【文档说明】北京市海淀区北京一零一中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.307 MB，由小赞的店铺上传

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北京市海淀区北京一零一中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（本试卷满分120分，考试时间100分钟）命题：高二数学组审稿：贺丽珍一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知na为等差数列，54a=，则46aa

+=（）A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】【分析】由等差数列性质，4652aaa+=，求出式子的值.【详解】因为na是等差数列，所以4652248aaa+===.故选：C.2.函数y=12x

2−㏑x的单调递减区间为A.（−1,1]B.（0,1]C.[1，+∞）D.（0，+∞）【答案】B【解析】【详解】对函数21ln2yxx=−求导，得211xyxxx=−=−（x>0）,令210{0xxx−解得(0,1]x，因此函数21ln2yxx=−的单调减区间为(0,1]，故选B

考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域3.由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（）A.24B.12C.10D.6【答案】

C【解析】【分析】分个位数是0和个位数是5两类求解.【详解】当个位数是0时，有336A=个，当个位数是5时，有22142AC=个，所以能被5整除的个数是10，故选：C4.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，要求必须有女生，那么不同的选派方案种数为（）A.14B.24C.28

D.48【答案】A【解析】【分析】利用间接法，用总数减去没有女生的情况即可.【详解】从6名学生中选派4人有46C15=种选法，从6名学生中选派4人，没有女生有1种选法，故要求必须有女生，那么不同的选派方案种数为15114−=种选法.

故选：A.5.若函数()lnfxkxx=−在区间1,2+上单调递增，则k的取值范围为（）A.1,2+B.)2,+C.1,4+D.)4,+【答案】B【解析】【分析】因为函数在1,2+内

单调递增，转化为导函数()0fx在1,2+恒成立.【详解】'1()fkxx=−,因为函数()lnfxkxx=−在区间1,2+上单调递增，所以'1()0fxkx=−在1,2+上恒成立，即1

kx在1,2+上恒成立.因为1yx=在1,2+上单调递减，所以当1,2x+时，2y，所以2k，则k的取值范围为)2,+.故选：B6.某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录

的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A.5B.7C.9D.11【答案】C【解析】【分析】观察图象判定斜率大小即可.【详解】若果树前n年的总产量nS与n在图中对应(),nPSn点则前n年的年平均产量00nnOPSS

knn−==−，即为直线OP的斜率，由图易得当n＝9时，直线OP的斜率最大.即前9年的年平均产量最高.故选：C.7.已知等比数列na中，10a，则“14aa”是“35aa”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既

不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合等比数列通项公式可求得q的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果.【详解】设等比数列na的公比为q，由14aa得：311aaq，又10a，31q，解得：1q，243115aaqa

qa==，充分性成立；由35aa得：2411aqaq，又10a，42qq，解得：1q或1q−，当1q−时，3410aaq=，41aa，必要性不成立.“14aa”是“35aa”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，

涉及到等比数列通项公式的应用，属于基础题.8.对于R上可导的任意函数()fx，若当2x时满足()02fxx−，则必有（）A.()()()1322fff+B.()()()1322fff+C.()()()1322fff+D.()()()1322ff

f+【答案】B【解析】【分析】根据()02fxx−，得到2x时，()fx单调非递增函数，2x时，()fx单调非递减函数求解.【详解】因为()02fxx−，所以当20x−，即2x时，()0fx，则()fx单调非递增函数，所以()()32ff；当20x−，即

2x时，()0fx，()fx单调非递减函数，所以()()12ff；由不等式的性质得：()()()1322fff+.故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.9.关于函数2()()2exfxxx=−，下列结论错误的是（）A.()

0fx的解集是{|02}xxB.(2)f−是极小值，(2)f是极大值C.()fx没有最小值，也没有最大值D.()fx有最大值，没有最小值【答案】C【解析】【分析】解不等式判断A；利用导数探讨函数()fx的极值、最值判断BCD.【详解】函数2()()2exfxxx=−的定义域为R，对

于A，2()020fxxx−，解得02x，即()0fx的解集是{|02}xx，A正确；对于BCD，2(2e))(xfxx=−，当2x−或2x时，()0fx，当22x−时，(

)0fx，则函数()fx在(,2),(2,)−−+上单调递减，在(2,2)−上单调递增，因此(2)f−是极小值，(2)f是极大值，B正确；显然当0x时，()0fx恒成立，当3x时，223xx−−

，2e(23e)xxxx−−，而当3x时，函数3exy=−的值域为3(,3e)−−，而()()22221e0f=−，因此()fx有最大值()2f，没有最小值，C错误，D正确.故选：C10.数列na的前n项和为

nS，若数列na与函数()fx满足：（1）()fx的定义域为R；（2）数列na与函数()fx均单调递增；（3）*nN使()nnSfa=成立，则称数列na与函数()fx具有“单调偶遇关系”.给出下列四个结论：①21nan=+与

()fxx=具有“单调偶遇关系”；②2nna=与()22fxx=−具有“单调偶遇关系”；③与数列{21}n+具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；④与数列2n具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.其中所有正确结论

的序号为（）A①③④B.①②③C.②③④D.①②④.【答案】D【解析】【分析】根据“单调偶遇关系”的新定义可判断选项①，②；以一次函数为例，()fxkxb=+可判断③；令()nnfaa=，通过计算可判断④．【详解】对于①：数列{}na中，由21n

an=+可知任意两项不相等，()fxx=定义域为R满足（1），数列21nan=+和()fxx=均单调递增满足（2），数列{}na的前n项和2(321)22nnnSnn++==+，由()nnSfa=得2221nnn+=+，解得1n=，所以*nN使()nnSfa=成立，满足

（3），故①正确；对于②：数列{}na中，由2nna=可知任意两项不相等，()22fxx=−定义域为R满足（1），数列2nna=和()22fxx=−均单调递增满足（2），na的前n项和122nnS+=−，由(

)nnSfa=得122222nn+−=−恒成立，所以*nN使()nnSfa=成立满足（3），故2nna=与()22fxx=−具有“单调偶遇关系”，故②说法正确；对于③：以一次函数为例，()fxkxb=+，22nSnn=+，

()nnSfa=，即22(21)nnknb+=++，整理得2(22)()0nknkb+−−+=，只要方程有正整数解且0k即可，如方程中取1n=，则有33kb=+，即13bk=−，对b进行不同的取值即可保证数列{21}n+具有“单调偶遇关系”的函数有无数组，故③说法

不正确；对于④：中122nnS+=−令()nnfaa=．由()nnSfa=得1222nn+−=，取222n=−，即可保证()nnSfa=恒有解，故选项④正确．故选：D．【点睛】关键点点睛：通过①可想到③中以一次函数为例，通过②可想到④中令()nnfaa=，通过举例达

到解决问题的目的.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.在41()xx+的展开式中，常数项为_____．【答案】6【解析】【分析】结合二项式的展开式的通项公式即可求出结果.【详解】41()xx+的展开式的通项公式

为442441−−=rrrrrCxCxx，令2r=，则常数项为246C=，故答案为：6.12.函数()(2)exfxx=−的零点个数为____________，其极小值为_____________.【答案】①.1②.e−【解析】【分析】直接令(2)e

0xx−=求零点，求导，确定单调性后可得极值.【详解】令(2)e0xx−=，则20x−=或e0x=（舍去）所以2x=，故函数()(2)exfxx=−的零点个数为1；又()(2)ee(1)exxxfxxx=−=−+，令()0fx，得1x，()fx在(),1−上单调递减

，令()0fx，得1x，()fx在()1,+上单调递增，故()fx的极小值为(1)(12)eef=−=−.故答案为：1；e−.13.曲线321()2ln2fxxxx=+−在1x=处的切线的方程为__________．【答案】13270xy--=【解析】【分析】求导得切线斜

率，由直线的点斜式即可求解直线方程.【详解】由321()2ln2fxxxx=+−得21()342fxxxx=+−，故()11313422kf¢==+-=，又()1123f=+=，所以切线方程为()13312yx-=-，即13270

xy--=，故答案为：13270xy--=14.已知函数()fx的导函数为()fx，能说明“若()0fx对任意的(0,)x+都成立且()00f，则()fx在(0,)+上必有零点”为假命题的一个函数是___________.【答案】1()2xy=【

解析】【分析】由题得()fx在(0,)+上递减，且()00f，在(0)+与x轴无交点，选中这样的一个函数即可.【详解】“若()0fx对任意的(0,)x+都成立且()00f”,则在(0,)+上递减，且()00f，再由“()

fx在(0,)+上必有零点”为假命题，可得()fx的图象在(0)+与x轴无交点，这样的函数可以是xya=(01)a，故答案为：1()2xy=【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的概念的理解，考查了分析推理能力，是

一个开放题，答案不唯一，属于基础题.15.“S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5

个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量y(单位：个)与时间t(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数0.0817437e5ty−=+.已知函数0.08375()1

74etft−=+0t.的部分图象如图所示，()ft为()ft的导函数.给出下列四个结论：①对任意13(0,24),(96,144)tt，存在2(24,96)t，使得132()()()2ftftft+；②对任意13(0,24)

,(96,144)tt，存在2(24,96)t，使得31231()()()ftftfttt−=−；③对任意2(24,96)t，存在13(0,24),(96,144)tt，使得132()()()2ftftft+；④对任意2(24,96)t，存在13(0,24),(96,144)tt

，使得31231()()()=ftftfttt−−.其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①②【解析】【分析】根据函数的图象可刻画出导函数的图象，再根据导函数和原函数的图象特征逐个判断后可得正确的选项

.【详解】根据函数的图象可得导函数的图象（如图所示），设导数()ft在tt=0取最大值，结合()ft的图象可知02496t，且当()00,tt时，()ft为增函数，在()0,t+上()ft为减函数，对于①，任意13(0,24),(96,144)

tt，取20tt=，则有132()()()2ftftft+，故①成立.对于②，设()()()()1122,,,AtftBtft，由()ft图象的性质可平移直线AB至C处，此时平移后的直线与(

)ft图象相切，且()24,96Cx，取2Ctx=，故31231()()()ftftfttt−=−，故②正确.对于③，取如图所示的3t，设()()33,Qtft，()33,2ftSt，过S作横轴的平行线，交()ft的图象于T，由函数的图象特征可得()24,96Tx，取2

Ttx=，则()23132()()()ftftftft=+，故③不成立.对于④，取()()00,Ntft（0t为①中()ft最大值点），则过N切线“穿过”曲线()yfx=，曲线上不存在与该切线平行的割线，否则与导数存在唯一的最大值点矛盾，故④错误.故答案为：①②.【点睛】思路点睛：在

导数问题中，如果知道原函数的图象，则可以根据切线的变化刻画出导数的图象，从而可研究与导数或原函数性质有关的命题判断.16.已知函数ln(),()exxxfxgxx==，存在12(0,),+Rxx，使得()()12fxgxk==成立.给出下列四个结论:①当0k时，1

21xx+;②当0k时，21xkx=;③当0k时，212e2exx+;④当0k时，121xx+.的其中所有正确结论的序号是________________.【答案】①②④【解析】【分析】由12()()fxg

xk==，可得2121lnexxxkx==，即2211lnlneexxxkx==，转化为21()(e)xfxfk==，然后对ln()xfxx=求导，求出其单调区间，画出()fx的图象，结合图象逐个分析判断即可．【详解】由ln()xfxx=，得21ln()(0)xfxxx−=，所以当0ex

时，()0fx；当ex时，()0fx，所以()fx在(0,e)上递增，在(e,)+上递减，所以()fx的大致图象如图所示：因为12()()fxgxk==，所2121lnexxxkx==，即2211lnlneexxxkx

==，所以21()(e)xfxfk==，当0k时，211eexx=或21eexx=或211eexx或211eexx，则12101xx或12e1xx或121e1xx

或12e0xx，所以121xx+，所以①正确；当0k时，若21eexx=，此时1x与2ex均可以趋于+，所以③错误；当0k时，由12()()fxgxk==，得2211lnlneexxxkx==，所以2

2exxk=，因为0k，所以由图象可知当21()(e)xfxfk==时，有210e1xx=，所以2221eexxxkkx==，所以②正确；当0k时，由图和②可知210e1xx=，则21lnxx=，所以1211l

nxxxx+=+，令l(n)hxxx=+，()0,1x，则1()10hxx=+，所以()hx在(01),上单调递增，所以()()11hxh=，即当1(01)x,时，1211ln1xxxx+=+成立，所以④

正确．故答案为：①②④．【点睛】关键点点睛：本题的关键点为将条件变形为2211lnlneexxxkx==，从而21()(e)xfxfk==，通过函数()fx的性质来研究问题.三、解答题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.已知等

差数列na的公差为d，前n项和为nS，满足11a=，0d，且1a，2a，3S成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）记2nannba=+，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）21nan=−（2）2122

233nnTn+=+−【解析】【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量的计算可求解公差，进而可求通项.（2）根据分组求和以及等差等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】1a，2a，3S成等比数列，故()22213133aaSdd=+=+，化

简得：220,dd−−=因为0d，所以2d=，因此21nan=−【小问2详解】212=212nannnban−=+−+，因此()()()()132112214121=222214nnnnnnTaaa−−+−+++++++=+−2122233nn+=+−18.已知函数3()3fxxx=−．（1

）求(0)f的值；（2）求()fx在区间33,2−上的最值；（3）若3()()(1)gxfxax=+−，求()gx的单调区间．【答案】（1）3−（2）最大值为2，最小值为18−（3）答案见解析【解析】

分析】（1）求导，再令0x=即可得解；（2）利用导数求出函数的单调区间，在求出函数的极值和端点的函数值，即可得出函数的最值；（3）求导，再分0a和0a两种情况讨论即可得解.【小问1详解】2()33fx

x=−，则(0)3f=−；【小问2详解】()()2()33311fxxxx=−=+−，当31x−−或312x时，()0fx¢>，当11x−时，()0fx，所以函数()fx在()33,1,1,

2−−上单调递增，在()1,1−上单调递减，又()()()39318,12,12,28ffff−=−−==−=−，所以()fx在区间33,2−上的最大值为2，最小值为18−；【小问3详解

】【33()()()31xgaxfxaxx==−+−，()()231gxax=−，当0a时，()0gx，所以函数()gx在(),−+上单调递减，当0a时，axa或axa−时，()0gx，当aaxaa−时，()0gx，所以函数()gx在,,,aaaa+

−−上单调递增，在,aaaa−上单调递减，综上所述，当0a时，()gx的单调减区间为(),−+，无增区间；当0a时，()gx的单调增区间为,,,aaaa+−−，单调减

区间为,aaaa−；19已知函数22()(22)exfxaxxx=+−+．(1)求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；(2)若0为函数()fx的极小值点，求a的取值范围；(3)曲线()yfx=是否存在两个不同的点关于y轴对称，若存在，请给出这两个点的坐标及此时a的值，

若不存在，请说明理由．【答案】(1)2y=；(2)(0,)a+；(3)不存在，理由见解析．【解析】【分析】(1)对()fx求导，得出所求切线的斜率即可得解；(2)按a值取正负零分别讨论()fx在0左右两侧值的正

负而得解；(3)假定曲线()yfx=存在两个不同点关于y轴对称，转化为曲线()2(22)exhxxx−+=上存在两个不同的点关于y轴对称，讨论()hx性质即可得解.【详解】(1)由已知得22()2(2222)2xxfxaxxxxeaxxe=+−++−=+，(0)0,(0

)2ff==，所以曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程为2y=；(2)2()2(2)xxfxaxxexaxe=+=+，①当0a=时2()0xfxxe=，函数()fx在R上单调递增，无极值，不符；②当a<0时，x<0，20xaxe+，则(

)(2)0xfxxaxe=+，与0为函数()fx的极小值点矛盾，不符；③当0a时，令()xgxxe=，则()(1)xgxxe=+，1x−时()0gx，()gx在[1,)−+上递增，.的1x−时()0gx，()gx在(,1)

−−上递减，min1()(1)gxge=−=−，且(0)0g=，x<0时，1()0gxe−，12ae时，20xaxe+，0,()(2)0xxfxxaxe=+，0,()0xfx，0为函数()fx的极小值点，则1

2ae，102ae时，因()gx在[1,0)−上递增，()gx值从1e−增到0，则直线2ya=−与()gx在[1,0)−上图象有公共点，即存在0[1,0)x−使得0020xaxe+=，00xx，002xxxexea=−，即20xaxe+，所以存在0[1,0)x−，00x

x时()0fx，而x>0时()0fx，0为函数()fx的极小值点，则有102ae，所以当0a时，0为函数()fx的极小值点，综上有(0,)a+；(3)不存在，假定曲线()yfx=存在两个不同的点关于y轴对称，设其坐标为(,),(,)tyty−，其中0t，

则有2222()()(22)()[()2()2]ttftftattteattte−=−+−+=−+−−−+22(22)[()2()2]ttttette−−+=−−−+，令()2(22)exhxxx−+=，于是有()()htht=−，由(2)知函数()hx在R上单调递增，由()(

)htht=−得tt=−，即0=t与0t矛盾，所以曲线()yfx=不存在两个不同的点关于y轴对称.【点睛】结论点睛：可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是0()0fx=，且在x0左侧与右侧()fx的符号不同．20.在无穷数列na

中，11a=，对于任意*Nn，都有*Nna，1nnaa+．设*Nm，记使得nam成立的n的最大值为mb．（1）设数列na为1,4,7,10,，写出1b，2b，3b，4b的值；（2）若nb为等差数列，求出所有可能的数列na；（3）设paq=，12paaaA

+++=，求12qbbb+++的值．（用p，q，A表示）【答案】（1）12342,,11,1bbbb====（2）nan=（3）12(1)qbbbpqA+++=+−【解析】【分析】（1）根据使得1nnaa+成立的n的最大

值为mb，结合数列na为1,4,7,10,，分析即可；（2）若{}nb为等差数列，先判断nan，再证明nan，即可求出所有可能的数列{}na；（3）确定11b=，232bb==，依此类推，发现规律，

得出qb，从而求出12qbbb+++的值．【小问1详解】由使得1nnaa+成立的n的最大值为mb，数列na为1,4,7,10,，得1na，则11b=，2na，则21b=，3na，则31b=，4na，则42b=，所以12342,

,11,1bbbb====；【小问2详解】由题意，得1231naaaa=，结合条件*Nna，得nan，又因为使得nam成立的n的最大值为mb，使得1nam+成立的n的最大值为1mb+，所以11b=，*1(N)mmbbm+.，设2ak=，则2k，假设2k，即22ak=

，则当2n时，2na，当3n时，1nak+，所以21b=，2kb=，因为{}nb为等差数列，所以公差210dbb=−=，所以1nb=，其中*Nn，这与2(2)kbk=矛盾，所以22a=，又因为123naaaa，所以22b=，由{}nb为等差数列，得nbn=，其中*Nn

，因为使得nam成立的n的最大值为mb，所以nan，由nan，得nan=；【小问3详解】设2(1)akk=，因为123naaaa，所以1211kbbb−====，且2kb=，所以数列{}nb中等于1的项有1k−个，即21aa−个，设3()allk=，则112kklbbb+−==

==，且3lb=，所以数列{}nb中等于2的项有lk−个，即32aa−个，以此类推，数列{}nb中等于1p−的项有1ppaa−−个.，所以1221321()2()(1)()qppbbbaaaapaap−+++=−+

−++−−+121(1)ppaaapap−=−−−−+−+121()ppppapaaaa−=+−++++(1)pqA=+−，即12(1)qbbbpqA+++=+−.【点睛】关键点点睛：本题巧妙得将数列和不等关系融合在一起，理解题目所表达得具体含义是解决本题得关键.