【文档说明】专题04 圆-【浙江真题分类汇编】备战2022年中考数学真题对点练 （解析版）.docx，共(60)页，5.165 MB，由管理员店铺上传

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2022浙江中考复习21年各市中考真题汇编4圆1．（2021•金华）如图，在RtABC中，90ACB=，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为1S，ABC面积为2S，则12SS的值是()A．52B．

3C．5D．112【分析】先设RtABC的三边长为a，b，c，其中c为斜边，设O的半径为r，根据图形找出a，b，c，r的关系，用含c的式子表示1S和2S，即可求出比值．【解答】解：如图，取AB的中点为O，AC的中点

为D，连接OE，OG，OD，OC，设ABc=，ACb=，BCa=，则222abc+=，①取AB的中点为O，ABC是直角三角形，OAOBOC==，圆心在MN和HG的垂直平分线上，O为圆心，连接OC，OG，O

E，作ODAC⊥，则OG，OE为半径，由勾股定理得：22222()()()222bacrac=++=+，②由①②得ab=，222ca=，2154Sc=，22124cSab==，22125544SccS

==，故选：C．2．（2019•衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在O上，CD垂直平分AB于点D．现测得8ABdm=，2DCdm=，则圆形标志牌的半径为()A．6dmB．5dmC．4dm

D．3dm【分析】连接OA，OD，利用垂径定理解答即可．【解答】解：连接OA，OD，点A，B，C在O上，CD垂直平分AB于点D．8ABdm=，2DCdm=，4ADdm=，设圆形标志牌的半径为r，可得：2224(2)rr=+−，解得：5r=，故选：B．

3．（2021•丽水）如图，AB是O的直径，弦CDOA⊥于点E，连结OC，OD．若O的半径为m，AOD=，则下列结论一定成立的是()A．tanOEm=B．2sinCDm=C．cosAEm=D．21sin2CODSm=【分析】根据垂径定理和锐角三角函数计

算则可进行判断．【解答】解：AB是O的直径，弦CDOA⊥于点E，12DECD=，在RtEDO中，ODm=，AOD=，tanDEOE=，tan2tanDECDOE==，故选项A不符合题意；AB是O的直径，CDOA⊥，2CDDE=，O的半径为m，A

OD=，sinsinDEODm==，22sinCDDEm==，故选项B正确，符合题意；cosOEOD=，coscosOEODm==，AODOm==，cosAEAOOEmm=−=−，故选项C不符合题意；2sinCDm=

，cosOEm=，2112sincossincos22CODSCDOEmmm===，故选项D不符合题意；故选：B．4．（2020•绍兴）如图，点A，B，C，D，E均在O上，1

5BAC=，30CED=，则BOD的度数为()A．45B．60C．75D．90【分析】首先连接BE，由圆周角定理即可得BEC的度数，继而求得BED的度数，然后由圆周角定理，求得BOD的度数．【解答】解：连接BE，15BECBA

C==，30CED=，45BEDBECCED=+=，290BODBED==．故选：D．5．（2021•湖州）如图，已知点O是ABC的外心，40A=，连结BO，CO，则BOC的度数是()A．60B．70C．80D．90

【分析】根据圆周角定理得出2BOCA=即可得到结果．【解答】解：点O为ABC的外心，40A=，12ABOC=，280BOCA==，故选：C．6．（2019•绍兴）如图，ABC内接于O，65B=

，70C=．若22BC=，则BC的长为()A．B．2C．2D．22【分析】连接OB，OC．首先证明OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题．【解答】解：连接OB，OC．180180657045AABCACB=−−=−−

=，90BOC=，22BC=，2OBOC==，BC的长为902180=，故选：A．7．（2021•嘉兴）已知平面内有O和点A，B，若O半径为2cm，线段3OAcm=，2OBcm=，则直线AB与

O的位置关系为()A．相离B．相交C．相切D．相交或相切【分析】根据直线上点与圆的位置关系的判定得出直线与圆的位置关系．【解答】解：O的半径为2cm，线段3OAcm=，2OBcm=，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，点A在O外，点B在O上，直线

AB与O的位置关系为相交或相切，故选：D．8．（2020•温州）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在O上，过点B作O的切线交OA的延长线于点D．若O的半径为1，则BD的长为()A．1B．2C．2D．3【分析】连接OB，根据菱形的性质得到OAAB=，求得60AOB=，根据切线的性质

得到90DBO=，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：连接OB，四边形OABC是菱形，OAAB=，OAOB=，OAABOB==，60AOB=，BD是O的切线，90DBO=，1OB=，33BDOB==，故选：D．9．（2019•舟山）

如图，已知O上三点A，B，C，半径1OC=，30ABC=，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为()A．2B．3C．2D．12【分析】连接OA，根据圆周角定理求出AOP，根据切线的性质求出90OAP

=，解直角三角形求出AP即可．【解答】解：连接OA，30ABC=，260AOCABC==，过点A作O的切线交OC的延长线于点P，90OAP=，1OAOC==，tan60133APOA=

==，故选：B．10．（2019•台州）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则O的半径为()A．23B．3C．4D．43−【分析】设O与AC的切点为E，连接AO，OE，根据等边三角形的性质得到

8AC=，60CBAC==，由切线的性质得到1302BAOCAOBAC===，求得90AOC=，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：设O与AC的切点为E，连接AO，OE，等边三角形ABC的边长为8，8AC=，60CBAC==，圆分别与边AB，AC相切，1

302BAOCAOBAC===，90AOC=，142OCAC==，OEAC⊥，3232OEOC==，O的半径为23，故选：A．11．（2019•杭州）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若3PA=，则(PB=)A

．2B．3C．4D．5【分析】根据切线长定理直接求得3PBPA==．【解答】解：P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若3PA=，3PBPA==，故选：B．12．（2020•金华）如图，O是等边ABC的内切圆，分别切AB，

BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则EPF的度数是()A．65B．60C．58D．50【分析】如图，连接OE，OF．求出EOF的度数即可解决问题．【解答】解：如图，连接OE，OF．O是ABC的内切圆，E，F是切点，OEAB⊥，OFBC⊥，90OEBOFB=

=，ABC是等边三角形，60B=，120EOF=，1602EPFEOF==，故选：B．13．（2021•绍兴）如图，正方形ABCD内接于O，点P在AB上，则BPC的度数为()A．30B．45C．60

D．90【分析】根据正方形的性质得到BC弧所对的圆心角为90，则90BOC=，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：连接OB、OC，如图，正方形ABCD内接于O，BC所对的圆心角为90，90BOC=，1452BPCBO

C==．故选：B．14．（2021•衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150，则它的面积是()A．32B．3C．5D．15【分析】把已知数据代入扇形面积公式计算，即可得到答案．【解答】解：扇形面积2150615360==，故选：D．15．

（2021•湖州）如图，已知在矩形ABCD中，1AB=，3BC=，点P是AD边上的一个动点，连接BP，点C关于直线BP的对称点为1C，当点P运动时，点1C也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段1CC扫过的区域的面积是()A．B．334+C．332

D．2【分析】由临界状态确定出1C的运动路径，明确点P从点A运动到点D，则线段1CC扫过的区域为：扇形BCC和BCC，再分别计算两部分面积即可．【解答】解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C，当P与D

重合时，点C关于BP的对称点为C，点P从点A运动到点D，则线段1CC扫过的区域为：扇形BCC和BCC，在BCD中，90BCD=，3BC=，1CD=，13tan33DBC==，30DBC=，60CBC=，BCBC

=BCC为等边三角形，2120(3)360BCCS==扇形，作CFBC⊥于F，BCC为等边三角形，1322BFBC==，33tan6022CF==，13333224BCCS=

=，线段1CC扫过的区域的面积为：334+．故选：B．16．（2019•湖州）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是()A．260cmB．265cmC．2120cmD．2130cm【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长

等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算．【解答】解：这个圆锥的侧面积21251365()2cm==．故选：B．17．（2019•宁波）如图所示，矩形纸片ABCD中，6ADcm=，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分

别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为()A．3.5cmB．4cmC．4.5cmD．5cm【分析】设ABxcm=，则(6)DExcm=−，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．【解答

】解：设ABxcm=，则(6)DExcm=−，根据题意，得90(6)180xx=−，解得4x=．故选：B．18．（2019•金华）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，90A=，105ABC=，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为()A．

2B．3C．32D．2【分析】先证明ABD为等腰直角三角形得到45ABD=，2BDAB=，再证明CBD为等边三角形得到2BCBDAB==，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于:ABCB，从而得到下面圆锥的侧面积．【解答】解：90A

=，ABAD=，ABD为等腰直角三角形，45ABD=，2BDAB=，105ABC=，60CBD=，而CBCD=，CBD为等边三角形，2BCBDAB==，上面圆锥与下面圆锥的底面相同，上面圆锥的侧面积与下面圆锥的

侧面积的比等于:ABCB，下面圆锥的侧面积212==．故选：D．19．（2020•金华）下列四个图形中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、

该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；D、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．20．（2021•衢州）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点

F，则AFB的度数为72．【分析】根据五边形的内角和公式求出ABC，根据等腰三角形的性质求出BCA和CBD，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可．【解答】解：五边形ABCDE是正五边形，(52)1

801085BCDABC−===，BABC=，36BACBCA==，同理36CBD=，72AFBBCACBD=+=，故答案为：72．21．（2019•湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15，则它所对的圆心

角的度数是30．【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：一条弧所对的圆周角的度数是15，它所对的圆心角的度数为21530=．故答案为30．22．（2018•杭州）如图，AB是O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DEAB⊥，交O于D，E两点，过点D作直径DF，连接AF，则DFA

=30．【分析】利用垂径定理和三角函数得出30CDO=，进而得出60DOA=，利用圆周角定理得出30DFA=即可．【解答】解：点C是半径OA的中点，12OCOD=，DEAB⊥，30CDO=

，60DOA=，30DFA=，故答案为：30．23．（2017•绍兴）如图，一块含45角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在O上，边AB，AC分别与O交于点D，E，则DOE的度数为90．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：45A=，290DOEA==

．故答案为：90．24．（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若64ABC=，则BAE的度数为52．【分析】直接利用圆内接四

边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．【解答】解：圆内接四边形ABCD，180116DABC=−=，点D关于AC的对称点E在边BC上，116DAEC==，1166452BAE=−=．故答案为：52．25．（

2021•杭州）如图，已知O的半径为1，点P是O外一点，且2OP=．若PT是O的切线，T为切点，连结OT，则PT=3．【分析】根据圆的切线性质可得出OPT为直角三角形，再利用勾股定理求得PT长度．【解答】解：PT是O的切线，T为切点，OTPT⊥，在RtOPT中，1OT=，

2OP=，2222213PTOPOT=−=−=，故：3PT=．26．（2021•宁波）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若120P=，O的半径为6cm，

则图中CD的长为2cm．（结果保留)【分析】连接OC，OD，先求出COD的度数，最后利用弧长公式求解答案即可．【解答】解：如图所示，连接OC，OD，AC，BD分别与O相切于点C，D，90OCPODP==，由四边形

内角和为360可得，360CODOCPODPCPD=−−−3609090120=−−−60=．CD的长6062180==．故答案为：2．27．（2021•温州）如图，O与OAB的边AB相切，切点为B．将OAB

绕点B按顺时针方向旋转得到△OAB，使点O落在O上，边AB交线段AO于点C．若25A=，则OCB=85度．【分析】根据切线的性质得到90OBA=，连接OO，如图，再根据旋转的性质得25AA==，ABAOBO=

，BOBO=，则判断△OOB为等边三角形得到60OBO=，所以60ABA=，然后利用三角形外角性质计算OCB．【解答】解：O与OAB的边AB相切，OBAB⊥，90OBA=，连

接OO，如图，OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△OAB，25AA==，ABAOBO=，BOBO=，OBOO=，△OOB为等边三角形，60OBO=，60ABA

=，256085OCBAABC=+=+=．故答案为85．28．（2020•台州）如图，在ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的O交AC于点E，连接DE．若O与BC相切，55ADE=，则C的度数为55．【分析】由直径所对的圆周角为直角得90AED

=，由切线的性质可得90ADC=，然后由同角的余角相等可得55CADE==．【解答】解：AD为O的直径，90AED=，90ADEDAE+=；O与BC相切，90ADC=，90CDA

E+=，CADE=，55ADE=，55C=．故答案为：55．29．（2020•宁波）如图，O的半径2OA=，B是O上的动点（不与点A重合），过点B作O的切线BC，BCOA=，连接

OC，AC．当OAC是直角三角形时，其斜边长为23或22．【分析】当90AOC=时，连接OB，根据切线的性质得到90OBC=，根据勾股定理得到22222(22)23ACOAOC=+=+=．②当OAC是直角三角形时，连接OB，根据切线的性质得到90CBOOAC==

，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：BC是O的切线，90OBC=，BCOA=，2OBBC==，OBC是等腰直角三角形，45BCO=，45ACO„，当OAC是直角三角形时，①90AOC=，连接OB，222OCOB==，22222(22)23

ACOAOC=+=+=；②当OAC是直角三角形时，90OAC=，连接OB，BC是O的切线，90CBOOAC==，BCOAOB==，OBC是等腰直角三角形，22OC=，故答案为：23或22．30．（2019•温州）如图，O分

别切BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧()EDF上，若66BAC=，则EPF等于57度．【分析】连接OE，OF，由切线的性质可得OEAB⊥，OFAC⊥，由四边形内角和定理可求114EOF=，即可求EPF的度数．【解答】

解：连接OE，OFO分别切BAC的两边AB，AC于点E，FOEAB⊥，OFAC⊥又66BAC=114EOF=2EOFEPF=57EPF=故答案为：5731．（2021•台州）如图，

将线段AB绕点A顺时针旋转30，得到线段AC．若12AB=，则点B经过的路径BC长度为2．（结果保留)【分析】利用弧长公式计算即可．【解答】解：BC长度30122180==，故答案为：2．32．（2021•温州）若扇形的

圆心角为30，半径为17，则扇形的弧长为176．【分析】根据弧长公式代入即可．【解答】解：根据弧长公式可得：3017171801806nrl===．故答案为：176．33．（2020•宁波）如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120，图中AB的长

为18cm（结果保留)．【分析】根据弧长公式即可得到结论．【解答】解：折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120，AB的长1202718()180cm==，故答案为：18．34．（

2020•嘉兴）如图，在半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为．【分析】由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形

面积公式求值；根据扇形的弧长等于底面周长求得底面半径即可．【解答】解：连接BC，由90BAC=得BC为O的直径，22BC=，在RtABC中，由勾股定理可得：2ABAC==，904360ABCS==扇形；扇形的弧长为：90

2180=，设底面半径为r，则2r=，解得：12r=，故答案为：，12．35．（2019•杭州）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于1132cm（结果精确到个位）．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形

的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：这个冰淇淋外壳的侧面积21231236113()2cm==．故答案为113．36．（2019•金华）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅

垂线对应的读数是50，则此时观察楼顶的仰角度数是40．【分析】过A点作ACOC⊥于C，根据直角三角形的性质可求OAC，再根据仰角的定义即可求解．【解答】解：过A点作ACOC⊥于C，50AOC=，40OAC=．故此时观察楼顶的仰角度数是40．故答案为：40．37．（2019•

杭州）如图，在ABC中，ACABBC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：2APCB=．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若3AQCB=，求B的度数．【分析】（1）根据线

段垂直平分线的性质可知PAPB=，根据等腰三角形的性质可得BBAP=，根据三角形的外角性质即可证得2APCB=；（2）根据题意可知BABQ=，根据等腰三角形的性质可得BAQBQA=，再根据三角形的内角和公式即可解答．【解答】解：（1）证明：线段AB的垂直平分线与BC

边交于点P，PAPB=，BBAP=，APCBBAP=+，2APCB=；（2）根据题意可知BABQ=，BAQBQA=，3AQCB=，AQCBBAQ=+，2BQAB=，180BAQBQAB++=，5180B=，36B=．38．（202

1•湖州）如图，已知AB是O的直径，ACD是AD所对的圆周角，30ACD=．（1）求DAB的度数；（2）过点D作DEAB⊥，垂足为E，DE的延长线交O于点F．若4AB=，求DF的长．【分析】（1）连接BD，根据AB是O的直径，可得90ADB=，进而可以求DAB的度数；（2）根据直

角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半可得AD的长，再根据垂径定理和特殊角三角函数值可得EFDE=的值，进而可得DF的长．【解答】解：（1）如图，连接BD，30ACD=，30BACD==，AB是O的直径，90ADB=，9

060DABB=−=；（2）90ADB=，30B=，4AB=，122ADAB==，60DAB=，DEAB⊥，且AB是直径，sin603EFDEAD===，223DFDE==．39．（2020•温州）如图，C

，D为O上两点，且在直径AB两侧，连接CD交AB于点E，G是AC上一点，ADCG=．（1）求证：12=．（2）点C关于DG的对称点为F，连接CF．当点F落在直径AB上时，10CF=，2tan15=，求O的半径．【分析】（1）根据圆周角定理和AB为O的直径，即可证明12=

；（2）连接DF，根据垂径定理可得10FDFC==，再根据对称性可得DCDF=，进而可得DE的长，再根据锐角三角函数即可求出O的半径．【解答】解：（1）ADCG=，ACAD=，AB为O的直径，BCBD=，12=；（2）

如图，连接DF，ACAD=，AB是O的直径，ABCD⊥，CEDE=，10FDFC==，点C，F关于DG对称，10DCDF==，5DE=，2tan15=，tan12EBDE==，12=，2tan25=，25tan22DEAE==，292ABAEEB=+=，O

的半径为294．40．（2019•温州）如图，在ABC中，90BAC=，点E在BC边上，且CACE=，过A，C，E三点的O交AB于另一点F，作直径AD，连接DE并延长交AB于点G，连接CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当4B

E=，38CDAB=时，求O的直径长．【分析】（1）连接AE，由90BAC=，得到CF是O的直径，根据圆周角定理得到90AED=，即GDAE⊥，推出//CFDG，推出//ABCD，于是得到结论；（2）设3CDx=，8ABx=，得到3CDFGx==，

于是得到3AFCDx==，求得8332BGxxxx=−−=，求得6410BC=+=，根据勾股定理得到2210688ABx=−==，求得1x=，在RtACF中，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连

接AE，90BAC=，CF是O的直径，ACEC=，CFAE⊥，AD是O的直径，90AED=，即GDAE⊥，//CFDG，AD是O的直径，90ACD=，180ACDBAC+=，//ABCD，四边形DCFG是平行四边形；（2）解：由38CDAB=

，设3CDx=，8ABx=，3CDFGx==，AOFCOD=，3AFCDx==，8332BGxxxx=−−=，//GECF，23BEBGECGF==，4BE=，6ACCE==，6410BC=+=，2210688

ABx=−==，1x=，在RtACF中，3AF=，6AC=，223635CF=+=，即O的直径长为35．41．（2021•丽水）如图，在ABC中，ACBC=，以BC为直径的半圆O交AB于点D

，过点D作半圆O的切线，交AC于点E．（1）求证：2ACBADE=；（2）若3DE=，3AE=，求CD的长．【分析】（1）连接OD，CD，根据切线的性质得到90ODE=，根据圆周角定理得到90BDC=

，求得ADEODC=，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）根据勾股定理得到223(3)23AD=+=，tan3A=，求得60A=，推出ABC是等边三角形，得到60B=，243BCA

BAD===，根据弧长公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，CD，DE是O的切线，90ODE=，90ODCEDC+=，BC为O直径，90BDC=，90ADC=，90ADEEDC+=，ADEODC=，ACBC=，22ACBDCEOCD

==，ODOC=，ODCOCD=，2ACBADE=；（2）解：由（1）知，90ADEEDC+=，ADEDCE=，90AED=，3DE=，3AE=，223(3)23AD=+=，tan3A=，60A=，ACBC=，ABC是等边三角形，6

0B=，243BCABAD===，2120,23CODBOC===，CD的长为12023431801803nr==．42．（2020•嘉兴）已知：如图，在OAB中，OAOB=，O与AB相切于点C．求证：ACBC=．小明同学的证明过程如下框：证

明：连接OC，OAOB=，AB=，又OCOC=，OACOBC，ACBC=．小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“”；若错误，请写出你的证明过程．【分析】连接OC，根据切线的性质和等腰三角形的

性质即可得到结论．【解答】解：证法错误；证明：连接OC，O与AB相切于点C，OCAB⊥，OAOB=，ACBC=．43．（2019•绍兴）在屏幕上有如下内容：如图，ABC内接于O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添

加条件后，编制一道题目，并解答．（1）在屏幕内容中添加条件30D=，求AD的长．请你解答．（2）以下是小明、小聪的对话：小明：我加的条件是1BD=，就可以求出AD的长小聪：你这样太简单了，我加的是30A=，连接OC，

就可以证明ACB与DCO全等．参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答．【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得90OCD=，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到2OD=，然后计算OA

OD+即可；（2）添加30DCB=，求AC的长，利用圆周角定理得到90ACB=，再证明30ADCB==，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求AC的长．【解答】解：（1）连接OC，如图，CD为切线，OCCD⊥，90OCD=，30D=，22ODOC

==，123ADAOOD=+=+=；（2）添加30DCB=，求AC的长，解：AB为直径，90ACB=，90ACOOCB+=，90OCBDCB+=，ACODCB=，ACOA=，

30ADCB==，在RtACB中，112BCAB==，33ACBC==．44．（2019•金华）如图，在OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．（1）求BD的度数．（2）如图，点E在O上，连接CE与O交

于点F，若EFAB=，求OCE的度数．【分析】（1）连接OB，证明AOB是等腰直角三角形，即可求解；（2）AOB是等腰直角三角形，则2OAt=，22222HOOEEHttt=−=−=，即可求解．【解答】解：（1）连接OB，BC是圆的切线，OBBC⊥，四边形OABC是平行四

边形，//OABC，OBOA⊥，AOB是等腰直角三角形，45ABO=，BD的度数为45；（2）连接OE，过点O作OHEC⊥于点H，设EHt=，OHEC⊥，22EFHEt==，四边形OABC是平行四边形，2ABCOEFt===，AOB是

等腰直角三角形，2OAt=，则22222HOOEEHttt=−=−=，2OCOH=，30OCE=．45．（2021•衢州）如图，在ABC中，CACB=，BC与A相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交A于点F，连结BF．（1）求证：BF是A的切线．（2）若5BE=，20A

C=，求EF的长．【分析】（1）连接AD，利用BC与A相切于点D，可得90ADB=；通过说明ABFABD得到90AFBADB==，结论得证；（2）利用BFAE⊥，ACAE⊥可得//BFAC，于是EFBEAC∽，得到BEBFCECA=，将已知条件

代入可得BF，利用勾股定理在RtBEF中可求EF．【解答】解：（1）证明：连接AD，如图，CACB=，CABABC=．AEAC⊥，90CABEAB+=．BC与A相切于点D，90ADB=．90ABDBAD+=．BAEBAD=．在A

BF和ABD中，ABABBAEBADAFAD===，()ABFABDSAS．90AFBADB==．BF是A的切线．（2）由（1）得：BFAE⊥，ACAE⊥，//BFAC

．EFBEAC∽．BEBFCECA=，5BE=，20CBAC==，20525CEEBCB=+=+=，52520BF=．4BF=．在RtBEF中，2222543EFBEBF=−=−=．46．（20

19•衢州）如图，在等腰ABC中，ABAC=，以AC为直径作O交BC于点D，过点D作DEAB⊥，垂足为E．（1）求证：DE是O的切线．（2）若3DE=，30C=，求AD的长．【分析】（1）连接OD，只要证明ODDE⊥即可；（2）连接AD，根据AC是直径，

得到90ADC=，利用ABAC=得到BDCD=，解直角三角形求得BD，在RtABD中，解直角三角形求得AD，根据题意证得AOD是等边三角形，即可ODAD=，然后利用弧长公式求得即可．【解答】（1）证明：连接OD；ODOC=，CODC=，A

BAC=，BC=，BODC=，//ODAB，ODEDEB=；DEAB⊥，90DEB=，90ODE=，即DEOD⊥，DE是O的切线．（2）解：连接AD，AC是直径，90ADC=，ABAC=，30C=，30BC==，BDCD=

，60OAD=，OAOD=，AOD是等边三角形，60AOD=，3DE=，30B=，90BED=，223CDBDDE===，3tan302323ODADCD====，AD的长为：60221803=．47．（2020•金华）如图，AB的半径2OA=，O

CAB⊥于点C，60AOC=．（1）求弦AB的长．（2）求AB的长．【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得AC的长，然后即可得到AB的长；（2）根据60AOC=，可以得到AOB的度数，然后根据弧长公式计算即可．【解答】解：（1）AB

的半径2OA=，OCAB⊥于点C，60AOC=，3sin60232ACOA===，223ABAC==；（2）OCAB⊥，60AOC=，120AOB=，2OA=，AB的长是：120241803=．48．（2021•台州）如图，BD是半径为3的O的一条弦，

42BD=，点A是O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作ABCD．（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．①求证：ABCD是菱形；②求ABCD的面积．（2）若点A运动到优弧BD上，且ABCD有一边与O相切．①求AB的长；

②直接写出ABCD对角线所夹锐角的正切值．【分析】（1）①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．②求出AC的长，可得结论．（2）①分两种情形：当CD与O相切时，当BC与O相切时，分别利用相似三角形的性质求解即可．②如

图31−中，过点A作AJBD⊥于J．想办法求出AJ，HJ即可．如图32−中，同法可得ABCD对角线所夹锐角的正切值．【解答】（1）①证明：ADAB=，ADAB=，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是菱形．②解：连接OA交BD于J，连接OC．

ADAB=，OABD⊥，四边形ABCD是菱形，ACBD⊥，A，O，C共线，在RtOJD中，22DJBJ==，3OD=，22223(22)1OJODDJ=−=−=，312AJOAOJ=−=−=，四边形ABCD是菱形，2AJCJ==，114428222ABCDSACBD==

=菱形．（2）①解：当CD与O相切时，连接AC交BD于H，连接OH，OD，延长DO交AB于P，过点A作AJBD⊥于J．CD是O的切线，ODCD⊥，//CDAB，DPAB⊥，PAPB=，42DBAD==，四边形ABC

D是平行四边形，22DHBH==，OHBD⊥，90DHODPB==，ODHBDP=，DHODPB∽，DHDOOHDPDBPB==，223142DPPB==，163DP=，423PB=，8223ABPB==，当BC与O相切时，同法可证42ABB

D==．综上所述，AB的长为42或823．②解：如图31−中，过点A作AJBD⊥于J．1122ABDPBDAJ=，329AJ=，2222823282()()399BJABAJ=−=−=，821022299JHBHBJ=−=−=，32829tan51029AJAHJHJ

===，如图32−中，同法可得ABCD对角线所夹锐角的正切值为825，综上所述，ABCD对角线所夹锐角的正切值为825，49．（2021•宁波）如图1，四边形ABCD内接于O，BD为直径，AD上存在点E，满足A

ECD=，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．（1）若DBC=，请用含的代数式表示AGB．（2）如图2，连结CE，CEBG=．求证：EFDG=．（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，2AD=．①若3ta

n2ADB=，求FGD的周长．②求CG的最小值．【分析】（1）利用直径所对的圆周角为90和在同一圆中，等弧所对的圆周角相等，即可得结果．（2）证线段相等只需证线段所在的两个三角形全等即可．利用全等三角形的判定可得()CFEBDGASA可得结论，（3）①连接DE，ADCE=，

由弧相等得出弧所对的弦相等，在RtABG中，3sin2ABAGBBG==，得1EF=，在RtDEG中，60EGD=，可得12EG=，32DE=，在RtFED中，由勾股定理得72DF=，即可求得周长的值．②如图，过点C作CHBF⊥于H，可得()

BADCHFAAS，得FHAD=，由相似三角形的判定可得BHCCHF∽，设GHx=，由相似的性质得22(2)CHx=−，在RtGHC中，由勾股定理知2222)(1)3CGGHCHx=+=−+，即可得最小值．【解答】解：（1）BD为O的直径，90BAD

=，AECD=，ABGDBC==，90AGB=−；（2）BD为O的直径，90BCD=，90BECBDC==−，BECAGB=，180CEFBEC=−，180BGDAGB=−，CEFBGD=，又CEBG=，ECFGBD

=，()CFEBDGASA，EFDG=；（3）①如图，连接DE，BD为O的直径，90ABED==，在RtABD中，3tan2ADB=，2AD=，332ABAD==，AECD=，AEDECDDE+=+，即ADCE=，ADCE

=，CEBG=，2BGAD==，在RtABG中，3sin2ABAGBBG==，60AGB=，112AGBG==，1EFDGADAG==−=，在RtDEG中，60EGD=，1122EGD

G==，3322DEDG==，在RtFED中，2272DFEFDE=+=，572FGDGDF+++=，FGD的周长为572+；②如图，过点C作CHBF⊥于H，BDGCFE，BDCF=，C

FHBDA=，90BADCHF==，()BADCHFAAS，FHAD=，ADBG=，FHBG=，90BCF=，90BCHHCF+=，90BCHHBC+=，HCFHBC=，90BHCCHF==，BHCCHF∽，BHCHCHFH=，

设GHx=，2BHx=−，22(2)CHx=−，在RtGHC中，222CGGHCH=+，2222(2)(1)3CGxxx=+−=−+，当1x=时，2CG的最小值为3，CG的最小值为3．50．（2020•台州）如图，在ABC中，90ACB=，将ABC沿直线AB翻折得到ABD，连

接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF．（1）求证：BEF是直角三角形；（2）求证：BEFBCA∽；（3）当6AB=，BCm=时，

在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．【分析】（1）想办法证明90BEF=即可解决问题（也可以利用圆内接四边形的性质直接证明）．（2）根据两角对应相等两三角形相似证明．（3）证明四边

形AFBE是平行四边形，推出122mFJBD==，EFm=，由ABCCBM∽，可得26mBM=，由BEJBME∽，可得2mBE=，由BEFBCA∽，推出ACBCEFBE=，由此构建方程求解即可．【解答】（1）证明：90ACB=，将

ABC沿直线AB翻折得到ABD，90ADBACB==，EFBEDB=，EBFEDF=，90EFBEBFEDBEDFADB+=+==，90BEF=，BEF是直角三角形．（2）证明：BCBD=，B

DCBCD=，EFBEDB=，EFBBCD=，ACAD=，BCBD=，ABCD⊥，90AMC=，90BCDACDACDCAB+=+=，BCDCAB=，BFECAB=，90ACBFEB==，BEFBCA∽．（3）解：设EF交AB于J．连接AE

．EF与AB互相平分，四边形AFBE是平行四边形，90EFAFEB==，即EFAD⊥，BDAD⊥，//EFBD，AJJB=，AFDF=，122mFJBD==，EFm=，ABCCBM∽，::BCMBABBC=，26mBM=，BEJBME∽，::BEB

MBJBE=，2mBE=，BEFBCA∽，ACBCEFBE=，即2362mmmm−=，解得23m=（负根已经舍弃）．51．（2020•宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，E是ABC中A

的遥望角，若A=，请用含的代数式表示E．（2）如图2，四边形ABCD内接于O，ADBD=，四边形ABCD的外角平分线DF交O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：BEC是ABC中BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的

条件下，连接AE，AF，若AC是O的直径．①求AED的度数；②若8AB=，5CD=，求DEF的面积．【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；（2）由圆内接四边形的性质得出180FDCFBC+=，得出FDEFBC=，证得ABFFBC=，证出ACDDCT

=，则CE是ABC的外角平分线，可得出结论；（3）①连接CF，由条件得出BFCBAC=，则2BFCBEC=，得出BECFAD=，证明()FDEFDAAAS，由全等三角形的性质得出DEDA=，则AEDDAE=，得出90AD

C=，则可求出答案；②过点A作AGBE⊥于点G，过点F作FMCE⊥于点M，证得EGAADC∽，得出AEAGACCD=，求出45ADAC=，设4ADx=，5ACx=，则有222(4)5(5)xx+=，解得53x=，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形

的面积公式可得出答案．【解答】解：（1）BE平分ABC，CE平分ACD，111()222EECDEBDACDABCA=−=−==，（2）如图1，延长BC到点T，四边形FBCD内接于O，180F

DCFBC+=，又180FDEFDC+=，FDEFBC=，DF平分ADE，ADFFDE=，ADFABF=，ABFFBC=，BE是ABC的平分线，ADBD=，ACDBFD=，180BFDBCD

+=，180DCTBCD+=，DCTBFD=，ACDDCT=，CE是ABC的外角平分线，BEC是ABC中BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，BEC是ABC中BAC的遥望角，2BACBEC

=，BFCBAC=，2BFCBEC=，BFCBECFCE=+，BECFCE=，FCEFAD=，BECFAD=，又FDEFDA=，FDFD=，()FDEFDAAAS，DEDA=，AEDDAE=，AC是O的直

径，90ADC=，90AEDDAE+=，45AEDDAE==，②如图3，过点A作AGBE⊥于点G，过点F作FMCE⊥于点M，AC是O的直径，90ABC=，BE平分ABC，1452F

ACEBCABC===，45AED=，AEDFAC=，FEDFAD=，AEDFEDFACFAD−=−，AEGCAD=，90EGAADC==，EGAADC∽，AEAGACCD=

，在RtABG中，8AB=，45ABG=，2422AGAB==，在RtADE中，2AEAD=，2425ADAC=，45ADAC=，在RtADC中，222ADDCAC+=，设4ADx=，5ACx=，则有222(4)5(5)xx+=，53x=，203EDAD==，3

53CECDDE=+=，BECFCE=，FCFE=，FMCE⊥，13526EMCE==，56DMDEEM=−=，45FDM=，56FMDM==，12529DEFSDEFM==．52．（2019•杭州）如图，已知锐角三角

形ABC内接于圆O，ODBC⊥于点D，连接OA．（1）若60BAC=，①求证：12ODOA=．②当1OA=时，求ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OEOD=，连接DE，设ABCmOED=，(ACBnOEDm=

，n是正数），若ABCACB，求证：20mn−+=．【分析】（1）①连接OB、OC，则1602BODBOCBAC===，即可求解；②BC长度为定值，ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；（2）11801802BACABCACBmxnxBOCDOC=−−=−−

==，而1802180AODCODAOCmxnxmxmxnx=+=−−+=+−，即可求解．【解答】解：（1）①连接OB、OC，则1602BODBOCBAC===，30OBC=，1122ODOBOA==；②BC长度为定值，ABC面积的最大值，要求BC边上

的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：32ADAOOD=+=，ABC面积的最大值113332sin602224BCADOB===；（2）如图2，连接OC，设：OEDx=，则ABCmx=，ACBnx=，则11801802BACABCACBmxnxBOC

DOC=−−=−−==，22AOCABCmx==，1802180AODCODAOCmxnxmxmxnx=+=−−+=+−，OEOD=，1802AODx=−，即：18018

02mxnxx+−=−，化简得：20mn−+=．备注：此题还可采用以下解法：连接OB，延长DO交AB于点K，设OED=，则2AOK=，90BKDm=−，则19024222BAOBOAmCn=−=+==，20mn−+=．53．（2019•湖州）已知在平

面直角坐标系xOy中，直线1l分别交x轴和y轴于点(3,0)A−，(0,3)B．（1）如图1，已知P经过点O，且与直线1l相切于点B，求P的直径长；（2）如图2，已知直线2:33lyx=−分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线2l上的一个动点，以Q为

圆心，22为半径画圆．①当点Q与点C重合时，求证：直线1l与Q相切；②设Q与直线1l相交于M，N两点，连接QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）证明ABC为等腰直角三角形，则P的直径

长BCAB==，即可求解；（2）证明2sin454222CMAC====圆的半径，即可求解；（3）分点M、N在两条直线交点的下方、点M、N在两条直线交点的上方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1，连接BC，90BOC=，点P在BC

上，P与直线1l相切于点B，90ABC=，而OAOB=，ABC为等腰直角三角形，则P的直径长32BCAB===；（2）过点作CMAB⊥，由直线2:33lyx=−得：点(1,0)C，则2sin454222C

MAC====圆的半径，故点M是圆与直线1l的切点，即：直线1l与Q相切；（3）如图3，①当点M、N在两条直线交点的下方时，由题意得：MQNQ=，90MQN=，设点Q的坐标为(,33)mm−，则点(,3)Nmm+，则33322NQmm=+−+=，解得：32m=−；②当点M、N

在两条直线交点的上方时，同理可得：32m=+；故点Q的坐标为(32−，632)−或(32+，632)+．54．（2019•宁波）如图1，O经过等边ABC的顶点A，C（圆心O在ABC内），分别与AB，CB的延长线

交于点D，E，连接DE，BFEC⊥交AE于点F．（1）求证：BDBE=．（2）当:3:2AFEF=，6AC=时，求AE的长．（3）设AFxEF=，tanDAEy=．①求y关于x的函数表达式；②如图2，连接OF，

OB，若AEC的面积是OFB面积的10倍，求y的值．【分析】（1）根据等边三角形的性质和圆周角定理解答即可；（2）过点A作AGBC⊥于点G，根据等边三角形的性质和勾股定理解得即可；（3）①过点E作EHAD⊥于点H，根据三角函数和函数解

析式解得即可；②过点O作OMBC⊥于点M，根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：（1）ABC是等边三角形，60BACC==，60DEBBAC==，60DC==，DEBD=，BD

BE=；（2）如图1，过点A作AGBC⊥于点G，ABC是等边三角形，6AC=，11322BGBCAC===，在RtABG中，333AGBG==，BFEC⊥，//BFAG，AFBGEFEB=

，:3:2AFEF=，223BEBG==，325EGBEBG=+=+=，在RtAEG中，2222(33)5213AEAGEG=+=+=；（3）①如图1，过点E作EHAD⊥于点H，60EBDABC==，在

RtBEH中，3sin602EHBE==，32EHBE=，12BHBE=，BGAFxEBEF==，BGxBE=，22ABBCBGxBE===，112(2)22AHABBHxBEBExBE=

+=+=+，在RtAHE中，332tan141(2)2BEEHEADAHxxBE===++，341yx=+；②如图2，过点O作OMBC⊥于点M，设BEa=，BGAFxEBEF==，CGBGxBEax

===，2ECCGBGBEaax=++=+，1122EMECaax==+，12BMEMBEaxa=−=−，//BFAG，EBFEGA∽，11BFBEaAGEGaaxx===++，33AGBGax==，1311axBFAGxx==

++，OFB的面积131()2212BFBMaxaxax==−+，AEC的面积13(2)22ECAGaxaax==+，AEC的面积是OFB的面积的10倍，11313(2)10()2212axaxaaxaxax+=−+，22760xx−+=，解得：1232,2xx==

，3397y=或，55．（2021•杭州）如图，锐角三角形ABC内接于O，BAC的平分线AG交O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：ABGAFC∽．（2）已知ABa=，ACAFb==，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A

，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），ABDCBE=，求证：2BGGEGD=．【分析】（1）根据BAC的平分线AG交O于点G，知BAGFAC=，由圆周角定理知GC=，即可证ABGAFC∽；（2）由

（1）知ABAGAFAC=，由ACAF=得AGAB=，即可计算FG的长度；（3）先证DGBBGE∽，得出线段比例关系，即可得证2BGGEGD=．【解答】（1）证明：AG平分BAC，BAGFAC=，又GC=，ABGAFC∽；（2

）解：由（1）知，ABGAFC∽，ABAGAFAC=，ACAFb==，ABAGa==，FGAGAFab=−=−；（3）证明：CAGCBG=，BAGCAG=，BAGCBG=，ABD

CBE=，BDGBAGABDCBGCBEEBG=+=+=，又DGBBGE=，DGBBGE∽，GDBGBGGE=，2BGGEGD=．56．（2020•衢州）如图，ABC内接于O，AB为O的直径，10AB=，6AC=，连接OC，弦AD分别交O

C，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：CADCBA=．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明AECBCA∽，推出CEACACAB=，求出EC即可解决问题．【解答】（1）证明：AEDE=，OC是半径，ACCD=，CADCBA=

．（2）解：AB是直径，90ACB=，AEDE=，OCAD⊥，90AEC=，AECACB=，AECBCA∽，CEACACAB=，6610CE=，3.6CE=，152OCAB==，53.61.4OEOCEC=−=−=．获得更多资源请扫码加入享

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