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单元过关检测一集合与常用逻辑用语、不等式一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2023·河北沧州模拟]已知集合P＝{x|－2<x<6}，Q＝{－1，0，1，2，3

}，则P∩Q＝()A．{－1，0，1，2，3}B．{－1，0，1，2}C．{0，1，2}D．[－1，6)2．命题“∀x>0，ex＋e－x>2”的否定是()A．∀x≤0，ex＋e－x>2B．∃x≤0，ex＋e－x>2C．∀x>0，ex＋e－x

≤2D．∃x>0，ex＋e－x≤23．已知集合A＝{x∈N|63－x∈N}，则集合A的真子集的个数为()A．6B．7C．8D．154．[2023·湖南益阳模拟]设x∈R，则“－1≤x≤3”是“|2x－1|≤3”的

()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知集合M＝{x|x>3}，N＝{x|x2－7x＋10≤0}则M∪N＝()A．[2，3)B．(3，5]C．(－∞，5)D．[2，＋∞)6

．不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是()A．{a|－1≤a<2}B．{a|－1<a≤2}C．{a|－1<a<2}D．{a|－1≤a≤2}7．已知集合A＝{x|1<x≤a}，B＝{x|1<x<2}，若

A∪B＝A，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)8．[2023·辽宁抚顺期末]已知a>0，b>0，ab＝1，则a2＋b2＋6a＋b的最小值为()A．2B．4C．22D．42二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小

题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若a<b<0，则下列不等式不可能成立的是()A．1a－b>1aB．|a|>|b|C．1a<1bD．a2>b210．下列命题正确的是()A．“a＞1”是“1a＜1”的充分不

必要条件B．命题“∀x＜1，x2＜1”的否定是“∃x＜1，x2≥1”C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件11．1872年德国数学家戴德金从

连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划分为两个非空的子

集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是()A．M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}满足戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M有一个最大

元素，N有一个最小元素D．M没有最大元素，N也没有最小元素12．已知a>0，a2＋ab＝4，则下列结论一定正确的是()A．5a＋b的最小值为8B．1a＋1a＋b的最小值为1C．2a2＋2ab＋b2的最小值为4D．3a2＋b2的最小值为8[答题区]题号12345

6答案题号789101112答案三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知关于x的不等式2x2＋ax－a2>0的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为________．14．“∃x∈R，ax2－ax＋1<0”是假命题，则实数a

的取值范围为________．15．已知集合A＝{x|x3－2x2＋ax＝0}恰有8个子集，则a的取值范围是____________．16．已知正数a，b满足a＋b＝1，c∈R，则3abc2＋b＋1abc2＋ab＋2c2的最小值为________．四、解答题：共70分．解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知集合U为全体实数集，M＝{x|x≤－1或x≥6}，N＝{x|a＋1≤x≤3a－1}．(1)若a＝3，求(∁UM)∩N；(2)若N⊆M，求实数a的取值范围．18．(12分)已知p：2x2－

5x－3>0，q：x>a，r：x2≤m(m>0).(1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；(2)若¬p是r的必要条件，求m的最大值．19．(12分)(1)已知m>n，x>y，证明：mx＋ny>nx＋my；(2)已知x>0，y>0，x＋2y＝2，证明1x＋2y≥92.2

0．(12分)已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式ax2＋ax－6<0的解集为B.(1)若a＝1，不等式x2＋mx＋n<0的解集为A∩B，求不等式mx2＋x＋n<0的解集；(2)∀x∈R，ax2＋ax－6<0，求a的取值范围．21．(12分)2020年初，新冠

肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂

家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝4－km＋1(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为

8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(此处每件产品年平均成本按8＋16xx元来计算)(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最

大？最大利润是多少？22．(12分)设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为⊙，对于A中的任意两个元素α＝(a，b)，β＝(c，d)，规定：α⊙β＝(ad＋bc，bd－ac).(1)计算：(2，3)⊙(－1，4)；

(2)∀α，β∈A，是否都有α⊙β＝β⊙α成立，若是，请给出证明；若不是，请给出理由；(3)若“A中的元素I＝(x，y)”是“对∀α∈A，都有α⊙I＝I⊙α＝α成立”的充要条件，试求出元素I.