【文档说明】湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷（解析版）.docx，共(22)页，1.453 MB，由小赞的店铺上传

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长沙市一中2025届高三月考试卷（二）数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合|2ln2Axx=−，2,1,

0,1,2,3B=−−，则AB=（）A.{1,0}−B.{1,2}C.{1,0,1}−D.{1,2,3}【答案】D【解析】【分析】由对数单调性解集合A中不等式，再求集合交集即可.【详解】由2ln2x−可得221eex

，故221|eeAxx=，又因为2,1,0,1,2,3B=−−，所以1,2,3AB=.故选：D2.已知i为虚数单位，12iiz−=−，则z的共轭复数z=（）A.2i−B.2i+C.2i−−D.2i−+

【答案】A【解析】【分析】根据除法运算可得2iz=−，再根据共轭复数的概念分析判断.【详解】因12iiz−=−，则12i2iiz−==+−，所以z的共轭复数z=2i−.故选：A.3.已知曲线()2lnfxaxx=+在点()()1,1f处的切

线与x轴相交于点1,03，则实数a=（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】A为【解析】【分析】先求出切线方程，再将点1,03代入求解.【详解】解：因为()2lnfxaxx=+，所以()12fxaxx=+，则()()121,1fafa=+=，所以在点()()1,1f处

的切线方程为()()211yaax−=+−，又因为切线与x轴相交于点1,03，所以()12113aa−=+−，解得2a=−，故选：A4已知向量(1,)OAk=−，(1,2)OB=，(2,0)OCk=+且实数0k

，若A，B，C三点共线．则k=（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即,ABAC共线，由向量共线的坐标表示计算．【详解】()2,2ABOBOAk=−=−uuu

ruuuruuurQ，()3,ACOCOAkk=−=+−uuuruuuruuur，因为A，B，C三点共线，所以//ABAC，则()()()223kkk−=−+，解得3k=或2−，0kQ，3k=.故选：D.5.已知过坐标原点

O的直线PO与焦点为F的抛物线2:2(0)Cypxp=在第一象限交于点P，与C的准线l交于点Q，若4POOQ=，则直线PF的斜率为（）A.43B.23C.1D.13【答案】A【解析】.【分析】根据题意求出点P坐标，然后代

入斜率公式求解即得【详解】因为抛物线2:2Cypx=，所以抛物线的准线方程为2px=−，故点Q的横坐标为2Qpx=−.因为4POOQ=，所以点P的横坐标42PQxxp=−=，所以点P的纵坐标2Pyp=.又焦点F的坐标为,02pF，所以直线P

F的斜率为204322ppp−=−.故选：A.6.已知函数()sin3cosfxxx=−与直线(02)yaa=在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为12,,,,nxxx，则()12323fxxx−−=（）A.1

−B.0C.1D.3【答案】D【解析】【分析】先运用辅助角公式将函数化为()2sin()3fxx=−，再通过解方程，解出12347,,333xxx=+=−+=+，最后计算即可.【详解】()sin3cos2sin()3fxxxx=−=−，设sin,(0,)22a=，若()fx

a=，则23xk−=+，23xk−=−++，即23xk=++或423xk=−++，所以12347,,333xxx=+=−+=+，因此12328233xxx−−=−，所以1232828(23)()2sin(

)2sin33333fxxxf−−=−=−−==.故选：D.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是辅助角公式的运用，二是换元思想的运用.7.定义：min{,}xy为实数x，y中较小的数，已知22min,9bhaab=+，其中a，b均为正实数，则h的最大值是（）A.16B.13C.

66D.33【答案】C【解析】【分析】先利用基本不等式得到22219916baababb=++，比较a与16a的大小即可求出h的最大值【详解】∵a，b均为正实数∴22219916baababb=++，当且仅当29abb=，即3ab=时，等号成立∵当16aa即66

a时，22696bab+，故22226min,996bbhaabab==++，当606a时，226min,96bhaab=+综上所述，h的最大值为66故选：C8.若不等式ln0axx−

有且仅有三个整数解，则实数a的取值范围是（）A.25,ln2ln5B.25,ln2ln5C.35,ln3ln5D.35,ln3ln5【答案】A【解析】【分析】设()()(),0,11,lnxfxxx=+，作出()lnxfxx=的图象为

，则结合图象，要不等式ln0axx−有且仅有三个整数解，取()()()()2,3,4,5ffff讨论它们的大小，即可得到a的范围.【详解】设()()(),0,11,lnxfxxx=+，()2ln1lnxfxx−=，由()0fx=，得ex=，当𝑥∈(0,1)时，

𝑓′(𝑥)<0，()fx单调递减，当(1,ex时，𝑓′(𝑥)<0，()fx单调递减，当()e,+x时，𝑓′(𝑥)>0，()fx单调递增，且()eef=，作出()lnxfxx=的图象为，由ln0axx−，𝑥∈

(0,+∞)，当𝑥∈(0,1)时，lnxax，即()afx，当𝑥∈(1,+∞)时，lnxax≥，即()afx，因为()()()()()234252,3,42,5ln2ln3ln4ln2ln5fffff======，()()2

ln33ln2ln9ln8230ln2ln3ln2ln3ff−−−==，所以()()()243fff=，而()()525ln22ln5ln32ln25520ln5ln2ln5ln2ln2ln3ff−−−=−==，即()()52f

f，则结合图象，要不等式ln0axx−有且仅有三个整数解，只需()()25faf即25ln2ln5a，所以实数a的取值范围是25,ln2ln5.故选：A.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在

每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.记等差数列na的前n项和为nS，公差为d，若109a=，20200S=，则（）A.2=dB.nS的最小值为5SC.19a=

D.使0nS的n的最小值为11【答案】ABD【解析】【分析】利用等差数列通项公式即前n项和公式列方程组，即可判断AC；求出nS，结合二次函数性质即可判断B；解0nS，即可判断D.【详解】对于AC，由题意可得101201992019

202002aaddSa=+==+=，解得192ad=−=，故A正确，C错误；对于B，()()22192105252nnnSnnnn−=−+=−=−−，所以，当5n=时，nS取到最小值25−，故B正确；对于D，令0nS，即2100nn−，解得10n或0n

，因为Nn，所以使0nS的n的最小值为11，故D正确.故选：ABD10.若随机变量()2~0,XN，()()fxPXx=，则（）A.()()1fxfx−=−B.()()22fxfx=C.()()()210PXxfxx

=−D.若()121xffx+−，则113x【答案】ACD【解析】【分析】利用正态分布的性质逐项判断即可.【详解】对于A，随机变量()2~0,XN满足正态分布，且0=，故()()()()1fxPXxPXxfx−=−=

=−，故A正确；对于B，当0x=时，()()()(),20212201,fxPXfxPX====此时()()22fxfx，故B错误；对于C，()()()20PXxPxXxPXx=−=()()12212fxfx=−=−，故C正确；对于

D，()()fxPXx=，故()fx单调递增，故()121xffx+−，即121xx+−，解得113x，故D正确.故选：ACD11.如图，在锐二面角AB−−的半平面内有一个四边形MENF，点M在AB上，2EF

=，2MN=，MEF和NEF的面积均为12，点N到平面的距离为62，点E到平面的距离为64，则（）A.EFAB∥B.直线MN与AB所成的角为45C.直线MN与平面所成的角为30D.二面角AB−−的大小为60【答案】ABD【解析】

【分析】先根据已知条件确定四边形MENF的几何特征，得出四边形MENF是平行四边形，且NF、ME都与EF垂直，再利用面面平行的性质证明//MHGD，利用EMDF为平行四边形证明EFAB∥，再利用线线角、线面角、二面角定义逐一判断B、

C、D选项即可.【详解】在四边形MENF中，设MN与EF相较于点O，过N向EF作垂线，垂足为P，过M向EF作垂线，垂足为Q因为MEF和NEF的面积均为12，2EF=，所以22NPMQ==，OPN与OQM中，PONQOM=，90NPOMQO==，22NPMQ==，所以OPNOQM

，所以NOMO=，又因为2MN=，所以1NOMO==；在RtOPN△中，1NO=，22NP=，2222OPONNP=−=，在RtOQM△中，同理可证22OQ=，又因为2EF=，所以F、E分别与P、Q重合，所以四边形MENF是平行四边形，且NF、ME都与EF垂直；延长NF交AB于D，过N作

的垂线，垂足为G，过E作的垂线，垂足为H，连接GD、MH，//EMND，EM平面EMH，ND平面EMH，所以//ND平面EMH，又因为//EHNG，同理可证NG//平面EMH，又NDNGN=，所以平面//EMH平面NDG，又因为平面EMHMH=，又因为平面NDGDG=，所

以//MHGD；因为//EMND，//EHNG，//MHGD，所以EMHNDG，所以EMEHNDHG=，又因为点N到平面的距离为62，点E到平面的距离为64，所以12EMEHNDHG==，因为22EM=，所以2N

D=，因为22EMNF==，所以22FD=，所以EMFD=,又//EMFD，所以四边形EMDF为平行四边形，所以//EFDM，即//EFAB，且NDAB⊥，EMAB⊥，故A正确；根据题意，直线MN与AB所成的角为NMD，在RtNMD△中

，2MN=，2MDEF==，2ND=，所以2sin2NDNMDNM==，所以45NMD=，故B正确；链接GM，根据题意有，直线MN与平面所成的角为NMG，在RtNMG△中，62NG=，2MN=，所以6sin4NGNMGMN?=，1sin302=，所以C错误；因为⊥

NG平面，AB平面，所以NGAB⊥，NDAB⊥，ND平面NDG，NG平面NDG，NDNGN=，所以AB⊥平面NDG，GD平面NDG，所以GDAB⊥，又因为NDAB⊥，且二面角AB−−为锐二面角，所以

二面角AB−−的平面角为NDG，在RtNDG△中，2ND=，62NG=，所以3sin2NGNDGND?=，所以60NDG=，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题关键在于：①先根据已知条件确定四边形MENF的几何特征，得出四边

形MENF是平行四边形，且NF、ME都与EF垂直；②利用面面平行的性质证明//MHGD.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.设双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的两条渐近线的倾斜角分别为,，若5

=，则C的离心率为_________．【答案】233##233【解析】【分析】根据，的两个关系，再由5=，求解离心率.【详解】根据双曲线()2222:10,0xyCabab−=的两条渐近线的倾斜角为，，则π+=

，又5=，所以π6=，所以3tan3ba==,故22313bea=+=.故答案为：233.13.已知正三棱柱111ABCABC−中，12ACCC=，动点P在侧面11ACCA内，且10PCPB=．若点P的轨迹长为2π2，则该正三棱柱的体积为_________．【答案】8

3【解析】【分析】本题涉及到正三棱柱的体积计算以及向量垂直的相关知识.首先需要根据向量垂直的条件求出点P的轨迹，再根据轨迹长求出正三棱柱的棱长，最后根据棱柱体积公式计算体积.详解】过C作y⊥AC,以C为原点，CA为x轴，1CC为z轴，建立空间直角坐标系.设1CCa=，则AC

2a=.设(,0,)Pxz，()1,3,Baaa，(0,0,0)C.则(,0,)PCxz=−−，()1,3,PBaxaaz=−−.因为10PCPB=，所以()()0xaxzaz−−−−=，即220xaxza

z−+−=.配方得222222aaaxz−+−=，所以点P的轨迹是以,22aa为圆心，22a为半径的四分之一圆.已知点P的轨迹长为2π2，因为轨迹是四分之一圆，半圆的弧

长公式为lr=（π=，r为半径）.这里22ra=，π22π222a=，解得𝑎=2.正三棱柱的体积公式为VSh=（S为底面三角形面积，h为高）.底面正三角形ABC的边长4AC=，则234434S==，高12CC=.所以正三棱柱的体积43283V==.故答案

为：83.14.记不超过x的最大整数为[]x．若函数()|2[2]|fxxxt=−+既有最大值也有最小值，则实数t的取值范围是________．【答案】112t【解析】【分析】根据题意取)2,(Z,0,1)xtmnm

n+=+，则()fxnt=−，将问题转化()gnnt=−在区间)0,1上既有最大值也有最小值，然后分0t，102t，112t，1t四种情况讨论即可求出结果.【详解】取)2,(Z,0,1)xtmnmn+=+，则()|2[2]|(

)fxxxtmntmnt=−+=+−−=−，所以函数()|2[2]|fxxxt=−+既有最大值也有最小值，即()gnnt=−在区间)0,1上既有最大值也有最小值，当0t时，()gnnt=−在区间)0,1上单调递增，只有最小值，无最大值，

不合题意，当102t时，()gnnt=−在区间)0,t上单调递减，在区间(),1t上单调递增，又(0),(1)1gtgt==−，则(0)(1)gg，此时()gnnt=−只有最小值，没有最大值，不合题意，当112t时，()gnnt=−在区间)0,t上单调递减，在区间(),1t上

单调递增，又(0),(1)1gtgt==−，则(0)(1)gg，此时()gnnt=−有最大值为(0)g，最小值为()0gt=，当1t时，()gntn=−在区间)0,1上单调递减，只有最大值，无最小值，不合题意，综上所述，实数t的取值范围是112t

，故答案为：112t.【点睛】关键点点晴：通过令)2,(Z,0,1)xtmnmn+=+，得到()fxnt=−，从而将问题转化成()gnnt=−在区间)0,1上既有最大值也有最小值来解决.四、解答题（本

大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.现有一种不断分裂的细胞X，每个时间周期内分裂一次，一个X细胞每次分裂能生成一个或两个新的X细胞，每次分裂后原X细胞消失．设每次分裂成一个新X细胞的概率为p，分裂成两个新X细胞的概率为1p−；新细胞

在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞分裂相互独立．设有一个初始的X细胞，从第一个周期开始分裂．（1）当34p=时，求3个周期结束后X细胞数量为2个的概率；（2）设2个周期结束后，X细胞的数量为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）3331024（2）分布列见

解析，244pp−+【解析】【分析】（1）3个周期结束后X细胞数量为2个,分以下三种情况，第一个周期分裂为2个细胞，后面两个【周期均保持为2个细胞，第二个周期分裂为2个细胞，后面一个周期保持为2个细胞，前两个周期都保持为1个细胞，第三个周期分裂为2个细胞，依次计算即可

得出结果；（2）求出的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列，利用期望公式求出期望.【小问1详解】由题意可知，当34p=时，3个周期结束后X细胞数量为2个,则设第k个周期分裂为2个细胞，之后一直保持为2个X细胞，第一个周期分裂为2个细胞，后面两个周期均保持为2个细胞，故

42211381(1)()441024Ppp=−==,第二个周期分裂为2个细胞，后面一个周期保持为2个细胞，故3221327(1)44256Pppp=−==,前两个周期都保持为1个细胞，第三个周期分裂为2个细胞，故223139(1)4464Ppp=−==，综

上可知，1238110814433310241024PPPP++=++==.【小问2详解】2个周期结束后，的取值可能为1,2,3,4,其中()21Pp==,()()()23211Ppppppp==−+−=−，()()()()21231C12

1Pppppp==−−=−，()()341Pp==−，所以分布列为1234P2p3pp−()221pp−()31p−()()()()23232123214144Epppppppp=+−+−+−=−+.16.如图，AB是半球O的直径，4,,ABMN=是

底面半圆弧AB上的两个三等分点，P是半球面上一点，且60PON=．（1）证明：PB⊥平面PAM：（2）若点P在底面圆内的射影恰在ON上，求直线PM与平面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）连接,,OMMNBM，可证Q为BM的中点且1

2PQBM=，可得PBPM⊥，又PBPA⊥，由线面垂直的判定可证；（2）以点Q为坐标原点，QM，QN，QP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，用向量法可求解.【小问1详解】连接,,OMMNBM，因为,MN是底面半圆弧AB上的两个三等分点，所以有6

0MONNOB==，又因为2OMONOB===，所以,MONNOB都为正三角形，所以MNNBBOOM===，四边形OMNB是菱形，记ON与BM的交点为Q，Q为ON和BM的中点，因为60,PONOPON

==，所以三角形OPN为正三角形，所以132PQBM==，所以PBPM⊥，因为P是半球面上一点，AB是半球O的直径，所以PBPA⊥，因为PMPAP=，,PMPA平面PAM，所以PB⊥平面PAM．【小问2详解】因为点

P在底面圆内的射影恰在ON上，由（1）知Q为ON的中点，OPN为正三角形，所以PQON⊥，所以PQ⊥底面ABM，因为四边形OMNB是菱形，所以MBON⊥，即MBONPQ、、两两互相垂直，以点Q为坐标原点，Q

M，QN，QP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Qxyz−，如图所示，则()()()()()0,1,0,3,0,0,3,0,0,0,1,0,0,0,3OMBNP−−，所以()3,0,3PM=−，()0,

1,3OP=，()3,1,0OB=−，设平面PAB的一个法向量为(),,mxyz=，则00mOPmOB==，所以3030yzxy+=−+=，取1x=，则()1,3,1m=−，设直线PM与平面PAB的所成角为

，所以3310sincos,565PMm+===，故直线PM与平面PAB所成角的正弦值为105．17.已知函数()()()1ln1fxaxxx=−+−．（1）当2a=−时，求()fx的极值；（2）当0x时，()0fx

，求a的取值范围．【答案】（1）极小值为0，无极大值.（2）12a−【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a−、102a−、0a分类讨论后可得参数的取值范围.【小问1详解】当2

a=−时，()(12)ln(1)fxxxx=++−，故121()2ln(1)12ln(1)111xfxxxxx+=++−=+−+++，因为12ln(1),11yxyx=+=−++在()1,−+上为增函数，故()fx在()1,−+上为增函数，而(0)

0f=，故当10x−时，()0fx，当0x时，()0fx，故()fx在0x=处取极小值且极小值为()00f=，无极大值.【小问2详解】()()()()11ln11ln1,011axaxfxaxaxxxx+−=−++−=−+−++，设()()()

1ln1,01axsxaxxx+=−+−+，则()()()()()()222111211111aaxaaaxasxxxxx++++−++=−=−=−++++，当12a−时，()0sx，故()sx在()0,+上为增函数，故()()00sx

s=，即()0fx，所以()fx在)0,+上为增函数，故()()00fxf=.当102a−时，当210axa+−时，()0sx，故()sx在210,aa+−上为减函数，故在210,aa+−上()()0

sxs，即在210,aa+−上𝑓′(𝑥)<0即()fx为减函数，故在210,aa+−上()()00fxf=，不合题意，舍.当0a，此时()0sx在(0,+∞)上恒成立，同理可得在(0,+∞)上()()00f

xf=恒成立，不合题意，舍；综上，12a−.【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.18.已

知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的焦距为4，离心率为122,,FF分别为C的左､右焦点，两点()()1122,,,AxyBxy都在C上.（1）求C的方程；（2）若222AFFB=，求直线AB的方程

；（3）若1AF∥2BF且12120,0xxyy，求四个点12,,,ABFF所构成的四边形的面积的取值范围.【答案】（1）2213yx−=（2）352035xy?=（3）)12,+【解析】【分析】（1）由双曲线的性质结合题意可得结果；（2）设出直线AB的方程，

直曲联立表示出韦达定理，再结合222AFFB=得到122yy=−，解出m，即可求出直线方程；（3）结合已知作出图象，设出直线AP和BQ的方程，由弦长公式表示出弦长()226113mBQm+=−，再求出直线AP与BQ间

的距离进而求出121243AFFBStt=-四边形，最后求导分析其单调性再求出取值范围即可；【小问1详解】由题意可得222242ccaabc==+=，解得132abc===，故曲线C的方程为2213yx−=，【小问2详解】根据题意知直线AB的斜率不为零，

设直线AB的方程为2xmy=+，222AFFB=得122yy=−，,AB都在右支上，由22213xmyyx=+−=，消去x可得()22311290mymy−++=，易知2310m−，其中236360m=+恒成立，121222129,3131myyy

ymm−+==−−，代入122yy=−，消元得()22222129,31231myymm−==−−，所以()22212931231mmm−=−−，解得3535m=，满足0，所以直线AB的方程为352035xy?=，小问3详解】𝐴(

𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，12120,0xxyy，则,,AB分别在两支上，且,,AB都在x的上方或x的下方，不妨设都在x的上方，又1AF∥2BF，则A在第二象限，B在第一象限，如图所示，延长1AF交双曲线与点P，延迟2BF交双曲线于点Q，由对称性可知四边

形ABQP为平行四边形，且面积为四边形12AFFB面积的2倍，由题设()33,,Qxy直线AP的方程为2xmy=−，直线BQ的方程为2xmy=+，由第（2）问易得22212236361131mBQmyymm+=+−=+−，因为2310m−，所以()226113mBQm+

=−，两条直线AP与BQ间的距离214dm=+，所以1222111212213AFFBAPQBmSSBQdm+===−四边形四边形，令21tm=+，231,3t，所以12212124433AFFBtSttt==--四边形，【设()43gttt=−

，则()224433tgxtt−−−==−，在231,3t上恒为减函数，所以121243AFFBStt=-四边形在231,3t上恒为增函数，当1t=时即0m=，取得最小值为12，所以当1AF∥2BF且12120,0xxyy，则四个点12,,,ABF

F所构成的四边形的面积的取值范围为)12,+.【点睛】方法点睛：（1）本题第二问给出向量关系让求直线方程时，常用直曲联立，表示出韦达定理，再根据向量关系求出参数m即可；（2）本题第三问再求四边形面积的取值范围时，先由弦长公式表示出一条边，再由两平行线间距离公式表示出高，最

后再求导分析.19.已知数列na满足：13a=，m，*nN，当nm时，2nmnmaaa−+=+．（1）求数列na的通项公式；（2）当6n时，求证：11112nna−+；（3）求解方程：1231nnnnnnnaaaaa+

++++=．【答案】（1）2nan=+（2）证明见解析（3）2,3【解析】【分析】（1）令1nm−=，即可得到11nnaa−−=，结合等差数列的定义求出{𝑎𝑛}的通项公式；（2）依题意等价于证明1122nn++，利用二项式定理证明即可；（3）由（2）可知11

132nn−+()6n，先证明1132nkkn−+，()1,2,,,6knn=，即可得到当6n时()()3423nnnnnn+++++，从而得到6n时方程不成立，再列出1n=，2，3，4，5时方程是否成立，即可得解.【小问1详

解】依题意，令1nm−=，可得112nnaaa−+=+，则1121nnaaa−−−==，所以{𝑎𝑛}是以3为首项，1为公差的等差数列，所以2nan=+；【小问2详解】不等式11112nna−+等价于11132nn−+

，等价于1122nn++，由二项式定理可知，当6n=时612366623CCC13155315211112888846412846464++++=++++++，当7n时()122

CC111222nnnnnn++++++()()()()221311122222nnnnnnnn−+=++=++++，又()()223122580nnnnn+−+=−−，所以()()23122nnn++，则()()23112

2nnn++，所以1122nn++，故当6n时，11112nna−+恒成立.【小问3详解】当6n时，由（2）可知11132nn−+，下证明1132nkkn−

+，()1,2,,,6knn=，设13nkkbn=−+，则112b，11131111311333213nnnnknkkbnknbnknknkn++−+−−+==

=−−+−+−+−+，即112kkbb+，即1212111112222kkkkkbbbb−−−，所以1132nkkn−+，故当6n时12111333nnnnnnn−+−++−

+++2111221111111222212nnn−+++==−−，即2131333nnnnnnnn+++

+++++，所以()()3423nnnnnn+++++，所以当6n时()()3423nnnnnn+++++，则方程1231nnnnnnnaaaaa+++++=不成立；当1n=时，34，方程不成立；当2n=时，222345+=，方程成立；当3n

=时33333452166++==，方程成立；当4n=时444443456812566251296225824017+++=+++==，方程不成立；当5n=时，52339=，即53除以8的余数为3，()()5255255624158781==+=

+，即55除以8的余数为5，而54，56均为8的倍数，57不是8的倍数，所以5555534567++++不是8的倍数，所以555555345678++++，即5n=不是方程的解；综上所述，方程1231nnnnnnnaaaaa+++++=的解集为2,

3.【点睛】关键点点睛：第二问关键是利用二项式定理进行放缩，第三问关键是首先证明6n时121111333nnnnnnn−+−++−+++，从而得到当6n时()()3423nnnnnn+

++++.