【文档说明】云南省昆明市云南师范大学附属中学2024届高三上学期适应性月考（二）数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.269 MB，由小赞的店铺上传

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数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在

试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.复数23451iiiiiz=+++++，则z在复平面

内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】将2i1=−代入，进行复数运算即可.【详解】由2i1=−，所以1i1i1i1iz=+−−++=+，故而1iz=−，所以z在复平面内所对应的点位于第四象限.故选：D.2.设集合(),2xAx

yy==，()2,Bxyyx==，则AB的元素个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分析】根据交集以及指数函数、二次函数图象等知识确定正确答案.【详解】如图，集合A为函数2xy=图象点集，集合B为函数

2yx=图象的点集，两函数的图象有三个交点，所以AB的元素个数为3个.故选：C【的3.已知na，nb都是等差数列，且11a=，12b=，101010ab+=，则数列nnab+的前10项和10S为（）A.60B.65C.70D.75【答案】B【解析】

【分析】根据条件可知，数列{}nnab+为等差数列，利用等差数列的前n项和公式，即可求解.【详解】由{}na，{}nb均为等差数列，所以{}nnab+为等差数列，故而1110101010()652ababS+++==.故选：B.4.已知函数()πcos3fxx=+

，若,mn是方程()12fx=的两个不等的根，且满足mn−的最小值为π6，则的值为（）A.0B.4C.－4D.4【答案】D【解析】【分析】根据1()2fx=的两个根之间的距离的最小值列式，并由此求得.【详解】由()πcos312fxx=+=

得1ππ2π33xk+=+，或2ππ2π33xk+=−，12,Zkk，即12πkx=或22π2π3kx−=，要使mn−取得最小值，则()21212π2π62π2π33mnkkkk−−−+=−=()12πππ622336kk=−+=，当且仅当12kk=时等

号成立.则4=.故选：D5.已知抛物线22Cypx=：，经过()2,0Tp的动直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，则AOB为（）A.锐角B.直角C.钝角D.随着直线l的变化，AOB可能是锐角、直角或钝角【答案】B【解析】【分析

】设直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理计算即可.【详解】如图，设经过点T的直线AB的方程为2xmyp=+，与抛物线C：22ypx=联立方程得：22240ypmyp−−=，设()()1122,,,AxyBxy，则122yypm+=，2124yyp=−，则1212(2)(2)

xxmypmyp=++=22212122()44myypmyypp+++=，221212440OAOBxxyypp=+=−=,所以AOB为直角.故选:B.6.在ABCV中，tan:tan:tan1:2:3A

BC=，则tanA的值为（）A.12B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据三角恒等变换的知识列方程，由此求得tanA的值.【详解】()()()()tantantantan1tantantantantantantantanABCABABCA

BABABC++=+−+=+−++tantantantantantantantanCABCCABC=−++=，令tan(0)Akk=，则tan2Bk=，tan3Ck=，所以366,0kkk=，解得1k=.故选：B7.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如

下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.则在第2次投篮的人是乙的情况下第一次是甲投篮的概

率为（）A.13B.12C.23D.35【答案】A【解析】分析】根据条件概率以及贝叶斯概率公式，即可求得答案.【详解】设iA表示第i次投篮的人为甲，12i=，；iB表示第i次投篮的人为乙，12i=，；则第2次投篮的人是乙的情况下第一次是甲投篮的概率：12121221212()()(|)()

()()PABPABPABPBPABPBB==+0.5(10.6)10.50.40.50.83−==+，故选：A.8.定义域为R的函数()fx满足：当)0,1x时，()2xfxx=−，且对任意的

实数x，均有()()11fxfx++=，记2log3a=，则()()()23fafafa++=（）A.32−B.32C.1716D.1716−【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求得()()(),2,3fafaf

a，进而求得()()()23fafafa++.【【详解】2221log2log3log42==，2223log8log9log164==，2224log16log27log325==，所以2log3(1,2)a=，()2222log3log93,4a

==，()2233log3log274,5a==，所以()2231log31log0,12a−=−=，()2923log0,18a−=，()22734log0,116a−=

，又对任意的实数x，均有()(1)1fxfx++=，所以(1)(2)1fxfx+++=，则有()(2)fxfx=+，所以22233331()1(1)1log1loglog22222fafaf=−−=−=−−=−，22299991(2

)1(23)1log1loglog88888fafaf=−−=−=−−=−，(3)(34)fafa=−=22272727loglog161616f=−

，22217392717()(2)(3)logloglog16281616fafafa++=++−=.故选:C【点睛】由于本题的()fx已知的解析式对应的定义域是)0,1

，所以本题解题关键点在于，利用对数的运算、抽象函数运算，将()()(),2,3fafafa，转化为)0,1x内的式子来表示，从而求得对应的函数值.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，

选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.如图，正方体ABCDABCD−棱CC上一动点F，点E为棱BC的中点，则平面AEF截得正方体ABCDABCD−的几何图形可以是（）A.等腰梯形B.矩形C.菱形D.六边形【答案

】AC【解析】【分析】首先求点F为棱CC的中点，以及点F在点C处时，截面的形状，再讨论点F在其他位置时，截面的形状.【详解】如图，当点F为棱CC的中点时，截面AEFD为等腰梯形；当点F在点C处时，截面AEFG为菱形；当12CCCFCC

时，截面AEFNM为五边形；当102CFCC时，截面AEFP为四边形；综上所述，AC正确，BD错误.故选：AC.10.已知点F为椭圆C：22143xy+=的左焦点，点P为C上的任意一点，点A的坐标为()1,3，则下列正确的是（）A.PAPF+的最小值为13B.PAPF+的最大值为7C.PF

PA−的最小值为13D.PFPA−的最大值为1【答案】ABD【解析】【分析】根据三点共线、椭圆的定义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，2,3,1abc===，所以()1,0F−，PAPF+的最小值，即是A

F的长，当点P在P位置时取到，所以PAPF+最小值为222313AF=+=，故A正确；设椭圆的右焦点为F，所以4PAPFPAPF+=+−，则当点P在P位置时取到最大值，所以PAPF+的最大值为437+=，故B正

确；PFPA−的最小值当P在P位置时取到，即PFPA−的最小值为13AF−=−，故C错误；由44()PFPPFPAAAPFP=−−=−+−，则当点P在P位置时取到最大值，所以PFPA−的最大值为431−=，故D正确.故选:ABD11

.若0a，0b且1ab+=，则（）A.14ab+的最小值为9B.4112ab+++的最小值为94C.2169ab−的最小值为3−D.268ab+的最小值为36【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式逐项判

断即可.的【详解】由00ab，且1ab+=，所以141444()5529babaababababab+=++=+++=，当且仅当4baab=，即13a=，23b=时取等号，故A正确；由414(2)14(2)1(12)559121

212babaabababab++++++++=+++=++++++，即419124ab+++≥，要使得不等式取等号需满足4(2)112baab++=++，即813a+=，423b+=，即52,33ab==−，不合题意，故B不正确；32221116663363163999abbb

bbb−=+−=++−−=−≥，当且仅当2139bb=，即13b=时取等号，故C正确；32268685454545427275426543827275436ababbabab+++−=++++−+−=，当且仅当654aa=且2827bb=，即13a=，23b=时取等

号，故D正确；故选：ACD.12.已知()fx，()gx为定义在R上的函数，且对任意的x，y满足：()()()()()fxyfxgygxfy−=−，且()10f，则下面说法正确的是（）A.()00f=B.()00g=C.()fx为奇函数D.若()()210ff+=，则3是(

)fx的一个周期【答案】ACD【解析】【分析】利用赋值法逐项判断即可.【详解】因为对任意的x，y满足：()()()()()fxyfxgygxfy−=−，所以对于A，令0xy==，则(0)(0)(0)(0)(0)0ffggf=−=，故A正确；令1x=，0y=，则(1)(

1)(0)(1)(0)(1)(0)ffggffg=−=.又()10f，则(0)1g=，故B错误；令0x=，则()(0)()(0)()()fyfgygfyfy−=−=−，所以()fx为奇函数，故C正确；令1x=

，1y=−，则(2)(1)(1)(1)(1)(1)[(1)(1)]ffgfgfgg=−−−=+−，由于()10f，所以(1)(1)1gg+−=−，令1y=，则(1)()(1)()(1)fxfxggxf−=−，令1y=−，则(1)()(1)()(

1)fxfxggxf+=−−−，两式相加得：(1)(1)()[(1)(1)]()fxfxfxggfx++−=−+=−，即：(1)()(1)0fxfxfx−+++=，所以()(1)(2)0fxfxfx++++=，故(1)(2)fxfx−=+，所以3是()fx的一个周期，所以D正确

；故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量2a=，1b=，22ab+=，则,ab=______.【答案】2π3【解析】【分析】根据向量模长可求得1ab=−，再利用向量夹角的公式即可求得结果.【详解】由|2|2ab+=可得()224ab+=，

即()()22444aabb++=，即1ab=−，所以1cos,2ababab==−，又,0,πab，所以2π,3ab=.故答案为：2π314.正多面体又称柏拉图多面体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都

只由一种正多边形构成，正多面体共有五种，它们分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，连接棱长为2的正方体的六个面的中心，即可得到一个正八面体，则该正八面体的内切球的表面积为______.【答案】4π3##4π3【解析

】【分析】结合题意将正八面体表示出来，根据等体积法求解内切球的半径，即可算出内切球的表面积；【详解】由图可知，由正八面体的顶点是正方体的六个面的中心，结合几何体的对称性，边长为2的正方体可以看成是八个边长为1的正方体组成，所以正八面体的边长为2，则1422123

3V==，设内切球的半径为r，则1114822sin60?3323VSrr===表面积，解得：33r=，故有：24ππ3Sr球=4=；故答案为：4π3.15.某班级为了了解本班学生的身高情况，根据

男、女学生所在的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生5名和女生3名，测量它们的身高所得的数据（单位：cm）如下表所示，根据表中数据，可计算出该校高中学生身高的总样本平均数=______；总样本方差2s为______.性别人数平均数方差男生517218

女生316430【答案】①.169②.37.5##752【解析】【分析】利用样本平均值和方差的公式计算即可.【详解】由题意知517231641698+==；设男生的身高为12345,,,,xxxxx，身高的

平均数为x，方差为2xs，设女生的身高为123,,yyy，身高的平均数为y，方差为2ys，由()()()()()2222221234515xsxxxxxxxxxx=−+−+−+−+−，得2222212345xxxxx++++

()225xsx=+，同理222221233()yyyysy++=+，则()()()()()()222222212512318sxxxyyy=−+−++−+−+−+−2222222125123181068xxxyyyxy=++

+++++−−()()2222155338xysxsy=+−++−()()2215185172169330316416937.58=+−++−=.故答案为：169；37.51

6.已知点P在函数()e1xfxx=+的图象上，点Q在函数()lnxgxx=的图象上，则PQ的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】根据函数在某点处的切线斜率，利用两点间距离，两直线位置关系，结合图象，可得答案.【详解】由函数()e1xfxx=+，求导可得：()()

1exfxx=+，则()01f=，在()0,1A处的切线方程为()110yx−=−，整理可得：1yx=+；由函数()lnxgxx=，求导可得：()21lnxgxx−=，则()11g=，在()10B,处的切线方程为()011yx−=−，整理可得1yx=−；由直线AB的斜率1010

1ABk−==−−，易知：直线AB分别与两条切线垂直..故答案为：2.四、解答题（共70.分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在ABCV中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且coscos2cos0bAaBcA+−=.（1）求角A的大

小；（2）D是边BC上的一点，且2BDCD=，AD平分BAC，且3AD=，求ABCV的面积.【答案】（1）π3A=（2）938【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角形中sinsin()ABC=+即可求解；（2）由两三角形面积比关系可

得两边之比，再用向量方法表示1233ADABAC=+，两边平方建立方程解得边长，再利用三角形面积公式即可求解.【小问1详解】由coscos2cos0bAaBcA+−=及正弦定理知：sincossincos2sincos0BAA

BCA+−=，所以sin()2sincos0.ABCA+−=由πABC++=，得sin2sincos0CCA−=，由(0,π)C，所以sin0C，则1cos2A=，由(0,π)A，所以π3A=.【小问2详解】如图，由21ABDACDSBDSDC==，sin

sinABDACDSABADBADABSACADCADAC==且2BDCD=，AD平分BAC，得2ABBDACCD==，令(0)ACmm=，则2ABm=，又3AD=，且π3BAC=，因为()22123333ADABBDABBCA

BACABABAC=+=+=+−=+，所以222144999ADABABACAC=++22πcos1449939ABABACAC=++，即：224414329929mmmm=++，化简得294m=，所以

32m=，即32AC=，3AB=，故ABCV的面积11339sin3322228SABACA===.18.已知数列na满足：11a=，()1212nnaan−=+.（1）证明：1na+是等比数列，并求na的通项公式；（2）令()1(1)(32)(1)1nnn

nbnna+−+=++，求nb的前n项和nS.【答案】（1）证明见解析，21nna=−（2）1(1)1(1)22nnnSn+−=−+【解析】【分析】（1）通过构造可证1na+为等比数列，根据等比数列通项公式可得1na+

，然后可得na；（2）将数列nb通项公式变形为111(1)2(1)2nnnnbnn+=−++，直接求和可得.【小问1详解】证明：由121(2)nnaan−=+，所以111222(1)nnnaaa−−+=+=+，所以{1}na+是以112a+=为首项，

公比为2的等比数列，所以12nna+=，即21nna=−【小问2详解】由（1）知：1112nna+++=，所以1(1)(32)(1)2nnnnbnn+−+=+.又111(1)2(1)2nnnnbnn+=−++，()()22334111111111122?22?23?23?24?2?

21?2nnnnSnn+=−+++−+++−++所以1(1)1(1)22nnn+−=−+19.某校高三举办“三环杯”排球比赛活动，现甲、乙两班进入最后的决赛

，决赛采用三局两胜的赛制，决出最后的冠军，甲班在第一局获胜的概率为12，从第二局开始，甲班每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局甲班获胜的概率增加()01pp，若上局未获胜，则该局甲班获胜的概率减小

()01pp，且甲班前两局连胜两场的概率为516（每局比赛没有平局）.（1）求甲班2:1获胜的概率；（2）若冠军奖品为16个排球，且在甲班第一局获胜的情况下，由于不可抗拒力的原因，比赛被迫取消，请问：你认为甲、乙如何分配奖品比较合理.【答案】（1）316（2）甲班级应获得

13个排球，乙获得3个排球比较合理【解析】【分析】（1）先求出18p=，再利用互斥事件得概率加法公式和相互独立事件得概率乘法公式计算即可；（2）先求出再甲第一局获胜的情况下，甲输掉比赛的事件概率，即可求解.【小问1详解】令事件iA：甲在第i局获胜，1,2,3i

=.甲连胜两局的概率为：12115()2216PPAAp==+=，所以18p=，则甲2:1获胜的概率为：123123()()PPAAAPAAA=+131131328228216=+=【小

问2详解】由题意知，在甲第一局获胜的情况下，甲输掉比赛事件为：甲接下来的比赛中连输两场，即23313(?)8216PPAA===，故而甲、乙应按照13:3的比例来分配比赛奖金，即甲班级应获得13个排球，乙获得3个排球比较合理20.

如图，已知在三棱柱ABCABC−中，平面ABC⊥平面ACCA，且平面ABC⊥平面ABBA.（1）证明：AA⊥平面ABC；（2）若3ABAC==，2AA=，32BC=，,EF分别为AC，AB的中点，2MCMB=，2BNNC=，求平面AEF与平面AMN所成锐二面角的余

弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1711891189【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质及线面垂直的判断定理即可；（2）利用（1）中结论及已知条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，利用空间法向量解决即

可.【小问1详解】证明：如图，的在平面ABC中，过点M分别作ACAB，的垂线，垂足分别为PQ，，由平面ABC⊥平面ACCA，平面ABC平面ACCAAC=，又MP平面ABC，且MPAC⊥，所以MP⊥平面ACCA，又A

A平面ACCA，所以MPAA⊥.同理：MQAA⊥，又MPMQM=，所以AA⊥平面ABC.【小问2详解】由（1）知：AA⊥平面ABC，又3ABAC==，32BC=，所以222ABACBC+=，所以ABAC⊥，所以ABACAA，，两两垂直；建立如图所示的平面直角坐标系：则

(000)A，，，3022E，，，3022F，，，(210)M，，，(122)N，，，3022AE=，，，3022AF=，，，(210)AM=，，，(122).AN=，，设1111()nxyz=，

，为平面AEF的一个法向量，则111111113200230202yzAEnAEnAFnAFnxz+=⊥=⊥=+=令13z=，则14x=−，14y=−，则1(443).n=−−，，设2222()nxyz=，，为平面AMN的

一个法向量，2222222220202200AMnAMnxyxyzANnANn⊥=+=++=⊥=令24y=，则22x=−，23z=−，则2(243).n=−−，，设是平面AEF与平面AMN所成锐二面角，则1212·171189cos1189n

nnn==，所以平面AEF与平面AMN所成锐二面角的余弦值为1711891189.21.已知()(ln)=−fxaxx，3e()2exgxx=+.（1）当1a=时，求()fx的最小值；（2）若()(

)gxfx在()0,+上恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）1（2）3ea≤【解析】【分析】（1）对函数求导后，求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，（2）将问题转化为ln3e(ln)2exxaxx−−−−≥，在()0,+恒成立，令lntx

x=−，则转化为3e2etat+≤，在[1,)t+上恒成立，构造函数3e2e(),[1,)thttt+=+，利用导数求出其最小值即可.【小问1详解】当1a=时，()lnfxxx=−，()0,+所以11()1xfxxx−=−=，当01x时，()0fx，当1x时，(

)0fx，故而()fx在(0,1)上单调递减，在[1,)t+上单调递增；所以()fx的最小值为(1)1f=【小问2详解】()()gxfx在()0,+上恒成立等价于：3e2e(ln)xaxxx+−≥恒成立，即ln3e(ln)2exxaxx−−−−≥，在()0,+

恒成立，令lntxx=−，由（1）知：上面不等式等价于：3e2etat−−≥，在[1,)t+上恒成立，所以3e2etat+≤，在[1,)t+上恒成立，令3e2e(),[1,)thttt+=+所以332

2e(e2e)(1)e2e()ttttthttt−+−−==.又令3()(1)e2e,[1,)tpttt=−−+，且(3)0p=，而()e0tptt=，即()pt在[1,)+上单调递增，所以当[1,3)t时，()0pt，即(

)0ht，所以()ht在[1,3)上单调递减；当(3,)t+时，()0pt，即()0ht，所以()ht在(3,)+上单调递增；所以()ht在[1,)+上的最小值为3(3)eh=，所以3ea≤【点睛】关键点点睛：此题

考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是结合（1）将问题转化为3e2etat+≤，在[1,)t+上恒成立，然后构造函数利用导数求出其最小值即可，考查

数学转化思想和计算能力，属于较难题.22.已知1F，2F是双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点，若点P为C上的一点，且12PFPF⊥，12PFF的面积为3，双曲线的离心率为72.（1）求曲线C的方程；（2）过曲线C

左焦点1F的两条相互垂直的直线分别交双曲线C于,AB和,DE，,MN分别是,ABDE的中点，求证：直线MN过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）22143xy−=（2）证明见解析，(47,0)−【解析】【分析】（1）利用12PFF的

面积以及双曲线的离心率求得22,ab，从而求得双曲线C的方程.（2）设出直线,ABDE的方程并与双曲线方程联立，由根与系数关系求得,MN两点的坐标，进而求得直线MN的方程，从而确定定点坐标.【小问1详解】由点P为双曲线C的一点，则122PFPFa−=，所以222121224PFPFPFP

Fa+−=，又12PFPF⊥，所以222124PFPFc+=，所以2122PFPFb=，所以122PFFSb=△，故而23b=.又77,22ccaa==，且222cab=+，即222273,4,74aaac=+==，所以曲线C的方程为22143x

y−=.【小问2详解】设直线AB的方程为：7(0)xmym=−，11(,)Axy，22(,)Bxy，中点00(,)Mxy，直线DE的方程为：7(0)xmym=−，33(,)Dxy，44(,)Exy，中

点00(,)Nxy，由AB与DE垂直，所以1mm=−，联立方程227143xmyxy=−−=，消去x得：22(34)6790mymy−−+=，由题意需满足：2340m−，且22273649(34)36(44)0mmm=−−

=+，所以120237234yymym+==−，00247734xmym=−=−.同理：340237234yymym+==−，00247734xmym=−=−，当21m时，00200141MNyymkxxm−==−−，故而直线MN为：22214737413434

mmyxmmm=−+−−−，即：24(1)47myxm−=+，所以直线MN过定点(47,0)−，当21m=时，经检验，直线MN过定点(47,0)−，当直线AB与直线DE，其中一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零时，直线MN是

x轴，过点(47,0)−.综上所述，直线MN过定点(47,0)−.【点睛】关键点睛：求解双曲线的标准方程，关键是求得，这是两个未知数，所以需要两个条件，如本题中的的面积以及双曲线的离心率，将已知条件转化为方程的形式，再结合双曲线的隐藏条件“”就可以求得双曲线的标准方程.