【文档说明】【精准解析】江苏省无锡市江阴市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题.doc，共(21)页，1.054 MB，由小赞的店铺上传

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2019年江阴市普通高中秋学期期末考试卷高一数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合|24Axx=|3782Bxxx=−−，则AB＝（）A.|3xxB.|

2xxC.|34xxD.|24xx【答案】B【解析】【分析】先化简|3782|3Bxxxxx=−−=，再由|24Axx=，求AB.【详解】因为|3782|3Bxxxxx=−−

=又因为|24Axx=所以|2ABxx=故选：B【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.设OM=（﹣3，3），ON=（﹣5，﹣1），则12MN等于（）A.（﹣2，4）B.（1，2）C.（4，﹣1）D.（﹣1，﹣

2）【答案】D【解析】【分析】由OM=（﹣3，3），ON=（﹣5，﹣1），求得MNONOM=−即可.【详解】因为OM=（﹣3，3），ON=（﹣5，﹣1）所以()2,4=−=−−MNONOM所以()11,22=−−MN故选：D【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，

属于基础题.3.扇形的圆心角为23，半径为3，则此扇形的面积为（）A.54B.C.33D.239【答案】B【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算即可.【详解】由题意可得圆心角2α3=，半径r3=，所以弧长23αr3l==,故扇形面积为1123Sr3223l

===.【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题型.4.tan255°=A.－2－3B.－2+3C.2－3D.2+3【答案】D【解析】【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，

进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】详解：000000tan255tan(18075)tan75tan(4530)=+==+=000031tan45tan30323.1tan45ta

n30313++==+−−【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．5.将函数y＝2sin2x的图象向左平移6个单位，再向上平移3个单位，则得到的图象的函数解析式是（）A.y＝2sin（2x6+）+3B.y＝2sin（2x3

+）+3C.y＝2sin（2x3−）+3D.y＝2sin（2x6−）﹣3【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的平移变换，左加右减，上加下减来求解.【详解】将函数y＝2sin2x的图象向左平移6个单位，得到2sin[2]2sin263yxx=+=

+，再向上平移3个单位，得到2sin233yx=++故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的平移变换，还考查了数形结合的思想，属于基础题.6.已知向量a，b满足a=（x，1），b=（1，﹣2），若a∥b，则a2b+（）A.（4，﹣3）B.（0，﹣

3）C.（32，﹣3）D.（4，3）【答案】C【解析】【分析】根据a=（x，1），b=（1，﹣2），且a∥b，求得向量a的坐标，再求a2b+的坐标.【详解】因为a=（x，1），b=（1，﹣2），且a∥b，所以21x−=，所以12x=−，所以a=（12

−，1），所以a32,32+=−b.故选：C【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.设函数()()()lg1lg1fxxx=+−−，则函数()fx是（）A.偶函数，且在()0,1上是减函数B

.奇函数，且在()0,1上是减函数C.偶函数，且在()0,1上是增函数D.奇函数，且在()0,1上是增函数【答案】D【解析】()fx定义域为[1,1]−，因为1()lg1xfxx+=−，所以1(-)lg

()1xfxfxx−==−+，所以函数()fx为奇函数，lg(1)x+为增函数，()lg1x−−为增函数，所以()fx在定义域内仍为增函数，故选D8.已知0w,0，直线4x=和54=x是函数()sin()fxwx=+

图像的两条相邻的对称轴，则=（）A.π4B.π3C.π2D.3π4【答案】A【解析】因为直线4x=和54x=是函数()()sinfxwx=+图像的两条相邻的对称轴，所以T=522π44−=．所以ω=1，并且sin（4+φ）与si

n（54+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=4．故选：A．9.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80

mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（）（参考数据：lg0

.2≈﹣0.7，1g0.3≈﹣0.5，1g0.7≈﹣0.15，1g0.8≈﹣0.1）A.1B.3C.5D.7【答案】C【解析】【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x求解.【详

解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL,x小时后血液中酒精含量为（1-30%）xmg/mL的，由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，所以()3002%1.x−，0.70.2x，两边取对数得，lg0.7lg0.2x，lg0.214lg0.73

x=，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.故选：C【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.10.已知函数32()2,()log,()xfxx

gxxxhxxx=+=+=+的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（）A.abcB.bcaC.cabD.bac【答案】B【解析】【分析】首先可求出0c=，再由()0fx=得2xx=−，由(

)0gx=得2logxx=−，将其转化为2xy=、2logyx=与yx=−的交点，数形结合即可判断.【详解】解：由3()0hxxx=+=得0x=，0c=，由()0fx=得2xx=−，由()0gx=得2logxx=−.在同一

平面直角坐标系中画出2xy=、2logyx=、yx=−的图象，由图象知0a，0b，acb.故选：B【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.11.已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E

分别是边AB，BC的中点，在线段DE取点F，使得DF＝2FE，则AFBC的值为（）A.12B.13C.12−D.13−【答案】D【解析】【分析】先将,AFBC用,ACAB表示，再由三角形为边长为2的等边三角形，得

到2,cos602ABACABACABAC====，最后用数量积公式计算AFBC.【详解】根据题意，1123AFADDFABAC=+=+，BCACAB=−，又因为三角形为边长为2的等边三角形，所以2

,cos602ABACABACABAC====，所以()22111111()()232363+−=−+=+=−AFBCABACACABABACACAB，故选：D【点睛】本题主要考

查了向量的表示及运算，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12.已知函数f（x）501231xxxx+=，，＞，若0≤b＜a，且f（a）＝f（b），则bf（a）的取值范围为（）A.（32，72]B.[2516−，+∞）C.[0，72]D.[2516−，72]【答案】A【解析】【分

析】作出函数图象，易知b的范围，再将bf（a）转化为bf（b），用二次函数法求解.【详解】如图所示：因为f（a）＝f（b），可知：112b，所以bf（a）=bf（b）=b(b+52)=2525416b+−，所以bf（a）的取值范围为（32，72].故选：A【点睛】本题主

要考查了图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.设α∈{﹣2，﹣1，12−，12，1，2}．使y＝xa为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值为_____．【答案】-1【解析】【分析】先根据

单调性确定α值为负，然后再验证奇偶性.【详解】因为y＝xa在（0，+∞）上单调递减，所以α0，当α=-2时，2yx-=，()()()22fxxxfx−−−=−==是偶函数，当12=−时，12yx−=，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数，当1=−时，1yx−=，()()()11fxxxf

x−−−=−=−=−是奇函数.故答案为：-1【点睛】本题主要考查了幂函数的图象和性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.14.在平面直角坐标系中，向量a=（3，4），向量ba=，（λ＜0），若b＝

1，则向量b的坐标是_____．【答案】3455−−，【解析】【分析】先由向量a=（3，4）及ba=，表示向量b的坐标，再利用b＝1求解.【详解】因为向量a=（3，4），所以向量()3,4==ba，所以()()223|45|1+===b，所以15=

，又因为λ＜0，所以15=−.所以34,55−−=b.故答案为：3455−−，【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.计算lg1100−ln2132loge++的结果是_____．【答案】72【解析】【分析】先将lg1

100−ln2132loge++，变形为21log622lg10ln2e−−+，再利用对数的性质求解.【详解】lg1100−ln2132loge++，21log622lg10ln2e−=−+，−−+=17=2

622.故答案为：72【点睛】本题主要考查了对数的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16.对于函数y＝f（x），若在其定义域内存在x0，使得x0f（x0）＝1成立，则称函数f（x）具有性质M．（1）下

列函数中具有性质M的有____①f（x）＝﹣x+2②f（x）＝sinx（x∈[0，2π]）③f（x）＝x1x+，（x∈（0，+∞））④f（x）1x=+（2）若函数f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1，+∞））具有性质M，则实数a的

取值范围是____．【答案】(1).①②④(2).a12−或a＞0【解析】【分析】（1）①因为f（x）＝﹣x+2，若存在，则()0021xx−+=，解一元二次方程即可.②若存在，则00sin1xx=，即00sin10xx

−=，再利用零点存在定理判断.③若存在，则00011xxx+=，直接解方程.④若存在，则0011xx+=，即00110xx+−=，令()00011fxxx=+−，再利用零点存在定理判断.（2）若函数f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1

，+∞））具有性质M，则ax（|x﹣2|﹣1）=1，x∈[﹣1，+∞）有解，将问题转化：当2x时，213axx=−有解，当12x−时，21axx=−+有解，分别用二次函数的性质求解.【详解】（1）①因为f（x）＝﹣x+

2，若存在，则()0021xx−+=，即200210xx−+=，所以01x=，存在.②因为f（x）＝sinx（x∈[0，2π]），若存在，则00sin1xx=，即00sin10xx−=，令()000sin1fx

xx=−，因为()=−=−1sin110,sin10222ff，所以存在01,2x.③因为f（x）＝x1x+，（x∈（0，+∞）），若存在，则00011xxx+=，即()000,x=+，所以不存在.

④因为f（x）1x=+，（x∈（0，+∞）），若存在，则0011xx+=，即00110xx+−=，令()00011fxxx=+−，因为()111110,11110222ff=+−=+−，所以存在01,12x.（2）若函

数f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1，+∞））具有性质M，则ax（|x﹣2|﹣1）=1，x∈[﹣1，+∞）有解，当2x时，213axx=−有解，令2239()3[2,)24gxxxx=−=−−−+，所以1(

,](0,)2a−−+.当12x−时，21axx=−+有解，令22111()[2,]244gxxxx=−+=−−+−，所以1(,](0,4]2a−−.综上：实数a的取值范围是a12−或a＞0.故答案为：(1).①

②④(2).a12−或a＞0【点睛】本题主要考查了函数的零点，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知

不共线的向量,ab满足3a=，2b=，,ab的夹角为θ．（1）θ＝30°，求ab+的值；（2）若()()2abab+⊥−，求cosθ的值.【答案】（1）1363+；（2）16−【解析】【分析】（1）根据3a=，2b=，,ab的夹角θ＝30°，通过()22

2()2()+=+=++ababaabb求解.（2）由()()2abab+⊥−，得()()20+−=abab，展开22()2()0+−=aabb求解.【详解】（1）因为3a=，2b=，,ab的夹角）θ＝30°，所以()222()

2()1363+=+=+++=ababaabb.（2）因为()()2abab+⊥−，所以()()20+−=abab，所以22()2()0+−=aabb，所以96cos80+−=，所以1cos6=−.【点睛】本题主要考查了数量积的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.18.已知集

合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣x+12）}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1，m∈R}．（1）若m＝2，求（∁RA）∩B；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．【答案】（1）{x|3≤x＜5}；（2）（﹣∞，1]【解析】【分析】（1）先化简集合A，再求得∁RA

，由m＝2，得B＝{x|1＜x＜5}，然后求（∁RA）∩B.（2）由A∩B＝B，得到B⊆A，再分B＝∅时，由m﹣1≥2m+1求解，当B≠∅时，有12114213mmmm−+−−+＜求解，最后取并集.【详解】（

1）集合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣x+12）}＝{x|﹣x2﹣x+12＞0}＝{x|﹣4＜x＜3}，所以∁RA＝{x|x≤﹣4或x≥3}，当m＝2时，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1，m∈R}＝{x|1＜x＜5}，所以（∁RA）∩B＝{x|3≤x＜5}.（2）因为A∩B＝B，所以B⊆A，当B＝

∅时，m﹣1≥2m+1，解得m≤﹣2；当B≠∅时，有12114213mmmm−+−−+＜，解得﹣2＜m≤1，综上：实数m的取值范围是（﹣∞，1].【点睛】本题主要考查了集合的关系及基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19

.在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边上有一点P的坐标是（3a，a），其中a≠0．（1）求cos（α4−）的值；（2）若tan（2α+β）＝1，求tanβ的值．【答案】（1）255−；（2）17【解析】【分析】（1）根据题意，当a＞0时

，点P在第一象限，求出cosα，sinα，再利用两角差的余弦求解，同理，当a＜0时，点P在第三象限，按同样的方法求解（2）由终边上点P（3a，a），可得tan13=，用二倍角公式求出tan2α，又因为tan（2α+β）＝1，利用角的变换转为tanβ＝()tan

[22]+−求解.【详解】（1）由题意可得，当a＞0时，点P在第一象限，cosα22331010(3)aaa==+，sinα221010(3)aaa==+，所以cos（4−）2310210252102105=+=，

当a＜0时，点P在第三象限，cos31010=−，sin1010=−，所以cos（4−）231021025()()2102105=−+−=−.（2）由题意可得，tan13=，故tan2α2231

4tantan==−，因为tan（2α+β）＝1，故tanβ＝()tan[22]+−()()2211227tantantantan+−==++.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及两角和与差的三角函数，还考

查了运算求解的能力，属于中档题.20.已知向量a=（2sinx，cosx），b=（3cosx，2cosx）．（1）若x≠kπ2+，k∈Z，且ab⊥，求2sin2x﹣cos2x的值；（2）定义函数f（x）1ab=+，求函数f（x）的单调递减区间；并求当x∈[0

，2]时，函数f（x）的值域．【答案】（1）14−；（2）单调递减区间为[k263k++，]，k∈Z，值域[1，4]【解析】【分析】（1）由ab⊥，得22320sinxcosxcosx+=，从而求

得tanx33=−，再用商数关系，转化2sin2x﹣cos2x22211−=+tanxtanx求解.（2）化简函数f（x）1ab=+=2sin（2x6+）+2，利用整体思想，令122k+2x3262k++可求得减区间.由

x102，，得到2x7666+，，从而有sin（2x6+）112−，求解.【详解】（1）因为ab⊥，所以22320sinxcosxcosx+=，因为x12k+，所以cos

x≠0，所以tanx33=−，所以2sin2x﹣cos2x2221114tanxtanx−==−+.（2）f（x）1ab=+＝23sinxcosx+2cos2x+132sinx=+cos2x+2＝2sin（2x6+）+2，令122k+2x3262k

++，解得，263kxk++，故函数的单调递减区间为[k263k++，]，k∈Z.因为x02，，所以2x7666+，，所以sin（2x6+）112−，，所以函数f（x）的值域[1，4]

．【点睛】本题主要考查了向量与三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知奇函数f（x）222xbx+=+，函数g（θ）＝cos2θ+2sinθ32−，θ∈[m，56]．m，b∈R．（

1）求b的值；（2）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性，并证明；（3）当x∈[0，1]时，函数g（θ）的最小值恰为f（x）的最大值，求m的取值范围．【答案】（1）b＝0；（2）在[0，1]上的单调递增，证明见解析

；（3）566m【解析】【分析】（1）根据函数f（x）222xbx+=+为奇函数，令f（0）＝0求解.（2）函数f（x）在[0，1]上的单调递增，再利用函数的单调性定义证明.（3）根据（2）知，函数f（x）在[0，1]上的单调递增，得到()()114maxfxf==．即g（θ）的

最小值为14，再令t＝sinθ，转化为二次函数求解.【详解】（1）因为函数f（x）222xbx+=+为R上的奇函数，所以f（0）＝0，解得b＝0．（2）函数f（x）在[0，1]上的单调递增．证明：设1201xx则：f（x2）﹣f（x1）(

)21122122222121()1112112(1)(1)xxxxxxxxxx−−=−=++++，因为1201xx，所以x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0，所以()21122221()1102(1)(1)xxxxxx

−−++＞，即f（x2）f（x1），所以函数f（x）在[0，1]上的单调递增．（3）由（2）得：函数f（x）在[0，1]上的单调递增，所以()()114maxfxf==．所以g（θ）的最小值为14．令t＝

sinθ，所以y2122=−+−tt的最小值为14，令211224=−+−=tt解得13,22==tt所以1322t，即112sin，所以5,66又因为θ∈[m，56]．m，b∈R，所以566

m．【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于难题.22.已知函数y＝f1（x），y＝f2（x），定义函数f（x）()()()()()()112212fxfxfxfxfxfx=，，＞．（

1）设函数f1（x）＝x+3，f2（x）＝x2﹣x，求函数y＝f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，g（x）＝mx+2（m∈R），函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有三个不同的零点，求实数m的取值范围；（3）设函数f1（x）＝x2﹣2，f2（x）＝|x﹣a|，函数F（x）＝f1（x）+

f2（x），求函数F（x）的最小值．【答案】（1）()231313xxxfxxxx+−=−−，或，＜＜；（2）()40113，，；（3）()2914211[]2229142minaaFxaaaa−−−=−−

−，＜，，＞【解析】【分析】（1）根据函数f（x）()()()()()()112212fxfxfxfxfxfx=，，＞的定义，两个函数中取小的.（2）函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有三个不同的零点，即方程f（x）＝

g（x）有三个不同的实数根，因为函数()fx是分段函数，分类讨论，分别用一次方程和二次方程求解.（3）根据题意F（x）2219241924xaxaxaxa+−−=−+−，，＜．

按照二次函数函数定区间动的类型，讨论对称轴与区间端点值间的关系求最值.【详解】（1）∵f1（x）＝x+3，()22fxxx=−，当f1（x）≤f2（x），即x≥3或x≤﹣1时，f（x）＝x+3，当f1（x）＞f2（

x），即﹣1＜x＜3时，()2fxxx=−，综上：()231313xxxfxxxx+−=−−，或，＜＜．（2）函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有三个不同的零点，即方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数根，因为函数()231313xx

xfxxxx+−=−−，或，＜＜，函数g（x）＝mx+2（m∈R），所以当x≤﹣1或x≥3时，mx+2＝x+3恰有一个实数解，所以11103mx−=，或)1110mx−=−，，解得，)40113m，，．当﹣1＜x＜3时，mx+2＝x

2﹣x恰有两个不同的实数解，即当﹣1＜x＜3时x2﹣（m+1）x﹣2=0恰有两个不同的实数解，设函数h（x）＝x2﹣（m+1）x﹣2，由题意可得()()010301132hhm−+−＞＞＞＜＜，所以2(1)8004335mmmm++

−＞＞＜＜＜，解得403m，，综上，m的取值范围为()40113，，．（3）F（x）＝f1（x）+f2（x）＝x2+|x﹣a|﹣222221924221924xaxaxxaxaxxaxaxaxa+−−

+−−==−+−−+−，，，＜，＜．①若a12＞，则函数F（x）在12−，上是单调减函数，在12+，上是单调增函数，此时，函数F（x）的最小值为1924Fa=−；②若1122a−，则函数F（x）在（﹣∞，a）上是单

调减函数，在（a，+∞）上是单调增函数，此时，函数F（x）的最小值为F（a）＝a2﹣2；③若12a−＜，则函数F（x）在12−−，上是单调减函数，在12−+，上是单调增函数，此时，函数F（x）的最小值为1924Fa−=−−；综上

：()2914211[]2229142minaaFxaaaa−−−=−−−，＜，，＞．【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，还考查了分类讨论，运算求解的能力，属于难题.