏)(1+2𝑏)=1−𝑏

2𝑏2+3𝑏+1=1−12𝑏+3+1𝑏≥1−12√2+3=2√2−2当且仅当2𝑏=1𝑏，即𝑏=√22时取等号，此时𝑎=√2，符合题意，∴𝑀的最小值为2√2−2．【解析】本题考查利用基本不

等式求最值和类比推理，属于中档题．(1)根据例子进行类比即可证明；(2)将𝑎𝑏𝑐代入方程求解；(3)由𝑀=11+𝑎+11+2𝑏=𝑎𝑏𝑎𝑏+𝑎+11+2𝑏=1−12𝑏+3+1𝑏，利用基本不等式进

行求解即可．